Somatprod

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Somatprod

  1. 1. 1 EST 105 - Exerc´ ıcios de Somat´rio e Produt´rio o o n 200 n(1 + n) (x − 100)1 (II/2001). Sabendo-se que x= , calcule . x=1 2 x=1 22 (II/2001). A variˆncia (S 2 ) de uma amostra com n observa¸˜es de uma vari´vel a co aaleat´ria X pode ser definida por, o n 2 1 2 SX = Xi − X (1) n − 1 i=1Pede-se:a. Utilize propriedades de somat´rio na equa¸˜o (1) para obter a f´rmula dada por, o ca o 2 1 n ( n i=1 Xi )2 SX = Xi2 − n−1 i=1 nb. Seja Yi = KXi , em que K ´ uma constante qualquer. Utilize propriedades de e somat´rio na equa¸˜o (1) para mostrar que SY = K 2 SX . o ca 2 23 (I/2002). Considere os seguintes valores Xi e Yi i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 2 5 7 9 8 6 4 5 2 10 Yi 1 5 7 2 4 4 6 6 8 8Calcule: 2 10 Xi − X 10 6 Xi − Yi [a.] [b.] Xi − X Yi − Y [c.] 9 2 i=1 i=1 i=1 i = 2, 3 n n(n + 1)(2n + 1)4. Verifique por indu¸˜o matem´tica que ca a k2 = . k=1 6 5 5 8 85 (II/2002). Dados Xi = 2, 6 Xi2 = 1, 84 e Yj = 11 Yj2 = 31 i=1 i=1 j=3 j=3 5 8Calcule (2Xi − Yj )2 . i=1 j=3 1 Exerc´ıcios das avalia¸oes dos semestres indicados. Cont´m 20 exerc´ c˜ e ıcios em p´ginas numeradas ade 1 a 6. 1
  2. 2. 6 (I/2003). Utilize as propriedades para calcular os somat´rios e produt´rios a o oseguir: n n n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)a. Dado que i= e tamb´m e i2 = calcule, i=1 2 i=1 6 20 x(x + 1) x=1 x=2,4 3 2b. i2j−1 i=1 j=1 3 3 2 2 3 2c. Se Xi = 6, Xi2 = 20, Yj = 4 e Yj2 = 10 calcule, (Xi − 2)(Yj − 1)2 i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 5 (k + 1)d. k=1 27 (I/2003). Considere os elementos aij da matriz A, com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5para indicar o elemento da i-´sima linha e j-´sima coluna, e e −1 17 9 −2 3    3 13 10 2 6  A=   11 −9 0 −3 2    −6 −8 1 4 5 3 4 5 4 calcule: a. ai2 b. aij c. 2ai4 i=1 i=1 j=2 i=1 i=2 j=48 (II/2003). Utilize propriedades de somat´rio e produt´rio. o o 20 10 20 10a. Calcule 3 (Xi − Yj ) dados Xi = 20 e Yj = 5. i=1 j=1 i=1 j=1 3 4 4b. Calcule (Yij − 8)2 , considerando-se a seguinte nota¸˜o: Yi. = ca 2 Yij e Yi. = i=1 j=1 j=1 4 2 Yij com, j=1 2 2 2 Y1. = 30, Y2. = 32, Y3. = 38, e Y1. = 225, Y2. = 256, Y3. = 360 2
  3. 3. 5 (x − 3)2c. Calcule x=1 2 x=39 (II/2003). Considere os seguintes valores, m n n m = 50 n = 30 k = 3 Yj = 80 Xi = 100 Xi2 = 600 j=1 i=1 i=1Aplique propriedades de somat´rio e utilize os valores informados para calcular: om n Yj (Xi − k)2j=1 i=110 (I/2004) Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio e os valores a seguir. o o 3 3 5 5 X1i = 6 X2i = 8 Y1j = 10 Y2j = 12. i=1 i=1 j=1 j=1Calcule,   2 3 5a.  (Xki − 3) (Ykj − 2). k=1 i=1 j=1 2 3b. 2k − 1 i i=1 k=1 5 6c. (2i − 3j)2 i=1 j=4 10 2011 (II/2004). Considere as seguintes somas: Yj = 8 e Xi = 20. j=1 i=3 i=5,9,11 20 10Calcule : (Xi + Yj − 2). i=3 j=1 i=5,9,11 3
  4. 4. 12 (II/2004). Dados os seguintes valores e as respectivas somas, X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 −→ X = 30 X 2 = 220 Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9 Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 = 15 Y9 = 17 Y10 = 19 −→ Y = 100 Y 2 = 1330 Z1 = 12 Z2 = 20 Z3 = 30 Z4 = 40 −→ Z = 102 Z 2 = 3044 5 10 4Calcule: (Xi − Yj )2 − Zk . i=1 j=1 k=1 313 (II/2004). Calcule: (3k − 1) k 3 . k=114 (I/2005). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio . o o 20 50 20 50 20 50a. [(Xi − 2) (Yj − 3) + Zij ] ; Xi = 80, Yj = 30, Zij = 5520. i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 60 12 12 12b. (Zk − 5)2 ; 2 Zk = 412 e Zk = 60. i=1 k=5 k=5 k=5 5 2k + 2c. . k=1 215 (II/2005). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio , dado: o o n nn = 50, Xi = 20, Xi2 = 285 e e ≈ 2, 7183 (base do logar´ ıtmo neperiano) i=1 i=1 n {e(2Xi +5−Xi ) }. 2a. i=1 3 nb. (Xi − 2)2 . k=1 i=116 (I/2006). Utilize as propriedades de somat´rio e produt´rio. o o 4
  5. 5. 5 2k−1a. . k=1 2 5 8b. [(k − 3) (j + 1)]. j=1 k=2 k=3 3 2 10 10 10c. (2Xi − 1)2 − 15 , dado Xi = 15 e Xi2 = 50. k=1 j=1 i=1 i=1 i=1 n17. Seja SQD(a) = (Xi − a)2 , 0 < a < ∞. Mostre por propriedades de i=1somat´rio que, o mina SQD(a) = SQD(X)18 (II/2006). Calcule: 6 x2 − 2x + 1a. . x=2 x2 − 1 11 6b. [(x − 1) (x + 1) − k]. k=9 x=1 x=4,519 (I/2007). Dados os seguintes somat´rios, o 50 50 12 25 Xi = 100 Xi2 = 125 Yj = 18 Zk = 22 i=1 i=1 j=5 k=3 k = 6, 10, 12calcule: 50 12 25 (Xi − 2)2 − Yj Zk . i=1 j=5 k=3 k=6,10,1220 (II/2007). Calcule os itens abaixo sabendo-se que, 20 n n n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) Xi = 11 , k= e k2 = i=1 k=1 2 k=1 6 4 20a. k 2Xi −1 . k=1 i=1 2 4b. k 2x−2 . k=1 x=1 5
  6. 6. 60c. {(x − 1)2 − 1161}. x=1 RESPOSTAS1. 50 2 2 2 22. a. X −X = X 2 − 2X X + nX = X 2 − 2nX + nX = . . .. 2 2 2 1 1 b. SY = n−1 Y −Y = n−1 KX − KX = . . ..3. a. ≈ 7, 51 b. 4, 2 c. ≈ 3, 54. Verifique que para n = 2 ´ verdadeiro e assuma que para n ´ verdadeiro e ent˜o e e a prove que para n + 1 tamb´m ´! e e5. 24 X2 − 4 X Y +5 Y 2 = 84, 76.6. a. 3054 b. 98 c. X Y 2 −2 X Y +2 X−6 Y 2 +12 Y −12 = 0 d. 6!/32 = 22, 57. a. 21 b. 20 c. 28. a. 300 b. 9 c. 19. 2160010. a. -2 b. 189 c. 142511. 10 X + 15 Y − 10.15.2 = 20.12. 10.4 X 2 − 2.4 X Y + 5.4 Y 2 − 5.10 Z = 6300.13. 2.40.216 = 17280.14. a. X Y − 2.20 Y − 3.50 X + 6.20.50 + Z = 720 b. 60{ Z2 − 10 Z + 8.25} = 720 c. 6! = 720.15. a. e5 ≈ 148, 41 b. 121516. a. 32 b. 280 c. 017. basta mostrar que (X − a)2 = (X − X)2 + n(X − a)2 .18. a. 1/21 b. 18.19. =20000-64000+32000-19800= - 3180020. a. 30 b. 4 × 85 = 340 c. 550 6

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