1) Estudantes realizaram experimento para analisar movimento parabólico de esfera em plano inclinado. 2) Mediram diâmetro da esfera, ângulo do plano e distância percorrida. 3) Usando vídeo e softwares, calcularam velocidade inicial, aceleração e valor da gravidade.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
MOVIMENTO PARABÓLICO EM UM PLANO
INCLINADO
Turma T5
Antônio Roberto Leão da Cruz
Douglas Bispo dos Santos
Girlaine Araújo dos Santos
Juliano Almeida Perez
Tâmara Matos dos Santos
SÃO CRISTÓVÃO
2012

2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Relatório de laboratório apresentado à
Universidade Federal de Sergipe, Centro
de Ciências Exatas e Tecnologia,
Departamento de Física, como um dos pré-
requisitos para a conclusão da disciplina
Laboratório de Física A.
Orientador: Mário Ernesto Giroldo Valerio.
SÃO CRISTÓVÃO
2012

3. 1. INTRODUÇÃO
Em varias situações do nosso cotidiano o movimento parabólico está
presente. Se observarmos um jogador de futebol quando chuta a bola com um
determinado ângulo com a horizontal, a bola descreve no ar uma trajetória
parabólica. Quando a bola está subindo, a sua velocidade inicial vai diminuir até
atingir um valor mínimo no ponto mais alto da trajetória, movimento retardado, e, vai
aumentando quando está descendo até atingir o solo, movimento acelerado.
Para que ocorra variação na velocidade é necessário haver forças atuando;
desprezando a resistência do ar, a força que está atuando em uma bola sobre um
plano inclinado é a força peso. A força peso atua na vertical de cima para baixo,
desta maneira a aceleração que atua no movimento é a aceleração da gravidade,
que é dada por 𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃. O movimento da bola é um movimento bidimensional,
sendo realizado nas direções horizontal (x) e vertical (y). Este movimento é
composto por dois tipos de movimento:
- Movimento Uniforme na horizontal (x);
- Movimento Uniformemente Variado na vertical (y).
Este é o Principio da Independência dos Movimentos de Galileu, astrônomo e
matemático italiano, que entre muitas outras descobertas científicas provou que a
Terra se move em volta do Sol. Galileu usou a parábola para descrever o movimento
dos projéteis.
Dadas essas circunstâncias, a bola se desloca segundo uma parábola. Tais
circunstâncias podem ser observadas num simples lançamento oblíquo, onde,
desprezando o atrito do ar e demais efeitos o objeto se desloca verticalmente
acelerado pela ação da gravidade local, e, horizontalmente se desloca seguindo
velocidade constante. A força resultante será dada pela soma vetorial de duas
forças, a força peso e a força normal: R = P + N. As equações que descrevem
esses movimentos, considerando que a esfera é lançada no instante 𝑡 𝑜 = 0 e
velocidade 𝑣 𝑜 , são:

4. 𝑥 𝑡 = 𝑋 𝑜 + 𝑉𝑜 𝑥 𝑡
𝑎𝑡 2
𝑦 𝑡 = 𝑦 𝑜 + 𝑣 𝑜𝑦 𝑡−
2
Sendo: 𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑣 𝑜𝑥 e 𝑣 𝑜𝑦 são as componentes da velocidade inicial nas
direções x e y respectivamente, e valem:
𝑣 𝑜𝑥 = 𝑣 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑣 𝑜𝑦 = 𝑣 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃
Figura 01: Movimento Parabólico no Plano Inclinado.
Figura 02: Diagrama de Corpo Livre e Vista Lateral do Plano Inclinado.

5. 2. OBJETIVOS
 Estudar o movimento bidimensional de uma esfera em um plano inclinado;
 Determinar as equações que descrevem o movimento;
 Determinar o valor da aceleração da gravidade.

6. 3. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes itens:
 Uma esfera;
 Um plano inclinado;
 Uma haste e base de sustentação para o plano inclinado;
 Um dispositivo para lançamento da esfera;
 Uma câmera digital na opção filmadora com cabo de conexão para
transferência de dados;
 Um tripé de fixação para a câmera;
 Um paquímetro;
 Uma régua;
 Um Computador com os Softwares Tracker e SciDAVis instalados.
Segue abaixo a Figura 03 com o esboço do experimento:
Figura 03: Imagem captada durante a realização da experiência.

7. Inicialmente, foi determinado o diâmetro da esfera e sua respectiva incerteza
com o auxílio do paquímetro. Em seguida, utilizou-se a régua para medir a largura
da faixa amarela que se encontrava fixada no plano inclinado conforme a Figura 04.
Esta distância serve de referência para a análise do movimento da esfera sobre o
plano no Software Tracker.
Na sequência, conectamos a câmera ao tripé e posicionamos corretamente
o conjunto diante do plano inclinado, de maneira que a totalidade do plano fosse
captada pela lente da câmera. Posteriormente, posicionamos a esfera no dispositivo
lançador e gravamos vários movimentos da mesma sobre o plano.
Em seguida, importamos o vídeo dos movimentos da esfera para o Software
Tracker e selecionamos um movimento para ser analisado. Com a análise realizada,
obtivemos uma tabela de dados. Tal tabela foi usada para a elaboração de dois
gráficos de espaço x tempo através do Software SciDAVis.
A partir da confecção dos gráficos, foi possível encontrar a aceleração
resultante do movimento ( 𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃), a aceleração da gravidade (g) e as
componentes da velocidade inicial, (direções x e y) com as suas respectivas
incertezas.
Figura 04: Análises feitas com o auxílio do Software Tracker.

8. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Segue abaixo as Tabelas 01, 02, 03, 04 e 05 que revelam respectivamente:
Os dados obtidos com a realização do experimento e os cálculos das incertezas
envolvidas; O resultado da velocidade inicial e de suas componentes, bem como as
incertezas envolvidas que foram obtidas a partir de cada gráfico; O valor encontrado
para a aceleração resultante e o valor calculado da aceleração da gravidade assim
como das incertezas envolvidas; Tabelas de dados obtidas com o Software Tracker:
Tabela 01
Medida 𝐝 𝐞 (m) 𝐅𝐚𝐢𝐱𝐚 𝐚𝐦𝐚𝐫𝐞𝐥𝐚 (m) Inclinação (º)
1 0,055 0,082 5
σ 0,00005 0,0005 0,1
Tabela 02
Gráficos Componentes 𝐕 𝟎 σ
1 𝐕 𝟎𝐱 (m/s) 0,948791252 0,013807652
2 𝐕 𝟎𝐲 (m/s) 0,035625781 0,053834749
𝐕 𝟎 (m/s) 0,949459865 0,013945007
Tabela 03
Aceleração (m/s²) σ
𝐚𝐱 0 0
𝐚𝐲 0,78016229 0,091824567
g 8,95135836 1,053568749
𝐠 𝐭𝐞ó𝐫𝐢𝐜𝐨 (m/s²) 9,78

9. Tabela 04
Tempo (t) Incerteza (t) Posição (x) Incerteza (x)
0 0,033333333 -2,78E-17 0,0275
0,03333333 0,033333333 0,010036549 0,0275
0,06666667 0,033333333 0,01840034 0,0275
0,1 0,033333333 0,045164471 0,0275
0,13333333 0,033333333 0,07360136 0,0275
0,16666667 0,033333333 0,102038249 0,0275
0,2 0,033333333 0,132147896 0,0275
0,23333333 0,033333333 0,155566511 0,0275
0,26666667 0,033333333 0,187348916 0,0275
0,3 0,033333333 0,212440289 0,0275
0,33333333 0,033333333 0,242549936 0,0275
0,36666667 0,033333333 0,272659584 0,0275
0,4 0,033333333 0,301096473 0,0275
0,43333333 0,033333333 0,332878878 0,0275
0,46666667 0,033333333 0,362988525 0,0275
0,5 0,033333333 0,391425414 0,0275
0,53333333 0,033333333 0,419862303 0,0275
0,56666667 0,033333333 0,456662983 0,0275
0,6 0,033333333 0,488445389 0,0275
0,63333333 0,033333333 0,518555036 0,0275
0,66666667 0,033333333 0,546991925 0,0275
0,7 0,033333333 0,578774331 0,0275
0,73333333 0,033333333 0,615575011 0,0275
0,76666667 0,033333333 0,6440119 0,0275
0,8 0,033333333 0,68081258 0,0275
0,83333333 0,033333333 0,715940502 0,0275
0,86666667 0,033333333 0,752741182 0,0275
0,9 0,033333333 0,787869103 0,0275
0,93333333 0,033333333 0,8280153 0,0275
0,96666667 0,033333333 0,861470463 0,0275
1 0,033333333 0,90161666 0,0275
1,03333333 0,033333333 0,940090098 0,0275
1,06666667 0,033333333 0,978563536 0,0275
1,1 0,033333333 1,023728007 0,0275
1,13333333 0,033333333 1,062201445 0,0275

10. Tabela 05
Tempo (t) Incerteza (t) Posição (y) Incerteza (y)
0 0,033333333 0 0,0275
0,033333333 0,033333333 -0,003345516 0,0275
0,066666667 0,033333333 -0,003345516 0,0275
0,1 0,033333333 -0,008363791 0,0275
0,133333333 0,033333333 -0,015054824 0,0275
0,166666667 0,033333333 -0,020073098 0,0275
0,2 0,033333333 -0,021745856 0,0275
0,233333333 0,033333333 -0,025091373 0,0275
0,266666667 0,033333333 -0,030109647 0,0275
0,3 0,033333333 -0,03680068 0,0275
0,333333333 0,033333333 -0,045164471 0,0275
0,366666667 0,033333333 -0,05520102 0,0275
0,4 0,033333333 -0,063564811 0,0275
0,433333333 0,033333333 -0,070255844 0,0275
0,466666667 0,033333333 -0,080292393 0,0275
0,5 0,033333333 -0,0920017 0,0275
0,533333333 0,033333333 -0,100365491 0,0275
0,566666667 0,033333333 -0,115420315 0,0275
0,6 0,033333333 -0,132147896 0,0275
0,633333333 0,033333333 -0,143857204 0,0275
0,666666667 0,033333333 -0,162257544 0,0275
0,7 0,033333333 -0,168948576 0,0275
0,733333333 0,033333333 -0,192367191 0,0275
0,766666667 0,033333333 -0,204076498 0,0275
0,8 0,033333333 -0,224149596 0,0275
0,833333333 0,033333333 -0,244222694 0,0275
0,866666667 0,033333333 -0,262623034 0,0275
0,9 0,033333333 -0,282696133 0,0275
0,933333333 0,033333333 -0,309460264 0,0275
0,966666667 0,033333333 -0,346260944 0,0275
1 0,033333333 -0,364661284 0,0275
1,033333333 0,033333333 -0,389752656 0,0275
1,066666667 0,033333333 -0,413171271 0,0275
1,1 0,033333333 -0,449971951 0,0275
1,133333333 0,033333333 -0,483427114 0,0275

11. Estão listadas abaixo, todas as equações utilizadas nos cálculos que
envolveram o experimento:
 MÉDIA
𝑛
− 𝑖=1 𝑥𝑖
𝑥=
𝑛
Geralmente, ao se realizar um experimento, várias medidas de um mesmo
objeto em questão são feitas para garantir um intervalo mais preciso da medição.
Por conseguinte, a média representa a melhor estimativa do valor real desejado.
 DESVIO PADRÃO DA MEDIDA
𝑛 −
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑖=1
𝜎=
𝑛−1
Faz-se necessário aplicar o conceito estatístico do desvio padrão da medida,
para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio.
 INCERTEZA DO TIPO A
𝜎
𝜎𝐴 =
𝑛
A incerteza do Tipo A utiliza conceito estatístico que se associa ao valor
médio. É estimado pelo desvio padrão da média e ainda, se torna mais exato,
quanto maior for o número de medidas envolvidas.
 INCERTEZA DO TIPO B
A incerteza do tipo B ou incerteza instrumental é determinada através da
resolução do equipamento utilizado para as medições. No caso de um equipamento
digital, a incerteza de tipo B equivale à menor medida possível do aparelho; para um
equipamento analógico, deve-se dividir o menor valor da escala por dois para obter
a incerteza em questão.

12.  INCERTEZA COMBINADA
𝜎𝐶 = 𝜎𝐴 2 + 𝜎𝐵 2
A incerteza Combinada representa o valor total das incertezas associadas às
medidas, ou seja, relaciona tanto a incerteza do Tipo A quanto a do Tipo B.
 VELOCIDADE INICIAL RESULTANTE
2
𝑉0 = 𝑉0𝑥 2 + 𝑉0𝑦
 FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO (DIREÇÃO X)
x = 𝑣 𝑜𝑥 𝑡
x ≅ 0,95𝑡
 FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO (DIREÇÃO Y)
1
𝑦 = 𝑦 𝑜 + 𝑣 𝑜𝑦 𝑡 −𝑎𝑡²
2
0,78
𝑦 ≅ 0,036𝑡 − 𝑡²
2
 ACELERAÇÃO RESULTANTE
𝑎 = 𝑔𝑆𝑒𝑛𝜃 Onde: g = Aceleração da gravidade;
θ = Ângulo de inclinação do plano.
 ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
𝑎
𝑔=
𝑆𝑒𝑛𝜃
 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS PARA A ACELERAÇÃO DA
GRAVIDADE
2
𝜕𝑔 𝜕𝑔
𝜎𝑔 = . 𝜎 = . 𝜎
𝜕𝑎 𝑎 𝜕𝑎 𝑎

15. O vídeo foi importado para o Software Tracker e em seguida analisado.
Obtivemos duas tabelas de dados. Para a Tabela 04, obteve-se uma coluna para a
posição da esfera na direção do eixo x e outra para o tempo associado em cada
posição. Para a Tabela 05, obteve-se a posição da esfera no sentido do eixo y e o
tempo correspondente para cada posição.
A incerteza adotada para o tempo foi de 1/30 segundos, porque corresponde
ao tempo necessário para a maioria das câmeras registrarem um frame ou quadro.
A incerteza da posição adotada tanto para x quanto para y, foi o raio da esfera, uma
vez que analisamos a trajetória da esfera levando em conta a posição do centro da
mesma para a coleta de dados obtidos com o software Tracker.
Da teoria envolvida no experimento, espera-se que o comportamento do
gráfico espaço (x) x tempo seja uma reta. Uma vez que o movimento da esfera na
direção x é retilíneo uniforme. A previsão teórica para o gráfico espaço (y) x tempo
determina que o mesmo tenha um comportamento parabólico. Uma vez que o
movimento da esfera na direção y é um movimento uniformemente variável (queda
livre).
O valor calculado para a aceleração da gravidade (g) foi de:
𝟖, 𝟗𝟓𝟏𝟑𝟓𝟖𝟑𝟓𝟕 ± 𝟏, 𝟎𝟓𝟑𝟓𝟔𝟖𝟕𝟒𝟗 𝒎/𝒔²
O valor teórico é de 9,78 m/s². Podemos afirmar que este se encontra no intervalo
para o valor calculado de g; e conseqüentemente, podem ser considerados
numericamente iguais dentro da precisão mencionada.

16. 5. CONCLUSÕES
Diante do exposto, fica evidente o sucesso do experimento, porque os
valores obtidos e calculados são compatíveis com a previsão teórica. Foi constatado
através do vídeo e dos gráficos que uma esfera lançada sobre a superfície de um
plano inclinado descreve um movimento parabólico. Nossos cálculos também
provam que dentro da precisão obtida com a realização do experimento, a
aceleração da gravidade atuante no movimento da esfera é compatível com o valor
teórico.

17. 6. BIBLIOGRAFIA
 YOUNG H. D.,FREEDMAN R. A., SEARS F. W., ZEMANSKY M. W., Física,
vol. 1, ed. São Paulo, 2005.
 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl, Fundamentos de
Física 1 - Mecânica, 8ª Edição, Rio de Janeiro: Editora LTC, 2008.
 Faculdade de Ciências - Universidade de Lisboa, Breve História da
Matemática, disponível em:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/brevehistoria.htm, acessado em
26/04/2012.
 Paty ctba, Movimento Parabólico, disponível em:
http://www.e-familynet.com/artigos/articles.php?article=2238, acessado em
27/04/2012.
 Wikipédia, A Enciclopédia Livre, Movimento Parabólico, disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Movimento_parab%C3%B3lico, acessado em
27/04/2012.