Propiedades y operaciones con matrices

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7
0
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:
.........
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dim dim
dim
inf
tan
dim dim
dim
X X
X X
X
X
Se llama Matriz a un conjunto de numeros colocados entre parentesis en forma de filas y columnas
y son presentadas en letras mayusculas como se ve abajo
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
M siendo
n numero de columnas
m numero de filas
Decimos que la ension de M M m n numero de filas numero de columnas
a la matriz M de ension m n se le llama tambien matriz M de orden m n M
m n se suele poner en la parte erior derecha de la parentesis de la matriz
su forma abreviada es a
siendo a un elemento cualesquiera de la matriz que esta en la fila i y columna j
ejemplo es una matriz de de orden
filas y columnas
ya que tiene
Matriz Fila es una matriz que tiene solamente una fila ejemplo
Matriz columna es una matriz que tiene solamente una columna ejemplo
Matriz Rec gular es una matriz que su numero de filas es diferente a numeros de columnas
Ejemplo
Matriz cuadrada es una matriz que su numero de filas es igual a numeros de columnas
Ejemplo A aqui A B aqui B
toda Matriz cuadrada esta constituida por dos diagonales
diagonal principal es la que esta definida por a color morado
diagonal segundaria es la que esta definida por a
siendo i j n siendo n de la matriz color verde
n
m
1 3 4 2
2 3 1 5
2 4
2 4
2 3 1 4 5
6
2
4
1
1 2 2
2 1 5
1
5
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n
n
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K
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tan
sup
inf
inf sup
dim dim
int
X X
Matriz Simetrica es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a a
Ejemplo
Matriz antiSimetrica es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a a
Ejemplo
Matriz diagonal es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que
no es en la diagonal principal son ceros
Ejemplo
Matriz Escalar es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que
pertenecen a la diagonal principal son iguales y el resto son ceros
Ejemplo
Matriz unidad o identidad es una matriz cuadrada que debe de cumplirse a
Ejemplo
Matriz triangular erior todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
Matriz triangular erior todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal
principal son ceros
Ejemplo
la matriz diagonal es a la vez una matriz triangular erior y erior
Igualdad de Matrices
Sean dos matrices A y B A B a b
A B
Matriz Traspuesta
se representa por M o bien por M y se lee Matriz traspuesta
si la matriz M es de orden m n su traspuesta M es de orden n m
es decir se ercambia las filas por columnas o columnas por filas
Observacion si M M a a M es una matriz simetrica
Ejemplo M M
Propiedades de la Matriz Traspuesta
A A A B A B A A A B B A
1
2
2
4
1
2
3
2
4
5
3
5
7
1
0
1
8
0
3
9
4
1
9
5
1
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0
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2
2
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1
2
3
2
4
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1
0
0
3
1
0
0
0
2
0
0
0
9
3
0
0
3
2
0
0
0
2
0
0
0
2
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
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2
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a
a
Propiedades de
Antes de nada las matrices deben de tener las mismas ensiones
sean las matrices A B y C
A B a b A B C A B C
Opuesto de A es A Matriz nula es O todos sus elementos son ceros
ejemplo de matriz opuesta y matriz O
A A O
Producto de un numero real por una matriz
A A B A B
sean y dos numeros reales
A A A A A
Producto de Matrices
A B existe si y solo si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B
Deben ser iguales para que pueda realizarse
el producto de matrices
veamos como es el producto de matrices con un ejemplo para entenderlo
Ejemplo Sean dos matrices A y B
Propiedades de producto de matrices
A B B A A B O A O o B O
A B C A B C A B C A C B C
k A B k A B k A I I A A I es la matriz unidad
A B C
1 2
3 4
1
4
2
3
2
3
5
5
1
1
4
2
3
2
3
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0
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1 2
3 4
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5 4 4 2 28 5 7 4 3 47 5 1 4 5 25
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X
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m n m n m n m n
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det min
det min
dim tan
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E
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e dice que una matriz A es invertible inversible si y solo si existe una matriz B tal que
A B B A I
en tal caso a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se designa por A es decir que
A A A A I
xiste matriz inversa solamente para matrices cuadradas
Matriz regular es cuadrada y su er ante es
se dice que A es una matriz regular esto significa que A es una matriz cuadrada apartir
de la cual podemos obtener una matriz inversa
Ejercicio
Sea A halla su inversa
Sea B
a
c
b
d
la inversa de A A B I
a
c
b
d
b d
a c a c
b d d b
a c
a c a a a c b d b b b d
asi que la inversa de A es B
El er ante de una matriz cuadrada A es un numero real y se designa de la forma A
como se calcula el er ante de una matriz
Regla de Laplace
Desarrollo por la fila i de la matriz A
A a A siendo A la matriz la matriz de ension n resul te
al rimir la fila i y la columna j veamos una matriz de X para entenderlo
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Desarrollo por la fila j de la matriz A
A a A
Observacion lo mejor es desarrollar por fila o columna que tenga ceros para un rapido calculo
Ejemplo
X
X
X
X X X X
X
X
X X X X
X
X
Propiedades
A B A B A A A B A B
A A A A k A k A
se dice que A es regular A A es gular A
0
2
1
1
1
2
1
1
1
1
0
0
1
1
0
2 0 2
2 1
2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2
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X
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det min
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Metodo de sarrus para resolver er antes de orden vea las imagenes de abajo
TERMINOS POSITIVOS TERMINOS NEGATIVOS
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
un er ante que tiene dos filas o dos columnas iguales es nulo
un er ante es nulo si los elementos de una fila o columna son proporcionales
a los elementos de una paralela a ella
si se cambian entre si dos filas o dos columnas alterar el orden relativo de los elementos
de cada una el valor absoluto del er ante no varia pero cambia de signo
Ejemplo
A
x y z
x y z
x y z
a
a
a
b
b
b
x
x
x
a
a
a
b
b
b
y
y
y
a
a
a
b
b
b
z
z
z
a
a
a
b
b
b
Matriz Adjunta
La matriz adjunta de A se denota como adjA
adj A A siendo A la matriz de ension n resul te
al rimir la fila i y la columna j veamos un ejemplo para entenderlo mejor
sea la matriz A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
adjA
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
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2
1
2
1
0
1
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0 3 4 0 4 1 2
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1
2
1
2
3
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1
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0
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
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i j
ij ij
32
11 22 33 21 13 23 12 31 13 22 31 23 32 11 21 12 33
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
2
3
1
2
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1
2
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1
2
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2
3
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2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
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21
31
12
22
32
13
23
33
1 1 22
32
23
33
2 1 12
32
13
33
3 1 12
22
13
23
1 2 21
31
23
33
2 2 11
31
13
33
3 2 11
21
13
23
1 3 21
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22
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2 3 11
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= + + - - - =- = + + - - - =
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Matriz Inversa
La matriz inversa de A se designa por A y cumple A A A A I matriz unidad
Matriz adjunta se designa por adjA A A matriz traspuesta se designa por A A
A A
adjA
A
adj A
recuerda que adjA A
donde A es la matriz que se obtiene al e inar la fila i y la columna j de la matriz A
Matriz Ortogonal
Una matriz cuadrada A se llama ortogonal si A A A o bien
El rango de una matriz es la ension de la mayor submatriz cuadrada cuyo
er ante es dist o de cero y es designado por rango de A RagA rgA
Ejercicio calcula el rango de la matriz A
la matriz A no es una matriz cuadrada asi que buscaremos una submatriz dentro de A
A de aqui la mayor submatriz que podemos despejar es de X
asi que rango de A rgA
la submatriz cuadrada su
Ejercicio calcula el rango de la matriz A
la matriz A es cuadrada por seguiente hallemos su
rag de A es erior a
la mayor submatriz A puede ser basta en coger una de ellas y vemos que es
sea esa submatriz su asi que rgA
ax
a x
a x
by
b y
b y
cz d
c z d
c z d
dos matrices
de aqui despejaremos
A
a
a
a
b
b
b
c d
c d
c d
ampliada
se llama matriz
A
a
a
a
b
b
b
c
c
c
coeficiente
se llama matriz
Si A
x A
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sup
Metodo de Gauss
Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz triangular erior
sea la matriz A
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
d
Paso es anular c usando c diagonal principal
Paso es anular b y b usando b diagonal principal
Paso es anular a a y a usando a diagonal principal
para entenderlo vea el ejercicio de abajo
Ejercicio
x y z
x y z
x y z
A
z z
y z y z y
x y z x y z
Solucion del sistema es x y z
Metodo de Gauss Jordan
Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz Diagonal
sea la matriz A
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
d
d
d
d
Paso es anular b usando b a la diagonal principal
Paso es anular c y c usando c a la diagonal principal
Paso es anular d d y d usando d a la diagonal principal
Paso es anular c usando c diagonal principal
Paso es anular b y b usando b diagonal principal
Paso es anular a a y a usando a diagonal principal
para entenderlo vea el ejercicio de abajo
Ejercicio
x y z
x y z
x y z
A
z
y
x
z
y
x
3
2
1
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2
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Teorema de Rouche
Sea un sistema de ecuaciones con la matriz coeficiente A y la matriz ampliada A
Si rgA rgA n de incognitas
es decir que tiene una unica solucion
sistema de ecuaciones es compatible y er ado
Si rgA rgA n de incognitas
es decir que tiene initas solucion
sistema de ecuaciones es compatible y in er ado
Si rgA rgA
es decir que no tiene soluciones
sistema de ecuaciones es incompatible
Para Diagonalizar una matriz A se sigue los seguientes pasos
Hallar el polinomio caracteristico P A I siendo I de misma ension que A
Hallar valores propios llamado tambien auto valor para ello resolver P
buscando los valores de si
solucion triple multiplicidad a ebraica M A
solucion doble multiplicidad a ebraica M A
solucion simple multiplicidad a ebraica M A
Hallar vectores propios llamado tambien auto vectores
para cada valor de calculamos
A I v vector nulo de aqui hallaremos v
A P D P imaginamos que en el apartado y hemos hallado dos valores propios
y dos vectores propios con v v v v v v
P
v
v
v
v
D
y se pone en la segunda columna de la matriz D
entonces se pone en la primera columna de la matriz D
y v se pone en la segunda columna en la matriz P
si v se pone en la primera columna en la matriz P
hay que conservar orden
una matriz simetrica siempre es diagonizable
Una matriz es diagonizable si el n de auto vectores coincide con su multiplicidad a ebraica
para entenderlo mejor vea el ejercicio que hay mas adelante
1
2
3
2
1
3
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1
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3 1
7
Ejercicio
dadas las matrices A B y C calcula
a k A siendo k b A B C c A C A B d A A B B C C
e A B f A B g A B
Respuesta
a recuerda A a asi que k A k
k
k
k
k
b recuerda A B a b asi que A B C
A B C
c recuerda para calcular el producto de dos matrices deben de coincidir el n de columnas
de la primera con el n de filas de la segunda
A C A B A B C
A C
A B
A C A B
d A A B B C C
A A
B B
C C
A A B B C C
A A B B C C
e A B
f A B recuerda que A B B A
A B A AB B por que A B A AB BA B
A B A B A B
g A B
A B A B A B
2
7
4
1
3
5
1
2
3
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2 0 4 2
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2
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32
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32 14 9
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4 5 0
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no se pueden unir porque son dist os
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Ejercicio
a Calcula si es posible el producto de las tres matrices
b son iguales las dos matrices y justifica la respuesta
c dadas las matrices A y B
compueba que A B A B y k A k A y A B B A
Respuesta
a para poder calcular el producto de matrices deben de coincidir las columnas de la con las filas
de la
como se ve en las bases cumple con el requisito asi que calculemos
b recuerda A B a b
A B
las matrices y no son iguales ya que X y X
c A B Comprobar que A B A B y k A k A
A B A B
A A B B
A B A B
comprobar que k A k A
k A k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k A
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k k A
Comprobar que A B B A
A B
A B en los apartados de arriba A B
B A
en conclusion A B B A
1 2 3
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Ejercicio
se considera la matriz A
x
x
x
a calcula los valores de x para los que no existe la inversa de A
b para x calcule si es posible A
Respuesta
recuerda una matriz que no es cuadrada no tiene inversa
una matriz si su er ante es cero entonces la matriz no tiene inversa
la inversa de A es A A
adjA
a la matriz A para que no exista su inversa su A
x
x
x
x x x x x x x x x
asi que los valores de x para los cuales no exista la inversa de A son y
b si x A y por el apartado a podemos asegurar que A existe
A A
adjA
adjA
A asi que A
Ejercicio
a dada la matriz A
a
a
halla el valor de a para que A O
b dada la matriz M calcula la matriz M M
Respuesta
a A
a
a
A O
a
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a
a a
a
a
a
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M M M M
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Ejercicio
Sean las matrices A y B
a calcula A B A B
b er a la matriz X tal que A B X I
Respuesta
a A B A B
A B A B
b sea C A B hallemos C C
adjC
C adjC C
A B X I C X I multiplicando por C cuidado aqui
en la igualdad se pone derecha derecha o bien izquierda izquierda nunca mezclar
C C X C I X C I X C
Ejercicio
Sean las matrices A B y C
a Calcule A I B
b halla B calcule si es posible B A
c Calcule la matriz X que verifica A X B C
Respuesta
a A I B
b B B A
c A X B C I primero calculemos A A
adjA
adjA y A
A asi que I A A X A B A C X A C A B
A C A B
X
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Ejercicio
a Dada la matriz A prueba que A I O y calcula A
b Dada la matriz B calcula B
c Sea C calcula C
Respuesta
a A
A A A I A I O
A A A A A I A A
b B hallemos B
B B B I
asi que B B I I
c C C C C C
observando que el elemento a cambia en
C a
C a
C a
asi que podemos deducir que C si es verdad debe de cumplirse C
veamos si se verifica C C C queda demostrado
en conclusion C
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Ejercicio
Dada la matriz A calcula su potencia enesima
Respuesta
A A A A
A A A A A A A A A A A A A A
ai que podemos deducir que A A de ser asi debe de cumplirse que A A
veamos si se verifica A A A A A A A queda demostrado
en conclusion A A
Ejercicio
a Hallar la potencia enesima de A
b Hallar la potencia enesima de B
Respuesta
a A A A A A
A A A se observa que A A
A A se puede deducir que A
para que sea verdad debe de cuplirse que A A A
queda demostrado
en conclusion la forma general de A
b B B B B
B B B B esto nos hace pensar que B
n
para que sea verdad debe de cuplirse que B B B
n n
B
n
queda demostrado en conclusion la forma general de B
n
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Ejercicio
a Hallar la potencia enesima de la matriz A
b Hallar la potencia enesima de la matriz B
Respuesta
a A A A A
A A A
se observa que a y a son exactamente igual que la potencia mientras a es de la forma
n n
asi que A n
n n
n
ahora veamos si se cumple tambien con A
A A A n
n n
n
n
n n
n n
A n
n n
n n
n
n n n
n
n
n n
n
queda demostrado asi que la forma general de A n
n n
n
b B B B B B
e observa que a es igual que la potencia y a es mientras a es
asi que B
n
veamos si cumple con B B B
n
n n
queda demostrado luego B
n
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n
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Ejercicio
Resuelse el sistema de ecuaciones utilizando Gauss Jordan
x y z
x y z
x y z
Respuesta x y z
F
F
F
F F F
F F F
F F F
F
i estuvieramos resolviendo por Gauss nos paramos aqui y a resolver
que seria
x y
y
z
z
z z
y
x y
z
y
x
z
y
x
pero nos piden de resolver por Gauss Jordan asi que seguimos
F
F F F
F F F
F F F
x
y
z
x
y
z
Ejercicio
Resuelse por Gauss Jordan
x y z
x y z
x y z
Respuesta x y z
F
F
F
F F F
F F F
F F F
F
F
F F F
F F F
F F F
x
y
z
x
y
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Ejercicio
Estudiar segun los valores de a el sistema de ecuaciones
x y z a
y z
x z
y z a
Respuesta
Matriz de coeficientes A Matriz Ampliada A
a
a
al ser A una matriz cuadrada calculemos su aplicando la regla de laplace y escogiendo
la columna con mas ceros para facil calculo
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a a a a
a a a A a
A a
Para a A rgA ahora veamos cual es el rango de A que lo imo
que puede llegar es a escogiendo la submatriz C
C rgA
Por conseguiente para a
rgA
rgA
rgA rgA sistema incompatible no tiene solucion
Para a A que el rgA
que hay que escoger una submatriz de A que puede ser la C y C rgA
por conseguiente rgA rgA n de incognitas sistema compatible tiene una unica solucion
para hallar esa solucion utilizaremos el metodo de cramer ojo trabajaremos con C
y z
x z
y z
x C y C
z C solucion x y z
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Ejercicio
estudia el sistema de ecuaciones
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Respuesta
S
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x
y
ay
y
z
z
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A
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a
a
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itado por el menor de las
rango de A ya que esta
A es de ension X que
asi que calculemos A a a a a a a a a a
a a a a a asi que A a a
Para a a A rgA y de la matriz ampliada sacamos una submatriz A
rgA rgA n de incognitas sistema compatible una unica solucion
usando Cramer x A
a
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a a
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y A
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a
z A
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Para a a S
x
x
x
y
y
y
z
z
z
A A
A cogemos uno de orden X para ver si es no hay asi que rgA y lo mismo pasa
con A luego rgA rgA n de incognitas sistema incompatible initas soluciones
S x y z
z
y
x
Para a a S
x
x
x
y
y
y
z
z
z
A A
A escogiendo la submatriz
rgA ahora escogemos de A la submatriz rgA
Por ultimo rgA rgA sistema incompatible no hay solucion
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Ejercicio
Diagonalizar la matriz A
Respuesta
calcular el polinomio caracteristico P
P A I
calcular los valores propios para ello resolver P
calcular los vectores propios para ello se utiliza A I v y despejar v
Para
A I
x
y
z x y z
y y
x y z
x z
y
x z
y
x z
el auto espacio asociado a es E x y z y z x
x y z x x x es el auto vector asociado al valor propio
Para
A I fila fila se e ina fila
fila son ceros se puede e inar
x
y
z
x y z y x z
el auto espacio asociado a es E x y z y x z
x y z x x z z x z son los auto vectores asociados a
en conclusion para M A n de auto vectores
M A n de auto vectores
A es Diagonizable
asi que A P D P siendo P verticalmente
en la matriz P se colocan los auto vestores
D princial los valores propios el resto ceros
en la matriz D se colocan en la diagonal
y ya sabemos como calcular P P
adjP
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Ejercicio
diagonalizar la matriz A
Respuesta
calcular el polinomio caracteristico P
P A I
calcular los valores propios para ello resolver P
calcular los vectores propios para ello se utiliza A I v q y despejar v
Para
A I fila fila se puede e inar una de ellas
q
x
y
z
y z
x y z
y z
x
z z
z
y z
x z
el auto espacio asociado a es E x y z x z y z
x y z z z z para no trabajar con fracciones cogeremos un vector
paralelo a es el auto vector asociado al valor propio
Para
A I fila fila y fila fila
se pueden e inar fila y fila ya que
x
y
z
y z y z
el auto espacio asociado a es E x y z y z
x y z x z z x z son los auto vectores asociados a
en conclusion para M A n de auto vectores
M A n de auto vectores
A es Diagonizable
A es diagonizable P P tal que A P D P
asi que P verticalmente
en la matriz P se colocan los auto vestores
D princial los valores propios el resto ceros
en la matriz D se colocan en la diagonal
y ya sabemos como calcular P P
adjP
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