Estabelecimento de uma teoria algébrico-geométrica dos quadrados e hipercubos mágicos.

1. 1
Actions of Groups of Magic Squares and Hypercubes: Algebraic-geometry Theory
Lohans de Oliveira Miranda1
, Lossian Barbosa Bacelar Miranda2
1
UNEATLANTICO, Santander, Spain
2
IFPI and Associação Luiz Barbosa de Miranda, Teresina-Piauí, Brazil
Correspondence for: Lossian Barbosa Bacelar Miranda, E-mail: lossianm@gmail.com
Abstract. By simultaneously swapping rows and columns we prove that from any magic square of
order n we can generate 2
𝑛
2 magic squares if 𝑛 is even and 2
𝑛−1
2 if 𝑛 is odd. Estas trocas duplas definem
uma ação de um grupo de composições de funções bijetoras no conjunto dos quadrados mágicos de
ordem 𝑛. Todas as órbitas desta ação têm 2
𝑛
2 elementos se 𝑛 é par e 2
𝑛−1
2 elementos se 𝑛 é ímpar. Esse
grupo é isomorfo ao grupo de Klein gerado por
𝑛
2
se 𝑛 é par ou
𝑛−1
2
elementos se n é impar. Em
consequência, pelo teorema de Burnside, o número de quadrados mágicos de ordem 𝑛 é múltiplo se
2
𝑛
2 se n é par ou múltiplo de 2
𝑛−1
2 se 𝑛 é ímpar. Também provamos que 2
(
𝑛
2
2
)
e 2
(
𝑛−1
2
2
)
também dividem o
número de quadrados mágicos de ordem 𝑛 nas mesmas paridades de 𝑛.Usamos estes resultados para
estabelecer as bases de uma teoria algébrico-geométrica dos quadrados e hipercubos mágicos.
Keywords: Ação de grupos, Grupos de Klein, Swaps of rows and columns in magic squares, Del
Hawley's magic squares, Education of young people and children.
1. Introduction
Magic squares are part of school curriculums. Today, both at NRICH in Cambridge (Del Hawley,
1998; revised 2022, p. 1) and in the 6th year of schools in the State of São Paulo in Brazil (Secretaria
de Educação, 2023, p. 21). This work is the result of our attempts to understand Del Hawley's written
expositions to better teach our students the theory of magic squares. A magic square of order 𝑛 is a
square matrix formed by the numbers 1, 2, 3, … , 𝑛2
and such that the sum of the numbers in each row,
each column and each of the two diagonals is equal to 𝑐𝑛 =
𝑛3+𝑛
2
. We call 𝑐𝑛 the magic constant. Os
resultados aqui apresentados se estendem naturalmente para os cubos e hipercubos mágicos.

2. 2
2. Ações de grupos definidas por trocas de linhas e colunas de quadrados mágicos
Proposition 1. The double swap of lines and columns that are the same distance from the center of a
magic square transforms it into another magic square, this magic square being the same, regardless of
whether we swap rows or columns first. For each 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1
2
(𝑛, odd) and 𝑖 ∈ 𝐼𝑛
2
(𝑛, even) the mapping
𝜌𝑖 defined by this double swap is bijective in the set of magic squares.
Demonstration. See (de Oliveira Miranda, 2023a).
Observation 1. By the fundamental principle of counting, for each magic square 𝑀 of odd order 𝑛 we
can generate 2
𝑛−1
2 magic squares, including 𝑀 itself. By the same principle, if 𝑛 is even we can generate
2
𝑛
2 magic squares. To verify this, we simply note that the set of magic squares
𝑀 ∪ ⋃ (𝜌𝑖1
∘ 𝜌𝑖2
∘ 𝜌𝑖3
∘ … ∘ 𝜌𝑖𝑘
)(𝑀)
𝑛
𝑘=1
𝜌𝑖1
<𝜌𝑖2
<𝜌𝑖3
<⋯<𝜌𝑖𝑘
(1)
it has 2𝑛/2
elements if 𝑛 is even and 2
𝑛−1
2 elements if 𝑛 is odd.
Proposition 2. Given any square matrix 𝐴, we will denote 𝐶𝑎,𝑏(𝐴) the matrix that is obtained from 𝐴
by swapping its column of order 𝑎 with its column of order 𝑏.
And we will denote by 𝐿𝑎,𝑏(𝐴) the matrix that is obtained from 𝐴 by swapping its order lines 𝑎 and 𝑏.
So, if 𝑀 = (𝑚𝑎,𝑏)𝑎,𝑏∈𝐼𝑛
is a magic square of order 𝑛 and 1 ≤ 𝑖 < 𝑟 ≤
𝑛
2
, we will have
p𝑖,𝑟(𝑀) = 𝐿𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑖 (𝐶𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑖 (𝐿𝑖,𝑟 (𝐶𝑖,𝑟(𝑀)))) (2)
It's a magic square.
Demonstration. Repetiremos a prova apresentada em (de Oliveira Miranda, 2023b). Since swapping
rows or columns in semi-magic squares do not change the sums of numbers in row or column, our
attention must be focused on what occurs on the two diagonals. (𝐿𝑖,𝑟 (𝐶𝑖,𝑟(𝑀))) is a semi-magic
square that has the same main diagonal as 𝑀, except for the swap of 𝑚𝑖,𝑖 with 𝑚𝑟,𝑟.
𝐶𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑖 (𝐿𝑖,𝑟 (𝐶𝑖,𝑟(𝑀))) It is a semi-magic square that has the same secondary diagonal as 𝑀,
except for the swap of 𝑚𝑖,𝑛+1−𝑖 with 𝑚𝑟,𝑛+1−𝑟. And finally,

3. 3
𝐿𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑖 (𝐶𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑖 (𝐿𝑖,𝑟 (𝐶𝑖,𝑟(𝑀)))) is a semi-magic square that has the same main diagonal
as 𝑀, except swaps of 𝑚𝑖,𝑖 with 𝑚𝑟,𝑟 and of 𝑚𝑛+1−𝑟,𝑛+1−𝑟 with 𝑚𝑛+1−𝑖,𝑛+1−𝑖. Also, this final semi-
magic square has the same secondary diagonal as 𝑀, except for swaps of 𝑚𝑖,𝑛+1−𝑖 with 𝑚𝑟,𝑛+1−𝑟 and
of 𝑚𝑛+1−𝑖,𝑖 with 𝑚𝑛+1−𝑟,𝑟. Therefore, it will be magic square.
Example 2. 𝑛 = 6, 𝑖 = 2, 𝑟 = 3.
(
4 30 8
36 5 28
29 34 33
31 3 35
9 32 1
2 7 6
13 12 17
18 14 10
11 16 15
22 21 26
27 23 19
20 25 24)
𝐶2,3
→
(
4 8 30
36 28 5
29 33 34
31 3 35
9 32 1
2 7 6
13 17 12
18 10 14
11 15 16
22 21 26
27 23 19
20 25 24)
𝐿2,3
→
(
4 8 30
29 33 34
36 28 5
31 3 35
2 7 6
9 32 1
13 17 12
18 10 14
11 15 16
22 21 26
27 23 19
20 25 24)
𝐶4,5
→
(
4 8 30
29 33 34
36 28 5
3 31 35
7 2 6
32 9 1
13 17 12
18 10 14
11 15 16
21 22 26
23 27 19
25 20 24)
𝐿4,5
→
(
4 8 30
29 33 34
36 28 5
3 31 35
7 2 6
32 9 1
18 10 14
13 17 12
11 15 16
23 27 19
21 22 26
25 20 24)
= 𝑝2,3(𝑀) (3)
Observação 2. Podemos tomar (
𝑛 2
⁄
2
) pares de colunas iniciais para fazermos (
𝑛 2
⁄
2
) diferentes
aplicações bijetoras no conjunto dos quadrados mágicos de ordem 𝑛. A composição destas, juntamente
com a identidade, forma um grupo com a operação composição de aplicações bijetoras. O conjunto de
geradores deste grupo é {𝑝𝑖,𝑟|1 ≤ 𝑖 < 𝑟 ≤
𝑛
2
} se 𝑛 é par e {𝑝𝑖,𝑟|1 ≤ 𝑖 < 𝑟 ≤
𝑛
2
} se 𝑛 é ímpar.
No que segue, considera-se 𝑛 par, pois o caso ímpar é análogo.
Proposition 3. Seja 𝑀𝑛 o conjunto dos quadrados mágicos de ordem 𝑛 (|𝑀1| = 1, |𝑀3| = 8, |𝑀4| =
7040, |𝑀5| = 2 202 441 792, etc.). Considere as aplicações bijetoras 𝜌𝑖: 𝑀𝑛 ⟶ 𝑀𝑛; 𝑀 ↦ 𝜌𝑖(𝑀)
(𝒊 ∈ 𝑰𝒏
𝟐
) definidas conforme Proposição 1. Seja 𝐺 o conjunto das composições destas e mais a
identidade 𝑖𝑑(𝑀) = 𝑀. Então 𝐺 é grupo comutativo com a operação composição de aplicações ∘.
Demonstração. ∘ está bem definida. O elemento neutro do grupo é a aplicação identidade 𝑖𝑑. Cada
elemento de 𝐺 é oposto de si mesmo, como se pode provar com o auxílio da comutatividade e da

4. 4
igualdade 𝜌𝑖 ∘ 𝜌𝑖 = 𝑖𝑑. A prova da comutatividade usa geometria e é auxiliada com uso de cores. É
dada por 𝜌𝑖 ∘ 𝜌𝑗 = 𝜌𝑗 ∘ 𝜌𝑖, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑛
2
. Nas Figuras 1-4 é mostrada a geometria. ((𝜌𝑖1
∘ 𝜌𝑖2
) ∘
𝜌𝑖3
) (𝑀) = (𝜌𝑖1
∘ 𝜌𝑖2
) (𝜌𝑖3
(𝑀)) = 𝜌𝑖1
(𝜌𝑖2
(𝜌𝑖3
(𝑀))) = 𝜌𝑖1
((𝜌𝑖2
∘ 𝜌𝑖3
)(𝑀)) = (𝜌𝑖1
∘ (𝜌𝑖2
∘
𝜌𝑖3
)) (𝑀), ∀𝑀 ∈ 𝑀𝑛 prova a propriedade associativa.
A B 𝑖 row
E F 𝑗 row
𝑀 = 𝑗 column
𝑖 column
H G
D C
Figure 1. Commutativity of Klein groups of magic squares of n order. Magic square 𝑴
C D 𝑖 row
E F 𝑗 row
𝜌𝑖(𝑀) =
H G
B A
Figure 2. Commutativity of Klein groups of magic squares of n order. Magic square 𝝆𝒊(𝑴)

5. 5
A B 𝑖 row
G H 𝑗 row
𝜌𝑗(𝑀) =
F E
D C
Figure 3. Commutativity of Klein groups of magic squares of n order. Magic square 𝝆𝒋(𝑴)
C D 𝑖 row
G H 𝑗 row
(𝜌𝑗 ∘ 𝜌𝑖)(𝑀) = = (𝜌𝑖 ∘ 𝜌𝑗)(𝑀)
F E
B A
Figure 4. Commutativity of Klein groups of magic squares of n order. Magic squares
(𝝆𝒋 ∘ 𝝆𝒊)(𝑴) and (𝝆𝒊 ∘ 𝝆𝒋)(𝑴)
Observação 3. Temos:
i) 𝐺 = {𝑖𝑑} ∪ ⋃ (𝜌𝑖1
∘ 𝜌𝑖2
∘ 𝜌𝑖3
∘ … ∘ 𝜌𝑖𝑘
)
𝑛
𝑘=1
𝜌𝑖1
<𝜌𝑖2
<𝜌𝑖3
<⋯<𝜌𝑖𝑘
;

6. 6
ii) (𝐺,∘) é isomorfo ao grupo de Klein, possui 2
𝑛
2 elementos e tem
𝑛
2
geradores, a saber, os
elementos do conjunto {𝜌𝑖|𝑖 ∈ 𝐼𝑛
2
}.
Prroposição 4. A aplicação 𝑎: 𝐺 × 𝑀𝑛 ⟶ 𝑀𝑛; 𝑎(𝑔, 𝑀) = 𝑔(𝑀) é ação de grupo. Todas as órbitas
desta ação têm 2
𝑛
2 elementos.
Demonstração. 𝑖𝑑(𝑀) = 𝑀 e 𝑎(𝑔, 𝑎(ℎ, 𝑀)) = 𝑔(𝑎(ℎ, 𝑀)) = 𝑔(ℎ(𝑀) = (𝑔 ∘ ℎ)(𝑀) = 𝑎(𝑔 ∘ ℎ, 𝑀).
Para cada 𝑀 ∈ 𝑀𝑛 prefixado o conjunto 𝑂𝐺(𝑀) = {𝑎(𝑔, 𝑀)|𝑔 ∈ 𝐺}, o qual chamamos órbita de 𝑀,
tem o mesmo número de elementos que 𝐺. De fato, a aplicação de 𝐺 em 𝑂𝐺(𝑀) dada por 𝑔 ⟶ 𝑔(𝑀)
é bijetora pois a sobrejetividade advém da definição de órbita e, a injetividadae, da argumentação a
seguir: se 𝑔1(𝑀) = 𝑔2(𝑀) então 𝑔1 = 𝑔2, em conformidade com representação única dada pelo item
i da Observação 3.
Agora mostraremos que duas órbitas quaisquer 𝑂𝐺(𝑀1) e 𝑂𝐺(𝑀2) são iguais ou disjuntas. Se existir 𝑓
tal que 𝑓(𝑀1) = 𝑀2 então, obviamente, 𝑂𝐺(𝑀1) = 𝑂𝐺(𝑀2).
Se não existir 𝑓 ∈ 𝐺 tal que 𝑓(𝑀1) = 𝑀2, então 𝑀2 ∉ 𝑂𝐺(𝑀1). Se 𝑀1 ∈ 𝑂𝐺(𝑀2) existirá 𝑔 ∈ 𝐺 tal
que 𝑔(𝑀2) = 𝑀1. E daí temos 𝑀2 = 𝑔−1
(𝑀1), ou seja, 𝑀2 ∈ 𝑂𝐺(𝑀1), o que é um absurdo. Logo, as
órbitas são disjuntas ou iguais.
Agora mostraremos que 𝑤: 𝑂𝐺(𝑀1) ⟶ 𝑂𝐺(𝑀2) dada por 𝑤(𝑓(𝑀1)) = 𝑓(𝑀2) é aplicação bijetora.
𝑤(𝑓(𝑀1)) = 𝑤 (𝑓
̌(𝑀1)) ⇔ 𝑓(𝑀2) = 𝑓
̌(𝑀2). Daí segue 𝑀2 = (𝑓−1
∘ 𝑓
̌)(𝑀2) ⇒ 𝑓 = 𝑓
̌. Fica
concluída a demonstração.
Prroposição 5. Seja 𝐻 o grupo gerado pelas aplicações bijetoras de 𝑀𝑛 em 𝑀𝑛 pertencentes ao conjunto
{𝑝𝑖,𝑟|1 ≤ 𝑖 < 𝑟 ≤
𝑛
2
}. Então 𝐻 é comutatitvo, tem 2
(𝑛 2
⁄
2
)
elementos e ℎ ∘ ℎ = 𝑖𝑑, ∀ℎ ∈ 𝐻. Além disso,
𝑏: 𝐻 × 𝑀𝑛 ⟶ 𝑀𝑛; 𝑏(ℎ, 𝑀) = ℎ(𝑀) é ação de grupo. Além disso, o número de quadrados mágicos de
ordem 𝑛 é múltiplo 2
(𝑛 2
⁄
2
)
se 𝑛 é par e é múltiplo de 2
(
(𝑛−1) 2
⁄
2
)
se 𝑛 é ímpar.
Demonstração. Basta imitar as demonstrações das proposições 1, 3 e 4.
Observação 4
a) Em relação às proposições 1, 3 e 4, todas as órbitas são iguais ou disjuntas, têm iguais números
de elementos e a união delas é igual ao conjunto dos quadrados mágicos de ordem 𝑛. Portanto,

7. 7
o número de elementos deste conjunto é múltiplo de 2
𝑛
2. Note que na ação acima, para qualquer
𝑀 ∈ 𝑀𝑛, temos que 𝑆𝑡𝑎𝑏(𝑀) = {𝑔 ∈ 𝐺|𝑔(𝑀) = 𝑀} é igual ao subgrupo trivial ({𝑖𝑑},∘).
Logo, através do Burrnside’s lemma, também podemos obter este resultado. Idêntico raciocínio
vale para a Proposição 5 e, nesse caso, 2
(𝑛 2
⁄
2
)
será um divisor do número de quadrados mágicos
de ordem 𝑛 se 𝑛 é par. Se 𝑛 é ímpar, 2
(
(𝑛−1) 2
⁄
2
)
será o divisor do número de quadrados mágicos
de ordem 𝑛.
b) Se em um quadrado mágico qualquer 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)
𝑖,𝑗∈𝐼𝑛
trocarmos 𝑎𝑖,𝑗 com 𝑎𝑛+1−𝑖,𝑛+1−𝑗
obteremos um quadrado mágico 𝑅(𝐴) = (𝑎
̃𝑖,𝑗)
𝑖,𝑗∈𝐼𝑛
= (𝑎𝑛+1−𝑖,𝑛+1−𝑗)
𝑖,𝑗∈𝐼𝑛
(a prova é feita por
inspeção direta: ∑ 𝑎
̃𝑖,𝑗
𝑛
𝑗=1 = ∑ 𝑎𝑛+1−𝑖,𝑠
1
𝑠=𝑛 = 𝑐𝑛; ∑ 𝑎
̃𝑖,𝑗
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑠,𝑛+1−𝑗
1
𝑠=𝑛 = 𝑐𝑛; ∑ 𝑎
̃𝑖,𝑖
𝑛
𝑖=1 =
∑ 𝑎𝑛+1−𝑖,𝑛+1−𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝑐𝑛; ∑ 𝑎
̃𝑖,𝑛+1−𝑖
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑎𝑛+1−𝑖,𝑖
𝑛
𝑖=1 = 𝑐𝑛). Reciprocamente, se ao
trocarmos as entradas de uma matriz por esse algoritmo obtivermos um quadrado mágico, então
a matriz inicial é também um quadrado mágico (caracterização geométrica de quadrado
mágico). A aplicação 𝑅: 𝑀𝑛 ⟶ 𝑀𝑛 é bijetora e 𝑅 ∘ 𝑅 = 𝑖𝑑. Podemos definir em 𝑀𝑛 uma ação
de grupo com o grupo ({𝑖𝑑, 𝑅},∘).
c) Se em um quadrado mágico 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)
𝑖,𝑗∈𝐼𝑛
trocarmos a sequência numérica {𝑠|𝑠 ∈ 𝐼𝑛2} com
{𝑛2
+ 1 − 𝑠|𝑠 ∈ 𝐼𝑛2} obteremos um quadrado mágico 𝐼(𝐴). 𝐼 ∘ 𝐼 = 𝑖𝑑, ({𝑖𝑑, 𝐼},∘) é grupo
agindo em 𝑀𝑛 de modo idêntico ao item prévio. E também temos caracterização analítico-
geométrica dos quadrados mágicos.
d) Reflection at the horizontal axis (𝑅𝐻), reflection at the vertical axis (𝑅𝑉), reflection at the main
diagonal (𝑅𝑀𝐷) and reflection at the secondary diagonal (𝑅𝑆𝐷) definem 4 grupos de dois
elementos (com composições de aplicações bijetoras de 𝑀𝑛 em 𝑀𝑛) tais que cada elemento é
oposto de si mesmo.
e) A aplicação identidade (𝑖𝑑), Rotation by 90◦ (𝑅𝑜90°), rotation by 180◦ (𝑅𝑜180°) and rotation by
270◦ (𝑅𝑜270°) definem um grupo cíclico de 4 elementos com composições de aplicações
bijetoras de 𝑀𝑛 em 𝑀𝑛.
f) Como todos os elementos dos grupos 𝐺 e 𝐻 são aplicações bijetoras, fixados elementos 𝑔 ∈
𝐺 e ℎ ∈ 𝐻 as aplicações de 𝑀𝑛 em 𝑀𝑛 dadas por 𝑀 ⟶ 𝑔(𝑀) e 𝑀 ⟶ ℎ(𝑀) são injetoras.

8. 8
g) No caso dos cubos e hipercubos mágicos os resultados acima também são verdadeiros. Basta
trocarmos linhas paralelas e colunas paralelas equidistantes do centro do quadrado mágico por
hiperplanos paralelos equidistantes do centro do 𝑘 −hipercubo (dimensão 𝑘). Também teremos
caracterizações dos hipercubos mágicos.
Conclusion
A meta é achar o maior número de grupos cujas ações coletam quadrados mágicos e, a partir deles,
construir grupos maiores a partir dos quais possamos achar o maior número possível de quadrados
mágicos a partir de um quadrado mágico inicial dado. É certo que existe um grupo maximal com esta
característica e conjecturamos que esse grupo nos fornece todos os quadrados mágicos de ordem 𝑛. A
esperança que nos move nesse sentido é a certeza de que para cada uma das ações acima mencionadas,
e muitas outras que futuramente serão descobertas, suas órbitas são disjuntas e, a união das mesmas é
igual a 𝑀𝑛, o conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem 𝑛. Para cada uma das ações
mencionadas nós sabemos o tamanho das órbitas, mas não o número delas. Achando sequência de
grupos na qual uns contenham os outros aumentaremos o tamanho das órbitas e diminuiremos o
tamanho das mesmas, aumentando a probabilidade de acharmos o grupo maximal conjecturado para
cada ordem 𝑛. Nos casos específicos de 𝑛 fixado, hipóteses numéricas especiais podem serr
introduzidas e facilitar ainda mais a busca de todos os quadrados mágicos daquela ordem. Em qualquer
caso, a teoria algébrico-geométrica acima apresentada poderá ser muito útil.
Todos os subgrupos do grupo de permutações 𝑆𝑛2 estudados foram de aplicações bijetoras de 𝑀𝑛 em
𝑀𝑛. Portanto, essas aplicações, distribuídas nos diferentes grupos estudados podem ser compostas
umas com as outras produzindo novos grupos. Podemos inclusive unir os conjuntos dos geradores dos
diversos grupos acima mencionados para produzir grupos que os contém como subgrupos. E teoremas
como o de Lagrange poderão ser usados para dar informações sobre as ordens dos grupos que contêm
outros. Essas ampliações são desafios iimportantes para a teoria pura dos grupos finitos, pois elas
surgem de um exemplo concreto o qual, historicamente, a precede em milênios.
We find it notable that the results are linked to the formula ∑ (
𝑟
𝑘
) =
𝑟
𝑘=0 2𝑟
, one of the most intriguing
in teaching combinatory in the age group from 14 to 18 years old. Esse vínculo com o ensino é mágico.
Fora a caracterização analítico-geométrica do ítem c da Observação 4, todas as outras caracterizações,
inclusive as vinculadas aos grupos de rotação e dihedral, são algébrico-geométricas.

9. 9
Nossa metodologia de pesquisa lembra a que tem ocorrido na Mecânica Celeste. Os mecânicos
teóricos buscam as órbitas do problema de n-corpos e nós agora buscamos as órbitas das ações dos
grupos agindo no conjunto dos quadrados mágicos. O fato de estarmos macaqueando aquela teoria
exitosa, os físicos nucleares estarem falando em quadrados mágicos e, os mestres das
telecomunicações estarem a usar os nossos quadrados mágicos em suas pesquisas práticas, é prova
histórica de que os quadrados mágicos conseguiram acompanhar o restante da Matemática desgarrada
por Euclides. Essa é a missão histórica desse artigo, dizer e ser ouvido: nós, os quadrados mágicos,
estamos de volta, seguimos o mesmo percurso, só que perdendo tempo em olhar os verdejantes campos
do pensamento básico e da beleza inigualável do Ensino da Matemática.
Agradecimento. Agradecemos ao academia.edu pela magia de nos colocar em contado com o
Professor Del Hawley, fonte humana deste humilde texto.
References
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Matemáticas e Jusfilosóficas para Evitar o Inferno Eterno – Belo Horizonte, Editora Dialética.
ISBN 978-65-5956-002-8. Doi doi.org/10.48021/978-65-5956-002-8.
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