Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

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Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I

  1. 1. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Գ ൌ ሼ 0, 1, 2, 3, 4, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ݊ܽ‫.ݏ݅ܽݎݑݐ‬ Ժ ൌ ሼ… െ 3, െ2, െ1, 0, 1, 2, 3, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݋ݎ݅݁ݐ݊ܫ‬ Է ൌ ቄ ‫ݔ‬ ‫א‬ Է ‫ݔ‬⁄ ൌ ௔ ௕ ܽ, ܾ ‫א‬ Ժ , ܾ ് 0 ቅ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݅ܽ݊݋݅ܿܽݎ‬ ുൌ ሼ ‫׊‬ ‫ݔ‬ ‫ב‬ Է ‫ݔ‬⁄ ൌ √2, √3 , √5 య , … ߨ, ݁, … ሽ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ݅‫.ݏ݅ܽ݊݋݅ܿܽݎݎ‬ A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais: a) ଷ ଵ଴ ൌ 0,3 é um decimal finito. b) ଵ ଺ ൌ 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6. c) ସ ଶ ൌ 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional. Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) ߨ ൌ 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. ߨ ൌ ௖௢௠௣௥௜௠௘௡௧௢ ௗ௔ ௖௜௥௖௨௡௙௘௥ê௡௖௜௔ ௗ௜â௠௘௧௥௢ ௗ௔ ௖௜௥௖௨௡௙௘௥ê௡௖௜௔ ൌ 3,1415927 … é ‫ܽ݉ݑ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ ݁ ൌ 2,7182818 … , é ‫ܽ݉ݑ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ ݄ܿܽ݉ܽ݀‫݋‬ ݀݁ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ ݀݁ ‫.ݎ݈݁ݑܧ‬ √2 ൌ 1,4142135 … é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais. Թ ൌ Է ‫׫‬ ‫ܫ‬ ܿ‫݋ݐ݊ݑ݆݊݋‬ ݀‫ݏ݋‬ ݊ú݉݁‫ݏ݋ݎ‬ ‫.ݏ݅ܽ݁ݎ‬ Թ Է ു Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232... c) 1,73205... g) √4 l) 0,5 d) 25 h) - 1,4142... m) ଶ ଷ
  2. 2. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 2 RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos. -6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14... . . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀݁ݑݍݏ‬ ݀݁ 2 logo 1 ൏ 2 ሺെ6ሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ‬ ݀݁ ሺെ5ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ6ሻ ൏ ሺെ5ሻ ሺെ2,3ሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݁‫ܽ݀ݎ݁ݑݍݏ‬ ݀݁ ሺെ1,5ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ2,3ሻ ൏ ሺെ1,5ሻ Em geral ...െ4 ൏ െ3 ൏ െ2 ൏ െ1 ൏ 0 ൏ 1 ൏ 2 ൏ 3 ൏ 4 … *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: ሺെ 1ሻ݁‫ݐݏ‬á ܽ ݀݅‫ܽݐ݅݁ݎ‬ ݀݁ ሺെ4ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺെ 1ሻ ൐ ሺെ4ሻ ൫െ √2 ൯݁‫ݐݏ‬á ܽ ݀݅‫ܽݐ݅݁ݎ‬ ݀݁ ሺെ3,1415 … ሻ ݈‫݋݃݋‬ ሺ െ √2 ሻ ൐ ሺെ3,1415 … ሻ OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: ሺ൅ሻ ൅ ሺ൅ሻ ൌ ሺ൅ሻ ‫ݑ݋‬ ሺെሻ ൅ ሺെሻ ൌ ሺെሻ a) 2 ൅ 9 ൌ 11 c) (െ2 ሻ ൅ ሺെ 9ሻ ൌ െ11 b) 15 ൅ 10 ൌ 25 d) (െ15 ሻ ൅ ሺെ10ሻ ൌ െ25 ‫ܛܑ܉ܖܑ܁‬ ‫:ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍܎ܑ܌‬ subtraem െ se os números e dá െ se o ‫ܔ܉ܖܑܛ‬ ‫ܗ܌‬ ‫ܚܗܑ܉ܕ‬ em módulo ሺ maior algarismoሻ. Exemplos: a) ሺെ3ሻ ൅ 5 ൌ 2 ‫ݏ݅݋݌‬ 5 é ‫݋‬ ݉ܽ݅‫ݎ݋‬ ݈ܽ݃ܽ‫݋݉ݏ݅ݎ‬ ݁ é ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬ b) ሺെ15ሻ ൅ 10 ൌ െ 5 ‫ݏ݅݋݌‬ 15 é ‫݋‬ ݉ܽ݅‫ݎ݋‬ ݈ܽ݃ܽ‫݋݉ݏ݅ݎ‬ ݁ é ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬ ܿሻ 7 ൅ ሺെ3ሻ ൌ 4 ݀ሻ 4 ൅ ሺെ10ሻ ൌ െ 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) െ8 ൅ ሺ 9 ሻ ൌ െ8 ൅ 9 ൌ 1 b) െ8 ൅ ሺെ9ሻ ൌ െ8 െ 9 ൌ െ17c) 12 ൅ ሺെ15ሻ ൌ 12 െ 15 ൌ െ3 O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( െ4ሻ െ ሺ൅ 6ሻ ൌ ሺെ4ሻ െ 6 ൌ െ10 b) െ 16 െ ሺെ20ሻ ൌ െ16 ൅ 20 ൌ 4 c) 9 െ ሺെ10ሻ ൌ 9 ൅ 10 ൌ 19
  3. 3. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 3 MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) ሺ൅ 5ሻ . ሺ൅4ሻ ൌ ൅ 20 b) ሺെ3 ሻ . ሺെ6ሻ ൌ ൅18 ‫ܛܑ܉ܖܑ܁‬ ‫ܛ܍ܜܖ܍ܚ܍܎ܑ܌‬ multiplicam െ se os números e ‫܌‬á െ ‫܍ܛ‬ ‫ܗ‬ ‫ܔ܉ܖܑܛ‬ ൫– ൯ ‫.ܗܞܑܜ܉܏܍ܖ‬ Exemplo: a) ሺ൅8ሻ . ሺെ5ሻ ൌ െ40 b) ሺെ1,5ሻ. ሺ൅10ሻ ൌ െ15 DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação. Exemplo: ൅ଷହ ାହ ൌ ൅ 7 ሺିସሻ ሺିଽሻ ൌ ൅ ସ ଽ ଶଵ ሺ ି଻ሻ ൌ െ 3 ሺିଵ଼ሻ ଷ ൌ െ 6 QUADRO DE SINAIS . : ൅ െ ൅ ൅ െ െ െ ൅ Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) 27 ൅ 20 ൌ e) ሺെ15ሻ െ ሺെ15ሻ ൌ b) 65 െ 30 ൌ f) 23 ൅ ሺെ45ሻ ൌ c) ሺെ41ሻ ൅ 39 ൌ ݃ሻ ሺെ90ሻ െ ሺ90ሻ ൌ d) 87 െ ሺെ7ሻ ൌ h) ሺെ1ሻ െ ሺെ1ሻ ൌ ൅ െ Adição Somar Subtrair ൅ ‫݈ܽ݊݅ݏ‬ ൅ Sinal do maior em módulo Subtrair Somar െ Sinal do maior ‫݈ܽ݊݅ݏ‬ െ em módulo Respostas a) 47 b) 35 c) െ2 d) 94 e) 0 f) െ22 g) െ180 h) 0
  4. 4. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica: a ) ሼ5 ൅ ሾ4 െ 6ሺെ1 ൅ 3ሻ ൅ ଵ଴ ଶ ( 2 െ4 ሻሿሽ ൅ 1 ൌ b ) െሼ െ6 ൅ 4 .3 െ ሾ 5 െ ሺ1 െ 9ሻሿሽ {5 ൅ ሾ4 െ 6ሺ 2ሻ ൅ 5ሺെ2 ሻሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 5 െ ሺെ8ሻሿሽ ൌ ሼ5 ൅ ሾ4 െ 12 െ 10ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 5 ൅ 8ሿሽ ൌ ሼ5 ൅ ሾെ8 െ 10ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ ሾ 13ሿሽ ൌ ሼ5 ൅ ሾെ18ሿሽ ൅ 1 ൌ െሼെ6 ൅ 12 െ 13ሽ ൌ ሼ5 െ 18ሽ ൅ 1 ൌ െሼെ7 ሽ ൌ 7 െ13 ൅ 1 ൌ െ12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo: a ) 20 ൅ ሺെ9 ൅ 12ሻ െ ሺെ15 ൅ 20ሻ ൌ b ) 2 െ ൛െ11 ൅ ൣ ሺ17— 12ሻ ൅ 10൯ െ 3 ൧ ሽ ൌ c ) 55 ൅ ሺെ10ሻ. ሺെ4ሻ െ ሾെ2 െ ൫6 ‫׷‬ ሺെ3ሻ൯ ൅ 2ሿ ൌ d ) 31 ൅ ሺെ40ሻ: 2 െ ሾ ሺെ9 ൅ 9ሻ െ 7 ሿ ൌ e) െሾ 9 ൅ ଼ଵ ଽ + 4 ሺെ4ሻ ൅ ሺെ19 െ 1ሻሿ ൌ f) 10 െ ሾ 6 െ ሺ9 െ 4ሻ ሿ . ሾ ሺെ2ሻ 5 ሿ ൌ g) 60 ‫׷‬ ሺെ5ሻ െ ൫െ1 ሺെ1ሻ൯ ൅ 13 ൌ h) ହ ା ଺ሺିସሻ ି ଽሺିଶሻ ିଶ ൌ i) ሺି ଼ሻ ଵସ ି ଼ . ଶ ା ସ ൌ j) ଶ ି ଺ . ଷ ି ଶሺିଶሻ ସ ା ଷሺିଶሻ ൌ Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h) ଵ ଶ i) െ4 j) 6
  5. 5. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 5 FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b് 0, quando escritos na forma ௔ ௕ representam uma fração. ௔ ௕ = ே௨௠௘௥௔ௗ௢௥ ஽௘௡௢௠௜௡௔ௗ௢௥ ሺ് ଴ሻ ܱ ݀݁݊‫ݎ݋݀ܽ݊݅݉݋‬ ‫݉݁ݐ‬ ‫݁ݑݍ‬ ‫ݎ݁ݏ‬ ݂݀݅݁‫݁ݐ݊݁ݎ‬ ݀݁ ‫݋ݎ݁ݖ‬ ሺ ݊‫ݏ݋‬ Թ݁ܽ݅‫ݏ‬ ݊ã‫݋‬ ݁‫݁ݐݏ݅ݔ‬ ݀݅‫ݏ݅ݒ‬ã‫݋‬ ‫ݎ݋݌‬ ‫݋ݎ݁ݖ‬ሻ. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será: Exemplo de frações: ଵ ଶ ; െ ଶ ଷ ; ଻ ଵହ ; ଵ ଵ଴଴ ; െ ଺ ହ ; ସ ସ ; ଻ ଵ ; ଴ ସ ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador. Exemplo: ଶ ଷ ൅ ଵ଴ ଷ െ ଺ ଷ ൌ ଶ ା ଵ଴ ି଺ ଷ ൌ ଺ ଷ ൌ 2 ଵ ହ െ ଽ ହ ൅ ସ ହ ൌ ଵ – ଽ ା ସ ହ ൌ ିସ ହ ൌ െ ସ ହ Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2 Exemplo: ଶ ଷ െ ଷ ହ ൅ ଵ ଶ ൌ ଶ଴ିଵ଼ାଵହ ଷ଴ ൌ ଶ଴ିଵ଼ାଵହ ଷ଴ ൌ ଵ଻ ଷ଴ 3- 5- 1 3 1- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30 ଷ ସ ൅ ହ ଼ ൅ ଵ ଶ ൌ ଺ ା ହ ା ସ ଼ ൌ ଵହ ଼ m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo: ହ ଼ . ଶ ଷ ൌ ହ . ଶ ଼ . ଷ ൌ ଵ଴ ଶସ ൌ ହ ଵଶ ൌ 0,42 ଶ ହ . ଷ ସ . ሺെ ଵ ଺ ) = ଶ . ଷ ሺିଵሻ ହ . ସ . ଺ ൌ ሺି଺ሻ ଵଶ଴ ൌ െ ଵ ଶ଴ 3 5
  6. 6. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 6 NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador. O Inverso de ହ ଼ é ଼ ହ O Inverso de 1 2 é ଶ ଵ ൌ 2 O Inverso de ଶ ଷ é ଷ ଶ O Inverso de ଻ ଶ é ଶ ଻ *O número zero não admite inverso: o inverso de ଴ ଵ é ଵ ଴ nos Թ݁ܽ݅‫ݏ‬ não existe divisão por zero. DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo: a) ଶ ହ : ଷ ଻ ൌ ଶ ହ . ଻ ଷ ൌ ଶ . ଻ ହ . ଷ ൌ ଵସ ଵହ b) ల ళ మ య ൌ ଺ ଻ . ଷ ଶ ൌ ଺ . ଷ ଻ . ଶ ൌ ଵ଼ ଵସ ൌ ଽ ଻ c) ଵହ మ య ൌ 15 . ଷ ଶ ൌ ଵହ . ଷ ଶ ൌ ସହ ଶ Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas: a) ଶ ଷ . ସ ଻ ൅ ହ ଶ : ଵ ସ ൌ ଶ.ସ ଷ.଻ ൅ ହ ଶ . ସ ଵ ൌ ଼ ଶଵ ൅ ଶ଴ ଶ ൌ ଼ ଶଵ ൅ ଵ଴ ଵ ൌ ଼ ଶଵ ൅ ଶଵ.ଵ଴ ଶଵ ൌ ଼ାଶଵ଴ ଶଵ ൌ ଶଵ଼ ଶଵ b) 1 2 ൅4 1െ 3 2 ൌ 1 2 ൅ 8 2 2 2 െ 3 2 ൌ 9 2 െ 1 2 ൌ 9 2 . ቀെ ଶ ଵ ቁ ൌ െ ଵ଼ ଶ ൌ െ 9 c) య ఴ ା భల ఱ . భఱ ర వవ ర ൌ య ఴ ା భల . భఱ ఱ . ర వవ ర ൌ య ఴ ା ర . య భ . భ వవ ర ൌ య ఴ ା భమ భ వవ ర ൌ య ఴ ା వల ఴ వవ ర ൌ ൌ వవ ఴ వవ ర ൌ ଽଽ ଼ . ସ ଽଽ ൌ ଽଽ . ସ ଼ . ଽଽ ൌ ଵ . ଵ ଶ . ଵ ൌ ଵ ଶ
  7. 7. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo: a) ଵି మ య ା ర ఱ ି భళ భఱ ൌ b) 9 10 . 5 3 ൅ 8 3 െ 2 1 5 ൌ c) ቀ ଷ ସ ൅ ଶ ଷ െ ଻ ଶ ቁ : ሺെ ହ ଵଶ ሻ ൌ d) ଻ భ మ ା భ ఱ ൌ e) 7 (െ ସ ଻ ൅ 7 ) ൌ f) ሺെ ଶ ଽ െ ଶ . ସ ଷ ሻ 18 ൌ Respostas: aሻ െ 1 bሻ െ 0,033 … cሻ 5 dሻ 10 e) 45 f) െ52
  8. 8. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 8 POTENCIAÇÃO: Potência de um Número Natural: Seja ࢇ ‫א‬ Թ, chama-se Potência de base ࢇ e expoente ࢔, ࢔ ‫א‬ Գ, ࢔ ൒ ૛, o número ࢈ ൌ ࢇ࢔ que é o produto de ࢔ ݂ܽ‫ݏ݁ݎ݋ݐ‬ iguais a ࢇ. ܽ௡ ൌ ܽ. ܽ. ܽ. ܽ … ܽ ൌ ܾ onde ܽ ൌ ܾܽ‫݁ݏ‬ ݊ ൌ ݁‫݁ݐ݊݁݋݌ݔ‬ ܾ ൌ ‫ݐ݋݌‬ê݊ܿ݅ܽ Exemplos: a) 4ଶ ൌ 4 . 4 ൌ 16 b) ሺെ2ሻଷ ൌ ሺെ2ሻ . ሺെ2ሻ . ሺെ2ሻ ൌ െ8 c) ߨଶ ൌ ߨ . ߨ ؆ ሺ 3,14ሻ. ሺ 3,14ሻ ؆ 9,87 d) ሺെ3ሻଷ ൌ ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ ൌ െ27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) ሺെ3ሻସ ൌ ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ. ሺെ3ሻ ൌ 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: ሺെ6ሻଶ ് െ 6ଶ , pois ሺെ6ሻ . ሺെ6ሻ ് െ 6 . 6 36 ് െ36 Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0 ሺ‫݋ݎ݁ݖ‬ሻ,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos: 5଴ ൌ 1 ሺെ1ሻ଴ ൌ 1 0଴ ൌ ? ሺ݅݊݀݁‫ܽ݊݅݉ݎ݁ݐ‬çã‫݋‬ ) ሺെ3ሻ଴ ൌ 1 1଴ ൌ 1 ቀ ଶ ହ ቁ ଴ ൌ 1 ሺെ0,25ሻ଴ = 1 Qualquer número elevado ao expoente 1 ሺ‫ݐ݅݊ݑ‬á‫݋݅ݎ‬ሻ é igual ao próprio número. Exemplos: 3ଵ ൌ 3 ሺെ9ሻଵ ൌ െ 9 0ଵ ൌ 0 1ଵ ൌ 1 ቀ ଷ ଻ ቁ ଵ ൌ ଷ ଻ Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 10଴ ൌ ܾሻ 1ଵ଴ ൌ c) 10ଵ ൌ d) ሺെ3ሻଷ ൌ e) ሺെ2ሻସ ൌ f) ሺെ8ሻଵ ൌ g) ሺെ1ሻ଴ ൌ
  9. 9. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 9 Inverso da Potência: Sejam ܽ ‫א‬ Թ‫כ‬ , ሺܽ ് 0ሻ, o inverso de ܽ௡ representado por ܽି௡ ൌ ଵ ௔೙ Exemplos: a) 5ିଶ ൌ ଵ ହమ ൌ ଵ ଶହ d) ሺെ3ሻିଶ ൌ ଵ ሺିଷሻమ ൌ ଵ ଽ b) 2ିଵ ൌ ଵ ଶభ ൌ ଵ ଶ e) ሺെ3ሻିଷ ൌ ଵ ሺିଷሻయ ൌ ଵ ିଶ଻ ൌ െ 1 27 c) 1ିଵ ൌ ଵ ଵభ ൌ 1 f ) 2ିସ ൌ ଵ ଶర ൌ ଵ ଵ଺ PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam ܽ, ܾ ‫א‬ Թ ݁ ݉ , ݊ ‫א‬ Գ , tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes. ܽ௠ . ܽ௡ ൌ ܽ௠ା௡ a) 3ଶ . 3ଷ ൌ 3ଶାଷ ൌ 3ହ ൌ 243 b) 2ଷ . 2ଶ . 2 ൌ 2ଷାଶାଵ ൌ 2଺ ൌ 64 c) 10ଶ . 10ିଷ . 10ସ ൌ 10ଶ ି ଷ ା ସ ൌ 10ଷ d) ሺെ5ሻଶ . ሺെ5ሻହ . ሺെ5ሻି଺ ൌ ሺെ5ሻଶାହି଺ ൌ ሺെ5ሻଵ ൌ െ5 # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. ܽ௠ ‫׷‬ ܽ௡ ൌ ܽ௠ି௡ a) 6ଷ ‫׷‬ 6ସ ൌ 6ଷିସ ൌ 6ିଵ ൌ ଵ ଺భ ൌ ଵ ଺ b) ସఱ ସయ = 4ହିଷ ൌ 4ଶ ൌ 16 c) ଻ర ଻ల = 7ସ ି ଺ ൌ 7ିଶ ൌ 1 7 2 ൌ 1 49 e) ଶమ ଶషయ = 2ଶ –ሺି ଷሻ ൌ 2ଶାଷ ൌ 2ହ ൌ 32
  10. 10. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 10 # A potência do produto é igual ao produto das potências. ሺ ܽ . ܾ ሻ௡ ൌ ܽ௡ . ܾ௡ a) ሺ 7 . ‫ݔ‬ ሻଶ ൌ 7ଶ . ‫ݔ‬ଶ ൌ 49 ‫ݔ‬ଶ b) ሺെ2 . ‫ݐ‬ሻଷ ൌ െ 2ଷ . ‫ݐ‬ଷ ൌ െ 8 . ‫ݐ‬ଷ # A potência do quociente é igual ao quociente das potências. ቀ ௔ ௕ ቁ ௡ ൌ ௔೙ ௕೙ a) ቀ ହ ଺ ቁ ଷ ൌ ହయ ଺య ൌ ଵଶହ ଶଵ଺ ؆ 0,58 b) ቀ ଷ ସ ቁ ିଷ ൌ ଷషయ ସషయ ൌ భ యయ భ రయ ൌ ଵ ଶ଻ . ଺ସ ଵ ൌ ଺ସ ଶ଻ c) ቀെ ௫ ହ ቁ ଶ ൌ ൅ ௫మ ହమ ൌ ௫మ ଶହ # A potência de uma potência é igual ao produto das potências. ሺܽ௠ ሻ௡ ൌ ܽ௠ . ௡ a) ሺ‫ݔ‬ଶሻଷ ൌ ‫ݔ‬ଶ.ଷ ൌ ‫ݔ‬଺ b) ሺ 2ଶ . ‫ݐ‬ିଵ ሻଶ ൌ ሺ2ଶሻଶ . ሺ‫ݐ‬ିଵ ሻଶ ൌ 2ସ . ൌ 16 . ‫ݐ‬ିଶ Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números ܽ, ܾ ‫א‬ Թ, ሺܽ, ܾ ൐ 0ሻ, ௣ ௤ , ௥ ௦ ‫א‬ Է. P1 ) ܽ ೛ ೜ . ܽ ೝ ೞ ൌ ܽ ೛ ೜ ା ೝ ೞ P2 ) ܽ ೛ ೜ ‫׷‬ ܽ ೝ ೞ ൌ ܽ ೛ ೜ ି ೝ ೞ P3 ) ሺܽ . ܾሻ ೛ ೜ ൌ ܽ ೛ ೜ . ܾ ೛ ೜ P4 ) ሺܽ ‫׷‬ ܾሻ ೛ ೜ ൌ ܽ ೛ ೜ ‫׷‬ ܾ ೛ ೜ ou ቀ ௔ ௕ ቁ ೛ ೜ ൌ ௔ ೛ ೜ ௕ ೛ ೜ P5 ) ሺܽ ೛ ೜ ሻ ೝ ೞ ൌ ܽ ೛ ೜ . ೝ ೞ
  11. 11. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência: a) 9ହ . 9ିହ ൌ b) 10ସ . 10ି଺ ൌ c) 12଴ . 12ଵ . 12െ1 ൌ d) ቀ ଵ ଼ ቁ ଶ ൅ 8ିଶ ൌ e) ቀെ ଵ ଷ ቁ ଶ െ ቀെ 1 2 ቁ 3 ൌ f) ሾሺെ3‫ݔ‬ ሻଷ ൅ ሺെ3ሻଶ ‫ݔ‬ଷሿ ‫׷‬ ሺെ2ሻ‫ݔ‬ଷ ൌ g) ሺܾܽሻସ ‫׷‬ ሺܾܽሻିସ ൌ h) ሺ2ଶሻିଵ െ ሺ4ିଵሻଶ ൌ i) 10ସ . 10ିଶ . 10ିଷ ൌ j) 10଺ : ሾ10ସ . 10ିଵ ሿ ൌ l) ଵ଴షయ. ଵ଴ళ ሺଵ଴మሻయ ൌ m) ଵ଴షమ: ଵ଴య ሺଵ଴మሻషయ ൌ Respostas: a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32ൗ e) 17 72ൗ f) 9 g) ሺܾܽሻ 8 h) ଷ ଵ଺ i) 0,1 j) 10ଷ l) 0,01 m) 10
  12. 12. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 12 RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo ࢇ e um número natural ݊, ݊ ൒ 1, chama-se ‫ݖ݅ܽݎ‬ ݁݊é‫ܽ݉݅ݏ‬ ܽ‫݉ݐ݅ݎ‬é‫ܽܿ݅ݐ‬ ݀݁ ࢇ ‫݋‬ ݊ú݉݁‫݋ݎ‬ ‫݈ܽ݁ݎ‬ ݁ ݊ã‫݋‬ ݊݁݃ܽ‫݋ݒ݅ݐ‬ ࢈ (b൒ ૙ሻ tal que ܾ௡ ൌ ܽ, ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬ √ࢇ ࢔ ൌ ࢈ ֞ ࢈࢔ ൌ ࢇ onde √ ՜ ‫݈ܽܿ݅݀ܽݎ‬ ܽ ՜ radicando , ࢇ ൒ ૙ ܾ ՜ raiz , ࢈ ൒ ૙ ݊ ՜ í݊݀݅ܿ݁ ݀‫݋‬ ‫,݈ܽܿ݅݀ܽݎ‬ ࢔ ൒ ૚ ࢋ ࢔ ‫א‬ Գ √ܽ ൌ √ܽ మ ݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽ݀ܽݎ݀ܽݑݍ‬ ݀݁ ܽ √ܽ 3 ݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ ܽ √ܽ 4 ݈ê െ ‫݁ݏ‬ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐݎܽݑݍ‬ ݀݁ ܽ Exemplos: a) √16 ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଶ ൌ 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16? Resposta: O número é 4, pois 4ଶ ൌ 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 ൌ 4 b) √8 య ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ ൌ 8 ‫׵‬ √8 య ൌ 2 ฻ 2ଷ ൌ 8, portanto 2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 8. c) √1 ఱ ൌ ? ֞ ሺ ? ሻହ ൌ 1 ‫׵‬ √1 ఱ ൌ 1 ฻ 1ହ ൌ 1 , portanto 1 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ 1. d) √16 ర ൌ 2 ฻ 2ସ ൌ 16 portanto 2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐݎܽݑݍ‬ ݀݁ 16. Índice Par : Quando ‫݋‬ í݊݀݅ܿ݁ ࢔ ݂‫ݎ݋‬ ܲ‫ܴܣ‬ a restrição é que ܽ ൒ 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo. √െ16 ൌ ‫׍‬ ሺ ݊ã‫݋‬ ݁‫݁ݐݏ݅ݔ‬ሻ݊‫ݏ݋‬ Թ ‫݉ݑ‬ ݊º ‫݁ݑݍ‬ ݈݁݁‫݋݀ܽݒ‬ ܽ‫݋‬ ‫݋݀ܽݎ݀ܽݑݍ‬ ‫݁ݐ݈ݑݏ݁ݎ‬ ሺെ16ሻ. Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo. a) √െ 8 3 ൌ ? ֞ ሺ ? ሻଷ ൌ െ8 ‫׵‬ √െ8 3 ൌ െ2 ฻ ሺെ2ሻଷ ൌ െ8, portanto െ2 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ܿúܾ݅ܿܽ ݀݁ െ 8. b) √െ243 ఱ ൌ െ3 ฻ ሺെ3ሻହ ൌ െ243, portanto െ3 é ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫ܽݐ݊݅ݑݍ‬ ݀݁ െ 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo: a) √0 ൌ b) √1 ൌ c) √ 81 4 ൌ d) √െ 27 3 ൌ e) √െ4 ൌ f) √െ16 4 ൌ
  13. 13. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 13 Propriedades da radiciação: a, b ‫א‬ Թା +, ܽ , ܾ ൒ 0, ݉ ‫א‬ Ժ , ሺ݊, ‫݌‬ ൒ 2ሻ ‫א‬ Գ. P1 ) √ܽ௠೙ ൌ √ܽ௠.௣೙.೛ Ex.: √‫ݔ‬ଶ3 ൌ √‫ݔ‬ଶ.ହ3.5 ൌ √‫ݔ‬ଵ଴15 P2 ) √ܽ. ܾ ೙ ൌ √ܽ ೙ . √ܾ ೙ Ex.: ඥ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ . ඥ‫ݕ‬ P3 ) ට ௔ ௕ ೙ ൌ √௔ ೙ √௕ ೙ ሺܾ ് 0ሻ Ex.: ට ଼ ଶ଻ య ൌ √଼ య √ଶ଻ య ൌ ଶ ଷ P4 ) ൫ √ܽ ೙ ൯ ௠ ൌ √ܽ௠೙ Ex.: ൫√ܽ 3 ൯ ଷ ൌ √ܽଷ3 ൌ ܽ P5 ) ඥ √ܽ ೙೛ ൌ √ܽ ೛.೙ Ex.: ඥ√5 మ3 ൌ √5 3.2 ൌ √5 6 Potência de expoente racional: Sejam os números ܽ ‫א‬ Թା, ሺܽ ൐ 0ሻ, ‫݌‬ ‫א‬ Ժ , ‫ݍ‬ ‫א‬ Գ , ‫ݍ‬ ൒ 1, ݄ܿܽ݉ܽ െ ‫݁ݏ‬ ܲ‫ݐ݋‬ê݊ܿ݅ܽ ݀݁ ܾܽ‫݁ݏ‬ ࢇ ݁ ݁‫݁ݐ݊݁݋݌ݔ‬ ࢖ ࢗ ܽ ‫ݖ݅ܽݎ‬ ‫݁ݑݍ‬é‫ܽ݉݅ݏ‬ ܽ‫݉ݐ݅ݎ‬é‫ܽܿ݅ݐ‬ ݀݁ ܽ௣ . ܽ ೛ ೜ ൌ √ܽ௣೜ Exemplos: a) 25 1 2 ൌ √25ଵమ ൌ √25 ൌ 5 b) 8 1 3 ൌ √8ଵ3 ൌ 2 c) 2 3 2 ൌ √2ଷమ ൌ √8 √ܽ௣೜ ൌ ܽ ೛ ೜ quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar. Exemplos: a) √5ଶమ ൌ 5 మ మ ൌ 5ଵ ൌ 5 b) √7ଶమ ൌ 7 c) √4ଷ3 ൌ 4 d) √5ଶ6 ൌ √5ଵ3 ൌ √5 3 e) √5ଶ6 ൌ √5ଵ3 ൌ √5 3 f) √9ଵସ7 ൌ √9ଶ1 ൌ 9ଶ ൌ 81 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais: a) √െ27 3 ൅ √8 3 ൌ b) ඥ3126 െ ඥ533 ൌ c) √0 ൅ √1 ൅ √4ଷ3 – ቀ √2 4 ቁ ସ ൌ Respostas a) െ1 b) 4 c) 3
  14. 14. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 14 POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência. 10௡ ൌ ܾ 10ଵ଼ ൌ 1 000 000 000 000 000 000 ሺ ݁‫ܽݔ‬ ሻ ‫ܧ‬ 10ଵହ ൌ 1 000 000 000 000 000 ሺ ‫ܽݐ݁݌‬ ሻ ܲ 10ଵଶ ൌ 1 000 000 000 000 ሺ ‫ܽݎ݁ݐ‬ ሻ ܶ 10ଽ ൌ 1 000 000 000 ሺ ݃݅݃ܽ ሻ ‫ܩ‬ 10଺ ൌ 1 000 000 ሺ ݉݁݃ܽ ሻ ‫ܯ‬ 10ଷ ൌ 1 000 ሺ ‫݋݈݅ݑݍ‬ ሻ ݇ 10ଶ ൌ 100 ሺ ݄݁ܿ‫݋ݐ‬ ሻ ݄ 10ଵ ൌ 10 ሺ ݀݁ܿܽ ሻ ݀ܽ 10ିଵ ൌ 0,1 ሺ ݀݁ܿ݅ ሻ ݀ 10ିଶ ൌ 0,01 ሺ ܿ݁݊‫݅ݐ‬ ሻ ܿ 10ିଷ ൌ 0,001 ሺ ݈݉݅݅ ሻ ݉ 10ି଺ ൌ 0,000 001 ሺ ݉݅ܿ‫݋ݎ‬ ሻ ߤ 10ିଽ ൌ 0,000 000 001 ሺ ݊ܽ݊‫݋‬ ሻ ݊ 10ିଵଶ ൌ 0,000 000 000 001 ሺ ‫݋ܿ݅݌‬ ሻ ‫݌‬ 10ିଵହ ൌ 0,000 000 000 000 001 ሺ ݂݁݊‫݋ݐ‬ ሻ ݂ 10ିଵ଼ ൌ 0,000 000 000 000 000 001 ሺ ܽ‫݋ݐݐ‬ ሻ ܽ Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos: a) 0,5 ൌ 5 10 ൌ 5 101 ൌ 5. 10ିଵ b) 0,05 ൌ 5 100 ൌ 5 102 ൌ 5. 10ିଶ c) 0,005 ൌ 5 1000 ൌ 5 103 ൌ 5. 10ିଷ Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o expoente da potência de 10 diminui ૚૙ି૚ , ૚૙ି૛ , ૚૙ି૜ , … na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. ܰº . 10௡ Exemplos: a) 1,7 ൌ 1,7. 10଴ ൌ 17 . 10଴ିଵ ൌ 17 . 10ିଵ deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 ൌ 2,45. 10଴ ൌ 245 . 10଴ିଶ ൌ 245 . 10ିଶ deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84,052 ൌ 84052 . 10ିଷ Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais
  15. 15. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 15 Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o expoente da potência de 10 aumenta ૚૙૚ , ૚૙૛ , ૚૙૜ , … na mesma ordem do deslocamento da vírgula. Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. ܰº . 10௡ Exemplos: a) 17 ൌ 17 . 10଴ ൌ 1,7 . 10଴ାଵ ൌ 1,7 . 10ଵ deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 ൌ 2,45 . 10ଶ deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 10ଶ ൅ 4 . 10ଶ ൌ ሺ 5 ൅ 4 ሻ10ଶ ൌ 9 . 10ଶ expoentes iguais b) 29. 10ିଷ െ 1. 10ିଷ ൌ ሺ29 െ 1ሻ10ିଷ ൌ 28. 10ିଷ c) 1 .10ିଶ ൅ 3 . 10ିଶ െ 7 . 10ିଶ ൌ ሺ1 ൅ 3 െ 7 ሻ. 10ିଶ ൌ െ 3 . 10ିଶ d) 10ସ + 10ସ ൅ 10ସ ൌ 1. 10ସ ൅ 1. 10ସ ൅ 1. 10ସ ൌ ሺ1 ൅ 1 ൅ 1ሻ10ସ ൌ 3 . 10ସ Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6 . 10ଷ ൅ 4 . 10ଶ ൌ 60 . 10ଶ ൅ 4 . 10ଶ ൌ ሺ 60 ൅ 4 ሻ10ଶ ൌ 64 . 10ଶ transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 10ଷ ൌ 60. 10ଶ b) 0, 29 . 10ିଵ െ 147. 10ିଷ ൌ 29 . 10ିଵିଶ െ 147. 10ିଷ ൌ 29. 10ିଷ െ 147. 10ିଷ ൌ െ118 . 10ିଷ expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09 .10ିଵ ൅ 10ିଶ െ 3 . 10ିଷ ൌ 9 .10ିଵିଶ ൅ 10 .10ିଶିଵ െ 3 . 10ିଷ ൌ 9 .10ିଷ ൅ 10.10ିଷ െ 3 . 10ିଷ ൌ 16. 10ିଷ expoentes diferentes expoentes iguais
  16. 16. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 16 Exercícios Propostos: a) 15 . 10ଷ ൅ 13 . 10ଷ ൌ b) 21 . 10ଶ െ 10ଶ ൌ c) 44 . 10ସ ൅ 4 . 10ସ െ 8 . 10ସ ൌ d) 666 . 10଺ ൅ 2220 . 10ହ ൌ e) െ5,9 . 10ିଶ ൅ 9 . 10ିଷ ൌ f) 6 . 10ଷ െ 10ଷ ൅ 40 . 10ଶ ൌ Respostas a) 28 . 10ଷ b) 20 . 10ଶ c) 40 . 10ସ d) 888 . 10଺ e) െ50 . 10ିଷ f) 9 . 10ଷ Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) 4. 10ହ . 2. 10ିଶ ൌ 4 . 2 .10ହିଶ ൌ 8 . 10ଷ b) 8. 10ି଺ . ሺെ 3. 10ସ ሻ ൌ 8 . (-3) .10ି଺ାସ ൌ െ24 . 10ିଶ c) 7. 10ହ . 10ିଶ . 2. 10ିଷ ൌ 7.1.2 .10ହିଶିଷ ൌ 14. 10଴ ൌ 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos: a) ସ . ଵ଴ఱ ଶ . ଵ଴షమ ൌ ସ ଶ .10ହିሺିଶሻ ൌ 2 . 10଻ b) ଶସ . ଵ଴షల ସ .ଵ଴య ൌ ଶସ ସ . 10ି଺ିଷ ൌ 6 . 10ିଽ c) ହ . ଵ଴య ଽ .ଵ଴షభ ൌ ହ ଽ . 10ଷିሺିଵሻ ൌ 0,56 . 10ସ d) ଶହ.ଵ଴మାଵ଴మ ଴,ଵ.ଵ଴షర . ଶ.ଵ଴షయ ൌ ሺଶହାଵሻ.ଵ଴మ ሺ଴,ଵሻ.ଶ .ଵ଴షరషయ ൌ ଶ଺.ଵ଴మ ଴,ଶ.ଵ଴షళ ൌ ଶ଺ ଴,ଶ . 10ଶା଻ ൌ 130 . 10ଽ
  17. 17. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 17 Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10: a) 23. 10ିହ ൅ 0,023. 10ିଶ ൌ b) 99 . 10ଷ െ 89. 10ଷ ൅ 90 . 10ଶ ൌ c) ଶ .ଵ଴మା ଷ,ଷ .ଵ଴య ିଵଵ .ଵ଴షర ା ଶଵ. ଵ଴షర ൌ d) 48 .10 7 ൅2 .10 7, 10 6 ൅ 4 .10 6 ൌ e) ଵ ଶ . 10଻ ൅ ଶ ଷ . 10଻ ൌ f) 2 ሺ 2.10଺ െ 4. 10଺ ሻ ൅ 5 ሺ 2 . 10ହ ൅ 10ହሻ ൌ g) ଷ ହ . 10ସ െ ଵ ଶ . 10ଷ ൌ h) െ 1 4 . 10ିଶ ൅ ଶ ଷ . 10ିଷ ൅ 10ିଷ ൌ Respostas: a) 46. 10ିହ b) 19. 10ଷ c) 35. 10ହ d) 10ଶ e) 1,17.10଻ fሻ െ 25. 10ହ g) 5,5. 10ଷ h) െ0,83. ..
  18. 18. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 18 POLINÔMIOS: Monômio: Na variável ‫ݔ‬ é uma expressão do tipo ࢇ ࢞࢔ onde ࢇ ൌ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫,݋‬ ࢇ ‫א‬ ԧ. ࢔ ൌ ݃‫ݑܽݎ‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫,݋‬ ࢔ ‫א‬ Գ. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo: a) 4 ‫ݔ‬ଶ é um monômio na variável ‫ݔ‬ de 4 ൌ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬ 2 ൌ ݃‫ݑܽݎ‬ ݀‫݋‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬ ‫׵‬ ݉‫݊݋‬ô݉݅‫݋‬ é ݀݁ 2º ݃‫ݑܽݎ‬ b) 6 ‫ݕ‬ é um monômio na variável ‫ݕ‬ de coeficiente 6 e grau 1. c) ହ ଶ ‫ݐ‬ é um monômio na variável ‫ݐ‬ de coeficiente 5 2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau. f) 8‫ݔ‬ିଶ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e െ૛ ‫א‬ Գ. g) 3‫ݔ‬ଵ ଶ⁄ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ૚ ૛ ‫א‬ Գ. POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável. Pሺxሻ ൌ ܽ௡‫ݔ‬௡ ൅ ܽ௡ିଵ‫ݔ‬௡ିଵ ൅ ܽ௡ିଶ‫ݔ‬௡ିଶ ൅ ‫ڮ‬ ൅ ܽଶ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ଴ Os números complexos ( ܽ௡, ܽ௡ିଵ, ܽ௡ିଶ, … , ܽଶ, ܽଵ, ܽ଴ሻ ‫ݏ‬ã‫݋‬ ‫ݏ݋‬ ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ݀‫݋‬ ‫݈݊݅݋݌‬ô݉݅‫݋‬ de variável ‫ݔ‬ e ࢔ ‫א‬ Գ. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) 3‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ െ 1 é um polinômio de 2º grau de variável ‫ݔ‬ e coeficiente 3. b) 12‫ݐ‬ െ 5 é um polinômio de 1º grau de variável ‫ݐ‬ e coeficiente 12. c) 9‫ݔ‬ଷ ൅ 2‫ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ ൅ 7 é um polinômio de 3º grau de variável ‫ݔ‬ e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) 2‫ݔ‬ସ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ 3‫ݔ‬ଶ ൅ 8‫ݔ‬ െ 1 b) െ4‫ݐ‬ଶ ൅ ‫ݐ‬ െ 1 c) ܾܽ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ‫ݔ‬ െ ܾ
  19. 19. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 19 Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo a) 3‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ െ 1 ൅ 9‫ݔ‬ଷ ൅ 2‫ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ ൅ 7 ൌ 9‫ݔ‬ଷ ൅ ሺ3 ൅ 2ሻ‫ݔ‬ଶ ൅ ሺ2 െ 3ሻ‫ݔ‬ െ 1 ൅ 7 ൌ ૢ࢞૜ ൅ ૞࢞૛ െ ࢞ ൅ ૟ b) 7‫ݔ‬ଷ െ 5‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 െ ሺ െ‫ݔ‬ଷ ൅ 2‫ݔ‬ଶ െ 4‫ݔ‬ ൅ 3ሻ ൌ trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses. 7‫ݔ‬ଷ െ 5‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ ൅ 1 ൅ ‫ݔ‬ଷ െ 2‫ݔ‬ଶ ൅ 4‫ݔ‬ െ 3 ൌ somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau. 8‫ݔ‬ଷ െ 7‫ݔ‬ଶ ൅ 6‫ݔ‬ െ 2 Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva: ሺܽ ൅ ܾሻ. ሺ ܿ ൅ ݀ሻ ൌ ܽ . ܿ ൅ ܽ . ݀ ൅ ܾ. ܿ ൅ ܾ. ݀ Exemplo: a) ሺ2‫ݔ‬ ൅ 5ሻ . ሺ‫ݔ‬ െ 1ሻ ൌ 2‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ െ 2‫.ݔ‬ 1 ൅ 5. ‫ݔ‬ െ 5.1 ൌ 2‫ݔ‬ଶ െ 2‫ݔ‬ ൅ 5‫ݔ‬ െ 5 ൌ 2‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ െ 5 b) ‫ݔ‬ . ሺ‫ݔ‬ െ 1ሻ ൌ ‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ െ ‫.ݔ‬ 1 ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ c) 2‫ݔ‬ଶሺ ‫ݔ‬ െ 3ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଶ . ‫ݔ‬ െ 2.3‫ݔ‬ଶ ൌ 2‫ݔ‬ଷ െ 6‫ݔ‬ଶ d) ( 3‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ െ 1) . (8‫ݔ‬ଷ െ 7‫ݔ‬ଶ ൅ 6‫ݔ‬ െ 2ሻ ൌ 3.8‫ݔ‬ଶାଷ െ 3.7‫ݔ‬ଶାଶ ൅ 3.6‫ݔ‬ଶାଵ െ 3.2‫ݔ‬ଶ ൅ 2.8‫ݔ‬ଵାଷ െ 2.7‫ݔ‬ଵାଶ ൅ 2.6‫ݔ‬ଵାଵ െ 2.2‫ݔ‬ െ 1.8‫ݔ‬ଷ ൅ 1.7‫ݔ‬ଶ െ 1.6‫ݔ‬ ൅ 1.2 ൌ 24‫ݔ‬ହ െ 21‫ݔ‬ସ ൅ 18‫ݔ‬ଷ െ 6‫ݔ‬ଶ ൅ 16‫ݔ‬ସ െ 14‫ݔ‬ଷ ൅ 12‫ݔ‬ଶ െ 4‫ݔ‬ െ 8‫ݔ‬ଷ ൅ 7‫ݔ‬ଶ െ 6‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ 24‫ݔ‬ହ ൅ ሺെ21 ൅ 16ሻ‫ݔ‬ସ ൅ ሺ18 െ 14 െ 8ሻ‫ݔ‬ଷ ൅ ሺെ6 ൅ 12 ൅ 7ሻ‫ݔ‬ଶ ൅ ሺെ4 െ 6ሻ‫ݔ‬ ൅ 2 ൌ 24‫ݔ‬ହ െ 5‫ݔ‬ସ െ 4‫ݔ‬ଷ ൅ 13‫ݔ‬ଶ െ 10‫ݔ‬ ൅ 2 Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (് 0ሻ. (8‫ݔ‬ଷ െ 4‫ݔ‬ଶ ൅ 6‫ݔ‬ െ 2) : ( 2‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ െ 5 ሻ ൌ 8‫ݔ‬ଷ െ 4‫ݔ‬ଶ ൅ 6‫ݔ‬ െ 2 2‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ െ 5 ሺ് 0ሻ െ8‫ݔ‬ଷ െ 12‫ݔ‬ଶ ൅ 20‫ݔ‬ 4‫ݔ‬ െ 8 0 െ16‫ݔ‬ଶ ൅ 26‫ݔ‬ െ 2 16‫ݔ‬ଶ ൅ 24‫ݔ‬ െ 40 0 50‫ݔ‬ െ 42 (Resto) Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: a) െ5‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ ൅ 2 െ ‫ݔ‬ሺ6‫ݔ‬ െ 2ሻ ൌ b) ሺ3‫ݔ‬ଶ െ 7‫ݔ‬ ൅ 1ሻ‫ݔ‬ ൌ
  20. 20. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 20 Produtos notáveis: 1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ Demonstração: ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻ. ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫݋݈݀݊ܽܿ݅݌‬ ܽ ‫݁݀ܽ݀݁݅ݎ݌݋ݎ݌‬ ݀݅‫ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ‬ ‫ݏ݋݉݁ݐ‬ ሺ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ Exemplo: ሺ‫ݔ‬ ൅ 5ሻଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ 2. ‫ݔ‬ .5 ൅ 5ଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ 10‫ݔ‬ ൅ 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ Demonstração: ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻ. ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫݋݈݀݊ܽܿ݅݌‬ ܽ ‫݁݀ܽ݀݁݅ݎ݌݋ݎ݌‬ ݀݅‫ܽݒ݅ݐݑܾ݅ݎݐݏ‬ ‫ݏ݋݉݁ݐ‬ ሺ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ሻଶ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ 2. ‫.ݔ‬ ‫ݕ‬ ൅ ‫ݕ‬ଶ Exemplo: ሺ2 െ ܽሻଶ ൌ 2ଶ െ 2.2. ܽ ൅ ܽଶ ൌ 2 െ 4ܽ ൅ ܽଶ 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. ሺ ‫ݔ‬ ൅ ‫ݕ‬ ሻ . ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ Exemplos: a) ሺ ‫ݔ‬ ൅ 3 ሻ. ሺ ‫ݔ‬ െ 3 ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ 3ଶ ൌ ࢞૛ െ ૢ b) ሺ ܽ െ 4 ሻ. ሺ ܽ ൅ 4 ሻ ൌ ࢇ૛ െ ૚૟ c) ሺ 2‫ݔ‬ ൅ 5 ሻ. ሺ 2‫ݔ‬ െ 5 ሻ ൌ ሺ 2‫ݔ‬ ሻଶ െ 5ଶ ൌ ૝࢞૛ െ ૛૞ d) ൫ 6࢞૛ െ 1൯. ൫ 6࢞૛ ൅ 1൯ ൌ ሺ 6࢞૛ ሻଶ െ 1ଶ ൌ ૜૟࢞૝ െ ૚
  21. 21. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 21 Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) ሺ 2‫ݐ‬ ൅ 3 ሻ. ሺ 2‫ݐ‬ െ 3 ሻ ൌ b) 5‫ݔ‬ሺ 4 െ ܽ ሻ ൌ c) ሺ ‫ݐ‬ଶ െ 7 ሻ. ሺ‫ݐ‬ଶ ൅ 7 ሻ ൌ d) ሺ‫ݔ‬ ൅ 1ሻଶ െ ‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos: a) Fatorar o polinômio 2ܽ2‫ݔ‬5 ൅ 4ܽ3‫ݔ‬3 Podemos escrever o polinômio desta maneira: ૛ࢇ૛ ‫ݔ‬ଶ . ࢞૜ ൅ 2. ૛ࢇ૛ . ܽ. ࢞૜ ൌ ૛ࢇ૛ ࢞૜ . ሺ‫ݔ‬ଶ ൅ 2 ܽሻ Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números ‫׷‬ ݉.݀. ܿ. ሺ4 , 2ሻ ൌ ૛ e as potências repetidas de menor expoente: ࢇ૛ ࢞૜ b) Fatorar o polinômio 6‫ݔ‬2 െ 3‫ݔ‬ 6‫ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ ൌ ૜࢞ ሺ 2‫ݔ‬ െ 1 ሻ , ݉. ݀. ܿ. ሺ6 , 3ሻ ൌ ૜ menor expoente: ࢞ c) Fatorar o polinômio 6 ‫ݔ‬4 ൅ 4‫ݔ‬3 െ 12‫ݔ‬2 6 ‫ݔ‬ସ ൅ 4‫ݔ‬ଷ െ 12‫ݔ‬ଶ ൌ 2 ‫ݔ‬ଶ ሺ3 ‫ݔ‬ଶ ൅ 2‫ݔ‬ െ 6 ሻ ݉. ݀. ܿ. ሺ6, 4 , 12ሻ ൌ ૛ menor expoente: ࢞૛ d) Fatorar o polinômio 8ܽସ ܾହ ൅ 20ܽଷ ܾଶ 8ܽସ ܾହ ൅ 20ܽଷ ܾଶ ൌ 2. ૝. ࢇ૛ . ܽଶ . ࢈૛ . ܾଷ ൅ 5. ૝. ܽ. ࢇ૛ . ࢈૛ ݉. ݀. ܿ. ሺ8, 20ሻ ൌ ૝ ൌ 4ܽଶ ܾଶ ሺ 2ܽଶ ܾଷ ൅ 5ܽ ሻ menor expoente: ࢇ૛ ࢈૛
  22. 22. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 22 Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ് 0ሻ. Exemplos de frações algébricas: ௫ 2‫ݔ‬2 ൅3‫ݔ‬െ5 , ହ ௫ାହ , ௫ ௫ିଵ Adição e Subtração de frações algébricas: a) ௫ ଶ௫మ ൅ ଶ ଷ௫ ൌ ଷ.௫ ଺௫మ ൅ ଶ.ଶ௫ ଺௫మ ൌ ଷ௫ାସ௫ ଺௫మ ൌ ଻௫ ଺௫మ ൌ ଻ ଺௫ m.m.c (2 , ‫ݔ‬ଶ , 3 , ‫ݔ‬ሻ 2 1, ‫ݔ‬ଶ , 3 , ‫ݔ‬ 3 1, ‫ݔ‬ଶ , 1 , ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ 1, ‫ݔ‬ , 1, 1 ‫ݔ‬ 1, 1 , 1, 1 6‫ݔ‬ଶ b) ௫ ௫ି௬ ൅ ଵ ௫ା௬ ൅ ௬ି௫ ௫మି௬మ ൌ ௫.ሺ௫ା௬ሻ ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ ൅ ଵ.ሺ௫ି௬ሻ ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ ൅ ௬ି௫ ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ ൌ ൌ ‫ݔ‬2൅‫ݕ.ݔ‬൅‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ݕ‬െ‫ݔ‬ ൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬2൅‫ݕ.ݔ‬ ൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ ൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯.ሺ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ ൫‫ݔ‬െ‫ݕ‬൯ Multiplicação e Divisão de frações algébricas: a) ௫ ሺ௫ି௬ሻ . ௫య ሺ௫ା௬ሻ ൌ ௫.௫య ሺ௫ି௬ሻ.ሺ௫ା௬ሻ ൌ ௫ర ௫మି௬మ b) ሺ௫ି௬ሻయ ሺ௫ା௬ሻ : ሺ௫ା௬ሻ ሺ௫ି௬ሻమ ൌ ሺ௫ି௬ሻయ ሺ௫ା௬ሻ . ሺ௫ି௬ሻమ ሺ௫ା௬ሻ ൌ ሺ௫ି௬ሻఱ ሺ௫ା௬ሻ2 Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos. ௫ ௫ ା ଵ errado ௫ ି ଵ ௫ errado ௫ ା ଵ ௫ ି ଵ errado
  23. 23. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 23 Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo: a) 1 ‫ݔ‬ െ1 ‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ b) ସ௫ାଷ ଷ௫ ൅ ଺ ௫మ െ ଵ ௫ ൌ c) ଵ ௫య ൅ ଵଶ ௫మ െ ଷ ௫ ൌ d) ‫ݔ‬൅1 ‫ݔ‬ ା ௫ ௫ ൌ e) ଶ ଷ௫య ൅ ଵ ௫మ െ ସ௫ ଷ ൌ f) ସ ௫ ଷ െ ଵ ଺௫ ൅ 1 ൌ Respostas: a) ௫ ଶ௫ିଵ b) ସ௫మାଵ଼ ଷ௫మ c) ଵାଵଶ௫ିଷ௫మ ௫య d) ௫మା ௫ ାଵ ௫మ e) ଶାଷ௫ିସ௫ర ଷ௫మ f) ଼௫మା଺௫ିଵ ଺௫
  24. 24. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 24 EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas: a) { 7‫ݔ‬ െ ሾ 3‫ݔ‬ሺ ‫ݔ‬ െ 1ሻ െ 6‫ݔ‬ሿ ൅ 3‫ݔ‬3 ‫ݔ‬ ሽ ൌ b) 3‫ݔ‬ଶ . 7‫ݔ‬ଷ ൅ 13‫ݔ‬ହ ൅ 3‫ݔ‬ଶ . ‫ݔ‬ . ሺെ2‫ݔ‬ଶሻ ൌ 2) Resolver as operações de potências de base 10: a) 5 . 10ଽ ൅ 8 . 10ଽ െ 3. 10ଽ ൌ b) ଵ଺ .ଵ଴షమା ଶ.ଵ଴షమ ଶ.ଵ଴య . ଵ଴య ൌ c) ଵ଴లା ଵ଴ల ଵ଴షభ . ଵ଴షఱ ൌ d) ଵଶ,ଷ .ଵ଴షయ ି ଼,ଷ . ଵ଴షయ ଶ.ଵ଴య . ଵ଴షయ ൌ e) ସ .ଵ଴భమ . ଼ .ଵ଴షమ ଶଶ .ଵ଴ఱାଵ଴ .ଵ଴ఱ ൌ 3) Resolver as equações : a) ଶି௔ ଷ௫ ൅ ௕ ଶ௫ ൌ െ 1 b) ଺ ହ௫ െ ଵ ଶ௫మ െ ଵଵ ସ ൌ െ ହହ ଶ଴ c) െ2‫ݔ‬ ൅ 15 ൌ െሺ 5 െ 8‫ݔ‬ ሻ d) ହ௫ ଽ ൅ ଶሺ௫ାଵሻ ଷ ൌ െ ௫ ଽ e) ଼௫ା଻ ଻ ൌ ଶ௫ାଵ ଷ f) ଷమ௫ ି ଼ ଶమ ൌ 4‫ݔ‬ ൅ 5 Respostas: 1a) 16‫ݔ‬ 1b) 28‫ݔ‬ହ 2a) 10ଵ଴ 2b) 9. 10ି8 2c) 2. 10ଵଶ 2d) 2. 10ିଷ 2e)10ହ 3a) 2ܽെ3ܾെ4 6 3b) ହ ଵଶ 3c) 2 3d) െ 1 2 3e) െ1,4 3f) െ4
  25. 25. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 25 FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ‫ܣ‬ ൌ ݂ሺ ℓ ሻ. Se ℓ varia então ‫ܣ‬ varia. b) ‫ܥ‬ ൌ ݂ሺ ‫ݎ‬ ሻ, ܿ‫݋ݐ݊݁݉݅ݎ݌݉݋‬ ݀ܽ ܿ݅‫ݎ݂݁݊ݑܿݎ‬ê݊ܿ݅ܽ ݁݉ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫.݋݅ܽݎ‬ cሻ ܸ ൌ ݂ሺ ‫ݐ‬ ሻ , ‫݁݀ܽ݀݅ܿ݋݈݁ݒ‬ ݁݉ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫.݋݌݉݁ݐ‬ Notação de Função: ࢌ: Թ ՜ Թ ࡰ࢕࢓í࢔࢏࢕ ሺԹሻ ՜ contra-domínio ( Թሻ ࢞ ՜ ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ݂ é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento ࢞ ‫א‬ ࡰ࢕࢓í࢔࢏࢕ ሺԹሻ existe em correpondência um único elemento ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ‫א‬ contra-domínio(Թሻ queé asuaimagem. Definição de função: Sejam ࢞ ݁ ࢟ variáveis, tais que para cada valor atribuído a ࢞ existe em correspondência um único valor ‫ܡ‬ . Dizemos que ࢟ é uma função de ‫ݔ‬ e representamos por ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ࢞ ൌ ‫݅ݎܽݒ‬á‫݈݁ݒ‬ ݈݅‫݁ݎݒ‬ ‫ݑ݋‬ ݅݊݀݁‫݁ݐ݊݁݀݊݁݌‬ ݁ ࢟ ൌ ‫݅ݎܽݒ‬á‫݈݁ݒ‬ ݀݁‫݁ݐ݊݁݀݊݁݌‬ PLANO CARTESIANO: O plano cartesiano Թ ૛ é representado pelos eixos das abscissas, ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ ࡰ࢕࢓݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Թ ordenadas, ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ ࡵ࢓݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫א‬ Թ . ܳ‫1:݁ݐ݊ܽݎ݀ܽݑ‬º. 2º , 3º ݁ 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ܲሺ0,0ሻ, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ‫ݕ‬ ( contra-domínio) ૛º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ૚º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ሺ࢞ ൏ 0, ‫ݕ‬ ൐ 0ሻ ሺ࢞ ൐ 0, ‫ݕ‬ ൐ 0ሻ 0 ࢞ ( domínio da função ) ૜º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ૝º ࡽ࢛ࢇࢊ࢘ࢇ࢔࢚ࢋ ሺ࢞ ൏ 0, ‫ݕ‬ ൏ 0ሻ ሺ࢞ ൐ 0, ‫ݕ‬ ൏ 0ሻ
  26. 26. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 26 Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ܲሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ. ‫ݕ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ - - - - - -ࡼ ሺ abscissa, ordenada ሻ 0 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo: ܲሺ 2 , 2 ሻ ‫ݕ‬ ܳሺെ1 , 2ሻ 4 ܴሺ 3 , െ2ሻ 3 ܵ ቀ ଵ ଶ , 3ቁ 2 ܶሺെ3 , 0ሻ 1 ܷሺ 0 , 1ሻ ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ‫ݔ‬ ܸሺെ4 , െ3ሻ - 1 - 2 - 3 Construindo Gráficos de Funções: Seja a função ࢟ ൌ ૛࢞ com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente ࢞, encontramos as imagens que são os valores de ࢟ 2º Passo: As coordenadas ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados. ‫ݔ‬ ࢟ ൌ ૛࢞ ܲሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ െ2 ‫ݕ‬ ൌ 2. ሺെ2ሻ ൌ െ4 ሺെ 2 , െ4ሻ ‫ݕ‬ െ1 ‫ݕ‬ ൌ 2. ሺെ1ሻ ൌ െ2 ሺെ1 , െ2ሻ 4 . 0 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 0 ൌ 0 ሺ 0 , 0ሻ 3 1 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 1 ൌ 2 ሺ 1 , 2ሻ 2 . 2 ‫ݕ‬ ൌ 2 . 2 ൌ 4 ሺ2 , 4ሻ 1 ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... ‫ݔ‬ - 1 . - 2 - 3 . – 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 1 ܾሻ ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 1 c) ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 1 d) ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ െ 1 e) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ f) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ , ‫ݕ‬
  27. 27. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 27 Função Crescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚ , dizemos que a função é Crescente se as imagens ݂ሺ‫ݔ‬ଶሻ ൐ ݂ሺ ‫ݔ‬ଵ ) Função Decrescente: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚, dizemos que a função é Decrescente se as imagens ݂ሺ‫ݔ‬ଶሻ ൏ ݂ሺ ‫ݔ‬ଵ ) Função Constante: Seja a função ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ e sejam ࢞૚ e ࢞૛ elementos do domínio da função com ࢞૛ ൐ ‫ݔ‬૚, dizemos que a função é Constante se as imagens ݂ሺ‫ݔ‬ଵሻ ൌ ݂ሺ ‫ݔ‬ଶ ). Exemplo: A função é crescente nos intervalos: ‫ݕ‬ ‫ܥ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܦ‬ e ‫ܪ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܬ‬ D E ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ A B C F G H I J 0 ‫ݔ‬ A função é decrescente nos intervalos: ‫ܣ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܤ‬ ݁ ‫ܧ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܩ‬ A função é constante nos intervalos: ‫ܤ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫,ܥ‬ ‫ܦ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܧ‬ , ‫ܩ‬ ൑ ‫ݔ‬ ൑ ‫ܪ‬ Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 4 8 1 1 0 2 4 6 8 10 ‫ݔ‬ 0 5 10 15 ‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬
  28. 28. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 28 Função Linear: ࢟ ൌ ࢇ࢞ ൅ ࢈ ࢇ ൌ Coeficiente Angular da reta: ܽ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ ௬ ௫ ࢇ ് ૙ É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular ࢇ é positivo, ࢇ ൐ 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular ࢇ é negativo, ࢇ ൏ 0. Se a função é constante o coeficiente angular ࢇ ൌ ‫݃ݐ‬ 90° , ‫׍‬ ‫݃ݐ‬ 90°, logo ࢇ não está definido. ࢈ ൌ Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ܲሺ 0 , ‫ݕ‬ሻ. Exemplos: Sejam as funções, 1 ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 ‫׵‬ 2 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ 1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 1ሻ. ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 ‫׵‬ 2 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ. -1 ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 ‫׵‬ 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ 1 Coeficiente Linear ܾ ൌ 1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 1ሻ. ‫ݕ‬ ൌ െ2‫ݔ‬ െ 1 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ െ2 ‫׵‬ 2 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ െ1 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , െ1ሻ. -1 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 1 ‫׵‬ 1 ൐ 0 ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ 0 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 0ሻ. 0 ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ Coeϐiciente Angular ܽ ൌ 2 െ 1 ‫׵‬ െ1 ൏ 0 ՜ ݂ ݀݁ܿ‫݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ 0 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ 0 , 0ሻ. 0 ‫ݕ‬ ൌ 3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀‫݋‬ ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ 3 Coeficiente Linear ܾ ൌ 3 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ ‫ݔ‬ , 3ሻ. ‫ݕ‬ ൌ െ3 Coeϐiciente Angular ܽ ൌ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀‫݋‬ ՜ ݂ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ Coeficiente Linear ܾ ൌ െ3 ‫׵‬ corta o eixo y no ponto ܲሺ ‫ݔ‬ , െ3ሻ. -3
  29. 29. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 29 ݂ଵ Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular ࢇ e coeficiente linear ࢈ das funções ݂ଵ e ݂ଶ ,nos gráficos abaixo: a) b) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 4 ݂ଵ ݂ଵ ݂ଶ 5 0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬ -5 c) ‫ݕ‬ d) ‫ݕ‬ 6 ݂ଵ ݂ଶ 35 ݂ଵ ݂ଶ 0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬ Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalo , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 9 3 4 0 1 ݂ଶ 2 3 ‫ݔ‬ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬ ܶ ൌ 2 ܶ ൌ 0,2 ‫ܣ‬ ൌ 3 ‫ܣ‬ ൌ 9 ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 3 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 1 ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 9 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,1 ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 0 ‫݁ݏ‬ 1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 2 ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 4 ‫݁ݏ‬ 0,1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,2
  30. 30. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 30 2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ , ܽ ൌ ௬ ௫ , ܲ ሺ ‫ݔ‬଴ , ‫ݕ‬଴ ሻ a) b) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 6 ݂ଵ ݂ଶ 35 ݂ଵ ݂ଶ 0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬ ܶ ൌ 4 ܶ ൌ 14 ‫ܣ‬ ൌ 6 ‫ܣ‬ ൌ 35 ݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ ௬ ௫ ݂ଵ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 ֜ ܽ ൌ ൅ ௬ ௫ substituindo ܲሺ 2, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula substituindo ܲሺ 0, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ ଺ ଶ ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ െ 0 ൌ ଷହ ଻ ሺ‫ݔ‬ െ 0ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ3‫ݔ‬ ൅ 6 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 2 ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 5‫ݔ‬ ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 7 ݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅ ௬ ௫ ݂ଶ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ ௬ ௫ substituindo ܲሺ 2, 0 ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula substituindo ܲሺ 14, 0 ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ ଺ ଶ ሺ‫ݔ‬ െ 2ሻ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ ଷହ ଻ ሺ‫ݔ‬ െ 14ሻ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 3‫ݔ‬ െ 6 ‫݁ݏ‬ 2 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 4 ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ െ5‫ݔ‬ ൅ 70 ‫݁ݏ‬ 7 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 14 P
  31. 31. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 31 c) ‫ݕ‬ 10 ݂ଵ ݂ଶ 0 5 10 15 20 ‫ݔ‬ -10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ܶ ൌ 20 ‫ܣ‬ ൌ 10 ݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 ֜ ܽ ൌ െ ௬ ௫ ݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 ֜ ܽ ൌ ௬ ௫ substituindo ܲሺ 5, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ na fórmula substituindo ܲሺ 15, 0ሻ ‫א‬ ݂ଶ na fórmula ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ ଵ଴ ହ ሺ‫ݔ‬ െ 5ሻ ݂ଶ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ ଵ଴ ହ ሺ‫ݔ‬ െ 15ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ2‫ݔ‬ ൅ 10 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 10 ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 2‫ݔ‬ െ 30 ‫݁ݏ‬ 10 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 20 3) Ondas Dentes de Serra: a) b) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 4 ݂ଵ ݂ଵ ݂ଶ 5 0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ‫ݔ‬ -5 ܶ ൌ 3 ܶ ൌ 0,2 ‫ܣ‬ ൌ 4 ‫ܣ‬ ൌ 5 ݂ଵ é ݀݁ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൑ 0 , ܽ ൌ െ ௬ ௫ ݂ଵ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅ ௬ ௫ ܲሺ 3, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵsubstituindo na fórmula ܲሺ 0, 0ሻ ‫א‬ ݂ଵ substituindo na fórmula ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ ൌ ܽ ሺ ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ െ 0 ൌ െ ସ ଷ ሺ‫ݔ‬ െ 3 ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ െ 0 ൌ ହ ଴,ଵ ሺ‫ݔ‬ െ 0ሻ ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ െ ସ ଷ ‫ݔ‬ ൅ 4 ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 3 ݂ଵ ൌ ‫ݕ‬ଵ ൌ 50‫ݔ‬ ‫݁ݏ‬ 0 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,1 ݂ଶ é ܿ‫,݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎ‬ ܽ ൒ 0 , ܽ ൌ ൅ ௬ ௫ , ܲ଴ሺ0,2 , 0ሻ ‫א‬ ݂ଶ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ െ 0 ൌ ହ ଴,ଵ ሺ‫ݔ‬ െ 0,2ሻ ݂ଶ ൌ ‫ݕ‬ଶ ൌ 50‫ݔ‬ െ 10 ‫݁ݏ‬ 0,1 ൑ ‫ݔ‬ ൑ 0,3
  32. 32. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 32 4) Ondas trapezóides ‫ݕ‬ ࢀ ൌ ૜ ࡭ ൌ ૠ ࢌ૚ ൌ ૠ࢞ ࢙ࢋ ૙ ൑ ࢞ ൑ ૚ ࢌ૛ ൌ ૠ ࢙ࢋ ૚ ൑ ࢞ ൑ ૛ 7 ࢌ૜ ൌ െૠ࢞ ൅ ૛૚ ࢙ࢋ ૛ ൑ ࢞ ൑ ૜ 0 1 2 3 4 5 ‫ݔ‬ Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 7 10 3 0 3 6 9 12 ‫ݔ‬ 0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ c) d) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 18 ݂ଵ 6 ݂ଵ ݂ଶ 0 3 6 9 ‫ݔ‬ 0 2 4 6 8 ‫ݔ‬ -6 e) f) ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ 20 ݂ଵ 35 ݂ଵ ݂ଶ 0 5 10 15 20 25 ‫ݔ‬ 0 7 14 21 28 ‫ݔ‬ P
  33. 33. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 33 Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função ݂: Թ ՜ Թ dada por uma lei da forma: ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢔࢞ base ݊ ‫א‬ Թ , ݊ ൐ 0 ݊ ് 1 Função Exponencial na base ࢋ ൌ ૛, ૠ૚ૡ … ሺࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ ࢊࢋ ࡱ࢛࢒ࢋ࢘ሻ. ࢟ ࡭ ൌ ordenada do ܲሺ0, ‫ܣ‬ሻ 1. ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࡭ . ࢋࢇ࢞ A ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܥ‬ 0 ‫ݔ‬ Para ‫ܣ‬ ൌ 1 , ܽ ൌ 1 ⇒ ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ 1. ݁1.‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ૚ ൌ a ordenada do ܲሺ0,1ሻ 1.1 ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࢋ࢞ 1 0 ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 2. ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࡭ . ࢋെࢇ࢞ A ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ‬ 0 ‫ݔ‬ Para ‫ܣ‬ ൌ 1 , ܽ ൌ െ1 ⇒⇒⇒⇒ ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ 1 . ݁െ1.‫ݔ‬ ‫ݕ‬ 2.1 ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ࢋെ࢞ 1 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ é ‫.݁ݐ݊݁ܿݏ݁ݎܿ݁ܦ‬ 0 ‫ݔ‬
  34. 34. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 34 Equação Exponencial na base ࢋ ൌ ૛, ૠ૚ૡ …: são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos: a) ݁ଶ௫ିଶ ൌ 1 sabemos que ݁଴ ൌ 1 , então podemos escrever ݁ଶ௫ିଶ ൌ ݁଴ encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes 2‫ݔ‬ െ 2 ൌ 0 isolamos a incógnita ‫ݔ‬ encontramos valor que satisfaz a equação. ‫ݔ‬ ൌ 1 b) 3 . ݁‫ݔ‬ + 2 . ݁௫ ൌ 5 . ݁ି௫ା଼ ሺ3 ൅ 2ሻ݁‫ݔ‬ ൌ 5 . ݁െ‫ݔ‬൅8 colocamos em evidência o termo comum ݁௫ 5. ݁‫ݔ‬ ൌ 5 . ݁െ‫ݔ‬൅8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes ‫ݔ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 8 ‫ݔ‬ ൅ ‫ݔ‬ ൌ 8 2‫ݔ‬ ൌ 8 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ ଼ ଶ ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 4 c) ݁ିଶ௫ ൌ ଵ ௘ల tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação ݁ିଶ௫ ൌ ݁ି଺ simplificamos as bases iguais restando os expoentes െ2 ‫ݔ‬ ൌ െ6 ‫ݔ‬ ൌ ି଺ ିଶ ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 3 Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo: a) ݁ିଷ ൌ ݁ସି௫ b) ଼݁௫ ൌ ଵ ݁2 c) 1 ൌ ݁௫ିଵ d) ݁ଶ௫ ൌ 1 Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0
  35. 35. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 35 Função Exponencial do tipo: ࢟ ൌ ࡭ ሺ ૚ െ ࢋିࢇ࢞ሻ , ‫ݔ‬ ൒ 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. ࢟ Quanto maior o ࢞ mais a curva se aproxima de A A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A função tende a A quando ࢞ tende ao infinito. 0 ‫ݔ‬ Tabela de valores de ࢋ࢞ Exemplo: Esboçar o gráfico da função ‫ݕ‬ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ି௫ ) Solução: A = 2 ‫ݔ‬ ൒ ‫݋‬ ‫ݕ‬ ൌ ‫ܣ‬ሺ1 െ ݁െ‫ݔ‬ሻ ࢟ 0 2ሺ1 െ ݁଴ሻ ൌ 2.0 ൌ 0 2 . . . . . . . . . . . . 1 2ሺ1 െ ݁ିଵሻ ൌ 2ሺ1 െ ଵ ݁ ) ؆ 1,26 2 2ሺ1 െ ݁ିଶሻ ൌ 2ሺ1 െ ଵ ݁2) ؆ 1,73 3 2ሺ1 െ ݁ି3ሻ ൌ 2ሺ1 െ ଵ ݁3) ؆ 1,9 Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) ‫ݕ‬ ൌ 3 ሺ 1 െ ݁ି௫ ሻ b) ‫ݕ‬ ൌ 2 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫ ሻ c) ‫ݕ‬ ൌ 1 ሺ 1 െ ݁ି௫ ሻ d) ‫ݕ‬ ൌ 7 ሺ 1 െ ݁ିଶ௫ ሻ ‫ݔ‬ െ3 െ2 െ1 0 1 2 3 ݁௫ 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09 0 1 2 3 4 ‫ݔ‬ x
  36. 36. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 36 Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) . Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base ࢇ real positiva e diferente de 1 é o número ࢔ ao qual se deve elevar a base ࢇ para se obter a potência b. log௔ ܾ ൌ ࢔ ฻ ܽ௡ ൌ ܾ ܾ ൌ ࢒࢕ࢍࢇ࢘࢏࢚࢓ࢇ࢔ࢊ࢕ ܾ ൐ 0 ‫׵‬b ‫א‬ Թା ‫כ‬ . ܽ ൌ ࢈ࢇ࢙ࢋ, ܽ ൐ 0 ݁ ܽ ് 1 ࢔ ൌ ࢒࢕ࢍࢇ࢘࢏࢚࢓࢕ Exemplos: logଶ 16 ൌ ݊ ฻ 2௡ ൌ 16 ฺ ݊ ൌ ૝ é o logaritmo de 16 na base 2 logହ 5 ൌ ݊ ฻ 5௡ ൌ 5 ฺ ݊ ൌ 1 log௔ 1 ൌ ݊ ฻ ܽ௡ ൌ 1 ฺ ݊ ൌ ૙ é o logaritmo de 1 em qualquer base ሺܽ ൐ 0 ݁ ܽ ് 1ሻ ‫כ‬ ‫׍‬ ࢔ã࢕ ࢋ࢞࢏࢙࢚ࢋ logaritmo de número negativo ‫ܖܔ‬ሺ െ૜ሻ. Logaritmo Neperiano: Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler). log௘ ܾ ൌ ࢔ ฻ ݁௡ ൌ ܾ ou ‫ܖܔ‬ ࢈ ൌ ࢔ ฻ ࢋ࢔ ൌ ࢈ ln ݁ ൌ 1 ฻ ݁ଵ ൌ ݁ ln 1 ൌ 0 ฻ ݁଴ ൌ 1 Propriedades dos logaritmos: ܲଵ: ‫ܖܔ‬ሺ ࡭ . ࡮ሻ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡭ ൅ ‫ܖܔ‬ ࡮ Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos. ܲଶ: ‫ܖܔ‬ ቀ ࡭ ࡮ ቁ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡭ െ ‫ܖܔ‬ ࡮ Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos. ‫݊݁ݐܣ‬çܽõ! ୪୬ ஺ ୪୬ ஻ ് ln ቀ ஺ ஻ ቁ ܲଷ: ‫ܖܔ‬ ࢋ࢓ ൌ ‫ܕ‬ . ‫ܖܔ‬ ࢋ ൌ ࢓ . ૚ ൌ ࢓ Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. ܲସ: ‫ܖܔ‬ ࡭ ൌ ‫ܖܔ‬ ࡮ ฻ ࡭ ൌ ࡮ Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são.
  37. 37. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 37 Função Logarítmica na base ࢋ ൌ 2,718 … ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ൌ ln ‫ݔ‬ 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 ‫ݕ‬ e2 ln e2 = 2.lne = 2.1 = 2 ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ‬ e3 ln e3 = 3.lne = 3.1 = 3 e4 lne4 = 4.ln e= 4.1 = 4 ‫ڭ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڭ‬ 0 P(1,0) ‫ݔ‬ ݊ lne୬ ൌ ݊. ln ݁ ൌ ݊ ‫ڭ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ‫ڮ‬ ൌ ‫ڭ‬ Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base ࢋ : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ 1 Restrição: ‫ݔ‬ ൅ 5 ൐ 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൐ െ5 lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ ݈݊ ݁ sabemos que 1 ൌ ln ݁ ‫ݔ‬ ൅ 5 ൌ ݁ simplificamos os ln ‫ݔ‬ ൌ ݁ െ 5 isolamos a incógnita ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ 2,72 െ 5 ‫ݔ‬ ؆ െ 2,28 satisfaz a restrição: െ 2,28 ൐ െ5 Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo: lnሺ ‫ݔ‬ ൅ 5ሻ ൌ 1 ฻ ݁ଵ ൌ ‫ݔ‬ ൅ 5 ‫ݔ‬ ൌ 2,72 െ 5 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ؆ െ 2,28 bሻ ln 7‫ݔ‬ ൅ ln 3‫ݔ‬ ൌ ln 5 Restrição: ‫ݔ‬ ൐ 0 lnሺ 7‫ݔ‬ . 3‫ݔ‬ ሻ ൌ ln 5 7.3 ‫.ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ 5 21 ‫ݔ‬ଶ ൌ 5 ‫ݔ‬ ൌ േ√0,24 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ ൅ 0,5 ‫ݔ‬ ൌ െ 0,5 não convém pois, ‫ݔ‬ ൐ 0
  38. 38. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 38 c) lnሺ 8 x൅1 x ሻ ൌ 0 Restrição: ଼ ୶ାଵ ୶ஷ଴ > 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൐ െ ଵ ଼ lnሺ 8‫ݔ‬ ൅ 1ሻ െ ln ‫ݔ‬ ൌ 0 lnሺ8‫ݔ‬ ൅ 1ሻ ൌ ln ‫ݔ‬ 8‫ݔ‬ ൅ 1 ൌ ‫ݔ‬ 8‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬ ൌ െ1 7‫ݔ‬ ൌ െ1 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ െ ଵ ଻ satisfaz a restrição െ 1 7 ൐ െ 1 8 d) ln ݁ି଻ାଷ௫ ൌ 2 Restrição: ݁ି଻ାଷ௫ ൐ 0 , ݁௫ ൐ 0 െ7 ൅ 3‫ݔ‬ ൌ 2 3‫ݔ‬ ൌ 2 ൅ 7 3 ‫ݔ‬ ൌ 9 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൌ 3 satisfaz a restrição ݁ଷ ൐ 0 Exercícios: 1 Resolver as equações logarítmicas abaixo: a) lnሺ 2‫ݔ‬ െ 4ሻ ൌ 0 Restrição:ሺ 2‫ݔ‬ െ 4ሻ ൐ 0 ‫ݔ‬ ൐ 2 b) 1 ൌ lnሺ‫ݔ‬ െ 24ሻ Restrição:ሺ ‫ݔ‬ െ 24ሻ ൐ 0 ‫ݔ‬ ൐ 24 c) 1 ൌ ln ‫ݔ‬ଶ െ 24 Restrição: ‫ݔ‬ଶ ൐ 0 ‫ݔ‬ ൐ 0 d) 1 ൅ ln 2 ൌ ln ‫ݔ‬ Restrição: ‫ݔ‬ ൐ 0 Respostas: a) 5 2ൗ b) േ5,2 c) 26,8. 10ସ e) 2
  39. 39. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 39 Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â݊݃‫݋݈ݑ‬ ‫݋ݐ݁ݎ‬ ൌ 90°. ‫ܽݏݑ݊݁ݐ݋݌݅ܪ‬ é o lado oposto ao ângulo reto : ‫ܥܤ‬ ൌ ܽ ܾ ܽ ‫ݏ݋ݐ݁ݐܽܥ‬ são os lados opostos a cada ângulo agudo: ‫ܤܣ‬ ൌ ܿ ݁ ‫ܥܣ‬ ൌ ܾ Teorema de Pitágoras: ܽଶ ൌ ܾଶ ൅ ܿଶ A c B Razões Trigonométricas: ࡿࢋ࢔࢕ Seno de um ângulo agudo é o quociente , entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa. b a ࢙ࢋ࢔ࢻ ൌ ௖௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔௢ â௡௚௨௟௢ ఈ ௛௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ൌ ௕ ௔ c ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔ ௕ ௔ Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo: 3 6 ‫ߙ݊݁ݏ‬ ൌ ଷ ଺ ൌ ଵ ଶ ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔ ଵ ଶ ൌ 30° ࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕ Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. b ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ ௖௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔௢ â௡௚௨௟௢ ఈ ௛௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ൌ ௖ ௔ c ࢀࢇ࢔ࢍࢋ࢔࢚ࢋ Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. ‫݃ݐ‬ ߙ ൌ ܿܽ‫݋ݐ݁ݐ‬ ‫݋ݐݏ݋݌݋‬ ܿܽ‫݋ݐ݁ݐ‬ ݆ܽ݀ܽܿ݁݊‫݁ݐ‬ ൌ ௕ ௖ ֜ ‫݃ݐ‬ ߙ ൌ ௦௘௡ఈ ௖௢௦ఈ ߚ ߙ C ߙ ߙ a ߙ
  40. 40. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 40 Exemplos: a) ‫݊݁ݏ‬ ߙ ൌ 0,7071067 ߙ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢙ࢋ࢔ 0,7071067 ฺ ߙ ൌ 45° b) ܿ‫ݏ݋‬ ߚ ൌ 0,8660254 ߚ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢉ࢕࢙ 0,8660254 ฺ ߚ ൌ 30° c) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508 ߠ ൌ ࢇ࢘ࢉ ࢚ࢍ1,7320508 ฺ ߠ ൌ 60° Exercícios propostos: Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ 0,8660254 d) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1 b) ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ 0,7071067 e) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ 2,7474774 c) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508 fሻ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ െ1,7321 g) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ െ0,5773 h) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ െ1 Relações Fundamentais : 1) sen2 α + cos2 α = 1 2) ࢚ࢍ ࢻ ൌ ࢙ࢋ࢔ࢻ ࢉ࢕࢙ࢻ Ângulos Notáveis: ÂNGULOS 30° 45° 60° ܵ݁݊ 1 2 √2 2 √3 2 ܿ‫ݏ݋‬ √3 2 √2 2 1 2 ‫݃ݐ‬ √3 3 1 √3
  41. 41. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 41 Exercícios propostos: 1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo: 4 6 9 8 2 9 √2 ߠ ൌ ߠ ൌ ߠ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ߠ ൌ ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ ߠ ൌ ܿ‫ߠݏ݋‬ ൌ ܿ‫ߠݏ݋‬ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ ߠ ൌ 2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo: a) ‫ߠ݊݁ݏ‬ ൌ 0,8660254 d) ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ 1 b) ܿ‫ߙݏ݋‬ ൌ 0,7071067 e) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ 2,7474774 c) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ 1,7320508 fሻ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ െ1,7321 g) ‫ߚ݃ݐ‬ ൌ െ0,5773 h) ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ െ1
  42. 42. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 42 TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = ‫ݔ‬ ݉݁݀ሺ ‫ܤܣ‬ ሻ ൌ ݉݁݀ ሺ ‫ܣ‬Ô‫ܤ‬ ሻ ൌ ‫ݔ‬ Unidades de medidas : Graus e radianos Grau ( ° ) 1 ° = ଵ ଷ଺଴ da circunferência, então 90° ൌ ଵ ସ da circunferência 180° ൌ ଵ ଶ 270° ൌ ଷ ସ 360° ൌ 1 circunferência Radiano ሺ ࢘ࢇࢊ ሻ 1 ‫݀ܽݎ‬ ൌ raio da circunferência ‫ܥ‬ ൌ 2ߨ ‫ݎ‬ comprimento de uma circunferência ‫ݎ‬ ൌ 1 ‫݀ܽݎ‬ ‫ܥ‬ ൌ 2ߨ ‫݀ܽݎ‬ Conclusão: ‫ܥ‬ ൌ 360° ൌ 2ߨ ‫,݀ܽݎ‬ logo 90° ൌ గ ଶ 180° ൌ ߨ ‫݀ܽݎ‬ 90° ൌ గ ଶ ‫݀ܽݎ‬ 180° ൌ ߨ 0° ൌ 360° ൌ 2ߨ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ 270° ൌ ଷగ ଶ Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples 180° ߨ ‫݀ܽݎ‬ 30° ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൌ 30° . ߨ ‫݀ܽݎ‬ 180° ൌ ߨ 6 ‫݀ܽݎ‬ Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Radianos ߨ 6 ߨ 4 ߨ 3 ߨ 2 π 3ߨ 2 2π O ߙ A
  43. 43. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 43 ࡲ࢛࢔çã࢕ ࡿࢋ࢔࢕ : ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário ࢘ ൌ ૚ com o centro coincidindo com a origem do sistema. Tomemos um arco ܴܲ ou o ângulo ‫.ݔ‬ Seno do arco ܴܲ ou do ângulo ࢞ é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o ࢋ࢏࢞࢕࢟. ‫ݕ‬ 1 Arco ܴܲ ൌ ‫ݔ‬ ‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ ൌ ܱ‫ܯ‬ ‫ݎܩ‬á݂݅ܿ‫:݋‬ ࡿࢋ࢔ó࢏ࢊࢋ ‫ݕ‬ . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . െ2ߨ െ ଷగ ଶ െ ߨ െ గ ଶ 0 గ ଶ ߨ ଷగ ଶ 2ߨ ‫ݔ‬ A ࢌ࢛࢔çã࢕ ࢙ࢋ࢔࢕ é Íࡹࡼ࡭ࡾ pois é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ). ࢙ࢋ࢔ ሺെ࢞ ሻ ൌ െ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ሻ , ‫݊݁ݏ‬ ቀെ గ ଶ ቁ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ గ ଶ Período ( ܶ ൌ 2ߨሻ ‫׷‬ é o período de tempo quando a função se repete. Amplitude ሺ ‫ܣ‬ ൐ 0 ሻ : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda. ࡭ ൌ ெá௫௜௠௢ – ௠í௡௜௠௢ ଶ ‫ݔ‬ െ ߨ െ ߨ 2 0 ߨ 2 π 3ߨ 2 2π ‫݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ 0 െ 1 0 1 0 െ 1 0 ‫.........ܯ‬ P ‫ݔ‬ 1 -1 0 R ‫ݔ‬ -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . 1 ‫ݎ݁݌‬í‫݋݀݋‬ ܶ ൌ 2ߨ
  44. 44. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 44 ࡲ࢛࢔çã࢕ ࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕ : ‫ݕ‬ ൌ cos ‫ݔ‬ Seja o arco AP = ângulo x ,denominamos Cosseno do ângulo ‫ݔ‬ , a abscissa do ponto P , projeção do segmento OP sobre o eixo ࢞ , eixo das abscissas. ‫ݕ‬ 1 Arco ܴܲ ൌ ‫ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ ܱܰ -1 ‫ݎܩ‬á݂݅ܿ‫:݋‬ ࡯࢕࢙࢙ࢋ࢔ó࢏ࢊࢋ ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬ ‫ܣ‬ ൌ 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . െ2ߨ െ ଷగ ଶ െ ߨ െ గ ଶ 0 గ ଶ ߨ ଷగ ଶ 2ߨ ‫ݔ‬ A função ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ é ܲ‫ܴܣ‬ pois é simétrica ao eixo ‫ݕ‬ ܿ‫ݏ݋‬ ሺെ‫ݔ‬ ሻ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ ሻ cos ሺ െ గ ସ ሻ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ ሺ గ ସ ሻ Função Tangente: ࢟ ൌ ࢚ࢍ ࢞ ‫ݔ݃ݐ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ , ܿ‫ݔݏ݋‬ ് 0 ݁݊‫ݐ‬ã‫݋‬ ‫ݔ‬ ് గ ଶ ൅ ݇ߨ A ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ não está definida nos arcos ቀ ‫ݔ‬ ൌ గ ଶ ൅ ݇ߨ ቁ ൌ 90° , 270°, … A ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ é Í‫:ܴܣܲܯ‬ é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ). ‫݃ݐ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫݃ݐ‬ ቀെ గ ସ ቁ ൌ െ ‫݃ݐ‬ గ ସ ‫ݔ‬ െߨ ିగ ଶ 0 గ ଶ π ଷగ ଶ 2π ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݔ‬ െ1 0 1 0 െ1 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . ܶ ൌ 2ߨ P ‫ݔ‬ 1 -1 0 N R ‫ݔ‬
  45. 45. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 45 Função do tipo: ࢟ ൌ ࢇ ൅ ࡭ ࢙ࢋ࢔ ࢈࢞ ࢇ ൌ deslocamento do ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫׵‬ ࢇ ൌ ‫.݋ݐ݌‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ െ ‫ܣ‬ ࡭ ൌ ܽ݉‫݁݀ݑݐ݈݅݌‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ‫ܣ‬ ൐ 0 , é ‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ݉é݀݅‫݋‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ࡭ ൌ ெá௫௜௠௢ – ௠í௡௜௠௢ ଶ ࢈ ൌ ‫ݎ݁݌‬í‫݋݀݋‬ ݀ܽ ‫ܽ݀݊݋‬ ࢀ ൌ ଶగ ௕ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૛ ൅ ૜ ࢙ࢋ࢔૛࢞ Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ࢙ࢋ࢔࢕. ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ ܽ ൌ 2 ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ ݀݁‫ݑ݋ܿ݋݈ݏ‬ 2 ‫ݏ݁݀ܽ݀݅݊ݑ‬ A ‫ܣ‬ ൌ 3 ܾ ൌ 2 ‫׵‬ ࢀ ൌ ଶగ ௕ ൌ ଶగ ଶ ൌ ߨ ܽ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 2 ൅ 3 ൌ 5 0 గ ଶ ߨ ଷగ ଶ 2ߨ ‫ݔ‬ ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1 Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૛ ൅ ૜ ࢉ࢕࢙૛࢞ Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ࢉ࢕࢙࢙ࢋ࢔࢕. ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ ܽ ൌ 2 ‫ܣ‬ ൌ 3 ܾ ൌ 2 ‫׵‬ ࢀ ൌ ଶగ ௕ ൌ ଶగ ଶ ൌ ߨ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 2 ൅ 3 ൌ 5 0 గ ସ గ ଶ ଷగ ସ ߨ ହగ ସ ‫ݔ‬ ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 2 െ 3 ൌ െ1 Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função ࢟ ൌ ૟ ࢙ࢋ࢔ ૝࢞ Solução: ‫ܣ‬ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ é ‫.݋݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ܶ ൌ ߨ 2ൗ ܽ ൌ 0 ‫ܣ‬ ൌ 6 ܾ ൌ 4 ฺ ࢀ ൌ ଶగ ௕ ൌ ଶగ ସ ൌ గ ଶ 0 గ ଼ గ ସ ଷగ ଼ గ ଶ ߨ ଷగ ଶ ‫ݔ‬ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܽ ൅ ‫ܣ‬ ൌ 0 ൅ 6 ൌ 6 ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ െ ‫ܣ‬ ൌ 0 െ 6 ൌ െ6 െ1 . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . 2 . ...................................... െ1 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . ......... 2...................................... െ6 . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . .
  46. 46. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 46 Exercícios: 1) Esboçar o gráfico das funções abaixo: a) ‫ݕ‬ ൌ 1 ൅ ‫ݔ݊݁ݏ‬ b) ‫ݕ‬ ൌ 1 ൅ ܿ‫ݔݏ݋‬ c) ‫ݕ‬ ൌ 3 ൅ 2‫ݔ2݊݁ݏ‬ d) ‫ݕ‬ ൌ 2 ൅ 3ܿ‫ݔ2ݏ݋‬ e) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ 4‫ݔ‬ f) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݔ4ݏ݋‬ 2) Determine a função , para um período , de cada um dos gráficos abaixo: a) ܱ ݃‫ݎ‬á݂݅ܿ‫݋‬ é ݀ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ … … … … … … … … ‫ݕ‬ ܶ ൌ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ܽ ൌ ‫ܣ‬ ൌ 0 గ ଶ ߨ ଷగ ଶ 2ߨ ‫ݔ‬ ܾ ൌ Resposta: ‫ݕ‬ ൌ b) ܱ ݃‫ݎ‬á݂݅ܿ‫݋‬ é ݀ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ … … … … … … … … ‫ݕ‬ ܶ ൌ ܲ‫.݋ݐ‬ ‫ܯ‬á‫݋݉݅ݔ‬ ൌ ܲ‫.݋ݐ‬ ݉í݊݅݉‫݋‬ ൌ ࢀ ൌ ଶగ ௕ ฺ ܾ ൌ ... 0 గ ଶ ߨ ଷగ ଶ 2ߨ ‫ݔ‬ ܽ ൌ ‫ܣ‬ ൌ Resposta: ‫ݕ‬ ൌ െ1 . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . െ4 . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . .
  47. 47. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 47 ‫݊ݑܨ‬çã‫݋‬ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ : ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߠሻ A função ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߠሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ݀݅ܽ݊‫ܽ݀ܽݐ‬ em relação a função ‫݋݊݁ݏ‬ . A função ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ െ ߠሻ ݁‫ݐݏ‬á ܽ‫ܽ݀ܽݏܽݎݐ‬ em relação ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫.݋݊݁ݏ‬ Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : ࢟ ൌ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ൅ ࣊ ૟ ሻ Solução: A função seno está defasada em 30°em relação a função seno. ߠ ൌ ߨ 6 ൌ 30° ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬ ݂ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ ݁݉ 30° ‫ܣ‬ ൌ 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . ିଵ଴గ ଺ ିଽగ ଷ ି଼గ ଺ ି଻గ ଺ ି଺గ ଺ ିହగ ଺ ିସగ ଺ ିగ ଶ ିగ ଷ ିగ ଺ 0 గ ଺ గ ଷ గ ଶ ସగ ଺ ହగ ଺ ߨ ଻గ ଺ ଼గ ଺ ଷగ ଶ ଵ଴గ ଺ ଵଵగ ଺ 2ߨ ‫ݔ‬ O ponto máximo : 90° െ 30° ൌ 60° ൌ గ ଷ O ponto mínimo: 270° െ 30° ൌ 240° ൌ ଼గ ଺ Corta o ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ nos pontos : െ ࣊ ૟ , 180° െ 30° ൌ 150° ൌ ૞࣊ ૟ e 360° െ 30° ൌ 330° ൌ ૚૚࣊ ૟ Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : ࢟ ൌ ࢙ࢋ࢔ ሺ ࢞ ൅ ࣊ ૜ ሻ O ponto máximo : 90° െ 60° ൌ 30° ൌ గ ଺ O ponto mínimo: 270° െ 60° ൌ 210° ൌ 7ߨ 6 Corta o ݁݅‫݋ݔ‬ ‫ݔ‬ nos pontos : െ ࣊ ૜ , 180° െ 60° ൌ 120° ൌ ૛࣊ ૜ e 360° െ 60° ൌ 300° ൌ ૞࣊ ૜ ߠ ൌ ߨ 3 ൌ 60° ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ܶ ൌ 2ߨ ‫ݕ‬ ݂ ݂݀݁ܽ‫ܽ݀ܽݏ‬ ݁݉ 60° ‫ܣ‬ ൌ 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . ିଵ଴గ ଺ ିଽగ ଷ ି଼గ ଺ ି଻గ ଺ ି଺గ ଺ ିହగ ଺ ିସగ ଺ ିగ ଶ ିగ ଷ ିగ ଺ 0 గ ଺ గ ଷ గ ଶ ସగ ଺ ହగ ଺ ߨ ଻గ ଺ ଼గ ଺ ଷగ ଶ ଵ଴గ ଺ ଵଵగ ଺ 2ߨ ‫ݔ‬ . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . 1 ܶ ൌ 2ߨ 30° . . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . . 1 ܶ ൌ 2ߨ 60°
  48. 48. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 48 Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas : a) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߨ 4 ሻ b) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߨ 2 ሻ c) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ሺ ‫ݔ‬ െ ߨ 3 ሻ d) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ ൅ ߨ 4 ሻ e) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ሺ ‫ݔ‬ െ ߨ 2 ሻ
  49. 49. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 49 Arcos Simétricos : 180° െ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൅ - Sentido anti- horário = sentido positivo ( ൅ ). 180° ൅ ‫ݔ‬ െ 1º Quadrante ሺ 0° ܽ 90°ሻ: As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ). 2º Quadrante ( 90° ܽ 180°): Quanto falta para 180° ? ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ ‫°021݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° െ 120°ሻ ൌ ൅‫°06݊݁ݏ‬ ൌ 0,866 ܿ‫°021ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° െ 120°ሻ ൌ െܿ‫°06ݏ݋‬ ൌ െ 0,5 ‫°021݃ݐ‬ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ180° െ 120°ሻ ൌ െ‫°06݃ݐ‬ ൌ െ 1,732 3º Quadrante ሺ180° ܽ 270°ሻ: Quanto passou de 180° ? ‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ 180° ൅ ‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅ ‫°012݊݁ݏ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ‫°03݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,5 ܿ‫°012ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ െ 0,866 ‫°012݃ݐ‬ ൌ ൅ ‫݃ݐ‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ ൅ ‫°03݃ݐ‬ ൌ 0,577 4º Quadrante ሺ270°ܽ 360°ሻ: Quanto falta para 360° ? ‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ 360° െ ‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ ‫°513݊݁ݏ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ360° െ 315°ሻ ൌ െ ‫°54݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,707 ܿ‫°513ݏ݋‬ ൌ ൅ ܿ‫ݏ݋‬ሺ360° െ 315°ሻ ൌ ൅ ܿ‫°54ݏ݋‬ ൌ ൅ 0,707 ‫°513݃ݐ‬ ൌ െ ‫݃ݐ‬ሺ360° െ 315°ሻ ൌ െ ‫°54݃ݐ‬ ൌ െ1 360° െ ‫ݔ‬ 180° െ ‫.................ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬
  50. 50. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 50 - Sentido horário ou sentido negativo ( െ ). 4º Quadrante 0° ܽ ሺെ90°ሻ: ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ ‫ݔ‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅ െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ሺെ30°ሻ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ 30° ൌ െ 0,5 ‫׵‬ ‫݋݊݁ݏ‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ Í݉‫,ݎܽ݌‬ ‫݊݁ݏ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ cosሺെ30°ሻ ൌ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ 0,866 ‫׵‬ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ܲܽ‫,ݎ‬ ܿ‫ݏ݋‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫݃ݐ‬ሺെ30°ሻ ൌ െ ‫°03݃ݐ‬ ൌ െ 0,577 ‫׵‬ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ é ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ Í݉‫,ݎܽ݌‬ ‫݃ݐ‬ሺെ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ݃ݐ‬ 3º Quadrante ሺെ 90°ሻ ܽ ሺെ180°ሻ: ‫ݔ‬ ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ െ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅ ‫݊݁ݏ‬ሺെ120°ሻ ൌ െ‫°021݊݁ݏ‬ ൌ െ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° െ 60°ሻ ൌ െ‫°06݊݁ݏ‬ ൌ െ 0,866 cosሺെ120°ሻ ൌ ܿ‫°021ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° െ 60°ሻ ൌ െܿ‫°06ݏ݋‬ ൌ െ 0,5 ‫݃ݐ‬ሺെ120°ሻ ൌ െ‫°021݃ݐ‬ ൌ െ൫െ‫݃ݐ‬ሺ180° െ 120°ሻ൯ ൌ ൅‫°06݃ݐ‬ ൌ ൅ 1,732 2º Quadrante ሺെ180° ሻ ܽ ሺെ270°ሻ: ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ െ ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ െ ‫݊݁ݏ‬ሺെ210°ሻ ൌ െ‫°012݊݁ݏ‬ ൌ െ൫െ ‫݊݁ݏ‬ ሺ180° ൅ 30°ሻ൯ ൌ ൅ ‫°03݊݁ݏ‬ ൌ ൅ 0,5 cos ሺെ210°ሻ ൌ ܿ‫°012ݏ݋‬ ൌ െ ܿ‫ݏ݋‬ሺ180° ൅ 30°ሻ ൌ െ ܿ‫°03ݏ݋‬ ൌ െ 0,866 ‫݃ݐ‬ሺെ210°ሻ ൌ െ‫°012݃ݐ‬ ൌ െ൫൅ ‫݃ݐ‬ሺ180° ൅ 30°ሻ൯ ൌ െ ‫°03݃ݐ‬ ൌ െ 0,577 1º Quadrante ሺെ270°ሻ ܽ ሺെ360°ሻ: ‫݋݊݁ݏ‬ ൌ ൅ ‫݊݁ݏ‬ሺെ315°ሻ ൌ ‫°54݊݁ݏ‬ ൌ ൅ 0,707 ܿ‫݋݊݁ݏݏ݋‬ ൌ ൅ cos ሺെ315°ሻ ൌ ܿ‫°54ݏ݋‬ ൌ ൅0 ,707 ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ൌ ൅ ‫݃ݐ‬ሺെ315°ሻ ൌ ‫°54݃ݐ‬ ൌ ൅1 െ‫ݔ‬
  51. 51. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 51 LIMITES DE FUNÇÕES ࡿ ൌ ૚ Idéia Intuitiva de Limite: Seja a figura de forma quadrada e de área igual a 1. A soma de todas as áreas hachuradas vai se aproximar de 1, dizemos que essa ‫ܽ݉݋ݏ‬ ‫݁݀݊݁ݐ‬ ܽ 1, matematicamente nunca será igual a 1, sempre haverá uma divisão da figura. + ૚ ૝ൗ + ૚ ૝ൗ + ૚ ૝ൗ ... + ... ૚ ૚ ૛ൗ ૚ ૛ൗ ૚ ૛ൗ ૚ ૛ൗ Quando as divisões tendem ao infinito a área da figura tende a 1. Definição: Dizemos que o limite da função ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ, quando ‫ݔ‬ tende a ܽ é o número real ‫ܮ‬ se e somente se, os números reais da imagem ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ permanecem bem próximo s de ‫ܮ‬ para os infinitos valores de ‫ݔ‬ próximos de ܽ. y ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ lim ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ௫՜௔ ൌ ‫ܮ‬ 0 ܽ ‫ݔ‬ lê-se: limite da função ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ quando ‫ݔ‬ tende a ܽ é ‫.ܮ‬ ݂ሺ ‫ݔ‬ ሻ ՜ ‫ܮ‬ ‫݋݀݊ܽݑݍ‬ ‫ݔ‬ ՜ ܽ Limites Laterais: Para que exista limite é necessário que exista limite pela esquerda e pela direita do ponto e que esses limites sejam iguais. Lim௫՜௔ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ lim௫՜௔ష ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ lim௫՜௔శ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ൌ ‫ܮ‬ ‫ܮ‬ െ ૚ ૡൗ 1⁄16 ૚ ૡൗ
  52. 52. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 52 Y Unicidade do limite: O limite quando existe é único. 4 Lim ௫՜ଶష ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 4 0 1 2 3 x lim ௫՜ଶశ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3 -3 . . . . . Exemplo1: Qual o limite da função ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 2 quando ‫ݔ‬ ՜ 0 , ‫ݔ‬ ՜ 2 . Y 2 0 1 2 3 4 ‫ݔ‬ -2. . . . . . . . . . . ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ‬ ൅ 2 lim ௫՜଴ ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜଴ ሺെ0 ൅ 2ሻ ൌ 2 lim ௫՜ଶ ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜ଶ ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0 lim ௫՜଴ష ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜଴ష ሺെ0 ൅ 2ሻ ൌ 2 lim ௫՜ଶష ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜ଶష ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0 lim ௫՜଴శ ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜଴శ ሺെ0 ൅ 2ሻ ൌ 2 lim ௫՜ଶశ ሺെ‫ݔ‬ ൅ 2ሻ ൌ lim ௫՜ଶశ ሺെ2 ൅ 2ሻ ൌ 0 Exemplo 2: Calcular o lim ‫ݔ‬՜1െ √‫ݔ‬ െ 1 lim ௫՜ଵశ √‫ݔ‬ െ 1 e lim ௫՜ହ √‫ݔ‬ െ 1 Solução: A condição de existência desse limite é: O radicando ‫ݔ‬ െ 1 ൒ 0 ‫׵‬ ‫ݔ‬ ൒ 1 , existe a função para valores maiores ou igual 1, portanto lim ௫՜ଵష √‫ݔ‬ െ 1 ൌ ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݊ã‫݋‬ ݁‫ݐݏ‬á ݂݀݁݅݊݅݀ܽ , ݈‫݋݃݋‬ ‫׍‬ ݈݅݉݅‫.,݁ݐ‬ y ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ lim ௫՜ଵ √‫ݔ‬ െ 1 ൌ lim ‫ݔ‬՜1 √1 െ 1 ൌ lim ‫ݔ‬՜1 √0 ൌ 0 1 0 lim ௫՜ଵశ √‫ݔ‬ െ 1 ൌ lim ௫՜ଵశ √1 െ 1 ൌ lim ௫՜ଵశ √0 ൌ 0 0 1 x 5 2 lim ௫՜ହ √‫ݔ‬ െ 1 ൌ lim ௫՜ହ √5 െ 1 ൌ lim ௫՜ହ √4 ൌ 2 10 3 Não existe limite da função ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ െ 1 quando ‫ݔ‬ ՜ 1ି Supondo que a função ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ െ 1 for contínua para todo ‫ݔ‬ ൒ 1 então o limite vai existir para quaisquer valores do domínio. Por exemplo: ‫ݔ‬ ՜ 2 , ‫ݔ‬ ՜ 3 ... ‫ݔ‬ ՜ ∞ . ് ‫ݏ݁ݐ݅݉݅ܮ‬ ฺ ‫׍‬ lim݂ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ݔ‬՜2
  53. 53. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 53 Símbolos ൅ ∞ e െ ∞ em limites ൅ ∞ lê – se mais infinito, representa um valor muito alto. Não é número. െ ∞ lê – se menos infinito, representa um valor muito pequeno. Exemplos 1: Seja ࢟ ൌ ࢋି࢞ , função exponencial decrescente y a) lim ௫՜ାஶ ݁ି௫ ൌ lim ௫՜ାஶ ଵ ௘ೣ ൌ lim ௫՜ାஶ ଵ ௘ಮ ൌ lim ௫՜ାஶ ଵ ஶ ൌ 0 1 - ∞ 0 +∞ b) lim ௫՜ିஶ ݁ି௫ ൌ lim ௫՜ିஶ ݁ିሺିஶሻ ൌ lim ௫՜ିஶ ݁ஶ ൌ ൅∞ c) lim ௫՜଴ ݁ି௫ ൌ lim ௫՜଴ ݁଴ ൌ lim ௫՜଴ 1 ൌ 1 Exemplos 2: + ∞ Seja ‫ݕ‬ ൌ ଵ ௫ , ‫ݔ‬ ് 0, O gráfico da função é uma hipérbole. lim ௫՜ିஶ ଵ ௫ ൌ lim ௫՜ିஶ ଵ ିஶ ൌ 0 - ∞ 0 + ∞ lim ௫՜ାஶ ଵ ௫ ൌ lim ௫՜ାஶ ଵ ஶ ൌ 0 lim ௫՜଴ష ଵ ௫ ൌ െ∞ ് lim ௫՜଴శ ଵ ଴ ൌ ൅∞ ֜ ‫׍‬ lim ௫՜଴ ଵ ௫ - ∞
  54. 54. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 54 LIMITES FUNDAMENTAIS: 1) lim ௫՜଴ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ ൌ 1 2) lim ௫՜േஶ ሺ1 ൅ ଵ ௫ ሻ௫ ൌ ݁ ؆ 2,72 Exemplos : Calcular os limites a) lim ௫՜଴ ‫ݔ4݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ ൌ lim ௫՜଴ 4 ‫ݔ4݊݁ݏ‬ 4‫ݔ‬ ൌ lim ௫՜଴ 4 . lim ௫՜଴ ‫ݔ4݊݁ݏ‬ 4‫ݔ‬ ൌ 4 . 1 ൌ 4 b) lim ௫՜ାஶ ሺ1 ൅ ଵ ଷ௫ ሻଷ௫ ൌ ݁ ؆ 2,72 c) lim ௫՜ାஶ ሺ1 ൅ ଵ ௫ ሻଶ௫ ൌ lim ௫՜ାஶ ቂሺ1 ൅ ଵ ௫ ሻ௫ ቃ ଶ ൌ ݁ଶ ؆ 7,4 Exercícios: Calcular o limite das funções abaixo, caso exista: a) lim ௫՜ଵ 3‫ݔ‬ ൅ 4 ൌ b) lim ௫՜ଶ ‫ݔ‬2 െ 7‫ݔ‬ ൅ 10 ൌ c) lim ௫՜ଽ଴° ‫ݔ݊݁ݏ‬ ൌ d) lim ௫՜గ ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ e) lim ௫՜ଽ଴° ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ f) lim ௫՜଻ √‫ݔ‬ െ 4 ൌ g) lim ௫՜଴శ ଵ ௫ ൌ Respostas: a) 7 b) 0 c) 1 d) െ1 e) 0 f) √3 g) ൅∞ h) െ∞
  55. 55. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 55 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DERIVADA DE UMA FUNÇÃO : A função primitiva passa por um processo de derivação, derivando uma nova função chamada de função derivada . Seja a função ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ contínua ( existe o limite da função no ponto e este limite é finito) ‫ݔ‬ ݁ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ dois pontos de seu domínio. Acréscimo da variável independente ࢞ ∆‫ݔ‬ ൌ é a diferença entre o valor com o acréscimo e o primeiro valor. Ex: ‫ݔ‬ ൌ 4 ݁ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ ൌ 9 então ∆‫ݔ‬ ൌ 5 é o acréscimo. Acréscimo da variável dependente ࢟ ∆‫ݕ‬ ൌ é a diferença entre o valor que a função toma em ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ e o valor da função em ‫.ݔ‬ ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ – ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ. RAZÃO INCREMENTAL ൌ ∆࢟ ∆࢞ é a razão entre o acréscimo da variável dependente ‫ݕ‬ em relação ao acréscimo da variável independente ‫ݔ‬ . ‫ݕ‬ Quando ∆‫ݔ‬ tende a zero ( ∆‫ݔ‬ ՜ 0 ) a razão ∆࢟ ∆࢞ vai chegar no limite, e esse limite é a função derivada em ࢞. lim∆௫՜଴ ∆௬ ∆௫ ൌ lim ∆௫՜଴ ௙ሺ௫ା∆௫ሻ ି ௙ሺ௫ሻ ∆௫ ൌ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬ Definição : A derivada de uma função é o limite da razão entre o acréscimo da variável dependente em relação ao acréscimo da variável independente, quando esta última tende a zero. Representamos esta nova função pelos Símbolos da função derivada: ࢊ࢟ ࢊ࢞ = ࢟´ ൌ ࢌ´ሺ࢞ሻ ൌ ࢊ ࢊ࢞ ࢟ Lê-se : ࢊࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ ࢊࢋ ࢟ ࢋ࢓ ࢘ࢋ࢒ࢇçã࢕ ࢇ ࢞ ݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݂ሺ‫)ݔ‬ ...... 0 ‫ݔ‬ ∆‫ݔ‬ ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ ‫ݔ‬
  56. 56. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 56 PROCESSO DE DERIVAÇÃO ou Regra Geral de Derivação : Regra dos 4 Passos. Seja ܻ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ função e x um ponto fixo , pré-estabelecido 1º Passo: ‫ݕ‬ ൅ ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ Damos um ∆x à variável independente, implicando acréscimo ∆y na função (x coloca-se ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ) 2º Passo ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ െ ‫ݕ‬ Fazemos a subtração da função,sabemos que y =f(x) ∆‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ሻ െ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ Dividimos ∆‫ݔ‬ em ambos os membros da equação 3º Passo ∆௬ ∆௫ ൌ ௙ ሺ ௫ା ∆௫ ሻ– ௙ ሺ ௫ ሻ ∆௫ Fazendo ∆x→0 a razão ∆௬ ∆௫ chega ao limite 4º Passo ‫ܕܑܔ‬∆࢞→૙ ∆࢟ ∆࢞ = ‫ܕܑܔ‬∆࢞→૙ ࢌሺ࢞ା∆࢞ሻି ࢌሺ࢞ሻ ∆࢞ = ࢊ࢟ ࢊ࢞ Esse limite é a derivada da função inicial Exemplos : Utilizando o processo definição de derivada calcule a derivada das funções abaixo: a) ‫ݕ‬ = ૞࢞ ൅ ૜ 1º Passo: 5‫ݔ‬ ൅ 3 ൅ ∆‫ݕ‬ = 5ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ ൅ 3 2º Passo ∆‫ݕ‬ = 5‫ݔ‬ ൅ 5 ∆‫ݔ‬ ൅ 3 െ 5‫ݔ‬ െ 3 ∆‫ݕ‬ = 5 ∆‫ݔ‬ 3º Passo ∆௬ ∆௫ = ହ ∆௫ ∆௫ 4º Passo lim∆௫→଴ ∆௬ ∆௫ = lim∆௫→଴ 5 = 5 ܴ݁‫:ܽݐݏ݋݌ݏ‬ ࢊ ࢊ࢞ ૞࢞ ൅ ૜ = ૞
  57. 57. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 57 b) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ 1º Passo ‫ݕ‬ ൅ ∆‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ 2º Passo ∆‫ݕ‬ ൌ ‫.ݔ݊݁ݏ‬ ܿ‫ݏ݋‬ ∆‫ݔ‬ ൅ ‫݊݁ݏ‬ ∆‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬ 3º Passo ୼௬ ୼௫ ൌ ௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫ା௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫ି௦௘௡௫ ∆௫ 4º Passo lim∆௫՜଴ ∆௬ ∆௫ ൌ lim∆௫՜଴ ௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫ା௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫ି௦௘௡௫ ∆௫ ൌ lim∆௫՜଴ ௦௘௡௫.௖௢௦ ∆௫ ∆௫ ൅ lim∆௫՜଴ ௦௘௡ ∆௫.௖௢௦௫ ∆௫ െ lim∆௫՜଴ ௦௘௡௫ ∆௫ ൌ ݈݅݉ ∆௫՜଴ ‫.ݔ݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬ . lim ∆௫՜଴ cos ∆‫ݔ‬ ൅ lim ∆௫՜଴ ‫݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬ ∆‫ݔ‬ . lim ∆௫՜଴ ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim ∆௫՜଴ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬ ൌ ݈݅݉∆௫՜଴ ௦௘௡௫. ∆௫ . lim∆௫՜଴ cos 0° ൅ 1 . lim∆௫՜଴ ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim∆௫՜଴ ௦௘௡௫ ∆௫ ൌ ݈݅݉ ∆‫ݔ‬՜0 ‫.ݔ݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬ ൅ lim ∆‫ݔ‬՜0 ܿ‫ݔݏ݋‬ െ lim ∆‫ݔ‬՜0 ‫ݔ݊݁ݏ‬ ∆‫ݔ‬ ൌ lim ∆௫՜଴ ܿ‫ݔݏ݋‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ Resposta: ࢊ ࢊ࢞ ࢙ࢋ࢔࢞ ൌ ࢉ࢕࢙࢞
  58. 58. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 58 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Determinar ௗ௬ ௗ௫ das funções abaixo, utilizando a definição de derivada . a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ b) ‫ݕ‬ ൌ 10‫ݔ‬ െ 4 c) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ Respostas: a) ௗ௬ ௗ௫ ൌ 1 b) ௗ௬ ௗ௫ ൌ 10 c) ௗ௬ ௗ௫ ൌ 2‫ݔ‬ ൅ 3 Para encontrar a derivada de uma função usando a Regra geral de derivação é um trabalho exaustivo e demorado. Assim faremos o uso de um formulário de derivadas.
  59. 59. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 59 FÓRMULA DE DERIVAÇÃO: Sejam ࢛, ࢜ ݂‫݊ݑ‬çõ݁‫ݏ‬ ݀݁‫ݒ݅ݎ‬á‫ݏ݅݁ݒ‬ ݁݉ ‫ݔ‬ ݁ ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ. FUNÇÃO DERIVADA 1 ‫ݕ‬ ൌ ݇ cte. ‫´ݕ‬ൌ 0 2 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ ‫´ݕ‬ൌ 1 3 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬ 4 ‫ݕ‬ ൌ ܽ . ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ܽ . ‫´ݑ‬ ܽ ൌ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬ 5 ‫ݕ‬ ൌ ௨ ௔ ‫´ݕ‬ൌ ௨´ ௔ 6 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬௡ ‫´ݕ‬ൌ ݊ . ‫ݑ‬௡ିଵ . ‫´ݑ‬ 7 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ ൅ ‫ݒ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬൅ ‫´ݒ‬ 8 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ . ‫ݒ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬‫ݒ‬ ൅ ‫ݑ‬ ‫´ݒ‬ 9 ‫ݕ‬ ൌ ௨ ௩ ‫´ݕ‬ൌ ௨´௩ ି ௨ ௩´ ௩మ 10 ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݑ‬ 11 ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݏ݋‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ െ ‫.ݑ‬ ´‫݊݁ݏ‬ ‫ݑ‬ 12 ‫ݕ‬ ൌ ݁௨ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ݁௨ 13 ‫ݕ‬ ൌ ݈݊ ‫ݑ‬ ‫ݕ‬ ´ൌ ௨´ ௨ 14 ‫ݕ‬ ൌ ‫݃ݐ‬ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ‫´ݑ‬. ሺ‫ܿ݁ݏ‬ ‫ݑ‬ሻଶ 15 ‫ݕ‬ ൌ ܽ௨ ‫´ݕ‬ൌ ܽ௨ . ݈݊ ܽ . ሺ ‫´ݑ‬ሻ 16 ‫ݕ‬ ൌ ݈‫݃݋‬௔ ‫ݑ‬ ‫´ݕ‬ൌ ௨´ ௨ .௟௡ ௔ 17 ‫ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬௩ ‫´ݕ‬ൌ ‫ݒ‬ ‫ݑ‬௩ିଵ . ‫´ݑ‬൅ ‫ݑ‬௩ . ݈݊ ‫ݑ‬ . ‫´ݒ‬ REGRA DA CADEIA : ( derivada da função composta ሻ: Sejam as funções ݂ ݁ ݃ ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݑ‬ ሻ ݁ ‫ݑ‬ ൌ ݃ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ݁݊‫ݐ‬ã‫݋‬ ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሾ ݃ ሺ‫ݔ‬ሻሿ ൌ ሺ ݂‫݃݋‬ ሻሺ‫ݔ‬ሻ ݂‫݊ݑ‬çã‫݋‬ ܿ‫ܽݐݏ݋݌݉݋‬ : ௗ௬ ௗ௫ ൌ ௗ௬ ௗ௨ . ௗ௨ ௗ௫ DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR : são derivadas sucessivas da função ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ሻ ‫´ݕ‬ ൌ ݂´ሺ ‫ݔ‬ ሻ é ܽ 1ª ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬ ‫´ݕ‬´ൌ ݂´´ሺ ‫ݔ‬ ሻ é ܽ 2ª ݀݁‫ܽ݀ܽݒ݅ݎ‬ ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬ ‫´ݕ‬´ൌ ݂´ሺ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ ሻ Exemplo : Calcular a 3ª derivada da função ‫ݕ‬ ൌ 2 ‫ݔ‬ଷ ൅ 5 ‫ݔ‬ଶ – 3 ‫ݔ‬ ൅ 5 ‫ݕ‬ ´ൌ 6 ‫ݔ‬ଶ ൅ 10‫ݔ‬ െ 3 ‫´ݕ‬´ൌ 12 ‫ݔ‬ ൅ 10 ‫´ݕ‬´´ൌ 12
  60. 60. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 60 Exemplos de cálculo de derivadas usando a tabela: 1) ࢟ ൌ ࢑ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ૙ ࢑ ൌ ࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ a) ‫ݕ‬ ൌ 8 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0 b) ‫ݕ‬ ൌ 1 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0 c) ‫ݕ‬ ൌ െ3 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0 d) ‫ݕ‬ ൌ ߨ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0 e) ‫ݕ‬ ൌ ݉ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 0 2) ࢟ ൌ ࢞ ࢟ ൌ ࢇ. ࢞ ࢇ ൌ ࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ : número ou letra a) ࢟ ൌ ࢞ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ૚ b) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ1 c) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 d) ‫ݕ‬ ൌ െ ‫ݔ‬ 3 ‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ ‫ݔ‬ 3 e) ‫ݕ‬ ൌ ݉‫ݔ‬ ֜ ‫´ݕ‬ ൌ ݉ 3) ࢟ ൌ ࢛࢔ ֜֜֜֜ ࢟ ´ ൌ ࢔.࢛࢔െ૚.࢛´ a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬2 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 .‫ݔ‬2െ1.1 ൌ 2‫ݔ‬ b) ‫ݕ‬ ൌ 2‫ݔ‬3 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 .3. ‫ݔ‬3െ1.1 ൌ 6‫ݔ‬ଶ c) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬4 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ4 .‫ݔ‬4െ1.1 ൌ െ 4‫ݔ‬ d) ‫ݕ‬ ൌ ሺ3‫ݔ‬ሻଷ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 3 ሺ3‫ݔ‬ሻଷିଵ . 3 ൌ 3.3. ሺ3‫ݔ‬ሻଶ ൌ 9.9‫ݔ‬ଶ ൌ 81‫ݔ‬ଶ e) ‫ݕ‬ ൌ ‫݊݁ݏ‬ଶ ‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2. ‫݊݁ݏ‬ଶିଵ ‫ݔ‬ . ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2. ‫ݔ݊݁ݏ‬ . ܿ‫ݔݏ݋‬
  61. 61. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 61 4) ࢟ ൌ ࢜ ൅ ࢛ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´ ൅ ࢜ ´ a) ‫ݕ‬ ൌ 5‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ െ 4 ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 5.2‫ݔ‬ ൅ 3 െ 0 ൌ 10‫ݔ‬ ൅ 3 ݁௫ b) ‫ݕ‬ ൌ െ‫ݔ‬ଷ ൅ ܿ‫ݔ3ݏ݋‬ ൅ 7‫ݔ‬ ൅ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ3 ‫ݔ‬ଶ െ 3. ܿ‫ݔ3ݏ݋‬ ൅ 7 c) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ସ െ ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ൅ ݉‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ 4 ‫ݔ‬ସିଵ െ 2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ൅ ݉ ൌ 4‫ݔ‬ଷ െ 2݉‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ݉ 5) ࢟ ൌ ࢛ . ࢜ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´. ࢜ ൅ u. v a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ . ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ ൅ u. v ‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 1 ‫ݕ‬ ´ ൌ 1. ‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݒ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ൅ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ b) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ . ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ ൅ ‫ݑ‬ . ‫ݒ‬ ´ ‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ൅ ‫ݔ‬ଶ . ሺെ5‫ݔ5݊݁ݏ‬ሻ ‫ݒ‬ ൌ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ െ5 ‫ݔ5݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 2‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ െ 5‫ݔ‬ଶ . ‫ݔ5݊݁ݏ‬ 6) ࢟ ൌ ࢛ ࢜ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´. ࢜ െ ࢛ .࢜ ´ ࢜૛ a) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ8݊݁ݏ‬ 4‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ െ ‫ݑ‬ .‫ݒ‬ ´ ‫ݒ‬2 ‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ8݊݁ݏ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 8. ܿ‫ݔ8ݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ 8.ܿ‫ݔ8ݏ݋‬ .൫4‫ݔ‬൯ െ ‫ݔ8݊݁ݏ‬ .ሺ4ሻ ሺ4‫ݔ‬ሻ 2 ‫ݒ‬ ൌ 4‫ݔ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ 4 ‫ݕ‬ ´ ൌ 64‫ݔ8ݏ݋ܿ.ݔ‬ െ 8 ‫ݔ8݊݁ݏ‬ 16‫ݔ‬ 2 b) ‫ݕ‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´. ‫ݒ‬ െ ‫ݑ‬ .‫ݒ‬ ´ ‫ݒ‬2 ‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ሺെ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ. ‫ݔ݊݁ݏ‬ െ ܿ‫ݔݏ݋‬ .cosx ሺ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ 2 ‫ݒ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݒ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ି௦௘௡మ௫ ି ୡ୭ୱమ୶ ௦௘௡మ௫
  62. 62. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 62 7) ࢟ ൌ ࢒࢔࢛ ֜ ࢟ ´ ൌ ࢛ ´ ࢛ a) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊2‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´ ‫ݑ‬ ‫ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2 ‫ݕ‬ ´ ൌ 2 2‫ݔ‬ ൌ ଵ ௫ b) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬´ ൌ ௨ ´ ௨ ‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ֜ ‫´ݑ‬ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ‫ݔ݊݁ݏ‬ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ‫ݔ݃ݐ‬ c) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊ ሺ‫ݔ‬ଶ െ 3xሻ ֜ ‫´ݕ‬ ൌ ‫ݑ‬ ´ ‫ݑ‬ ‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ‬2 െ 3x ֜ ‫´ݑ‬ ൌ 2‫ݔ‬ െ 3 ‫ݕ‬ ´ ൌ 2‫ݔ‬െ3 ‫ݔ‬2െ3x 8) ‫ݕ‬ ൌ ݁‫ݑ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´.݁‫ݑ‬ a) ‫ݕ‬ ൌ ݁9‫ݔ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬ ´.݁‫ݑ‬ ‫ݑ‬ ൌ 9‫ݔ‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ 9 ‫ݕ‬ ´ ൌ 9.݁9‫ݔ‬ b) ‫ݕ‬ ൌ ݁‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬´.݁‫ݑ‬ ‫ݑ‬ ൌ ‫ݔ݊݁ݏ‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ ܿ‫ݔݏ݋‬ . ݁‫ݔ݊݁ݏ‬ c) ‫ݕ‬ ൌ ݁ܿ‫ݔ2ݏ݋‬ ֜ ‫ݕ‬ ´ ൌ ‫ݑ‬´.݁‫ݑ‬ ‫ݑ‬ ൌ ܿ‫ݔ2ݏ݋‬ ֜ ‫ݑ‬ ´ ൌ െ2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ‫ݕ‬ ´ ൌ െ2. ‫ݔ2݊݁ݏ‬. ݁ܿ‫ݔ2ݏ݋‬
  63. 63. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 63 Interpretação Geométrica da Derivada: Consideramos a curva de função contínua ‫ݕ‬ ൌ ݂ ሺ ‫ݔ‬ ). Tomemos dois pontos de seu domínio: ‫ݔ‬ ݁ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ com suas respectivas imagens ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݁ ݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ. ݆ܵ݁ܽ ܲ ൫‫ݔ‬ , ݂ሺ‫ݔ‬ሻ൯ ݁ ܳ ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ , ݂ሺ ‫ݔ‬ ൅ ∆ሻ ሻ Pontos da ࢘ࢋ࢚ࢇ ࢙ secante a curva a qual determina uma inclinação com o eixo das abscissas de â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߙ. A ‫݁ݐ݊݁݃݊ܽݐ‬ ݀‫݋‬ â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߙ determina o ܿ‫݁ݐ݂݊݁݅ܿ݅݁݋‬ ܽ݊݃‫ݎ݈ܽݑ‬ ݀ܽ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢙. ‫ܣ‬ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢚ ‫݃ݐ‬ à curva ݊‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ܲ determina uma inclinação de â݊݃‫݋݈ݑ‬ ߠ com o ݁݅‫݋ݔ‬ ݀ܽ‫ݏ‬ ܾܽ‫ݏܽݏݏ݅ܿݏ‬ , ‫.ݔ‬ ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ ∆௬ ∆௫ = coeficiente angular da reta s Se ∆‫ݔ‬ ՜ 0 ‫݋‬ ‫݋ݐ݊݋݌‬ ܳ ՜ ܲ, ܽ ‫ܽݐ݁ݎ‬ ࢙ ՜ ࢚ ݁ ߙ ՜ ߠ,assim ‫ߙ݃ݐ‬ ՜ ‫ߠ݃ݐ‬ , ‫ݑ݋‬ ‫݆ܽ݁ݏ‬ , ‫ߙ݃ݐ‬ ൌ ∆௬ ∆௫ chega ao limite. Esse limite é a derivada da função . Esta derivada é coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ no ponto P. ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ lim∆௫՜଴ ∆௬ ∆௫ ฺ ‫ߠ݃ݐ‬ ൌ ݂´ሺ‫ݔ‬ሻ Conclusão: O valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Exemplo: Achar o coeficiente angular da reta tangente à curva de equação ࢟ ൌ ࢞૛ ൅ ૛࢞ no seu ponto ‫ݔ‬ ൌ 2 . Solução: O coeficiente angular é ݂´ሺ2ሻ, que é a derivada da função dada. ݂´ሺ2ሻ =lim∆௫՜଴ ௙ሺଶା∆௫ሻି ௙ሺଶሻ ∆௫ ݂´ሺ2ሻ ൌ lim∆‫ݔ‬՜0 ሾ ൬2൅∆‫ݔ‬ሻ 2 ൅2 ሺ2൅∆‫ݔ‬ሻ൨െ ሾ22 ൅2.2ሿ ∆‫ݔ‬ ൌ lim∆‫ݔ‬՜0 4൅4∆‫ݔ‬൅ሺ∆‫ݔ‬ሻ 2 ൅4൅2∆‫ݔ‬െ8 ∆‫ݔ‬ ݂´ሺ 2 ሻ = lim∆௫՜଴ ∆௫ሺ∆௫ା଺ሻ ∆௫ = lim∆௫՜଴ ∆‫ݔ‬ ൅ 6 ൌ 0 ൅ 6 ൌ 6 ‫׵‬ ࢌ´ሺ૛ሻ ൌ ૟ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ . . . . . . . . . .• ܲ ‫ݕ‬ ‫ݕ‬ ൌ ݂ሺ‫)ݔ‬ curva ݂ሺ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ሻ … … … … … … … • . ܳ ∆‫ݕ‬ ∆‫ݔ‬ 0 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ൅ ∆‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ߠ ߙ
  64. 64. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 64 Exercícios de derivadas: 1) Dadas as funções encontre sua derivada: respostas a) ‫ݕ‬ ൌ 3‫ݔ‬ଶ ൅ 4‫ݔ‬ െ 5 ௗ௬ ௗ௫ ൌ 6‫ݔ‬ ൅ 4 b) ‫ݏ‬ ൌ 2‫ݐ‬ ൅ ‫ݐ‬ଶ ௗ௦ ௗ௧ ൌ 2 ൅ 2‫ݐ‬ c) ‫ݕ‬ ൌ ଷ ௫మାଶ ௗ௬ ௗ௫ ൌ ି଺௫ ሺ௫మାଶሻమ dሻ ‫ݕ‬ ൌ ௫3ା଻௫ ଺ ௗ௬ ௗ௫ ൌ 3‫ݔ‬2൅7 6 e) ‫ݎ‬ ൌ lnሺ2‫ݔ‬ଶ െ 3‫ݔ‬ ൅ 4ሻ ௗ௥ ௗ௫ ൌ 4‫ݔ‬െ3 2‫ݔ‬2െ3‫ݔ‬൅4 f) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ‬ଶ . ݈݊‫ݔ‬ଶ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݔ‬ ൌ 2‫ݔ‬ሺ 1 ൅ 2݈݊‫ݔ‬ሻ g) ‫ݕ‬ ൌ 2ଶ௫ ௗ௬ ௗ௫ ൌ 2ଶ௫ାଵ . ݈݊2 h) ‫ݕ‬ ൌ െ5‫ݔ‬ହ ௗ௬ ௗ௫ ൌ െ25ସ i) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ 1െ݈݊‫ݔ‬ ‫ݔ‬2 j) ‫ݕ‬ ൌ ݁ଶ௫ା௘ ௗ௬ ௗ௫ ൌ 2݁ଶ௫ା௘
  65. 65. UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia 65 k) ‫ݏ‬ ൌ ݁௧ ௗ௬ ௗ௧ ൌ ݁௧ l) ‫ݕ‬ ൌ ‫.ݔ‬ ܿ‫ݔ5ݏ݋‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ െ5‫ݔ5݊݁ݏݔ‬ ൅ ܿ‫5ݏ݋‬ m) ‫ݕ‬ ൌ ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ 2‫ݔ2ݏ݋ܿݔ‬െ‫ݔ2݊݁ݏ‬ ‫ݔ‬2 n) ‫ݕ‬ ൌ ݁௫ . ܿ‫ݔݏ݋‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ ݁௫ ሺܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ o) ‫ݕ‬ ൌ ݁ି௫ . ‫ݔ݊݁ݏ‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ ݁ି௫ ሺܿ‫ݔݏ݋‬ െ ‫ݔ݊݁ݏ‬ሻ p) ߩ ൌ ݁‫ݐ‬െ1 ݁‫ݐ‬൅1 ௗఘ ௗ௧ ൌ ଶ௘೟ ሺ௘೟ାଵሻమ q) ‫ݕ‬ ൌ ݈݊‫ݔ݊݁ݏ‬ ௗ௬ ௗ௫ ൌ ܿ‫ݔ݃ݐ݋‬ r) ‫ݕ‬ ൌ √݁௫ ௗ௬ ௗ௫ ൌ √௘ೣ ଶ s) ‫ݕ‬ ൌ √‫ݔ‬ଶ3 ௗ௬ ௗ௫ ൌ ଶ ଷ √௫ య

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