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- 1. NOTAS DE AULA Geometria Analítica e Álgebra Linear Capítulo 1 - Parte 1 Professor: Luiz Fernando Nunes
- 2. Geometria Analítica e Álgebra Linear ii Índice 1 Matrizes e Determinantes.........................................................................................1 1.1 Matrizes ............................................................................................................1 1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes........................................................................2 1.1.2 Operações com matrizes .............................................................................4 1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes:...............................................................9 1.1.4 Matrizes Elementares................................................................................10 1.1.5 Definição de Matriz como Função............................................................12 1.2 Determinantes e Matriz Inversa......................................................................12 1.2.1 Determinantes ...........................................................................................12 1.2.2 Matriz Inversa ...........................................................................................14 1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa ..........................17 Referências Bibliográficas............................................................................................18
- 3. Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 1 Matrizes e Determinantes 1.1 Matrizes Noção de matriz: Uma matriz é uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas. Representação Uma matriz com m linhas e n colunas será indicada por: nmji mnmm n n nm a aaa aaa aaa A 21 22221 11211 , onde 1 i m, 1 j n. Se não existirem dúvidas quanto à quantidade de linhas e colunas de uma matriz, podemos indicá-la apenas por letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... , omitindo os índices m e n. O símbolo nmM indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem nm de elementos reais. Exemplos 1. Se 305 212 011 A , então temos que: 111 a , 112 a , 013 a , 221 a , 122 a , 223 a , 531 a , 032 a , 333 a . 2. Se 270 5293 B , então temos que: 311 b , 912 b , 213 b , 514 b , 021 b , 722 b , 223 b , 24b . 3. Se 187 34 2/13/2 C , então temos que: 3 2 11 c , 2 1 12 c , 421 c , 322 b , 021 b , 731 c , 1832 c . 4. Suponha que temos alguns dados como peso, altura e idade referentes a um grupo de quatro pessoas, como na tabela seguinte: Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos) Pessoa 1 1,75 62 40 Pessoa 2 1,64 53 27 Pessoa 3 1,83 75 31 Pessoa 4 1,50 50 18
- 4. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 Podemos representar estas informações na matriz seguinte: 185050,1 317583,1 275364,1 406275,1 D , onde cada linha representa um indivíduo e as colunas representam, as grandezas altura, peso e idade, respectivamente. Definição Duas matrizes nmijnm aA ][ e srijsr bB ][ são iguais, se e somente se: jiba sn rm ijij , 1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes Matriz Quadrada É aquela onde o número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, m = n. Exemplos 5. 302 715 010 A , 8B e 73 49 C . Matriz Nula É aquela em que todos os elementos são iguais a zero, isto é, 0ija para todo i e j. Exemplos 6. 000 000 000 A e 00 00 B Matriz Linha É aquela onde m = 1. Exemplos 7. 2309 A e 31B Matriz Coluna É aquela onde n = 1.
- 5. Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 Exemplos 8. 1 2 9 7 A e 2 3 B Matriz Diagonal É uma matriz quadrada (m = n) onde 0ija , para ji . Exemplos 9. 200 040 001 A e 3000 0100 0040 0009 B Matriz Identidade É uma matriz diagonal onde jiparaa ejiparaa ij ij 1 0 Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por nnI ou apenas nI . Exemplos 10. 100 010 001 A , 10 01 B e 1000 0100 0010 0001 C Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada onde 0ija para i > j. Exemplos 11. 100 270 091 A , 10 91 B , 1000 2100 0600 3031 C Matriz Triangular Inferior É uma matriz quadrada onde 0ija para i < j.
- 6. Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 Exemplos 12. 17 029 004 A , 13 01 B e 1002 0934 0056 0001 C 1.1.2 Operações com matrizes Adição Dadas duas matrizes nmijnm aA ][ e nmijnm bB ][ , então: nmnmnm ijijijij babaBA ][][][ Exemplos 13. Se 171 229 104 A e 126 031 812 B , então 095 2510 716 BA 14. Suponha que as tabelas que seguem trazem as produções de soja, feijão e milho (em milhares de toneladas) de dois anos consecutivos de três regiões de um país: Produção agrícola do primeiro ano Soja Feijão Milho Região 1 2000 150 700 Região 2 1000 450 120 Região 3 500 300 900 Produção agrícola do segundo ano Soja Feijão Milho Região 1 2500 200 400 Região 2 500 250 300 Região 3 1500 200 100 Se representarmos estas produções pelas matrizes: 900300500 1204501000 7001502000 A e 1002001500 300250500 4002002500 B , respectivamente, então a matriz 10005002000 4207001500 11003504500 BA representa a produção total nestes dois anos consecutivos.
- 7. Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 Propriedades da Adição de Matrizes i) Associatividade: ,CBACBA nmMCBA ,, ii) Comutatividade: ABBA , nmMBA, iii) Elemento Neutro: A0A , onde 0 denota a matriz nula nm , nmMA iv) Oposto: Dada nmMA , existe a matriz A nmM , tal que 0AA Multiplicação de matriz por escalar Dada uma matriz nmijnm aA ][ e um escalar , então: nmnm ijij aaA ][][ Exemplos 15. Se 471 269 103 A e 2 , então 8142 41218 206 2 AA 16. Se 252 143 B e 3 , então 6156 3129 3 BB 17. Suponha que a tabela que segue traz a produção de arroz e milho (em milhares de toneladas) de dois Estados de um país em um determinado ano: Arroz Milho Estado X 400 600 Estado Y 700 800 Se representarmos estas produções pela matriz: 800700 600400 A e no ano seguinte estes Estados dobraram suas produções, então a matriz 16001400 1200800 2 A representa esta nova safra. Propriedades da Multiplicação de Matriz por escalar i) AA , ,,nmMA ii) AAA , ,,nmMA iii) BABA , ,, nmMBA iv) AA 1 , nmMA v) 0A 0 , nmMA obs.: 0 e nmM0
- 8. Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 Multiplicação de matrizes Dadas duas matrizes nmijnm aA ][ e pnjkpn bB ][ , então: pmikcCBA ][ , onde n j jkijnkinkikikiik bababababac 1 332211 ..... Exemplos 18. Se 2221 1211 aa aa A e 232221 131211 bbb bbb B , então 232221 131211 ccc ccc C , onde: 2 1 2211 j jkijkikiik bababac , isto é: 2112111111 babac 2212121112 babac 2312131113 babac 2122112121 babac 2222122122 babac 2322132123 babac 19. Se 112 131 A e 6021 1125 1304 B , então 24232221 14131211 cccc cccc C , onde: 1211534111 c 821230112 c 001133113 c 461131114 c 211514221 c 421210222 c 501113223 c 761111224 c Logo 7542 40812 C 20. Imagine que uma empresa possui duas confeitarias chamadas de A e B, que fabricam três tipos de bolos chamados de 1, 2 e 3. As vendas de bolos destas confeitarias, por semana, estão apresentadas na tabela que segue: Confeitaria Bolo tipo 1 Bolo tipo 2 Bolo tipo 3 A 50 unidades 30 unidades 25 unidades B 20 unidades 20 unidades 40 unidades Para a fabricação destes bolos, são necessários materiais conforme a seguinte tabela:
- 9. Geometria Analítica e Álgebra Linear 7 Bolo Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos Tipo 1 500 g 200 g 500 ml 150 g 4 Tipo 2 400 g 100 g 300 ml 250 g 5 Tipo 3 450 g 150 g 600 ml 0 g 6 Que quantidade destes materiais cada confeitaria deverá receber semanalmente para atender às demandas? Se a primeira tabela for representada pela matriz 402020 253050 X e a segunda tabela pela matriz 60600150450 5250300100400 4150500200500 Y , a resposta será dada pela matriz YXZ : Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos A 11c 12c 13c 14c 15c B 21c 22c 23c 24c 25c 4825045025400305005011 c 1675015025100302005012 c 4900060025300305005013 c 15000025250301505014 c 50062553045015 c 3600045040400205002021 c 1200015040100202002022 c 4000060040300205002023 c 8000040250201502024 c 42064052042025 c Logo a resposta é: Confeitaria Farinha Açúcar Leite Manteiga Ovos A 48250 16750 49000 15000 500 B 36000 12000 40000 8000 420 Propriedades da Multiplicação de Matrizes (Desde que sejam possíveis as operações) i) ,AAIIA sendo I a matriz identidade ii) CABACBA e CBCACBA iii) CBACBA iv) 0A0 e 00A Observe que em geral ABBA , podendo inclusive um dos membros estar definido e o outro não.
- 10. Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 Transposição de matrizes Dada uma matriz nmnmijnm MaA ][ , denomina-se transposta de A, a matriz: mnij T bA ][ , cujas linhas são as colunas de A, isto é: jiij ab . Exemplos 21. Se 471 269 103 A , então 421 760 193 T A 22. Se 52 40 13 B , então 541 203T B Propriedades da Transposição de Matrizes i) TTT BABA ii) TT AA , onde iii) AA TT iv) TTT ABBA Definições Seja A uma matriz quadrada, então: a) A é dita simétrica, se e somente se, AAT . Exemplo 23. 571 720 103 A AAT 571 720 103 b) A é dita anti-simétrica, se e somente se, AAT . Exemplo 24. 053 501 310 A AAT 053 501 310
- 11. Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 1.1.3 Alguns exercícios sobre matrizes: 25. Para cada , considere a matriz cossen sencos T a) Mostre que TTT cossen sencos cossen sencos TT = coscossensencossencossen cossencossensensencoscos T cossen sencos b) Ache T T TT cossen sencos cossen sencos 26. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT . BABABA TTT . 27. Mostre que a soma de duas matrizes anti-simétricas é uma matriz anti-simétrica. Sejam duas matrizes anti-simétricas A e B. Logo AAT e BBT . .BABABABA TTT 28. Mostre que se A é uma matriz quadrada, então T AA é uma matriz simétrica. TTTTTTT AAAAAAAA 29. Verifique que o produto de duas matrizes simétricas nem sempre é uma matriz simétrica. Sejam duas matrizes simétricas A e B. Logo AAT e BBT . ABABBA TTT . 30. Se 0BA , então podemos afirmar que 0A ou 0B ? Não! Encontre alguns contra-exemplos. 31. Suponha que 0A e CABA , então podemos afirmar que B=C ? Não! CABA 0CABA 0CBA . Sabemos que 0A , e que podemos ter 0CBA sem que 0CB , Logo B não é necessariamente igual a C.
- 12. Geometria Analítica e Álgebra Linear 10 32. Considerando o exercício anterior, se existir uma matriz Y tal que IAY , podemos afirmar que B=C ? Sim ! CABA CAYBAY CAYBAY CIBI B=C 33. Podemos dizer que a seguinte igualdade 222 2 BBAABA é verdadeira? Não! 22 BABBAABBABBAAABABA 34. Podemos dizer que a seguinte igualdade 222 2 BBAABA é verdadeira? Não! 22 BABBAABBABBAAABABA 1.1.4 Matrizes Elementares Definição Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz, às seguintes operações: i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; ii) a multiplicação uma linha da matriz por uma constante diferente de zero; iii) a substituição uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero. Definição Uma matriz elementar é uma matriz obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade. Exemplos 35. Considere a matriz identidade 1000 0100 0010 0001 I . Então as matrizes 1000 0100 0050 0001 1E , 1000 0001 0010 0100 2E , 1020 0100 0010 0001 3E , são matrizes elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar em suas linhas. Se iL representa a i-ésima linha de I, então, estas matrizes foram obtidas da seguinte maneira:
- 13. Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 1000 0100 0010 0001 22 5 LL 1 1000 0100 0050 0001 E 1000 0100 0010 0001 31 LL 2 1000 0001 0010 0100 E 1000 0100 0010 0001 244 2LLL 3 1020 0100 0010 0001 E Teorema Seja E a matriz elementar obtida fazendo-se uma operação elementar nas linhas de nI . Se a mesma operação elementar for feita em uma linha de uma matriz A de ordem rn , então o resultado será igual a AE . Exemplo 36. Considere as matrizes elementares 1E , 2E e 3E , obtidas conforme segue: 100 010 001 11 3 LL 1 100 010 003 E 100 010 001 32 LL 2 010 100 001 E 100 010 001 233 4LLL 3 140 010 001 E Considere agora a matriz 1532 0241 3021 A . Verifique que: 1532 0241 3021 11 3 LL 1532 0241 9063 = 100 010 003 1532 0241 3021 1532 0241 3021 32 LL 0241 1532 3021 = 010 100 001 1532 0241 3021
- 14. Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 1532 0241 3021 233 4LLL 13136 0241 3021 = 140 010 001 1532 0241 3021 1.1.5 Definição de Matriz como Função Uma matriz do tipo m n sobre um corpo F é uma aplicação do conjunto X={ (i, j) N N: 1 i m, 1 j n } em F. (N é o conjunto dos números naturais). Se m = n a matriz é dita matriz quadrada. Exemplo 37. A aplicação A: X onde X= { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3) }, definida por: A(1,1) = 1, A(1,2) = 1, A (1,3 ) = 3, A (2,1) = 3, A (2,2) = 4, A (2,3) = 0 é uma matriz do tipo 2 3, isto é: A = 043 311 1.2 Determinantes e Matriz Inversa 1.2.1 Determinantes Definições Se 2221 1211 aa aa A 21122211det aaaaA Se 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 312213322113312312 332112322311332211det aaaaaaaaa aaaaaaaaaA Definição Dada uma permutação dos inteiros n,.....,2,1 , existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Permutação Número de inversões ( 1 2 3 ) 0 ( 1 3 2 ) 1 ( 2 1 3 ) 1 ( 2 3 1 ) 2 ( 3 1 2 ) 2 ( 3 2 1 ) 3 Definição Seja A uma matriz quadrada nn . Então nnjjjj J aaaaA ......1det 321 321
- 15. Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 Onde ),....,,,,( 321 njjjjJJ é o número de inversões da permutação ),....,,,,( 321 njjjj e indica que a soma e estendida para todas as n! permutações. Observações i) o coeficiente J 1 dá o sinal de cada parcela da somatória. ii) em cada termo existe um e só um elemento de cada linha e um e só um elemento de cada coluna. iii) Através de reordenações, mostra-se também que: njjjj J n aaaaA ......1det 321 321 Propriedades dos determinantes i) T AA detdet ii) Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por k , o determinante fica multiplicado por k. iii) Uma vez permutadas duas linhas de uma matriz, o determinante da mesma troca de sinal. iv) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero. v) O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha, os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante. vi) BABA detdetdet Definição Seja A uma matriz quadrada nn . Uma submatriz ijA de A é uma matriz obtida de A eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Exemplo 38. Se 432 304 121 A então 32 21 23A , 30 12 31A , etc. Definição Seja A uma matriz quadrada nn . O cofator ou complemento algébrico de um elemento ija de A é o número: ij ji ij Adet1 .
- 16. Geometria Analítica e Álgebra Linear 14 Exemplo 39. Se 432 304 121 A então: 9 43 30 det1det1 2 11 11 11 A , 7 32 21 det1det1 5 23 32 23 A , etc. Desenvolvimento de Laplace Generalizando: ij n j ijnnij aa 1 det para qualquer linha i. Observação: O desenvolvimento pode também ser feito na variável j: ij n i ijnnij aa 1 det para qualquer coluna j. Exemplo 40. Se 432 304 121 A então calcule .det A Escolhendo, por exemplo a segunda linha (i=2) 2323222221212 3 1 2det aaaaA j j j 43 12 det14 12 + 42 11 det10 22 32 21 det13 32 1736054 1.2.2 Matriz Inversa Seja A é uma matriz quadrada n n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA , em que nII é a matriz identidade n n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível. Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1 A , logo: IAAAA 11 Exemplo 41. Ache a inversa da matriz 41 32 A 10 01 41 32 dc ba 10 01 44 3232 dbca dbca 04 132 ca ca 5 4 a e 5 1 c e 14 032 db db 5 3 b e 5 2 d
- 17. Geometria Analítica e Álgebra Linear 15 Logo 5 2 5 1 5 3 5 4 1 A Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 10 01 41 32 dc ba Teorema Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única. Demonstração Vamos supor que a matriz A possui duas inversas 1 1 A e 1 2 A . Logo temos que AAIAA 1 1 1 1 e AAIAA 1 2 1 2 . Assim 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 AAIAAAAAAIAA . Portanto 1 2 1 1 AA e a inversa é única. Observações i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e 111 ABBA . ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A . iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então A A det 1 det 1 . Demonstração de (iii) Sabemos que BABA detdetdet . Se IAA 1 , então temos que IAAAA detdetdetdet 11 A A det 1 det 1 . iv) AA 11 . v) 11 TT AA . Teorema Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em 1 A . Demonstração Se A for linha equivalente a I, podemos conseguir essa redução multiplicando A à esquerda por uma seqüência kEEEE ,.....,,, 321 de matrizes elementares. Portanto, temos IAEEEEE kk 1231.... . Denotando 1231.... EEEEEB kk , temos IAB . Assim, temos que A é invertível e 1 AB . Agora, aplicar a mesma sequência de operações elementares em I é equivalente a multiplicar I, à esquerda por 1231.... EEEEE kk . O
- 18. Geometria Analítica e Álgebra Linear 16 resultado é 11 1231.... AIAIBIEEEEE kk . Desta forma, I é transformada em 1 A pela mesma seqüência de operações elementares de linhas. Logo, a partir deste teorema, podemos usar o seguinte algoritmo para encontrar a matriz inversa de A: ][ IA .. elemop ][ 1 AI Exemplo 42. Ache a inversa da matriz 321 121 121 A 100321 010121 001121 21 LL 100321 001121 010121 133 122 LLL LLL 110440 011240 010121 22 4 1 LL 110440 0 4 1 4 1 2 1 10 010121 233 211 4 2 LLL LLL 101200 0 4 1 4 1 2 1 10 0 2 1 2 1 001 33 2 1 LL 2 1 0 2 1 100 0 4 1 4 1 2 1 10 0 2 1 2 1 001 322 2 1 LLL 2 1 0 2 1 100 4 1 4 1 2 1 010 0 2 1 2 1 001 . Assim, 2 1 0 2 1 4 1 4 1 2 1 0 2 1 2 1 1 A . Definição Seja A uma matriz quadrada nn . Então a matriz dos cofatores de A é a matriz nnijA . Exemplo 43. Se 13 12 A então 21 31 2221 1211 A Pois 111 11 11 , 331 21 12 ,
- 19. Geometria Analítica e Álgebra Linear 17 111 21 21 , 221 22 22 Definição Seja A uma matriz quadrada nn . Chama-se matriz adjunta de A, a matriz T AadjA . Exemplo 44. Se 13 12 A então 23 11 21 31 T adjA Teorema Seja A uma matriz quadrada nn , tal que 0det A . Então: nIAadjAA det . Deste teorema podemos concluir que: nIAadjAA det nI A adjA A det A adjA A det 1 1.2.3 Alguns exercícios sobre determinantes e matriz inversa 45. Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 33 assim: ADI VA XUP , que usando a correspondência numérica fica: M = 149 2201 242116 Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversível, por exemplo: C = 102 212 011 Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos CM : 7133 22145 183722 CM
- 20. Geometria Analítica e Álgebra Linear 18 Transmitimos esta nova matriz CM . Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo 1 CCM e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código. Questão Com base nessas informações, supondo que você tenha recebido a matriz 17172 303510 333411 CM , traduza a mensagem. 46. Sendo A uma matriz quadrada nn e, verifique que AA n detdet . 47. Seja A uma matriz triangular superior. Calcule o determinante de A. nn n n n a aa aaa aaaa A 000 00 0 333 22322 1131211 Aplicando Laplace sucessivamente 1111det aA = nn n n a a aa a 00 0 det1 3 222 11 11 = nn n n a a aa aa 00 0 det1 4 333 11 2211 = nn n n a a aa aaa 00 0 det1 5 444 11 332211 =........... nnaaaa ...........332211 Referências Bibliográficas 1. BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear. 3.a Edição. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. 2. CALLIOLI, Carlos A. et al. Álgebra Linear e Aplicações. 6.a Edição. São Paulo: Atual, 1990. 3. LIMA, Elon L., et al. A Matemática do Ensino Médio. 3.a Edição. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática – Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 4. POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson Learning, 2006.