Este documento discute vibração e ruído em sistemas contínuos. Apresenta os principais tópicos de vibração transversal de cordas e cabos, vibração longitudinal de barras e vibração lateral de vigas. Inclui equações diferenciais parciais que descrevem a vibração destes sistemas e métodos para resolvê-las, como separação de variáveis e condições de fronteira.

1. Vibração e Ruido
Universidade Metodista de Angola
Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
1

2. Programa
 5-Vibração de Sistemas Continuos
 5.1-Introdução
 5.2- Vibração transversal de cordas e cabos
 5.3- Vibração longitudinal de barras
 5.4-Vibração lateral de Vigas
 5.5-Metodo de Rayleigh
 5.6-Metodo de Rayleigh-Ritz
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3. 5-Vibração de Sistemas Continuos
5.1-Introdução
 Ate agora vimos casos discretos aonde a massa a mola
e amortecedor são assumidos estar em certos pontos
discretos. Contudo, exitem sistemas aonde esta
abordagem não é possivel.
 Para tal nos devemos considerar uma distribuição
continua da massa, mola e amortecedor, e assumimos
que todas as infinitas partes que constituem o corpo
vibram livremente, por esta razão diz-se que sistemas
continuos são sistemas com infinitos graus de liberdade
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4. 5-Vibração de Sistemas Continuos
5.1-Introdução
 Quando o sistema é modelado como discreto as
equações diferenciais ordinarias que descrevem os
movimentos são simples de resolver, por outro lado
quando sistemas é modelado como continuo as
equaçes diferenciais parciais que o descrevem tem
solução mais complexa.
 A equação diferencial parcial para obtenção das
frequencias é de quarta ordem e para resolução da
mesma teremos de recorrer as soluçoes iniciais e as
condições de fronteira.
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5. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 Considere o sistema constituido de um cabo de
( )
comprimento l sugeito a uma força f x, t por unidade
de comprimento como mostrado na figura abaixo
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6. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 ( )
O deslocamento transversal w x, t é assumido como
sendo pequeno. Olhando para o troço AB
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7. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 A somatoria de forças que actuam sobre a corda é:
∂2w
(P + dP )sin (θ + dθ ) + f (x, t ) − P sin θ = ρdx 2 (1)
∂t
 Aonde P é a força nas extremidades da secção AB, ρ a
massa por unidade de comprimento, e θ o angulo que a
AB faz com o eixo x. para o comprimento elementar dx
temos: ∂P
dP = dx
∂x

∂w
 sin θ ≈ tan θ =
∂x
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8. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
∂w ∂ 2 w
 E sin (θ + dθ ) ≈ tan (θ + dθ ) = + 2 dx
∂x ∂x
 Simplificando (1) vem:
∂  ∂w( x, t )  ∂ 2 w(x, t )
 P ∂x  + f (x, t ) = ρ (x ) ∂t 2
∂x  
 se admitir-mos que a corda é uniforme e que a força
longuitudinal é constante teremos então:
∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w(x, t )
+ f ( x, t ) = ρ

P
∂x 2
∂t 2
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9. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 ( )
Se f x, t = 0 , o sistema vibra em vibração livre e a
equação sera:
∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t )
 P =ρ ou
∂x 2
∂t 2
∂ 2 w( x, t ) ∂ 2 w( x, t )
 c2 = (2) que é a equacão da
onda. ∂x 2
∂t 2
P
c =
2
ρ
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10. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 A equação (2) é resolvida por separação de variaveis, ou
seja tem como solução:
 ( )
w x, t = W x T t ( ) ()(3)
 Subistindo em (2) obtemos:
 c 2 2
dW (x ) = 1 d 2T (t ) (4)
2 2
W dx T dt
 Verifica-se que o lado esquerdo tem dependençia
apenas de x e o lado direito apenas de t, então o valor
comun a estas equações é uma constante qualquer a .
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11. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 dito isto tens que: :
c d W (x ) 1 d T (t )
2 2 2
 2
= 2
=a (5)
W dx T dt
 Que é escrita
d 2W (x ) a
 2
− 2W =0 (6)
dx c
d 2T (t )
 2
− aT = 0 (7)
dt
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12. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 Sendo que a e uma constante geralmente negativa
podemos então escrever a = −ω
2
subistituindo em
(6) e (7) obtemos:
d W (x ) ω
2 2

2
+ 2 W =0 (8)
dx c
d 2T (t )  2 (9)
2
+ω T = 0
dt
 Que tem soluções dada por:
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13. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
ωx ωx
 W (x ) = A cos + B sin (10)
 c c
 T (t ) = C cos ωt + D sin ωt (11)
 Aonde ω é a frequencia de vibração e A, B,C e D
contantes obtidas pelas condições de fronteira e
condições iniciais.
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14. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 Condições de fronteira
∂w( x, t )
w( x = 0, t ) = 0 P = −kw(w = l , t )
∂x x =l
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15. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 Condições de fronteira
∂w( x, t )
=0
∂x x =0,l
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16. 5-Vibração de sistemas continuos
5.2-vibração transversal de cordas e cabos
 Exemplo 1: determine a equação de movimento de uma
corda fixada nos dois extremos?
 Atendendo a que a corda esta fixada nos dois extremos
teremos condições de fronteira dada por
w( x = 0, t ) = 0 w(x = l , t ) = 0
 Subistituindo em 10 teremos:
ωl
B sin =0 sendo que B não pode ser igual a zero
teremos c
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17. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 Considere uma barra elastica de comprimento l e de
secção transversal variavel A(x)
w( x = 0, t ) = 0 w(x = l , t ) = 0
∂u
P = σA = EA
 ∂x (1)
 σ tensão axial , E modulo de elasticidade do corpo
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18. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
∂u
 U deslocamento axial e extensão axial. Se
assumir-mos a existençia∂x de forças externas por
unidade de comprimento f(x,t), teremos que a soma das
forças será:
∂ 2u
(P + dP ) + fdx − P = ρAdx 2
∂t
∂P
dP = dx
∂x
 teremos
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19. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
∂P ∂u 2
 dx + fdx = ρAdx 2 (2)
∂x ∂t
 Subistituindo 1 em 2 teremos
∂  ∂u (x, t ) ∂ 2u
 EA(x ) ∂x  + f (x, t ) = ρA( x ) ∂t 2
 (3)
∂x  
 Para uma barra uniforme teremos:
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20. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t )
EA + f (x, t ) = ρA
∂x 2
∂t 2
 Se vibra livremente:
∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t )
 c2 = (4)
∂x 2
∂t 2
 E
c=
ρ
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21. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 A solução será dada por:
 ωx ωx 
u (x, t ) = U (x )T (t ) =  A cos + B sin (C cos ωt + D sin ωt )
 c c 
 Aonde U(x) depende simplemente de x e T(t) depende
do tempo.
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22. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 Condições de Fronteira
∂u
(0, t ) = 0
u (0, t ) = 0 ∂x
u (0, t ) = 0 ∂u
∂u
(l , t ) = 0 (l , t ) = 0
∂x u (l , t ) = 0 ∂x
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23. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 Exemplo: calcule a frequência natural da barra
apresentada na figura abaixo
 Em x=o teremos u(0,t)=0 ou A=0
∂u ∂ 2u
 Em x=l teremos AE ( )
l, t = −M (l , t )
∂x ∂t 2
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24. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 Teremos então:
ω ωl ωl
AE cos (cos ωt + D sin ωt ) = Mω sin (cos ωt + D sin ωt )
2
c c c
 Simplificando teremos:
ω ωl ωl
AE cos = Mω sin
2
c c c
 ou
α tan α = β
ωl AEl Aρl m
α = e β= 2 = =
c cM M M
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25. 5-Vibração de sistemas continuos
5.3-vibração longuitudinal de barra
 Estimando o valor de ω com base no racio β teremos
Valor de β
0.01 0.1 1 10.0 100.0
ω 0.1 0.3113 0.8602 1.4291 1.5549
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26. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 Consideremos o diagrama de corpo livre da viga
apresentado abaixo:
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27. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 Secçionado-a teremos:
 M(x,t) momento flector , V(x,t) esforço cortante e f(x,t)
força externa por unidade de comprimento
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28. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 a soma de força aplicada a viga será:
∂2w
 − (V + dV ) + f (x, t )dx + V = ρA( x)dx 2 ( x, t ) (1)
∂t
 Somando os momentos de força aplicadop em O
teremos:
 (M + dM ) − (V + dV )dx + f (x, t )dx − M = 0
dx
(2)
2
∂V ∂M
 dV = dx e dM = dx
∂x ∂x
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29. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 arranjando as equações (1) e (2) teremos:
∂V ∂2w
 (x, t ) + f (x, t ) = ρA( x) 2 (x, t ) (3)
∂x ∂t
∂M
 ( x, t ) − V ( x, t ) = 0 (4)
∂x
 Subistituindo (4) em (3) teremos:
∂2M ∂2w
− 2 (x, t ) + f (x, t ) = ρA( x) 2 ( x, t )
 ∂x ∂t (5)
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30. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 Usando a teoria de Euler-Bernoulli:
∂2w
 M (x, t ) = EI (x ) 2 ( x, t ) (6)
∂x
 Subistituindo (6) em (5) teremos:
∂ 2
 ∂ w
2
 ∂ w
2
  EI ( x ) (x, t ) + ρA(x ) 2 (x, t ) = f (x, t ) (7)
∂x 
2
∂x 2
 ∂t
 Para vigas uniforme teremos:
∂4w ∂2w
 EI 4 (x, t ) + ρA 2 ( x, t ) = f (x, t ) (8)
∂x ∂t Davyd da Cruz Chivala 30

31. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 Para vivração livre teremos:
∂4w ∂2w

c 2 4 ( x, t ) + 2 ( x, t ) = 0
∂x ∂t (9)
EI
c=
ρA
 Derivada de segunda ordem no tempo: duas condições
iniciais
 Derivada de quarta ordem no espaço : 4 condiçoes de
fronteira

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32. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
 Solução: separação de variaveis.
 ( ) ( ) ()
w x, t = W x T t (10)
 Subistituindo em (9) teremos:
c d W (x )
2 4
1 d T (t ) 2
=− = a = ω2
W ( x ) dx T (t ) dt
 4 2 (10)
 Aonde a = ω 2 é uma constante positiva
d 4W (x )
 − β 4W (x ) = 0 (11)
dx 4
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33. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
d 2T (t )
+ ω 2T (t ) = 0 (12)
dt 2
Aonde:
ω2 ρAω 2
β =4
2
=
c EI
A equação (12) tem como solução:
T (t ) = A cos ωt + B sin ωt
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34. 5-Vibração de sistemas continuos
5.4- Vibração lateral de vigas
A solução da equação (11)será dada por:
W ( x ) = Ce sx (13)
Aonde: C e s são constantes.
Subistituindo em (11)
s 4 − β 4 = 0 (14)
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