1. 1
EST 105 - Exerc´
ıcios de Somat´rio e Produt´rio
o o
n 200
n(1 + n) (x − 100)
1 (II/2001). Sabendo-se que x= , calcule .
x=1 2 x=1 2
2 (II/2001). A variˆncia (S 2 ) de uma amostra com n observa¸˜es de uma vari´vel
a co a
aleat´ria X pode ser definida por,
o
n
2 1 2
SX = Xi − X (1)
n − 1 i=1
Pede-se:
a. Utilize propriedades de somat´rio na equa¸˜o (1) para obter a f´rmula dada por,
o ca o
2 1 n
( n
i=1 Xi )2
SX = Xi2 −
n−1 i=1 n
b. Seja Yi = KXi , em que K ´ uma constante qualquer. Utilize propriedades de
e
somat´rio na equa¸˜o (1) para mostrar que SY = K 2 SX .
o ca 2 2
3 (I/2002). Considere os seguintes valores Xi e Yi
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Xi 2 5 7 9 8 6 4 5 2 10
Yi 1 5 7 2 4 4 6 6 8 8
Calcule:
2
10 Xi − X 10 6 Xi − Yi
[a.] [b.] Xi − X Yi − Y [c.]
9 2
i=1 i=1 i=1
i = 2, 3
n
n(n + 1)(2n + 1)
4. Verifique por indu¸˜o matem´tica que
ca a k2 = .
k=1 6
5 5 8 8
5 (II/2002). Dados Xi = 2, 6 Xi2 = 1, 84 e Yj = 11 Yj2 = 31
i=1 i=1 j=3 j=3
5 8
Calcule (2Xi − Yj )2 .
i=1 j=3
1
Exerc´ıcios das avalia¸oes dos semestres indicados. Cont´m 20 exerc´
c˜ e ıcios em p´ginas numeradas
a
de 1 a 6.
1

2. 6 (I/2003). Utilize as propriedades para calcular os somat´rios e produt´rios a
o o
seguir:
n n
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
a. Dado que i= e tamb´m
e i2 = calcule,
i=1 2 i=1 6
20
x(x + 1)
x=1
x=2,4
3 2
b. i2j−1
i=1 j=1
3 3 2 2 3 2
c. Se Xi = 6, Xi2 = 20, Yj = 4 e Yj2 = 10 calcule, (Xi − 2)(Yj − 1)2
i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1
5
(k + 1)
d.
k=1 2
7 (I/2003). Considere os elementos aij da matriz A, com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5
para indicar o elemento da i-´sima linha e j-´sima coluna,
e e
−1 17 9 −2 3
 
 3 13 10 2 6 
A=
 
11 −9 0 −3 2

 
−6 −8 1 4 5
3 4 5 4
calcule: a. ai2 b. aij c. 2ai4
i=1 i=1 j=2 i=1
i=2 j=4
8 (II/2003). Utilize propriedades de somat´rio e produt´rio.
o o
20 10 20 10
a. Calcule 3 (Xi − Yj ) dados Xi = 20 e Yj = 5.
i=1 j=1 i=1 j=1
3 4 4
b. Calcule (Yij − 8)2 , considerando-se a seguinte nota¸˜o: Yi. =
ca 2
Yij e Yi. =
i=1 j=1 j=1
4
2
Yij com,
j=1
2 2 2
Y1. = 30, Y2. = 32, Y3. = 38, e Y1. = 225, Y2. = 256, Y3. = 360
2

3. 5
(x − 3)2
c. Calcule
x=1
2
x=3
9 (II/2003). Considere os seguintes valores,
m n n
m = 50 n = 30 k = 3 Yj = 80 Xi = 100 Xi2 = 600
j=1 i=1 i=1
Aplique propriedades de somat´rio e utilize os valores informados para calcular:
o
m n
Yj (Xi − k)2
j=1 i=1
10 (I/2004) Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio e os valores a seguir.
o o
3 3 5 5
X1i = 6 X2i = 8 Y1j = 10 Y2j = 12.
i=1 i=1 j=1 j=1
Calcule,
 
2 3 5
a.  (Xki − 3) (Ykj − 2).
k=1 i=1 j=1
2 3
b. 2k − 1 i
i=1 k=1
5 6
c. (2i − 3j)2
i=1 j=4
10 20
11 (II/2004). Considere as seguintes somas: Yj = 8 e Xi = 20.
j=1 i=3
i=5,9,11
20 10
Calcule : (Xi + Yj − 2).
i=3 j=1
i=5,9,11
3

4. 12 (II/2004). Dados os seguintes valores e as respectivas somas,
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 −→ X = 30 X 2 = 220
Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9
Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 = 15 Y9 = 17 Y10 = 19 −→ Y = 100 Y 2 = 1330
Z1 = 12 Z2 = 20 Z3 = 30 Z4 = 40 −→ Z = 102 Z 2 = 3044
5 10 4
Calcule: (Xi − Yj )2 − Zk .
i=1 j=1 k=1
3
13 (II/2004). Calcule: (3k − 1) k 3 .
k=1
14 (I/2005). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio .
o o
20 50 20 50 20 50
a. [(Xi − 2) (Yj − 3) + Zij ] ; Xi = 80, Yj = 30, Zij = 5520.
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
60 12 12 12
b. (Zk − 5)2 ; 2
Zk = 412 e Zk = 60.
i=1 k=5 k=5 k=5
5
2k + 2
c. .
k=1 2
15 (II/2005). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio , dado:
o o
n n
n = 50, Xi = 20, Xi2 = 285 e e ≈ 2, 7183 (base do logar´
ıtmo neperiano)
i=1 i=1
n
{e(2Xi +5−Xi ) }.
2
a.
i=1
3 n
b. (Xi − 2)2 .
k=1 i=1
16 (I/2006). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio.
o o
4

5. 5
2k−1
a. .
k=1 2
5 8
b. [(k − 3) (j + 1)].
j=1 k=2
k=3
3 2 10 10 10
c. (2Xi − 1)2 − 15 , dado Xi = 15 e Xi2 = 50.
k=1 j=1 i=1 i=1 i=1
n
17. Seja SQD(a) = (Xi − a)2 , 0 < a < ∞. Mostre por propriedades de
i=1
somat´rio que,
o
mina SQD(a) = SQD(X)
18 (II/2006). Calcule:
6
x2 − 2x + 1
a. .
x=2 x2 − 1
11 6
b. [(x − 1) (x + 1) − k].
k=9 x=1
x=4,5
19 (I/2007). Dados os seguintes somat´rios,
o
50 50 12 25
Xi = 100 Xi2 = 125 Yj = 18 Zk = 22
i=1 i=1 j=5
k=3
k = 6, 10, 12
calcule:
50 12 25
(Xi − 2)2 − Yj Zk .
i=1 j=5 k=3
k=6,10,12
20 (II/2007). Calcule os itens abaixo sabendo-se que,
20 n n
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
Xi = 11 , k= e k2 =
i=1 k=1 2 k=1 6
4 20
a. k 2Xi −1 .
k=1 i=1
2 4
b. k 2x−2 .
k=1 x=1
5

6. 60
c. {(x − 1)2 − 1161}.
x=1
RESPOSTAS
1. 50
2 2 2 2
2. a. X −X = X 2 − 2X X + nX = X 2 − 2nX + nX = . . ..
2 2
2 1 1
b. SY = n−1
Y −Y = n−1
KX − KX = . . ..
3. a. ≈ 7, 51 b. 4, 2 c. ≈ 3, 5
4. Verifique que para n = 2 ´ verdadeiro e assuma que para n ´ verdadeiro e ent˜o
e e a
prove que para n + 1 tamb´m ´!
e e
5. 24 X2 − 4 X Y +5 Y 2 = 84, 76.
6. a. 3054 b. 98
c. X Y 2 −2 X Y +2 X−6 Y 2 +12 Y −12 = 0 d. 6!/32 = 22, 5
7. a. 21 b. 20 c. 2
8. a. 300 b. 9 c. 1
9. 21600
10. a. -2 b. 189 c. 1425
11. 10 X + 15 Y − 10.15.2 = 20.
12. 10.4 X 2 − 2.4 X Y + 5.4 Y 2 − 5.10 Z = 6300.
13. 2.40.216 = 17280.
14. a. X Y − 2.20 Y − 3.50 X + 6.20.50 + Z = 720 b. 60{ Z2 −
10 Z + 8.25} = 720 c. 6! = 720.
15. a. e5 ≈ 148, 41 b. 1215
16. a. 32 b. 280 c. 0
17. basta mostrar que (X − a)2 = (X − X)2 + n(X − a)2 .
18. a. 1/21 b. 18.
19. =20000-64000+32000-19800= - 31800
20. a. 30 b. 4 × 85 = 340 c. 550
6