Aulas Cap 6

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Aulas Cap 6

  1. 1. 1 Escoamento no Interior de Condutas Departamento de Engenharia Mecânica Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Luis Adriano Oliveira
  2. 2. 2 Escoamento no Interior de Condutas ∂ Secçao circ. A1 = A 2 = 0 µ = c te ∂t Q1 = Q 2 = c te ρ = c te ∴ V1 = V2 pressão originado por: gravidade Escoamento: contrariado por : atrito 1.ª Lei da Termodinâmica: p1 V 2 p2 V 2 ∆p + + z1 = + + z2 + hf ⇒ hf = + ∆z ρg 2g ρg 2g ρg Como relacionar hf com τo (tensão de atrito na parede)?
  3. 3. 3 Escoamento no Interior de Condutas ∂ FS + FC = ∂t ( ) ∫∫∫VC ρVdv + ∫∫SC ρV V.n dA ˆ [1 − D] ⇒ ( p1 − p2 ) πR 2 − 2πR∆Lτ0 + ρg sin φπR 2 ∆L = ρV2πR 2 V2 − ρV1πR 2 V1 = 0 ⇒ ∆p 2τ0 ∆L ∆p 2 τ 0 ∆L − + ∆Lsin φ = 0 ⇒ h f = + ∆z = . (∆ ≡ quot;1quot;− quot;2quot;) ρg Rρg ρg ρg R ∆z Se ε for a altura característica da rugosidade do tubo, é de esperar que: τ0 = G ( V, ρ, µ,d, ε ) 8τ 0 Análise dimensional : f = F  Red , ε    com f = (Moody) d 2   ρV fρV 2 fρV 2 ∆L ∆L V 2 τ0 = ⇒ hf = . ⇒ hf = f (lam. ou turb.) 8 4ρg R d 2g
  4. 4. 4 Escoamento no Interior de Condutas Para determinar a forma da função F: análise diferencial ∂ Coordenadas cilíndricas: (s, θ, r), (u, v, w) + = 0, v = 0, u = u(r) ∂θ Continuidade : 1∂ 1 ∂v ∂u 1∂ ( rw ) + + =0⇒ ( rw ) = 0 ⇒ rw = c.te r ∂r r ∂θ ∂s r ∂r w=0 ( rw )r =R = 0 Navier-Stokes : ∂u ∂p µ d  du  ρu = 0 = − + ρg sin φ + r  ⇒ ∂s ∂s r dr  dr  µ d  du  d d d  r  = ( p − ρg sin φs ) = ( p + ρgz ) ⇒ ( p + ρgz ) = c.te r dr  dr  ds ds ds (lam. ou turb.)
  5. 5. 5 Escoamento no Interior de Condutas Regime laminar: Hagen-Poiseuille µ d  du  d  r  = ( p + ρgz ) ⇒ u = − r dr  dr  ds 1 d 4µ ds ( p + ρgz ) R 2 − r 2( ) Q ∫ udA u max τ0 = µ du = ... = 8µV V= = = ... = A πR 2 2 dr r =R d Moody 8τ 064µ 64 f f lam = = ⇒ f lam = ρV 2 ρdV Red Red ∆L V 2 h f lam = f lam d 2g ⇒ h flam = 32ν∆LV gd 2 (∝ V, ∝−1 d2 )
  6. 6. 6 Escoamento no Interior de Condutas Regime turbulento: Lei logarítmica (desprezando a subcamada laminar) u 1 (R − r ) uτ ln +B K ≈ 0.41 B ≈ 5.0 0≤r≤R uτ k ν V 1 R 1 (R − r ) uτ  Ru = ∫o  ln + B 2πrdr = 2.44ln τ + 1.34 u τ πR 2 k ν  ν Com: τ0 8τ 0 V 8 Ru τ RV u τ Red f uτ = f= ⇒ = = = ρ ρV 2 uτ f ν ν V 2 8 8  Red f  = 2.44ln   + 1.34 ( f não surge explicitado ) f  2 8
  7. 7. 7 Escoamento no Interior de Condutas Regime turbulento (cont.): 0.316 Re −1/ 4 (4000 ≤ Red ≤ 105 ) Alternativas (tubos lisos): f≅ 1.02 (log Red ) −2.5 Nota - via lei logarítmica: laminar  V   V    >  = 0.5  u max  turb  u max lam turbulento εu τ / ν < 5 parede lisa (rug. “submersa” na sub-camada viscosa) Rugosidade 5 < εu τ / ν < 70 transição (efeito de Re moderado) εu τ / ν > 70 parede rugosa (atrito independente de Re)
  8. 8. 8 Escoamento no Interior de Condutas Regime laminar: efeito de rugosidade desprezável Regime turbulento, εuτ/ν >70 medidas sugerem correcção do perfil logarítmico u 1 (R − r ) uτ  1 εu τ  1 (R − r) ln + B −  ln − 3.5  = ln + 8.5 (ν) uτ k ν k ν  k ε (A sequência é análoga à anterior para tubos lisos) Problemas típicos: dados : d, ∆L, V (ou Q), ρ, µ ⇒ h f = ? (Problema directo - Moody) dados : d, ∆L, h f , ρ, µ ⇒ V (ou Q) = ? (Problemas inversos - iteração) dados : Q, ∆L, h f , ρ, µ ⇒ d = ?
  9. 9. 9 Escoamento no Interior de Condutas Diagrama de Moody f ε/d Red=ρVd/µ ∆L V 2 d, ∆L, V (ou Q), ρ, µ ⇒ h f = f (Problema directo - Moody) d 2g
  10. 10. 10 Escoamento no Interior de Condutas - diâmetro equivalente Secção não circular : análise ainda válida? ( p1 − p2 ) πR 2 − 2πR∆Lτ0 + ρg sin φπR 2 ∆L = ρπR 2 ( V22 − V12 ) = 0 ∆p τ0 ∆L 2τ0 ∆L ∆pA − P∆L τ0 + ρg∆zA = 0 ⇒ h f = + ∆z = hf = . ρg ρg A / P ρg R A A R eq. = 2 ⇒ d eq. = 4 A: área da secção recta ; P: perímetro molhado P P ∆L V 2 hf = f Secção circular : deq.=d 4A / P 2g
  11. 11. 11 Escoamento no Interior de Condutas - perdas localizadas ∆p hf = + ∆z ∆pi ρg hi = ρg ∆zi ≅ 0 hi A cada perda localizada i corresponde um coef. adim. : ki = V 2 / 2g V 2  ∆L  = h f + ∑ hi =  d ∑ i h tot f + k 2g   i i  Nota: alternativa (menos usada) : comprimento equivalente
  12. 12. 12 Escoamento no Interior de Condutas - associação de condutas I ) Associação em série : 1 2 3 Q1 = Q 2 = Q3 = ... ∆h = ∆h1 + ∆h 2 + ∆h 3 + ... I I) Associação em paralelo : 1 Q = Q1 + Q 2 + Q3 + ... 2 ∆h1 = ∆h 2 = ∆h 3 = ... 3

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