Aula utm irineu_2012

Curso de Geomática
Aula UTM

Prof. Dr. Irineu da Silva
EESC-USP

As Distâncias na Mensuração

Tipos de distâncias

Existem várias distâncias a serem consideradas na Mensuração.
São elas:

- distância inclinada;
- distância horizontal;
- distância esférica;
- distância plana.

13.05.2012 Irineu da Silva Page 2

Distância Inclinada e Distância Horizontal

Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir.

s’ = distância inclinada entre P e Q;
s = distância horizontal entre P e Q;
β = ângulo de altura da direção PQ.
θ = ângulo zenital da direção PQ

s = s’cos b ou s =s’sen q


Distância Esférica

Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a
superfície de referência, tem-se a seguinte situação:

R0 = raio médio da esfera terrestre;
HP = altitude do ponto P;
HQ = altitude do ponto Q;
sP = distância esférica ao nível de P;
sQ = distância esférica ao nível de Q;
s0 = distância esférica ao nível do
mar (H=0)


As superfícies são esferas concêntricas e permitem obter as seguintes
relações:

so sP sQ
 
Ro Ro  H P Ro  HQ
Para um ponto P de altitude H, tem-se:

Ro  H p  Hp 
sP  .so  1 
 R .so

Ro  o 

sP
so 
Hp
1
Ro



Para os cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm,
adotando-se uma altitude média para a região de cálculo. Nesse caso,
a redução ao nível do mar pode ser dada por:

H
Re d   .106 ppm
Ro  H

As reduções podem também ser efetuadas aplicando-se um fator
de escala denominado Fator de Escala Altimétrico (Kalt), conforme
indicado abaixo.

H
K alt  1
Ro  H



A tabela a seguir apresenta a variação das distâncias horizontais, em
relação a variação das altitudes, para diversos valores de H (para Ro =
6.362.735m na latitude  = 21o58’ 00“S, no Campus da Universidade
Federal de São Carlos).

H(m) s(m) 1000 2000 5000 10000

5000 0,785 1,570 3,925 7,850

2000 0,314 0,628 1,571 3,142

1000 0,157 0,314 0,786 1,571

500 0,078 0,156 0,393 0,786


Relação entre a Distância Esférica e a Distância Horizontal

A distância horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que
passa pelo ponto inicial. A distância esférica entre dois pontos situa-se
na superfície esférica que passa pelo ponto inicial. Têm-se assim as
seguintes relações:
Q’ = projeção de Q sobre a superfície esférica;
s = distância horizontal em P;
sP = distância esférica ao nível de P;
cP = corda PQ’;
 = ângulo no centro da terra.


ˆ
arcoPQ : sP  Ro  HP .
 ,,

cordaPQ : cP  2.Ro  HP .sen
2
tangentePQ : s  Ro  HP . tan 



A diferença entre a corda PQ’ e o arco PQ’ e entre a tangente PQ e o
arco PQ’ estão relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m
e para Hp = 870m).

sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm)

1000 +0,001 -0,008

2000 +0,008 -0,064

5000 +0,13 -1,03

10000 +1,03 -8,23



Constata-se através desta tabela que, para distâncias inferiores a
10km, a diferença entre a corda e o arco é desprezível, o que já não
ocorre para a diferença entre a tangente e o arco.

Evidentemente, se os pontos P e Q não estiverem na mesma altitude,
haverá uma diferença de distância conforme se adote o plano
horizontal passando por P ou por Q. Essa diferença de distâncias, na
maioria dos casos, pode ser desprezada.


Sistemas de Projeção Cartográfica



As coordenadas planas da superfície terrestre são obtidas a partir do
uso de um sistema de projeção, através do qual se estabelece uma
relação pontual e unívoca entre a superfície de referencia, esférica, e a
superfície do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as
coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da
superfície esférica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de
projeções cartográficas:

- Projeção conforme, que são aquelas que conservam os
ângulos;
- Projeção equivalente, que são aquelas que conservam as
superfícies;
- Projeções que não conservam nem os ângulos e nem as
superfícies mas que possuem outras características
importantes.



É importante salientar que não existe nenhuma projeção cartográfica
que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipsóide duas
superfícies esféricas, torna-se impossível estabelecer uma
representação plana delas sem causar algum tipo de deformação
linear.

Geralmente os países preferem adotar as Projeções Conforme para a
determinação das suas bases cartográficas. As Projeções
Equivalentes são mais interessantes para o estabelecimento de cartas
com escala reduzida (Atlas Geográfico).


Principais Projeções Cartográficas

Cilíndricas, Cônicas e Azimutais


Principais Projeções Cartográficas


Projeções Cilíndricas



As Projeções Cilíndricas podem ser

- Projeção Cilíndrica Normal: o eixo do cilindro coincide
com o eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente à superfície
esférica ao longo do equador.

- Projeção Cilíndrica Transversa: o eixo do cilindro
coincide com o plano do equador e o cilindro é tangente a superfície
esférica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeção TM.

- Projeção Cilíndrica Obliqua: o eixo do cilindro é obliquo
em relação ao eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente a
superfície esférica ao longo de um grande arco de círculo qualquer.


Entre as Projeções Cilíndricas mais importantes vale a pena citar a
Projeção de Mercator



Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeção
Cilíndrica Equivalente. Neste caso a Cilíndrica Equivalente de Lambert.


Projeções Cônicas

Em uma projeção cônica, a superfície esférica é projetada sobre um
cone tangente, o qual é posteriormente desenvolvido para se obter a
carta plana.


Projeções Cônicas

A projeção cônica mais conhecida é a Projeção Cônica Conforme de
Lambert.


Projeções Azimutais

- Projeção Gnômica: o centro de projeção é o eixo da Terra. Essa
projeção não é conforme e nem equivalente.

- Projeção Estereográfica: o centro de projeção é o pólo oposto ao
plano de tangência. Ela é uma projeção conforme.

- Projeção Ortográfica: o centro de projeção está no infinito. Essa
projeção não é conforme e nem equivalente.


Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal

Azimutal Gnômica



Azimutal Esterográfica



Azimutal Ortográfica


A Projeção UTM

A projeção UTM, originada a partir da Projeção Conforme de Gauss, foi
usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Serviço de Cartografia do
Exército Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda
Guerra Mundial. A sua principal vantagem é que ela permite representar
grandes áreas da superfície terrestre, sobre um plano, com poucas
deformações e com apenas um grupo de fórmulas.

A projeção UTM é representada sobre um sistema de coordenadas
retangulares, o que a torna bastante útil para ser aplicada na
Mensuração.


Características da Projeção UTM

A projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme que pode ser
visualizada como um cilindro secante à superfície de referência,
orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador.

O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da
superfície de referência, criando, assim, duas linhas de interseção entre
o cilindro e a superfície de referencia. A área de projeção compreende
apenas uma parcela da superfície de referência. Essa área é
denominada fuso ou zona. Cada fuso é representado pelo número do
fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na
direção horizontal são denominadas Este e representadas pela letra E.
As coordenadas na direção vertical são denominadas Norte e
representadas pela letra N.



As principais características da projeção UTM são as seguintes:

a) Amplitude dos fusos: 6;
b) Latitude da origem: 0 (equador);
c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso;
d) Falso Norte (translação Norte): 10.000.000 m para o hemisfério Sul;
e) Falso Este (translação este): 500.000 m;
f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996;
g) Numeração das zonas: as zonas são numeradas de 1 a 60, a partir
do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim,
zona 1 - de 180 W a 174 W
zona 60 - de 174 E a 180 E;
h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S;
i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se
em ângulos retos na projeção;



j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso são
representadas por linhas retas na projeção. Os demais meridianos
são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano
central e os paralelos são representados por linhas côncavas em
relação ao polo mais próximor.



k) O espaçamento entre os meridianos aumenta a medida que eles
se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade
da projeção conforme, a escala na direção Norte-Sul também é
distorcida acarretando, assim, a existência de uma escala
diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do
meridiano.


Determinação do Meridiano Central da Projeção UTM

O meridiano central é determinado considerando-se que a sua
variação ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui
longitude igual a 177 e o último possui longitude igual a 3. Os
meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9,
15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer
o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude
conhecida, basta situá-lo no fuso. A relação fuso/meridiano central
é dada pelas fórmulas:

183  MC
Fuso 
6

MC = 183 - 6 . Fuso


Os Fusos da Projeção UTM


Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM
Para a transformação de coordenadas, tanto para o problema direto
como para o problema inverso, existem fórmulas cujas deduções
podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propósitos
deste curso, serão apresentadas a seguir as fórmulas relativas a
transformação de coordenadas geodésicas para coordenadas UTM.

As coordenadas retangulares E, N da Projeção UTM podem ser
calculadas pelas seguintes fórmulas:

N '  ( I )  ( II ) p 2  ( III ) p 4  A6
E '  ( IV ) p  (V ) p  B5
3

Onde,


N = N’ - Para o Hemisfério Norte
N = 10.000.000 – N’ - para o Hemisfério Sul
E = 500.000 + E’- para pontos situados a leste do meridiano central MC
E = 500.000 – E’- para pontos situados a oeste do meridiano central MC

(I) = koS
1 3 5 6 3 3 45 6
S  a[(1  e 2  e 4  e )  ( e 2  e 4  e ) sen2 
4 64 256 8 32 1024
15 4 45 6 35 6
( e  e ) sen4  e sen6 ]
256 1024 3072

N  sen  cos  sen21"k0  108
(II ) 
2
sen 41" N  sen  cos 3 
( III )  (5  tan 2   9e'2 cos 2   4e'4 cos 4  )k01016
24

( IV )  N cos   sen1"k0 104

sen 31"N  cos 3 
(V )  (1  tan 2   e'2 cos 2  )k 0 1012
6


p  0,0001"

    MC

sen 61" N  sen  cos 5 
A6  p 6
(61  58 tan 2   tan 4   270e'2 cos 2   330e'2 sen 3 )k010 24
720

sen 51"N  cos 5 
B5  p 5
(5  18 tan 2   tan 4   14e'2 cos 2   58e'2 sen 2 )k010 20
120


A Convergência Meridiana

Os ângulos medidos no elipsóide estão referidos ao Norte Geográfico
(NG), cuja representação, na projeção UTM, é dada por uma linha curva,
côncava em relação ao meridiano central. As quadrículas UTM, por outro
lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y
(NQ) na direção Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ângulo
variável para cada ponto, denominado convergência meridiana.


A Convergência Meridiana

A convergência meridiana, no hemisfério sul, é positiva para os
pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os
ponto situados a Leste do meridiano central.

Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode ser
dado pela seguinte fórmula indicada a seguir.

Onde,
C   sen 
C = Convergência Meridiana
 = Diferença de longitude entre a longitude do ponto
considerado e a longitude do meridiano central
(Long Pt – Long MC)
 = Latitude do ponto considerado


Redução à Corda ou Redução Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfície de referência esférica é
representada no plano (na projeção) como uma linha curva (arco). Para
as dimensões dos trabalhos topográficos, entretanto, a curvatura dessa
linha é muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada,
aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referência para
calcular a distância e o azimute entre eles. O ângulo formado pela
corda e pela tangente à curva é denominado ângulo de redução à
corda ou ângulo de redução angular, e é representado pela letra
grega , conforme indicado a seguir.


Redução à Corda ou Redução Angular

O valor máximo de , para uma
linha de 10 Km é da ordem de 7”.


O Fator de Escala

Para se obter a distância plana entre dois pontos A e B, é necessário,
inicialmente, corrigir a distância medida na superfície topográfica, em
relação aos fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida
reduzi-la ao elipsóide de referência e, finalmente, reduzi-la à superfície
plana. Para a redução da superfície de referência à superfície plana,
utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM.

A distância plana é obtida multiplicando-se a distância esférica (sobre o
elipsóide de referência) pelo fator de escala kUTM.

s k UTM s0


O Fator de Escala
Para evitar que as deformações tornem-se exageradas nas bordas dos
fusos, adotou-se, para a projeção UTM, um fator de escala
k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central.

A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e
para Leste até atingir o valor k=1,000, nas vizinhanças de
E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer até o valor
kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.


O Fator de Escala

 E 
2
kUTM  k0 . 1 
 2 2 
 R0 
onde,

kUTM = fator de escala
k0 = 0,9996 (fator de escala no MC)
E’ = ordenada entre o meridiano central e o ponto
considerado (500 000 – Ept)
Ro = Raio médio de curvatura


O Fator de Escala

Para aplicar o fator de escala para a correção da distância entre
dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala médio, se a
distância for pequena, ou uma média ponderada entre os pontos
extremos e o ponto médio, se a distância for grande. Por
exemplo,

Para distâncias inferiores a 15 km propõe-se adotar

k A  kB
kUTM 
2
Par distâncias maiores do que 15 km propõe-se adotar

k A  4K meio  kB
kUTM 
6


Ângulos a serem considerados na Projeção UTM

Quando se trabalha com coordenadas UTM é necessário considerar
vários tipos de elementos angulares. Os principais elementos são:

- azimute plano ou azimute da quadrícula (UTM);
- azimute geodésico projetado (proj);
- azimute geodésico (geod);
- convergência meridiana (c);
- redução à corda ().



O azimute plano ou azimute da quadrícula é o ângulo, na projeção,
entre o Norte da quadrícula UTM e a linha reta que une os dois pontos a
serem considerados.

UTM = Arctg ΔE/ΔN

O azimute geodésico projetado é o ângulo, na projeção, entre o Norte
da quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância projetada
entre os dois pontos a serem considerados.

 proj =  UTM + 

O azimute geodésico é o ângulo, na projeção, entre o meridiano que
passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distância
projetada entre os dois pontos considerados

 geod =  UTM ±c ± 


Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y).

A transformação das coordenadas UTM para coordenadas locais
consiste em realizar uma rotação e a aplicação de um fator de escala.
A rotação é feita em função da convergência meridiana e o fator de
escala adotado deve ser o fator de escala da projeção UTM, corrigido
para considerar a altitude média do local (kTotal).

Para aplicar a transformação, inicialmente, deve-se escolher um
ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotação. Em
seguida, calcula-se a convergência meridiana e o fator de escala total
desse ponto, que serão adotados como ângulo de rotação e fator de
escala da transformação.


O procedimento completo de cálculo é o seguinte:

1) escolher o ponto para origem do sistema (P0);
2) calcular a convergência meridiana e o fator de escala desse
ponto:
3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude média
da região;
4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor
da convergência meridiana;
5) calcular as projeções

X Po Pi e YPo Pi
de cada alinhamento, considerando o fator de escala total
(KT=KUTMxKalt);

6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi



ΔE
UTM  arctg
ΔN
c  .sen
X Pi  X Po  X Po Pi
Geod  UTM  c

sPoP YPi  YPo  YPo Pi
X PoPi  .sengeod
kT

sPoP
YPoPi  . cosgeod
kT



Exemplo:
Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as
suas coordenadas retangulares no sistema topográfico local.

NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m
EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m
 = 27° 32’ 14.483485” S  = 27° 32’ 01.599853” S
 = 43° 58’ 15.310008” W  = 43° 58’ 01.258185” W

H = 870,000

Raio Médio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m



1. Cálculo da Convergência Meridiana

c A   sen  00 28' 32.92"

2. Cálculo do fator de escala altimétrico
H
K alt  1   0.99986335
Ro  H
3. Cálculo do fator de escala UTM
 E   0,99972745
2

Para o Pt A kUTM  k0 . 1 
 2 2 
 R0 

Para o Pt B = 0,99972843

KUTM (médio)= 0,99972794



4. Cálculo do KT

KT = KUTM x Kalt = 0,99959133

5. Origem adotada para o Pt A

XA = 5.000,000
YA = 10.000,000

6. Cálculo da distância plana AB

sAB  (NB  NA )2  (EB  E A )2  552,961



7. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0)
s
s0   553,111
KUTM

8. Cálculo da distância topográfica AB
s s0
s  553,187 s  553,187
KT ou K Alt

9. Cálculo do azimute plano AB
EB  E A
ArctgAB   440 40' 14"
NB  N A

10. Cálculo do azimute geodésico AB

geo( AB)  AB  c A  440 11' 41"



11. Cálculo das projeções
X AB  s .sengeo  385,626
Y AB  s . cos geo  396,621

12. Cálculo das coordenadas (X,Y) do Pt B

X B  X A  X AB YB  YA  YAB
X A  5.000,000m YA  10.000,000m
X AB  385,626 YAB  396,621
X B  5.385,626 YB  10.396,621


Aula utm irineu_2012

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (20)

Semelhante a Aula utm irineu_2012

Semelhante a Aula utm irineu_2012 (20)

Aula utm irineu_2012