Ufba F1 2003

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Ufba F1 2003

  1. 1. Resolução da prova da UFBA – 2003 –1ª FASE. Por Profa. Maria Antônia Conceição Gouveia. QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO : Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. QUESTÃO 01 Considere as funções f: R *  R e g: R  R definidas por f(x) = log2 x e g(x) = x³ -1.  Nessas condições, é correto afirmar: (01) A função g é ímpar. Falsa porque: g(x) = x³ -1 e g(-x) = -x³ - 1 -g(x) = -x³ + 1 . (02) A função g possui uma única raiz real. Verdadeira, porque g(x) = x³ -1 = (x – 1)(x²+x+1) possui como raiz o número real 1 e as  1  3i raízes do fator x²+x+1que são os números complexos 2 (04) O ponto (1,0) pertence à interseção dos gráficos de f e de g. Verdadeira, pois f(1) = log 21 =0 = g(1) = 1 –1= 0. (08) A imagem de x = 8 pela função composta g o f é igual a 3. Falsa porque: g o f(x) = ( log2 x )³ -1 = ( log 2 8 )³ -1 = 27 –1 = 26 (16) A função composta g o f é inversível, e sua inversa é a função (g o f)-1 : R  R  definida pela equação (g o f)-1(x) = 23 x 1 . * Verdadeira. A função composta g o f é inversível porque g(x) e f(x) são inversíveis sendo f-1 (x) = 2x e g-1 ( x) = 3 x  1 (g o f)-1(x) = (f –1 o g –1)(x) = 2 x 1 3 2 2
  2. 2. QUESTÃO 02 Um cliente, ao solicitar um empréstimo de R$ 5.000,00 a determinado banco, foi informado de que, no vencimento, em t meses, deveria pagar o valor calculado pela fórmula P(t) = 5000 (1,1)t. Nessas condições, é correto afirmar: (01) A condição estipulada pelo banco corresponde a um empréstimo com juros compostos de 10% ao mês. Verdadeira. (02) O valor dos juros a serem pagos, se o cliente optar pelo prazo de 2 meses, corresponderá a 20% do valor emprestado. Falsa porque:o fator de acréscimo será de 1,1² = 1,21  juros no valor de 21% do valor emprestado. (04) O valor total a ser pago, se o cliente optar pelo prazo de 3 meses, será igual a R$ 6.655,00. Verdadeira pois o valor total será de 5000.1,1³ = 6655,00 (08) A dívida do cliente, se ele optar pelo prazo de 10 meses, será maior que R$ 10.000,00. Verdadeira. A dívida será de 5000.1,110 = 12968,71 > 10000. (16) P(1), P(2), ..., nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Falsa. Porque 50001,1; 50001,1²; 50001,1³ ;.......forma uma P.G. de razão q. (32) A figura ao lado P (t ) representa um esboço 5 5 0 0 do gráfico da função P(t), com t  N* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t Falsa. A função P(t) = 5000.1,1t é uma função exponencial. 2 1
  3. 3. QUESTÃO 03 Considerando-se as funções f: R  R e g: R  R definidas pelas equações f(x) = -x + 2 e g(x) = x², é correto afirmar: (01) A soma das soluções da equação f(x) = g(x) é igual a -1. Verdadeira. Se f(x) = g(x)  x² = -x+2  x² +x – 2 = 0  x’+x’’= -1. (02) O trapézio ABCD, que tem como vértices A = (-2,0), B = (1,0) e os pontos de 15 interseção dos gráficos de f e g, tem área igual a .u.a 2 Verdadeira. As raízes da equação f(x) = g(x) ( item anterior) são x=1 ou x = –2, logo a interseção dos seus gráficos são os pontos (1,1) e (-2,4). A área do trapézio ABCD pode será a metade do módulo do falso determinante 2 1 1 2 2 15 = 1  4  8  2  15  S = u.a. 0 0 1 4 0 2 (04) O conjunto solução da inequação g(x)  f(x) é o intervalo [1,+[. Falsa. g(x)  f(x)  x² +x – 2  0 . Fazendo o estudo da variação do sinal do trinômio x² +x – 2 + -2 - 1 + vemos que a solução da inequação em questão é o intervalo ] -,-2]  [1,+[ (08) A desigualdade f²(x)  g(x) é válida para todo x  R. Falsa. f²(x)  g(x)  (-x+2)²  x²  x² - 4x + 4  x²  -4x + 4  0  x  1  9  (16) A imagem da função h definida por h(x) = g(x) – f(x) é  ,  .  4  Verdadeira. 9  9  h(x) = x² - (-x+2) = x² + x –2   = 1 – 4(-2) = 9  ymin =   Im(h(x)) =  4 ,  4   1 9
  4. 4. QUESTÃO 04 x  2y  kz  1 1 2 k    Considerando-se o sistema de equações S: x  y  z  1 e as matrizes B = 1 1 1 , kx  y  z  0 k 1 1     1 x     C =1  e X =  y  , sendo k um número real, pode-se afirmar:  0 z     (01) A matriz transposta de B.C é a matriz linha (1, 1, k-1). Falsa. 1 2 k  1  1  2    1         B.C =  1 1 1    1  = 1  1    0  cuja transposta é (-1,0,k-1) k 1 1  0  k - 1   k - 1        1 2  2   (02) A matriz inversa de B, para k = 0, é a matriz B-1 =  1  1 1  . 1 1 1    Falsa. Sabemos que B.B-1 = B-1 .B = I. Verifiquemos se esta propriedade se verifica para as matrizes em questão:  1 2 0  1 2  2  3 0 0        1 1 1   1  1 1  =  2 1  1 .  0 1 1  1 1 1  0 0 2       (04) S é um sistema determinado, se k  1 e k  2. Verdadeira. x  2y  kz  1 1 2 k  S: x  y  z  1 é um sistema determinado se 1 1 1  0  1+k+2k-k²-1-20  kx  y  z  0 k 1 1  K²-3k+2  0  k  1 ou k  2. (08) O terno (-1, 1, -1) é a única solução do sistema S, para k = 0. Verdadeira. x  2y  kz  1 x  2y  1 x  -1   y - z  2  S: x  y  z  1   x  y  z  1    y  1 kx  y  z  0 y  z  0  y  z  0 z  -1   
  5. 5. (16) O sistema é possível e indeterminado, para k = 1. Falsa. x  2y  kz  1 x  2y  z  1   S: x  y  z  1   x  y  z  1  As equações x+y+z=-1 e x+y+z = 0 são kx  y  z  0 x  y  z  0   incompatíveis, logo para k = 1 o sistema é impossível.  0   (32) O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =  0  , para k = 1, é  0   {( x, 0, -x), x  R}. Verdadeira. 1 2 1 x   0  x  2y  z  0       y  0 y  0 1 1 1 y    0   x  y  z  0    1 1 1 z   0  x  y  z  0 x  z  0 x  -z       4 4 QUESTÃO 05 Considere um plano , um ponto P   e uma reta r não contida em . Nessas condições, é correto afirmar: t r Q  <90° P  s (01) Toda reta que passa por P não intercepta r. Falsa. (02) Se r é paralela a alguma reta contida em , então ela é paralela a . Verdadeira. (04) Se P  r, então r é perpendicular a . Falsa (08) Existe um plano que contém r e é perpendicular a  . Verdadeira. (16) Se Q é um ponto não pertencente a , então a reta PQ não está contida em . Verdadeira. (32) Qualquer reta perpendicular a r intercepta . Falsa 5 0
  6. 6. QUESTÃO 06 Considerando-se o polígono ABCDEFG no plano cartesiano, sendo A = (1,3), B = (1,5), 1   11  C =  ,5  , D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3), pode-se afirmar: 2  2  (01) A reta que passa pelos pontos A e F é paralela à reta que passa pelos pontos C e D. 53 75 2 4    Falsa. Pois 5  1 1 4 5. 3 2 (02) A distância entre os pontos D e G é igual a 2 5 u.c. Verdadeira. DG =  5  3 2   3  7  2  20  2 5 u.c. (04) A reta que passa pelos pontos C e G tem coeficiente angular negativo.. Verdadeira. 1 5 x 5 y 1 Igualando a zero o falso determinante: 2  0  25 + +3x-5y-5x- =0 3 5 y 3 2 2 4 49 50+y+6x-10y-10x-1=0  9y =- 4x+49  y =  x 9 9 (08) O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (3,4) . D C B F E A G Verdadeira. O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio,de AF,por exemplo, 1 5 3  5   ,    3,4  2 2 
  7. 7. (16) A área do polígono ABCDEFG é igual a 13u.a. Verdadeira. 5.2 S = SDCE +SABFG = +4.2 = 5 + 8 = 13u.a. 2 (32) A figura ao lado representa o polígono obtido pela y reflexão de ABCDEFG em relação à origem. -1 1 -1 2 -5 -3 -1 2 Verdadeira. x Os simétricos dos pontos A = (1,3), B = (1,5), 1   11  C =  ,5  , D = (3,7), E =  ,5  , F = (5,5) e G = (5,3) G ' A' -3 2  2  em relação à origem são, respectivamente, F' C ' E' B' -5  1  A’ = (-1,-3), B’ = (-1,-5), C’ =   ,5  , D’ = (-3,-7),  2  -7 D'  11  E’ =   ,5  , F’ = (-5,-5) e G’ = (-5,-3).  2  .6 2 QUESTÃO 07 Usualmente, chama-se Taxa de Analfabetismo de uma localidade a taxa percentual de analfabetos com idade superior a 10 anos, calculada em relação ao número de habitantes, nessa faixa etária, da localidade. A tabela a seguir contém dados sobre o Estado da Bahia e os municípios baianos de Salvador e de Cel. João Sá. Bahia Salvador Cel. João Sá População com idade superior a 10 anos. 20.405.000 2.030.000 14.748 Número de analfabetos com idade superior a 10 anos. 2.247.000 126.000 7.320 Taxa de analfabetismo 21,6% 49,6% Fonte: IBGE ( dados aproximados) Com base nessas informações, é correto afirmar: (01) A taxa de analfabetismo de Salvador é de, aproximadamente, 6,2%. Verdadeira. 126  0,0620689. ..  6,2% 2030 (02) Mais de 80% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade não é habitante de Salvador. Verdadeira.
  8. 8. 2030  0,0994854  9,9% da população da Bahia com mais de 10 anos de idade são 20405 habitantes de Salvador  aproximadamente 90,1% dessa população não habita em Salvador. (04) Na faixa etária considerada acima, o número de analfabetos de Salvador corresponde a aproximadamente 5,6% do número de analfabetos da Bahia. Verdadeira. 126  0,05607...  5,6% 2247 (08) Se o número de analfabetos de Cel. João Sá com idade superior a 10 anos fosse 3.360, a taxa de analfabetismo desse município seria menor que a do Estado da Bahia. Falsa. 3360 2247 ICJS =  0,22782...  22,78% ; iB =  0,11012...  11,01% .  ICJS > iB 14748 20405 (16) Escolhendo-se ao acaso um habitante do Estado da Bahia, analfabeto, na faixa etária referida, a probabilidade de que ele seja habitante de Cel. João Sá é maior do que a de ser habitante de Salvador. Falsa. 732 12600 ICJS = ; IS =  IS > ICJS 224700 224700 (32) Escolhendo-se ao acaso uma pessoa de Salvador ou de Cel. João Sá, com idade superior a 10 anos, a probabilidade de que essa pessoa seja analfabeta é maior que 27%.. Falsa. 126000  7320 133320   0,06520..  6,52% 2030000  14748 2044748 0 7
  9. 9. QUESTÃO 08 O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a dezembro do ano 2001, é dado, em milhares de reais, pela fórmula L(n)  39n-3n², n  {1, 2, ...,12}, em que os números naturais n, variando de 1 a 12, correspondem, respectivamente, aos meses de janeiro a dezembro. Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01) O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho e em julho. Verdadeira.  39 Caso n  R, o maior lucro do ano ocorreria em n =  6,5 . 6 Como n  {1, 2, ...,12}  o maior lucro ocorre para n = 6 ou n = 7 ( meses de junho ou julho). (02) O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$126 000,00. Verdadeira. O lucro máximo foi de L(6) = L(7) = 39.7 – 3.7² = 126 mil reais. (04) O lucro, durante o segundo semestre, foi decrescente. Verdadeira. Analisando o gráfico vemos que para n  7 a função é decrescente. (08) O lucro foi igual nos meses de maio e setembro . Falsa. L(5) = 120 L(9) = 108 (16) O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$66 000,00. Falsa. (39  3)  (78  12)  (117  27) 36  66  90 Lm =   64 mil reais. 3 3 (32) O lucro mediano, nos doze meses, foi de R$99 0000,00. Verdadeira. Analisando o gráfico e colocando os lucros em ordem crescente: L(1), L(12), L(2), L(11), L(3), L(10), L(4), L(9), L(5), L(8), L(6), L(7). L(10)  L(4) 108  90 O lucro mediano é   99 2 2
  10. 10. 3 9 QUESTÔES 09 e 10. INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de Respostas. QUESTÃO 09 Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular. F Analisando a figura ao lado ( um prisma triangular ) vemos que existem dois vértices não consecutivos ao vértice B, por exemplo. D Agora percebamos que o {B,D} = {D,B}  que cada par é contado duas E 6.2 vezes, logo o número de pares de vértices não consecutivos é 6 C 2 A B 0 6 QUESTÃO 10 Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e 4 comprimento igual a quilômetros, liga dois pontos A 3 e B situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao lado.. Sabe-se que O é o centro da A B 2 circunferência e que o ângulo AÔB mede rd. 3 Calcule d², sendo d a distância, em quilômetros, entre os pontos A e B. O 4 2 4 2 O arco AOB tem comprimento km e o ângulo central AÔB mede rd  = r. 3 3 3 3  r = 2. 2 Como o ângulo central AÔB mede rd, então A corda AB é lado de um triângulo 3 eqüilátero inscrito na circunferência e a sua medida d = r 3 = 2 3  d² = 12 1 2

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