1. Resolução da prova da UFBA – 2003 –1ª FASE.
Por Profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.
QUESTÕES de 01 a 08
INSTRUÇÃO : Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados
e marque o resultado na Folha de Respostas.
QUESTÃO 01
Considere as funções f: R *  R e g: R  R definidas por f(x) = log2 x e g(x) = x³ -1.

Nessas condições, é correto afirmar:
(01) A função g é ímpar.
Falsa porque: g(x) = x³ -1 e g(-x) = -x³ - 1 -g(x) = -x³ + 1 .
(02) A função g possui uma única raiz real.
Verdadeira, porque g(x) = x³ -1 = (x – 1)(x²+x+1) possui como raiz o número real 1 e as
 1  3i
raízes do fator x²+x+1que são os números complexos
2
(04) O ponto (1,0) pertence à interseção dos gráficos de f e de g.
Verdadeira, pois f(1) = log 21 =0 = g(1) = 1 –1= 0.
(08) A imagem de x = 8 pela função composta g o f é igual a 3.
Falsa porque: g o f(x) = ( log2 x )³ -1 = ( log 2 8 )³ -1 = 27 –1 = 26
(16) A função composta g o f é inversível, e sua inversa é a função
(g o f)-1 : R  R  definida pela equação (g o f)-1(x) = 23 x 1 .
*
Verdadeira. A função composta g o f é inversível porque g(x) e f(x) são inversíveis
sendo f-1 (x) = 2x e g-1 ( x) = 3 x  1 (g o f)-1(x) = (f –1 o g –1)(x) = 2 x 1
3
2 2

2. QUESTÃO 02
Um cliente, ao solicitar um empréstimo de R$ 5.000,00 a determinado banco, foi
informado de que, no vencimento, em t meses, deveria pagar o valor calculado pela
fórmula P(t) = 5000 (1,1)t.
Nessas condições, é correto afirmar:
(01) A condição estipulada pelo banco corresponde a um empréstimo com juros
compostos de 10% ao mês.
Verdadeira.
(02) O valor dos juros a serem pagos, se o cliente optar pelo prazo de 2 meses,
corresponderá a 20% do valor emprestado.
Falsa porque:o fator de acréscimo será de 1,1² = 1,21  juros no valor de 21% do valor
emprestado.
(04) O valor total a ser pago, se o cliente optar pelo prazo de 3 meses, será igual a R$
6.655,00.
Verdadeira pois o valor total será de 5000.1,1³ = 6655,00
(08) A dívida do cliente, se ele optar pelo prazo de 10 meses, será maior que R$
10.000,00.
Verdadeira. A dívida será de 5000.1,110 = 12968,71 > 10000.
(16) P(1), P(2), ..., nesta ordem, formam uma progressão aritmética.
Falsa. Porque 50001,1; 50001,1²; 50001,1³ ;.......forma uma P.G. de razão q.
(32) A figura ao
lado P (t )
representa
um esboço 5 5 0 0
do gráfico
da função
P(t), com t
 N*
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t
Falsa. A função P(t) = 5000.1,1t é uma função exponencial.
2 1

3. QUESTÃO 03
Considerando-se as funções f: R  R e g: R  R definidas pelas equações f(x) = -x + 2 e
g(x) = x², é correto afirmar:
(01) A soma das soluções da equação f(x) = g(x) é igual a -1.
Verdadeira. Se f(x) = g(x)  x² = -x+2  x² +x – 2 = 0  x’+x’’= -1.
(02) O trapézio ABCD, que tem como vértices A = (-2,0), B = (1,0) e os pontos de
15
interseção dos gráficos de f e g, tem área igual a .u.a
2
Verdadeira.
As raízes da equação f(x) = g(x) ( item anterior) são x=1 ou x = –2, logo a interseção dos
seus gráficos são os pontos (1,1) e (-2,4).
A área do trapézio ABCD pode será a metade do módulo do falso determinante
2 1 1 2 2 15
= 1  4  8  2  15  S = u.a.
0 0 1 4 0 2
(04) O conjunto solução da inequação g(x)  f(x) é o intervalo [1,+[.
Falsa.
g(x)  f(x)  x² +x – 2  0 . Fazendo o estudo da variação do sinal do trinômio x² +x – 2
+ -2
- 1 +
vemos que a solução da inequação em questão é o intervalo
] -,-2]  [1,+[
(08) A desigualdade f²(x)  g(x) é válida para todo x  R.
Falsa.
f²(x)  g(x)  (-x+2)²  x²  x² - 4x + 4  x²  -4x + 4  0  x  1
 9 
(16) A imagem da função h definida por h(x) = g(x) – f(x) é  ,  .
 4 
Verdadeira.
9  9 
h(x) = x² - (-x+2) = x² + x –2   = 1 – 4(-2) = 9  ymin =   Im(h(x)) =  4 , 
4  
1 9

4. QUESTÃO 04
x  2y  kz  1 1 2 k
  
Considerando-se o sistema de equações S: x  y  z  1 e as matrizes B = 1 1 1 ,
kx  y  z  0 k 1 1
  
 1 x
   
C =1  e X =  y  , sendo k um número real, pode-se afirmar:
 0 z
   
(01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha (1, 1, k-1).
Falsa.
1 2 k  1  1  2    1 
      
B.C =  1 1 1    1  = 1  1    0  cuja transposta é (-1,0,k-1)
k 1 1  0  k - 1   k - 1
      
1 2  2
 
(02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 =  1  1 1  .
1 1 1 
 
Falsa.
Sabemos que B.B-1 = B-1 .B = I.
Verifiquemos se esta propriedade se verifica para as matrizes em questão:
 1 2 0  1 2  2  3 0 0 
    
 1 1 1   1  1 1  =  2 1  1 .
 0 1 1  1 1 1  0 0 2 
    
(04) S é um sistema determinado, se k  1 e k  2.
Verdadeira.
x  2y  kz  1 1 2 k

S: x  y  z  1 é um sistema determinado se 1 1 1  0  1+k+2k-k²-1-20 
kx  y  z  0 k 1 1

K²-3k+2  0  k  1 ou k  2.
(08) O terno (-1, 1, -1) é a única solução do sistema S, para k = 0.
Verdadeira.
x  2y  kz  1 x  2y  1 x  -1
  y - z  2 
S: x  y  z  1   x  y  z  1    y  1
kx  y  z  0 y  z  0  y  z  0 z  -1
  

5. (16) O sistema é possível e indeterminado, para k = 1.
Falsa.
x  2y  kz  1 x  2y  z  1
 
S: x  y  z  1   x  y  z  1  As equações x+y+z=-1 e x+y+z = 0 são
kx  y  z  0 x  y  z  0
 
incompatíveis, logo para k = 1 o sistema é impossível.
 0
 
(32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é
 0
 
{( x, 0, -x), x  R}.
Verdadeira.
1 2 1 x   0  x  2y  z  0
      y  0 y  0
1 1 1 y    0   x  y  z  0   
1 1 1 z   0  x  y  z  0 x  z  0 x  -z
     
4 4
QUESTÃO 05
Considere um plano , um ponto P   e uma reta r não contida em .
Nessas condições, é correto afirmar:
t
r Q
 <90°
P
 s
(01) Toda reta que passa por P não intercepta r.
Falsa.
(02) Se r é paralela a alguma reta contida em , então ela é paralela a .
Verdadeira.
(04) Se P  r, então r é perpendicular a .
Falsa
(08) Existe um plano que contém r e é perpendicular a  .
Verdadeira.
(16) Se Q é um ponto não pertencente a , então a reta PQ não está contida em .
Verdadeira.
(32) Qualquer reta perpendicular a r intercepta .
Falsa
5 0

6. QUESTÃO 06
Considerando-se o polígono ABCDEFG no plano cartesiano, sendo A = (1,3), B = (1,5),
1   11 
C =  ,5  , D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3), pode-se afirmar:
2  2 
(01) A reta que passa pelos pontos A e F é paralela à reta que passa pelos pontos C e
D.
53 75 2 4
  
Falsa. Pois 5  1 1 4 5.
3
2
(02) A distância entre os pontos D e G é igual a 2 5 u.c.
Verdadeira.
DG =  5  3 2   3  7  2  20  2 5 u.c.
(04) A reta que passa pelos pontos C e G tem coeficiente angular negativo..
Verdadeira.
1
5 x 5 y 1
Igualando a zero o falso determinante: 2  0  25 + +3x-5y-5x- =0
3 5 y 3 2 2
4 49
50+y+6x-10y-10x-1=0  9y =- 4x+49  y =  x
9 9
(08) O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (3,4) .
D
C B F E
A G
Verdadeira.
O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio,de AF,por exemplo,
1 5 3  5 
 ,    3,4
 2 2 

7. (16) A área do polígono ABCDEFG é igual a 13u.a.
Verdadeira.
5.2
S = SDCE +SABFG = +4.2 = 5 + 8 = 13u.a.
2
(32) A figura ao lado representa o polígono obtido pela y
reflexão de ABCDEFG em relação à origem. -1 1 -1
2 -5 -3 -1 2
Verdadeira. x
Os simétricos dos pontos A = (1,3), B = (1,5),
1   11 
C =  ,5  , D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3) G ' A' -3
2  2 
em relação à origem são, respectivamente, F' C '
E' B' -5
 1 
A’ = (-1,-3), B’ = (-1,-5), C’ =   ,5  , D’ = (-3,-7),
 2  -7
D'
 11 
E’ =   ,5  , F’ = (-5,-5) e G’ = (-5,-3).
 2 
.6 2
QUESTÃO 07
Usualmente, chama-se Taxa de Analfabetismo de uma localidade a taxa percentual de
analfabetos com idade superior a 10 anos, calculada em relação ao número de
habitantes, nessa faixa etária, da localidade. A tabela a seguir contém dados sobre o
Estado da Bahia e os municípios baianos de Salvador e de Cel. João Sá.
Bahia Salvador Cel. João Sá
População com idade superior a 10 anos. 20.405.000 2.030.000 14.748
Número de analfabetos com idade superior a 10 anos. 2.247.000 126.000 7.320
Taxa de analfabetismo 21,6% 49,6%
Fonte: IBGE ( dados aproximados)
Com base nessas informações, é correto afirmar:
(01) A taxa de analfabetismo de Salvador é de, aproximadamente, 6,2%.
Verdadeira.
126
 0,0620689. ..  6,2%
2030
(02) Mais de 80% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade não é
habitante de Salvador.
Verdadeira.

8. 2030
 0,0994854  9,9% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade são
20405
habitantes de Salvador  aproximadamente 90,1% dessa população não habita
em Salvador.
(04) Na faixa etária considerada acima, o número de analfabetos de Salvador
corresponde a aproximadamente 5,6% do número de analfabetos da Bahia.
Verdadeira.
126
 0,05607...  5,6%
2247
(08) Se o número de analfabetos de Cel. João Sá com idade superior a 10 anos fosse
3.360, a taxa de analfabetismo desse município seria menor que a do Estado da
Bahia.
Falsa.
3360 2247
ICJS =  0,22782...  22,78% ; iB =  0,11012...  11,01% .  ICJS > iB
14748 20405
(16) Escolhendo-se ao acaso um habitante do Estado da Bahia, analfabeto, na faixa
etária referida, a probabilidade de que ele seja habitante de Cel. João Sá é maior
do que a de ser habitante de Salvador.
Falsa.
732 12600
ICJS = ; IS =  IS > ICJS
224700 224700
(32) Escolhendo-se ao acaso uma pessoa de Salvador ou de Cel. João Sá, com idade
superior a 10 anos, a probabilidade de que essa pessoa seja analfabeta é maior
que 27%..
Falsa.
126000  7320 133320
  0,06520..  6,52%
2030000  14748 2044748
0 7

9. QUESTÃO 08
O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a dezembro do ano 2001, é
dado, em milhares de reais, pela fórmula L(n)  39n-3n², n  {1, 2, ...,12}, em que os
números naturais n, variando de 1 a 12, correspondem, respectivamente, aos meses de
janeiro a dezembro.
Com base nessas informações, pode-se afirmar:
(01) O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho e em julho.
Verdadeira.
 39
Caso n  R, o maior lucro do ano ocorreria em n =  6,5 .
6
Como n  {1, 2, ...,12}  o maior lucro ocorre para n = 6 ou n = 7 ( meses de junho ou
julho).
(02) O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$126 000,00.
Verdadeira.
O lucro máximo foi de L(6) = L(7) = 39.7 – 3.7² = 126 mil reais.
(04) O lucro, durante o segundo semestre, foi decrescente.
Verdadeira.
Analisando o gráfico vemos que para n  7 a função é
decrescente.
(08) O lucro foi igual nos meses de maio e setembro .
Falsa.
L(5) = 120 L(9) = 108
(16) O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$66 000,00.
Falsa.
(39  3)  (78  12)  (117  27) 36  66  90
Lm =   64 mil reais.
3 3
(32) O lucro mediano, nos doze meses, foi de R$99 0000,00.
Verdadeira.
Analisando o gráfico e colocando os lucros em ordem crescente:
L(1), L(12), L(2), L(11), L(3), L(10), L(4), L(9), L(5), L(8), L(6), L(7).
L(10)  L(4) 108  90
O lucro mediano é   99
2 2

10. 3 9
QUESTÔES 09 e 10.
INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e
marque o resultado na Folha de Respostas.
QUESTÃO 09
Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma
triangular.
F
Analisando a figura ao lado ( um prisma triangular ) vemos que existem
dois vértices não consecutivos ao vértice B, por exemplo. D
Agora percebamos que o {B,D} = {D,B}  que cada par é contado duas
E
6.2
vezes, logo o número de pares de vértices não consecutivos é 6 C
2 A
B
0 6
QUESTÃO 10
Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e
4
comprimento igual a quilômetros, liga dois pontos A
3
e B situados em margens opostas de um rio, conforme
figura ao lado.. Sabe-se que O é o centro da A B
2
circunferência e que o ângulo AÔB mede rd.
3
Calcule d², sendo d a distância, em quilômetros, entre os
pontos A e B.
O
4 2 4 2
O arco AOB tem comprimento km e o ângulo central AÔB mede rd  = r.
3 3 3 3

r = 2.
2
Como o ângulo central AÔB mede rd, então A corda AB é lado de um triângulo
3
eqüilátero inscrito na circunferência e a sua medida d = r 3 = 2 3  d² = 12
1 2