Aula utm irineu_2012

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  1. 1. Curso de Geomática Aula UTM Prof. Dr. Irineu da Silva EESC-USP
  2. 2. As Distâncias na Mensuração Tipos de distâncias Existem várias distâncias a serem consideradas na Mensuração. São elas: - distância inclinada; - distância horizontal; - distância esférica; - distância plana.13.05.2012 Irineu da Silva Page 2
  3. 3. Distância Inclinada e Distância HorizontalSejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir. s’ = distância inclinada entre P e Q; s = distância horizontal entre P e Q; β = ângulo de altura da direção PQ. θ = ângulo zenital da direção PQ s = s’cos b ou s =s’sen q13.05.2012 Irineu da Silva Page 3
  4. 4. Distância Esférica Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a superfície de referência, tem-se a seguinte situação: R0 = raio médio da esfera terrestre; HP = altitude do ponto P; HQ = altitude do ponto Q; sP = distância esférica ao nível de P; sQ = distância esférica ao nível de Q; s0 = distância esférica ao nível do mar (H=0)13.05.2012 Irineu da Silva Page 4
  5. 5. Distância Esférica As superfícies são esferas concêntricas e permitem obter as seguintes relações: so sP sQ   Ro Ro  H P Ro  HQ Para um ponto P de altitude H, tem-se: Ro  H p  Hp  sP  .so  1   R .so  Ro  o  sP so  Hp 1 Ro13.05.2012 Irineu da Silva Page 5
  6. 6. Distância Esférica Para os cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm, adotando-se uma altitude média para a região de cálculo. Nesse caso, a redução ao nível do mar pode ser dada por: H Re d   .106 ppm Ro  H As reduções podem também ser efetuadas aplicando-se um fator de escala denominado Fator de Escala Altimétrico (Kalt), conforme indicado abaixo. H K alt  1 Ro  H13.05.2012 Irineu da Silva Page 6
  7. 7. Distância Esférica A tabela a seguir apresenta a variação das distâncias horizontais, em relação a variação das altitudes, para diversos valores de H (para Ro = 6.362.735m na latitude  = 21o58’ 00“S, no Campus da Universidade Federal de São Carlos). H(m) s(m) 1000 2000 5000 10000 5000 0,785 1,570 3,925 7,850 2000 0,314 0,628 1,571 3,142 1000 0,157 0,314 0,786 1,571 500 0,078 0,156 0,393 0,78613.05.2012 Irineu da Silva Page 7
  8. 8. Relação entre a Distância Esférica e a Distância Horizontal A distância horizontal entre dois pontos situa-se no plano horizontal que passa pelo ponto inicial. A distância esférica entre dois pontos situa-se na superfície esférica que passa pelo ponto inicial. Têm-se assim as seguintes relações: Q’ = projeção de Q sobre a superfície esférica; s = distância horizontal em P; sP = distância esférica ao nível de P; cP = corda PQ’;  = ângulo no centro da terra.  ˆ arcoPQ : sP  Ro  HP .  ,,  cordaPQ : cP  2.Ro  HP .sen 2 tangentePQ : s  Ro  HP . tan 13.05.2012 Irineu da Silva Page 8
  9. 9. Relação entre a Distância Esférica e a Distância Horizontal A diferença entre a corda PQ’ e o arco PQ’ e entre a tangente PQ e o arco PQ’ estão relacionadas na tabela a seguir (para Ro = 6.362.735m e para Hp = 870m). sP (m) sP - cP (mm) sP - s (mm) 1000 +0,001 -0,008 2000 +0,008 -0,064 5000 +0,13 -1,03 10000 +1,03 -8,2313.05.2012 Irineu da Silva Page 9
  10. 10. Relação entre a Distância Esférica e a Distância Horizontal Constata-se através desta tabela que, para distâncias inferiores a 10km, a diferença entre a corda e o arco é desprezível, o que já não ocorre para a diferença entre a tangente e o arco. Evidentemente, se os pontos P e Q não estiverem na mesma altitude, haverá uma diferença de distância conforme se adote o plano horizontal passando por P ou por Q. Essa diferença de distâncias, na maioria dos casos, pode ser desprezada.13.05.2012 Irineu da Silva Page 10
  11. 11. Sistemas de Projeção Cartográfica13.05.2012 Irineu da Silva Page 11
  12. 12. Sistemas de Projeção Cartográfica As coordenadas planas da superfície terrestre são obtidas a partir do uso de um sistema de projeção, através do qual se estabelece uma relação pontual e unívoca entre a superfície de referencia, esférica, e a superfície do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da superfície esférica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de projeções cartográficas: - Projeção conforme, que são aquelas que conservam os ângulos; - Projeção equivalente, que são aquelas que conservam as superfícies; - Projeções que não conservam nem os ângulos e nem as superfícies mas que possuem outras características importantes.13.05.2012 Irineu da Silva Page 12
  13. 13. Sistemas de Projeção Cartográfica É importante salientar que não existe nenhuma projeção cartográfica que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipsóide duas superfícies esféricas, torna-se impossível estabelecer uma representação plana delas sem causar algum tipo de deformação linear. Geralmente os países preferem adotar as Projeções Conforme para a determinação das suas bases cartográficas. As Projeções Equivalentes são mais interessantes para o estabelecimento de cartas com escala reduzida (Atlas Geográfico).13.05.2012 Irineu da Silva Page 13
  14. 14. Principais Projeções Cartográficas Cilíndricas, Cônicas e Azimutais13.05.2012 Irineu da Silva Page 14
  15. 15. Principais Projeções Cartográficas13.05.2012 Irineu da Silva Page 15
  16. 16. Projeções Cilíndricas13.05.2012 Irineu da Silva Page 16
  17. 17. Projeções Cilíndricas As Projeções Cilíndricas podem ser - Projeção Cilíndrica Normal: o eixo do cilindro coincide com o eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente à superfície esférica ao longo do equador. - Projeção Cilíndrica Transversa: o eixo do cilindro coincide com o plano do equador e o cilindro é tangente a superfície esférica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeção TM. - Projeção Cilíndrica Obliqua: o eixo do cilindro é obliquo em relação ao eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente a superfície esférica ao longo de um grande arco de círculo qualquer.13.05.2012 Irineu da Silva Page 17
  18. 18. Projeções Cilíndricas Entre as Projeções Cilíndricas mais importantes vale a pena citar a Projeção de Mercator13.05.2012 Irineu da Silva Page 18
  19. 19. Projeções Cilíndricas Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeção Cilíndrica Equivalente. Neste caso a Cilíndrica Equivalente de Lambert.13.05.2012 Irineu da Silva Page 19
  20. 20. Projeções Cônicas Em uma projeção cônica, a superfície esférica é projetada sobre um cone tangente, o qual é posteriormente desenvolvido para se obter a carta plana.13.05.2012 Irineu da Silva Page 20
  21. 21. Projeções Cônicas A projeção cônica mais conhecida é a Projeção Cônica Conforme de Lambert.13.05.2012 Irineu da Silva Page 21
  22. 22. Projeções Azimutais - Projeção Gnômica: o centro de projeção é o eixo da Terra. Essa projeção não é conforme e nem equivalente. - Projeção Estereográfica: o centro de projeção é o pólo oposto ao plano de tangência. Ela é uma projeção conforme. - Projeção Ortográfica: o centro de projeção está no infinito. Essa projeção não é conforme e nem equivalente.13.05.2012 Irineu da Silva Page 22
  23. 23. Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal Azimutal Gnômica13.05.2012 Irineu da Silva Page 23
  24. 24. Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal Azimutal Esterográfica13.05.2012 Irineu da Silva Page 24
  25. 25. Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal Azimutal Ortográfica13.05.2012 Irineu da Silva Page 25
  26. 26. A Projeção UTM A projeção UTM, originada a partir da Projeção Conforme de Gauss, foi usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Serviço de Cartografia do Exército Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda Guerra Mundial. A sua principal vantagem é que ela permite representar grandes áreas da superfície terrestre, sobre um plano, com poucas deformações e com apenas um grupo de fórmulas. A projeção UTM é representada sobre um sistema de coordenadas retangulares, o que a torna bastante útil para ser aplicada na Mensuração.13.05.2012 Irineu da Silva Page 26
  27. 27. Características da Projeção UTM A projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme que pode ser visualizada como um cilindro secante à superfície de referência, orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador. O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da superfície de referência, criando, assim, duas linhas de interseção entre o cilindro e a superfície de referencia. A área de projeção compreende apenas uma parcela da superfície de referência. Essa área é denominada fuso ou zona. Cada fuso é representado pelo número do fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na direção horizontal são denominadas Este e representadas pela letra E. As coordenadas na direção vertical são denominadas Norte e representadas pela letra N.13.05.2012 Irineu da Silva Page 27
  28. 28. Características da Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 28
  29. 29. Características da Projeção UTM As principais características da projeção UTM são as seguintes: a) Amplitude dos fusos: 6; b) Latitude da origem: 0 (equador); c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso; d) Falso Norte (translação Norte): 10.000.000 m para o hemisfério Sul; e) Falso Este (translação este): 500.000 m; f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996; g) Numeração das zonas: as zonas são numeradas de 1 a 60, a partir do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim, zona 1 - de 180 W a 174 W zona 60 - de 174 E a 180 E; h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S; i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se em ângulos retos na projeção;13.05.2012 Irineu da Silva Page 29
  30. 30. Características da Projeção UTM j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso são representadas por linhas retas na projeção. Os demais meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano central e os paralelos são representados por linhas côncavas em relação ao polo mais próximor.13.05.2012 Irineu da Silva Page 30
  31. 31. Características da Projeção UTM k) O espaçamento entre os meridianos aumenta a medida que eles se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade da projeção conforme, a escala na direção Norte-Sul também é distorcida acarretando, assim, a existência de uma escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano.13.05.2012 Irineu da Silva Page 31
  32. 32. Determinação do Meridiano Central da Projeção UTM O meridiano central é determinado considerando-se que a sua variação ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui longitude igual a 177 e o último possui longitude igual a 3. Os meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9, 15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude conhecida, basta situá-lo no fuso. A relação fuso/meridiano central é dada pelas fórmulas: 183  MC Fuso  6 MC = 183 - 6 . Fuso13.05.2012 Irineu da Silva Page 32
  33. 33. Os Fusos da Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 33
  34. 34. Os Fusos da Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 34
  35. 35. Os Fusos da Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 35
  36. 36. Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM Para a transformação de coordenadas, tanto para o problema direto como para o problema inverso, existem fórmulas cujas deduções podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propósitos deste curso, serão apresentadas a seguir as fórmulas relativas a transformação de coordenadas geodésicas para coordenadas UTM. As coordenadas retangulares E, N da Projeção UTM podem ser calculadas pelas seguintes fórmulas: N  ( I )  ( II ) p 2  ( III ) p 4  A6 E  ( IV ) p  (V ) p  B5 3 Onde,13.05.2012 Irineu da Silva Page 36
  37. 37. Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM N = N’ - Para o Hemisfério Norte N = 10.000.000 – N’ - para o Hemisfério Sul E = 500.000 + E’- para pontos situados a leste do meridiano central MC E = 500.000 – E’- para pontos situados a oeste do meridiano central MC (I) = koS 1 3 5 6 3 3 45 6 S  a[(1  e 2  e 4  e )  ( e 2  e 4  e ) sen2  4 64 256 8 32 1024 15 4 45 6 35 6 ( e  e ) sen4  e sen6 ] 256 1024 3072 N  sen  cos  sen21"k0  108 (II )  2 sen 41" N  sen  cos 3  ( III )  (5  tan 2   9e2 cos 2   4e4 cos 4  )k01016 24 ( IV )  N cos   sen1"k0 104 sen 31"N  cos 3  (V )  (1  tan 2   e2 cos 2  )k 0 1012 613.05.2012 Irineu da Silva Page 37
  38. 38. Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM p  0,0001"     MC sen 61" N  sen  cos 5  A6  p 6 (61  58 tan 2   tan 4   270e2 cos 2   330e2 sen 3 )k010 24 720 sen 51"N  cos 5  B5  p 5 (5  18 tan 2   tan 4   14e2 cos 2   58e2 sen 2 )k010 20 12013.05.2012 Irineu da Silva Page 38
  39. 39. A Convergência Meridiana Os ângulos medidos no elipsóide estão referidos ao Norte Geográfico (NG), cuja representação, na projeção UTM, é dada por uma linha curva, côncava em relação ao meridiano central. As quadrículas UTM, por outro lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y (NQ) na direção Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ângulo variável para cada ponto, denominado convergência meridiana.13.05.2012 Irineu da Silva Page 39
  40. 40. A Convergência Meridiana A convergência meridiana, no hemisfério sul, é positiva para os pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os ponto situados a Leste do meridiano central. Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode ser dado pela seguinte fórmula indicada a seguir. Onde, C   sen  C = Convergência Meridiana  = Diferença de longitude entre a longitude do ponto considerado e a longitude do meridiano central (Long Pt – Long MC)  = Latitude do ponto considerado13.05.2012 Irineu da Silva Page 40
  41. 41. Redução à Corda ou Redução Angular Uma linha unindo dois pontos na superfície de referência esférica é representada no plano (na projeção) como uma linha curva (arco). Para as dimensões dos trabalhos topográficos, entretanto, a curvatura dessa linha é muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada, aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referência para calcular a distância e o azimute entre eles. O ângulo formado pela corda e pela tangente à curva é denominado ângulo de redução à corda ou ângulo de redução angular, e é representado pela letra grega , conforme indicado a seguir.13.05.2012 Irineu da Silva Page 41
  42. 42. Redução à Corda ou Redução Angular O valor máximo de , para uma linha de 10 Km é da ordem de 7”.13.05.2012 Irineu da Silva Page 42
  43. 43. O Fator de Escala Para se obter a distância plana entre dois pontos A e B, é necessário, inicialmente, corrigir a distância medida na superfície topográfica, em relação aos fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida reduzi-la ao elipsóide de referência e, finalmente, reduzi-la à superfície plana. Para a redução da superfície de referência à superfície plana, utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM. A distância plana é obtida multiplicando-se a distância esférica (sobre o elipsóide de referência) pelo fator de escala kUTM. s k UTM s013.05.2012 Irineu da Silva Page 43
  44. 44. O Fator de Escala Para evitar que as deformações tornem-se exageradas nas bordas dos fusos, adotou-se, para a projeção UTM, um fator de escala k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central. A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e para Leste até atingir o valor k=1,000, nas vizinhanças de E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer até o valor kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador.13.05.2012 Irineu da Silva Page 44
  45. 45. O Fator de Escala  E  2 kUTM  k0 . 1   2 2   R0  onde, kUTM = fator de escala k0 = 0,9996 (fator de escala no MC) E’ = ordenada entre o meridiano central e o ponto considerado (500 000 – Ept) Ro = Raio médio de curvatura13.05.2012 Irineu da Silva Page 45
  46. 46. O Fator de Escala Para aplicar o fator de escala para a correção da distância entre dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala médio, se a distância for pequena, ou uma média ponderada entre os pontos extremos e o ponto médio, se a distância for grande. Por exemplo, Para distâncias inferiores a 15 km propõe-se adotar k A  kB kUTM  2 Par distâncias maiores do que 15 km propõe-se adotar k A  4K meio  kB kUTM  613.05.2012 Irineu da Silva Page 46
  47. 47. Ângulos a serem considerados na Projeção UTM Quando se trabalha com coordenadas UTM é necessário considerar vários tipos de elementos angulares. Os principais elementos são: - azimute plano ou azimute da quadrícula (UTM); - azimute geodésico projetado (proj); - azimute geodésico (geod); - convergência meridiana (c); - redução à corda ().13.05.2012 Irineu da Silva Page 47
  48. 48. Ângulos a serem considerados na Projeção UTM O azimute plano ou azimute da quadrícula é o ângulo, na projeção, entre o Norte da quadrícula UTM e a linha reta que une os dois pontos a serem considerados. UTM = Arctg ΔE/ΔN O azimute geodésico projetado é o ângulo, na projeção, entre o Norte da quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância projetada entre os dois pontos a serem considerados.  proj =  UTM +  O azimute geodésico é o ângulo, na projeção, entre o meridiano que passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distância projetada entre os dois pontos considerados  geod =  UTM ±c ± 13.05.2012 Irineu da Silva Page 48
  49. 49. Ângulos a serem considerados na Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 49
  50. 50. Ângulos a serem considerados na Projeção UTM13.05.2012 Irineu da Silva Page 50
  51. 51. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). A transformação das coordenadas UTM para coordenadas locais consiste em realizar uma rotação e a aplicação de um fator de escala. A rotação é feita em função da convergência meridiana e o fator de escala adotado deve ser o fator de escala da projeção UTM, corrigido para considerar a altitude média do local (kTotal). Para aplicar a transformação, inicialmente, deve-se escolher um ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotação. Em seguida, calcula-se a convergência meridiana e o fator de escala total desse ponto, que serão adotados como ângulo de rotação e fator de escala da transformação.13.05.2012 Irineu da Silva Page 51
  52. 52. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). O procedimento completo de cálculo é o seguinte: 1) escolher o ponto para origem do sistema (P0); 2) calcular a convergência meridiana e o fator de escala desse ponto: 3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude média da região; 4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor da convergência meridiana; 5) calcular as projeções X Po Pi e YPo Pi de cada alinhamento, considerando o fator de escala total (KT=KUTMxKalt); 6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi13.05.2012 Irineu da Silva Page 52
  53. 53. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). ΔE UTM  arctg ΔN c  .sen X Pi  X Po  X Po Pi Geod  UTM  c sPoP YPi  YPo  YPo Pi X PoPi  .sengeod kT sPoP YPoPi  . cosgeod kT13.05.2012 Irineu da Silva Page 53
  54. 54. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). Exemplo: Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as suas coordenadas retangulares no sistema topográfico local. NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m  = 27° 32’ 14.483485” S  = 27° 32’ 01.599853” S  = 43° 58’ 15.310008” W  = 43° 58’ 01.258185” W H = 870,000 Raio Médio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m13.05.2012 Irineu da Silva Page 54
  55. 55. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 1. Cálculo da Convergência Meridiana c A   sen  00 28 32.92" 2. Cálculo do fator de escala altimétrico H K alt  1   0.99986335 Ro  H 3. Cálculo do fator de escala UTM  E   0,99972745 2 Para o Pt A kUTM  k0 . 1   2 2   R0  Para o Pt B = 0,99972843 KUTM (médio)= 0,9997279413.05.2012 Irineu da Silva Page 55
  56. 56. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 4. Cálculo do KT KT = KUTM x Kalt = 0,99959133 5. Origem adotada para o Pt A XA = 5.000,000 YA = 10.000,000 6. Cálculo da distância plana AB sAB  (NB  NA )2  (EB  E A )2  552,96113.05.2012 Irineu da Silva Page 56
  57. 57. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 7. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0) s s0   553,111 KUTM 8. Cálculo da distância topográfica AB s s0 s  553,187 s  553,187 KT ou K Alt 9. Cálculo do azimute plano AB EB  E A ArctgAB   440 40 14" NB  N A 10. Cálculo do azimute geodésico AB geo( AB)  AB  c A  440 11 41"13.05.2012 Irineu da Silva Page 57
  58. 58. Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 11. Cálculo das projeções X AB  s .sengeo  385,626 Y AB  s . cos geo  396,621 12. Cálculo das coordenadas (X,Y) do Pt B X B  X A  X AB YB  YA  YAB X A  5.000,000m YA  10.000,000m X AB  385,626 YAB  396,621 X B  5.385,626 YB  10.396,62113.05.2012 Irineu da Silva Page 58

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