Este documento prova que o supremo de um conjunto CA é igual a c vezes o supremo de A, onde c é um escalar e A é um subconjunto dos reais. Ele também prova que o ínfimo de CA é igual a c vezes o ínfimo de A, usando a propriedade de que se w é o menor majorante de A, então cw é o menor majorante de CA.

1. ´
BASES MATEMATICAS
Enunciado: Sejam CA = {cx : x ∈ A, c ∈ } e A = {x : x ∈ A}, A ⊂ . Prove que sup CA = c sup A
e inf CA = c inf A.
Supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ +, teremos
a≤a+b=y
ent˜o y ´ um majorante de A, logo, pelo axioma da completude possui supremo.
a e
Supondo tamb´m que w ≤ y, ou seja, que w ´ o menor dos majorantes, temos que
e e
sup A = w
Ainda supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ +, teremos, para o conjunto CA
ca ≤ c(a + b) = cy; c > 0
ent˜o cy ´ um majorante de CA, logo, possui supremo.
a e
Por hip´tese, temos que w ≤ y, donde conclu´
o ımos, utilizando o axioma 12 (A12), que
cw ≤ cy.
Logo, sup CA = cw = c · sup A. Como se queria demonstrar.
A demonstra¸˜o para os ´
ca ınfimos ´ totalmente an´loga.
e a
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