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EXERCÍCIOS – APLICAÇÕES DE DERIVADAS
1) A função ( ) 800902
−+−= xxxL nos dá o lucro de um fabricante de canetas de acordo com
o preço x de venda. Qual será o preço para se obter o lucro máximo? Qual será o lucro
máximo?
2) Um carpinteiro pode construir estantes a um custo de 40 u.m. cada. Se o carpinteiro vender
as estantes por x u.m. cada, calcula-se que (300 – 2x) estantes serão vendidas por mês.
a) Expresse o lucro mensal y do carpinteiro como função do preço x.
Dado: Lucro = Receita – Custo
b) Calcule o preço de venda x para que o lucro mensal y seja máximo.
c) Calcule o valor do lucro mensal máximo.
d) Construa o gráfico da função lucro mensal
3) Um terreno retangular às margens de um rio deve ser cercado por todos os lados menos um,
ao longo do rio. O material para a cerca custa 12 u.m. por metro do lado paralelo ao rio e 8
u.m. por metro nos outros dois lados. Dispõe-se de 3.600 u.m. para gastar com a cerca.
a) Se x metros é o comprimento de um lado não paralelo ao rio e y
metros é o comprimento do lado paralelo ao rio, então expresse como
função de x o número de metros quadrados da área de terreno.
b) Use a função área encontrada acima para determinar as dimensões do
terreno de maior área que se pode cercar com 3.600 u.m..
Custo total = soma dos custos de cada lado = 3.600
4) Uma caixa fechada com base quadrada deve apresentar um volume de 2.000 cm3
. O material
para a tampa e fundo da caixa custa 3 u.m. por cm2
, enquanto que o material para os lados
custa 1,5 u.m. por cm2
.
a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base e y cm for a altura
da caixa, então expresse o custo do material como função de x.
b) Use a função custo encontrada acima para determinar as dimensões da caixa
para as quais o custo do material seja mínimo.
yxVyxxV 2
.. =⇒=
Custo = soma dos custos de cada lado.
5) Se uma lata de zinco de volume π16 cm3
deve ter a forma de um cilindro, ache a
altura e o raio para que o material usado na sua fabricação seja mínimo.
Dado: hrV 2
π=
6) Uma folha de papel contém 396 cm2
de matéria impressa com margem superior de 3,5 cm,
margem inferior de 2 cm, margem lateral diteira de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5
cm. Determine quais devem ser as dimensões da folha de papel para que haja o máximo de
economia de papel, isto é, para que a área seja mínima.
Dado: Área = largura . comprimento
7) Um fazendeiro tem 24 metros de cerca para construir dois chiqueiros retangulares de
dimensões x e y, com um lado comum x. Sabe-se que os dois chiqueiros deverão ter a
mesma área e o mesmo perímetro. Determine as dimensões x e y, de forma que a área de
cada chiqueiro seja máxima.
Dado: Área = x.y
Perímetro = soma das medidas dos lados
não precisa cercar
y
x xA = x.y
y
x
x
r
h
8) Uma bola de neve é formada de tal modo que seu raio aumenta na razão de 0,05 cm/s.
Calcule a taxa de variação do volume quando o raio for 8 cm.
Dado:
3
3
4
rv π= (volume de uma esfera)
9) Encontre a taxa de variação do raio de uma circunferência, sabendo que seu comprimento
aumenta à razão de 36 π cm/s.
Dado: C = rπ2 (comprimento da circunferência)
10) A areia que escoa de uma calha forma um monte de forma cônica, cuja altura é sempre igual
a metade do raio da base. Calcule a taxa de variação do raio quando este for 1,8 m e o
volume estiver aumentando na razão de 4,86 π m3
/s.
Dado: hrV 2
3
1
π= (volume de um cone)
11) Deixa-se cair areia à razão de 20,25 π cm3
/s, formando uma pilha cônica, cujo raio é igual a
um terço da altura. Encontre a variação da altura quando esta for 81 cm.
Dado: hrV 2
3
1
π= (volume de um cone)
12) Um reservatório cilíndrico está sendo cheio com óleo à razão de 4,5 π m3
/min. Sabendo-se
que a altura do reservatório é igual ao sêxtuplo do diâmetro da base do cilindro, determine a
rapidez com que se elevará o nível do óleo (taxa de variação da altura), quando o óleo
estiver a 6 m do fundo do reservatório.
Dado: hrV 2
π= (volume de um cilindro) d = 2r
13) Se a pressão P e o volume V de um certo gás estão relacionados pela fórmula
V
P
1
= ,
determine a taxa de variação de P em relação a V, quando o volume for igual a 2.
14) Um capacitor de um circuito elétrico é um aparelho para armazenar carga elétrica. Se a
quantidade de carga elétrica num dado capacitor num instante t for ( ) 12
−+= ttq t coulombs,
determine a corrente I(t) no circuito quanto t = 4s.
Dado: ( ) ( )
dt
dq
qI tt =′=
15) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Calcula-
se que cada um dos seus lados mede 1200 metros, com um erro máximo de 10 metros.
Calcule o possível erro no cálculo da área do terreno, usando diferencial.
Dado: dA = A . dL
16) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de três paredes quadradas com 4 metros
de lado. Ao iniciar a pintura constatou que os lados das paredes tinham 4 cm a mais. Usando
diferencial, encontre o aumento de tinta a ser usada.
Dado: dA = A . dL
17) De um pedaço de papelão com forma quadrada, corta-se 0,1 cm de dois lados consecutivos,
mantendo-se assim a forma quadrada. Se o lado do papelão media 150 cm, use diferenciais
para encontrar a variação da área provocada por este corte.
Dado: A = L2
18) Calcule os limites indicados:
a) =





+
++
∞→ 1
45
lim 3
2
x
xx
x
b) =





+
++
−→ 1
45
lim 3
2
1 x
xx
x
c)
( ) =




 −
→ x
x
x 3
2cos1
lim
0
d)
( ) =




 −
→ x
xe x
x 5
cos
lim
3
0
e) =





−
+
∞→ 52
43
lim 2
2
x
x
x
RESPOSTAS
1)
2) b) x = 95 u.m. c) y = 6050 u.m.
3) y = 150 m x = 112,5 m
4) x = 10 cm y = 20 cm
5) r = 2 cm h = 4 cm
6)
7)
8) π= 8,12
dt
dv
cm3
/s
9) 18=
dt
dr
cm/s
10) 3=
dt
dr
m/s
11) π= 0277,0
dt
dh
cm/s
12) 6=
dt
dh
m/s
13) –0,25
14) ( ) 9=tI ampéres
15) dA = 24000± m2
16)
17) dA = -30 cm2
18)

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  • 1. EXERCÍCIOS – APLICAÇÕES DE DERIVADAS 1) A função ( ) 800902 −+−= xxxL nos dá o lucro de um fabricante de canetas de acordo com o preço x de venda. Qual será o preço para se obter o lucro máximo? Qual será o lucro máximo? 2) Um carpinteiro pode construir estantes a um custo de 40 u.m. cada. Se o carpinteiro vender as estantes por x u.m. cada, calcula-se que (300 – 2x) estantes serão vendidas por mês. a) Expresse o lucro mensal y do carpinteiro como função do preço x. Dado: Lucro = Receita – Custo b) Calcule o preço de venda x para que o lucro mensal y seja máximo. c) Calcule o valor do lucro mensal máximo. d) Construa o gráfico da função lucro mensal 3) Um terreno retangular às margens de um rio deve ser cercado por todos os lados menos um, ao longo do rio. O material para a cerca custa 12 u.m. por metro do lado paralelo ao rio e 8 u.m. por metro nos outros dois lados. Dispõe-se de 3.600 u.m. para gastar com a cerca. a) Se x metros é o comprimento de um lado não paralelo ao rio e y metros é o comprimento do lado paralelo ao rio, então expresse como função de x o número de metros quadrados da área de terreno. b) Use a função área encontrada acima para determinar as dimensões do terreno de maior área que se pode cercar com 3.600 u.m.. Custo total = soma dos custos de cada lado = 3.600 4) Uma caixa fechada com base quadrada deve apresentar um volume de 2.000 cm3 . O material para a tampa e fundo da caixa custa 3 u.m. por cm2 , enquanto que o material para os lados custa 1,5 u.m. por cm2 . a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base e y cm for a altura da caixa, então expresse o custo do material como função de x. b) Use a função custo encontrada acima para determinar as dimensões da caixa para as quais o custo do material seja mínimo. yxVyxxV 2 .. =⇒= Custo = soma dos custos de cada lado. 5) Se uma lata de zinco de volume π16 cm3 deve ter a forma de um cilindro, ache a altura e o raio para que o material usado na sua fabricação seja mínimo. Dado: hrV 2 π= 6) Uma folha de papel contém 396 cm2 de matéria impressa com margem superior de 3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral diteira de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determine quais devem ser as dimensões da folha de papel para que haja o máximo de economia de papel, isto é, para que a área seja mínima. Dado: Área = largura . comprimento 7) Um fazendeiro tem 24 metros de cerca para construir dois chiqueiros retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x. Sabe-se que os dois chiqueiros deverão ter a mesma área e o mesmo perímetro. Determine as dimensões x e y, de forma que a área de cada chiqueiro seja máxima. Dado: Área = x.y Perímetro = soma das medidas dos lados não precisa cercar y x xA = x.y y x x r h
  • 2. 8) Uma bola de neve é formada de tal modo que seu raio aumenta na razão de 0,05 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume quando o raio for 8 cm. Dado: 3 3 4 rv π= (volume de uma esfera) 9) Encontre a taxa de variação do raio de uma circunferência, sabendo que seu comprimento aumenta à razão de 36 π cm/s. Dado: C = rπ2 (comprimento da circunferência) 10) A areia que escoa de uma calha forma um monte de forma cônica, cuja altura é sempre igual a metade do raio da base. Calcule a taxa de variação do raio quando este for 1,8 m e o volume estiver aumentando na razão de 4,86 π m3 /s. Dado: hrV 2 3 1 π= (volume de um cone) 11) Deixa-se cair areia à razão de 20,25 π cm3 /s, formando uma pilha cônica, cujo raio é igual a um terço da altura. Encontre a variação da altura quando esta for 81 cm. Dado: hrV 2 3 1 π= (volume de um cone) 12) Um reservatório cilíndrico está sendo cheio com óleo à razão de 4,5 π m3 /min. Sabendo-se que a altura do reservatório é igual ao sêxtuplo do diâmetro da base do cilindro, determine a rapidez com que se elevará o nível do óleo (taxa de variação da altura), quando o óleo estiver a 6 m do fundo do reservatório. Dado: hrV 2 π= (volume de um cilindro) d = 2r 13) Se a pressão P e o volume V de um certo gás estão relacionados pela fórmula V P 1 = , determine a taxa de variação de P em relação a V, quando o volume for igual a 2. 14) Um capacitor de um circuito elétrico é um aparelho para armazenar carga elétrica. Se a quantidade de carga elétrica num dado capacitor num instante t for ( ) 12 −+= ttq t coulombs, determine a corrente I(t) no circuito quanto t = 4s. Dado: ( ) ( ) dt dq qI tt =′= 15) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Calcula- se que cada um dos seus lados mede 1200 metros, com um erro máximo de 10 metros. Calcule o possível erro no cálculo da área do terreno, usando diferencial. Dado: dA = A . dL 16) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de três paredes quadradas com 4 metros de lado. Ao iniciar a pintura constatou que os lados das paredes tinham 4 cm a mais. Usando diferencial, encontre o aumento de tinta a ser usada. Dado: dA = A . dL 17) De um pedaço de papelão com forma quadrada, corta-se 0,1 cm de dois lados consecutivos, mantendo-se assim a forma quadrada. Se o lado do papelão media 150 cm, use diferenciais para encontrar a variação da área provocada por este corte. Dado: A = L2 18) Calcule os limites indicados:
  • 3. a) =      + ++ ∞→ 1 45 lim 3 2 x xx x b) =      + ++ −→ 1 45 lim 3 2 1 x xx x c) ( ) =      − → x x x 3 2cos1 lim 0 d) ( ) =      − → x xe x x 5 cos lim 3 0 e) =      − + ∞→ 52 43 lim 2 2 x x x RESPOSTAS 1) 2) b) x = 95 u.m. c) y = 6050 u.m. 3) y = 150 m x = 112,5 m 4) x = 10 cm y = 20 cm 5) r = 2 cm h = 4 cm 6) 7) 8) π= 8,12 dt dv cm3 /s 9) 18= dt dr cm/s 10) 3= dt dr m/s 11) π= 0277,0 dt dh cm/s 12) 6= dt dh m/s 13) –0,25 14) ( ) 9=tI ampéres 15) dA = 24000± m2 16)
  • 4. 17) dA = -30 cm2 18)