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O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA
LÓGICO-HISTÓRICA: Delineamentos de uma
metodologia de ensino, a partir do estudo das
dificuldades dos alunos
DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
DOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE
TEREZA ZANON BAPTISTINI
ORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE
SOUSA – PROFESSORAADJUNTA – DME
ALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA
MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS
IDÉIAS DA PESQUISA
INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA
• Ao elaborar este projeto, levamos em consideração:
 Experiência com a temática lógico-histórica;
 Consideramos o grande número de reprovações na UFSCar, UFF,
UFC e USP.
• Propomos estudar uma Metodologia:
• Que se fundamenta na História da Matemática para o ensino de
Cálculo;
• Que leve o aluno a participar da construção do conhecimento
escolar de forma ativa e crítica;
• Que enfatize os contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-
políticos e culturais presentes em sala de aula.
INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA:
Objetivos dos Capítulos
 TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO
EM ALGUMAS UNIVERSIDADES.
 CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO
SEGUNDO PROFESSORES.
 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE
CÁLCULO A PARTIR DA TEORIA.
 O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO
CÁLCULO.
 HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL.
INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA:
Objetivos dos Capítulos
 O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS
DIAS DE HOJE.
 ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE
CÁLCULO.
 A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS
CURSOS DE CÁLCULO.
 UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE
CÁLCULO.
 DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS
DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA.
QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO
 “De que forma a perspectiva lógico-
histórica pode se configurar como
metodologia de ensino de Cálculo?”
OBJETIVOS
 Estudar a história da matemática enquanto metodologia de
ensino nas disciplinas iniciais de Cálculo.
 Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva
lógico-histórica.
METODOLOGIA DA PESQUISA
 A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, classificada como
metanálise.
 Instrumentos de coleta de informações:
 Livros didáticos;
 Propostas curriculares;
 Entrevistas (semi-estruturadas);
 Artigos;
 Dissertações;
 Teses;
 Banco de Dados SCIELO;
 Páginas de busca na internet;
 Página do DM – UFSCar na internet.
TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS
DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS
UNIVERSIDADES
 Levantamento de reprovações nas disciplinas iniciais de Cálculo, em:
 UFF, UFC, USP, UFSCar.
 Universidade Federal do Ceará: o índice de aprovação não chega a
ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada semestre, em 1990.
(DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p. 2).
 Segundo RESENDE (2003):
 USP (Escola Politécnica): entre 1990 e 1995, varia de 20% a 75%.
 USP (I. M. E.): o menor índice não é inferior a 45%.
 UFF: varia na faixa de 45% a 95%, sendo que no Curso de
Matemática, não é inferior a 65%.
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTÊNCIAS,
ENTRE 1999 E 2008, POR SEMESTRE
A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com
média de 35,75%.
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO 1 -
POR SEMESTRE, SEM DESISTÊNCIAS, DE
2005 A 2008.
 A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com
média de 34,6%.
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO A, SEM
DESISTÊNCIAS, DE 1999 A 2008.
 A taxa de reprovação varia entre 15% e 63%, com
média de 38,3%.
 A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com
média de 33,8%.
TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO B, SEM
DESISTÊNCIAS, DE 1999 A 2008.
CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM
CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES
 O objetivo aqui é mostrar as concepções sobre ensino-aprendizagem de
alguns professores.
 PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS
ALUNOS DE CÁLCULO:
 Para três professores existem deficiências: de ordem algébrica ou
de ordem geométrica.
 LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS:
 Há consenso sobre dificuldades de interpretação de texto.
 QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA
DE AULA:
 A taxa de alunos que participam ativamente da aula é muito baixa.
ROTEIRO - PERGUNTAS
OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO
ENSINO MÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?
OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS?
INFLUENCIA NAAULA TAIS ATITUDES?
OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOS
ENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?
QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DE
LIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?
EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE
DOS ALUNOS? POR QUÊ?
ROTEIRO - PERGUNTAS
OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMA
CONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?
QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NO
APRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS
INTEGRAIS?
QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO
DE CÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DAAULA?
VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIA
INFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?
QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DO
CALCULO NAS SUAS AULAS?
O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?
CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM
CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES
 A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O
APRENDIZADO:
 Para os professores a passividade influencia o aprendizado.
 QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA
CONTINUAMENTE OU NÃO e QUANTO À PROCURA NO
ATENDIMENTO:
 Professores afirmam que os alunos não estudam continuamente,
devido à baixa procura nas monitorias, tutorias e atendimentos.
 QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO:
 É citado o limite como chave em Cálculo.
 QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS:
 Professores afirmam que é o limite, pela sua relação com
derivadas.
CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM
CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES
 QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS:
 São citadas dificuldades em limites e em técnicas de integração.
 QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA:
 Todos os professores entrevistados usavam a tradicional.
 QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTÒRIA DA
MATEMÁTICA OU MUDANDAÇA NA METODOLOGIA:
 Para os professores, ou não sabe, ou afirma que não resolve,
afirmando que esta serve apenas como motivação aos alunos.
CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM
CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES
 O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES:
 PROFESSOR 1:
 Não tem o que fazer, a disciplina tem que ser refeita, com mais
tempo para aprendizado.
 PROFESSOR 2:
 Falta consciência do que o aluno está fazendo na universidade;
depende da herança cultural e de ter motivação para aprender.
 PROFESSOR 3:
 Precisa conscientizar os alunos a estudar, e de maneira certa.
 PROFESSOR 4:
 Depende do vestibular, pois talvez este seja fraco.
DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS
CONCEITOS DE CÁLCULO A PARTIR DA
TEORIA
 DAVID TALL (1976), nos diz que o problema de aprendizado do
Cálculo não é cultural, mas um fenômeno global.
 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES
 Dificuldades de aprendizado do conceito de função, ao longo
evolução histórica, separados em:
 Proporção: Até a Idade Média os elementos de funcionalidade não
podias ser expressos pela proporção.
 Homogeneidade: O princípio de homogeneidade estipulava que só
se poderia comparar elementos da mesma natureza.
DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE
LIMITES
 Agrupamos tais dificuldades em categorias, associadas à:
 A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo, i. e.,
aqui o problema é de domínio técnico.
 A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de
seu conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino: rompimento com
as concepções prévias de tal noção.
 Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento
analítico e algébrico:
 Dificuldade na transição do pensamento numérico para o
pensamento algébrico.
DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE
DERIVADAS
 Para ORTON (1983), os alunos constroem um significado adequado do
conceito de derivada.
 Identificação de três tipos de erros cometidos pelos alunos nos exercícios
de diferenciação e suas aplicações:
 Estruturais: relacionados com os conceitos implicados.
 Arbitrários: quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar
em conta os dados do problema.
 Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos.
 SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) destaca:
 Dificuldades de entender a relação entre a derivada de um ponto
f ′(a) e a função derivada f ′(x).
 Dificuldades de aplicações da regra da cadeia.
DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE
INTEGRAIS
 Principais problemas de aprendizagem do conceito de integral:
 Os estudantes identificam integral com primitiva, i. e., a integral é um
processo algébrico. Falta ligação entre o contexto algébrico e o
geométrico.
 MUNDY (1984) fez a seguinte pergunta: Por que a integral abaixo
está errada?
 Só 5% dos alunos pesquisados por MUNDY (1984) souberam
identificar o erro. Na Espanha só 23% sabiam que a integral estava errada
LORENS & SANTONJA (1997).
 Durante uma entrevista na UFSCar, ocorre o mesmo. O professor cita
que o mesmo ocorre na USP.
 Os estudantes não vêem conexão da integral com continuidade ou
convergência.
DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE
FUNÇÕES
 Antiguidade: Não tinha sido isolada as noções de gerais de
quantidades variáveis e de funções.
 Idade Média: São expressas de forma geométrica e mecânica os casos
de dependência entre duas quantidades.
 Período Moderno: Entre os séculos XVI e XVII, as expressões
analíticas de funções começam a prevalecer, sendo expressas por
soma de séries infinitas.
DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE
LIMITES
 É considerado o conceito básico do Cálculo.
 O conceito de limites só surge no Iluminismo, e demora devido a
problema com o infinito.
 A idéia de limite apareceu com a discussão dos quatro paradoxos de
Zenão, levando os gregos ao chamado horror ao infinito.
 Retomado por Fermat no problema das tangentes e estudo das
derivadas.
 Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de
partida para problemas de tangência, quadratura e afins.
 O conceito de limites fica confuso até o inicio do século XVIII,
quando Cauchy e Weierstrass estabelecem sua definição moderna.
DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE
DERIVADAS
 Euclides e Arquimedes estudaram tangentes na Grécia Antiga.
 As tangentes são retomadas por, quando Fermat estudou o método
para achar Máximos e Mínimos das parábolas superiores (y = kxª,
a= 2, 3, 4, ...).
 Newton formulou regras para cobrir soluções gerais da maioria dos
problemas relativos ao cálculo infinitesimal, de seu tempo.
 Leibnitz dá as fórmulas para produtos, quocientes e potências,
juntamente com as explicações geométricas. Também dá a notação.
 Cauchy estabelece a ligação entre a derivada e os diferenciais.
DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE
INTEGRAIS
 O cálculo integral surge com os problemas de quadratura e cubatura,
através de Eudoxo e Arquimedes (método de exaustão), onde a idéia de
integral está embutida.
 Principais contribuições:
 Fermat desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma
das parábolas superiores.
 Newton dá ao Cálculo a idéia de que a diferenciação e a integração são
operações inversas.
 Euler estabelece padrões definitivos ao Cálculo.
 Cauchy foi introduzir a integral analiticamente e reforma o Cálculo.
 Riemann estabelece critérios para a integrabilidade.
 Em 1901 Lebesgue estabelece um novo conceito de integral,
eliminado deficiências de Cauchy e Riemann.
O DISCRETO E O CONTÍNUO NO
DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
 Discreto é aquilo que exprime objetos distintos.
 Contínuo é o que está imediatamente unido a outra coisa.
 O problema da continuidade e do infinito surgem na antiguidade.
 Zenão deu relevância ao problema da relação entre discreto e contínuo,
gerando a crise dos incomensuráveis.
 Para EDWARDS (1977), faltava a Arquimedes a noção de limite,
compartilhando com os gregos o chamado horror ao infinito,
impedindo o surgimento do Cálculo.
 Podemos dizer que Newton chegou ao Cálculo pela via do contínuo, e
Leibniz via discreto.
O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA
DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE HOJE
 Segundo ÁVILA (1991), o Cálculo fazia parte do 2º grau até o inicio
da década de 60.
 O Programa Mínimo de Ensino Secundário de 1951, tínhamos:
 Limite de funções; limites infinitos; propriedades; descontinuidade
de funções.
 Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.
 Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração.
Primitivas imediatas; regras simples de integração.
 A Reforma da Matemática Moderna trouxe a utilização da linguagem
de conjuntos e mais formalismo, trazendo mudanças desastrosas
(ÁVILA, 1991).
 Após 1965, o 2º grau passa apenas a ter somente noções de limites e
derivadas, de modo intuitivo, retirando-se as integrais.
ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS
DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO
 Dos 17 livros adotados nos cursos iniciais de Cálculo, selecionamos 6:
 APOSTOL(1967): constrói os conceitos de através de processos
aproximados, levando o leitor a alcançar a formalização.
 ÁVILA (2001): explora os conceitos por colocações provisórias,
para mostrar que o Cálculo foi construído.
 COURANT (1970): atinge um alto nível de generalização,
constituindo um texto de Cálculo extremamente completo.
 GUIDORIZZI (1997): traz o Cálculo como uma revelação, com
preocupação com o formalismo.
 PISKUNOV (1968): preocupação excessiva com as demonstrações.
 SWOKOWSKI (1994): trabalha exemplos antes dos conceitos, usa
a intuição; demonstração bem cuidadas. Deixa os problemas mais
interessantes para depois.
A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA NOS CURSOS DE CÁLCULO
 A história possibilita entender a origem das idéias que
levaram à nossa cultura, observando os aspectos humanos
do seu desenvolvimento.
 O desenvolvimento histórico mostra o sentido dos
conceitos e teorias, de forma a delinear a exposição destes.
 A história aparece nos livros didáticos como mera
curiosidade, e no máximo como elemento motivador.
 A história mostra como a matemática foi construída
através dos tempos.
PANORAMA METODOLÓGICO DA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 Seguir os passos da "invenção" do conhecimento:
 Segue o caminho dos inventores, para perceber a razão que move o
inventor.
 Principio Genético:
 A aprendizagem requer que cada aluno refaça os principais passos da
evolução histórica.
 Método Experimental:
 É pegar um fato e “caminhar” com ele através da história da
matemática.
 Perspectiva Lógico-Histórica:
 Decorre da investigação, enfatizando a reconstituição dos resultados,
e dos contextos sócio-político e culturais, levando o aluno a
participar da construção do conhecimento de forma ativa e crítica.
LIVROS DE CÁLCULO USANDO A HISTÓRIA
 “Curso de História da Matemática”, de M. E. Baron e H.
J. M. Bos:
 É dividia em 5 volumes e expõe todos os conceitos de um primeiro
curso de cálculo, contando os principais fatos históricos.
 “The Calculus: a Genetic Approach”, Toeplitz:
 O livro segue a inspiração histórica para apresentar os conceitos do
Cálculo ao estudante.
 “The Historical Development of the Calculus”, EDWARDS:
 O livro têm exercícios ao longo do texto como uma parte
integrante da exposição, fazendo o leitor não se prender a leitura
passiva.
UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO
ENSINO DE CÁLCULO
 O antigo paradigma das aulas preparadas e nunca mudadas deveria ter
sido substituído (SPINA, 2002).
 Persistem os antigos métodos de ensino, à revelia das mudanças que
estão a exigir uma nova mentalidade (SPINA, 2002).
 Passa a ser questionado o modelo matemático absoluto, abrindo espaço
para inspirações nas influências sociais e culturais (ZUÑIGA, 1991).
 RIBNIKOV (1987), nos diz que conhecer a história do
desenvolvimento da matemática, nos permite compreender o lugar
dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens.
 Professores e estudantes devem partir do princípio de que aprender um
conceito matemático envolve apropriação de significações que são
produzidos durante o desenvolvimento histórico da humanidade
(SOUSA, 2004).
DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO
PARAAS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 Para BARUFI (1999), existem duas opções de ensino a serem seguidas:
i. A apresentação do Cálculo sistematizado, formal e em geral reveladora.
ii. A apresentação de uma seqüência temática que não obedece à estrutura
lógica, mas ao desenvolvimento do Cálculo.
 A abordagem lógico-histórica, condiz com o segundo modelo.
 Pesquisamos em: SCIELO, e banco de teses da USP, UNICAMP, PUC, UFF,
UFRJ e UNESP, e concluímos que praticamente não existem atividades de
ensino com a abordagem histórica.
 Encontramos os autores de livros com enfoque histórico: TOEPLITZ (1996),
PRIESTLEY (1974) e EDWARDS (1977).
 EDWARDS (1977) é o que mais se aproxima de um livro didático de cálculo
usando a história da matemática, mas traz vários exercícios de simples
fixação, e poucos problemas.
CONCLUSÕES
 Concluímos que nossa pesquisa cumpriu os objetivos, pois:
 Levantamos as taxas de reprovações de algumas universidades.
 Levantamos as principais dificuldades no ensino-aprendizagem, e
aprofundamos seu estudo.
 Discutimos que o principal conceito do Cálculo é o de limite,
fundamental para o aprendizado de derivadas e integrais.
 Destacamos em nossa pesquisa:
 A ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico, como problema
de ensino-aprendizagem do Cálculo.
 Problemas com a integração de funções em intervalos descontínuos.
 O desenvolvimento lento e gradual do conceito de funções.
 O surgimento primeiro das integrais, antes dos demais.
 A queixa dos professores sobre o comportamento dos alunos.
CONCLUSÕES
 Vimos que uma boa alternativa é o estudo do Cálculo via história da
matemática, assentada em problemas de cunho histórico, priorizando o
desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez do enfoque
tradicional.
 O que melhor se adequou a um livro didático de cálculo usando a
história da matemática é o livro de EDWARS (1977).
 Para encerrarmos, respondendo a nossa questão de investigação:
 “De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar
como metodologia de ensino de Cálculo?”
 Tal perspectiva deve enfatizar a reconstituição, dos resultados
matemáticos, e também dos contextos epistemológicos,
psicológicos, sócio-político e culturais, levando o aluno a
participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e
crítica, tendo como uma das exigências a relação com a
necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do
Cálculo.
BIBLIOGRAFIA
 APOSTOL, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967.
 ÁVILA, G. As Coisas que Ensinamos. Revista Matemática Universitária, Nº
18, SBM. RIO DE JANEIRO, 1991.
 BARBOSA, E. F. M. A REGRA DE L’HÔPITAL: Analise Histórica da regra
de L’Hôpital. A importância da História da Matemática na disciplina de
Cálculo. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO, CAMPINAS: UNICAMP, 2008.
 BARUFI, M. C. B. A construção/negociação de significados no curso
universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. TESE DE
DOUTORADO, SÃO PAULO: USP, 1999.
 CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Tipografia
Matemática. Lisboa, 1951.
 COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Vol. 1. Alberto Nunes Serrao
(Trad.). Porto Alegre: Globo, 1970.
 DA SILVA, J. F.; BORGES NETO, H. QUESTÕES BÁSICAS DO ENSINO
DO CÁLCULO. Disponível em:
 www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do-ensino-
de-calculo.pdf Consultado em: 14/05/2009.
 EDWARDS, C. H. Jr. The historical development of the calculus. New York:
Springer-Verlag, 1977.
BIBLIOGRAFIA
 ENGLEL, A.; VRANCKEN, S.; MÜLLER, D.; GREGORINI, M. I. Análisis
de uma propuesta dedática para La enseñanza de limite finito de variable
finita. Revista Iberoamericaca de Educacion Matemática. Nº 11, p. 113 – 132.
ARGENTINA, 1997.
 GUIDORIZZI, H. L. Um Curso De Cálculo. Vol. I, Rio de Janeiro, LTC
Editora, 1997.
 LLORENS, J. L.; SANTONJA, F. J. Uma interpretación de las dificultades em
el aprendizaje de concepto de integral. Divulgaciones Matemáticas, v. 5, No,
½, p. 61 – 76. Valencia, 1997.
 MUNDY, J., Analysis of Errors of First Year Calculus Students, en Theory,
Research and Practice in Mathematics Education, Bell, A., Low, B. And
Kilpatrick, J. (Eds.), Proceedings ICME-5, 170–172, 1984.
 ORTON, A. Student’s understanding of differentiation. Educational Studies in
Mathematics, 1983.
 PISKUNOV, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou,
1968.
 PRIESTLEY, W. M. Calculus: Na Historical Approach. Springer-Verlag, New
York, 1979.
BIBLIOGRAFIA
 REZENDE, Wanderley Moura O ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza
Epistemológica. Anais do II SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em
Educação Matemática, Santos/SP, 2003.
 SOUSA, MARIA DO Carmo de. O ENSINO DE ÁLGEBRA NUMA
PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Um estudo das elaborações correlatas
de professores do Ensino Fundamental. Tese de Doutorado. UNICAMP, 2004.
 SPINA, Catharina de Oliveira Corcoll. MODELAGEM MATEMÁTICA NO
PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL PARA O ENSINO MÉDIO. Dissertação de Mestrado. RIO
CLARO-SP, 2002.
 SWOKOWSKI, E. W. Cálculo Com Geometria Analítica. Vol. I, Trad. Alfredo
Alves de Faria, São Paulo, Makron Books, 1994.
 TOEPLITZ, O. The Calculus, a Genetic Approach. Chicago: The University
Press, 1966.
 ZUÑIGA, A.R. Las Matemáticas Modernas en las Américas: filosofia de una
reforma. In VIII CIAEM, Miami, USA, 1991.

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  • 1. O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos alunos DISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO DOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANON BAPTISTINI ORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA – PROFESSORAADJUNTA – DME ALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA
  • 2. MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA
  • 3. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA • Ao elaborar este projeto, levamos em consideração:  Experiência com a temática lógico-histórica;  Consideramos o grande número de reprovações na UFSCar, UFF, UFC e USP. • Propomos estudar uma Metodologia: • Que se fundamenta na História da Matemática para o ensino de Cálculo; • Que leve o aluno a participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica; • Que enfatize os contextos epistemológicos, psicológicos, sócio- políticos e culturais presentes em sala de aula.
  • 4. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA: Objetivos dos Capítulos  TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES.  CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES.  DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A PARTIR DA TEORIA.  O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO.  HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
  • 5. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA: Objetivos dos Capítulos  O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE HOJE.  ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO.  A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE CÁLCULO.  UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE CÁLCULO.  DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA AS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.
  • 6. QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO  “De que forma a perspectiva lógico- histórica pode se configurar como metodologia de ensino de Cálculo?”
  • 7. OBJETIVOS  Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino nas disciplinas iniciais de Cálculo.  Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.
  • 8. METODOLOGIA DA PESQUISA  A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, classificada como metanálise.  Instrumentos de coleta de informações:  Livros didáticos;  Propostas curriculares;  Entrevistas (semi-estruturadas);  Artigos;  Dissertações;  Teses;  Banco de Dados SCIELO;  Páginas de busca na internet;  Página do DM – UFSCar na internet.
  • 9. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES  Levantamento de reprovações nas disciplinas iniciais de Cálculo, em:  UFF, UFC, USP, UFSCar.  Universidade Federal do Ceará: o índice de aprovação não chega a ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada semestre, em 1990. (DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p. 2).  Segundo RESENDE (2003):  USP (Escola Politécnica): entre 1990 e 1995, varia de 20% a 75%.  USP (I. M. E.): o menor índice não é inferior a 45%.  UFF: varia na faixa de 45% a 95%, sendo que no Curso de Matemática, não é inferior a 65%.
  • 10. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTÊNCIAS, ENTRE 1999 E 2008, POR SEMESTRE A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com média de 35,75%.
  • 11. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM DESISTÊNCIAS, DE 2005 A 2008.  A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com média de 34,6%.
  • 12. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO A, SEM DESISTÊNCIAS, DE 1999 A 2008.  A taxa de reprovação varia entre 15% e 63%, com média de 38,3%.
  • 13.  A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com média de 33,8%. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CÁLCULO B, SEM DESISTÊNCIAS, DE 1999 A 2008.
  • 14. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES  O objetivo aqui é mostrar as concepções sobre ensino-aprendizagem de alguns professores.  PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE CÁLCULO:  Para três professores existem deficiências: de ordem algébrica ou de ordem geométrica.  LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS:  Há consenso sobre dificuldades de interpretação de texto.  QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE AULA:  A taxa de alunos que participam ativamente da aula é muito baixa.
  • 15. ROTEIRO - PERGUNTAS OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINO MÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS? OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NAAULA TAIS ATITUDES? OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOS ENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS? QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DE LIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO? EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOS ALUNOS? POR QUÊ?
  • 16. ROTEIRO - PERGUNTAS OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMA CONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA? QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NO APRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS? QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DE CÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DAAULA? VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIA INFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS? QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DO CALCULO NAS SUAS AULAS? O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?
  • 17. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES  A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O APRENDIZADO:  Para os professores a passividade influencia o aprendizado.  QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA CONTINUAMENTE OU NÃO e QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO:  Professores afirmam que os alunos não estudam continuamente, devido à baixa procura nas monitorias, tutorias e atendimentos.  QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO:  É citado o limite como chave em Cálculo.  QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS:  Professores afirmam que é o limite, pela sua relação com derivadas.
  • 18. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES  QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS:  São citadas dificuldades em limites e em técnicas de integração.  QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA:  Todos os professores entrevistados usavam a tradicional.  QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTÒRIA DA MATEMÁTICA OU MUDANDAÇA NA METODOLOGIA:  Para os professores, ou não sabe, ou afirma que não resolve, afirmando que esta serve apenas como motivação aos alunos.
  • 19. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIÊNCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES  O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES:  PROFESSOR 1:  Não tem o que fazer, a disciplina tem que ser refeita, com mais tempo para aprendizado.  PROFESSOR 2:  Falta consciência do que o aluno está fazendo na universidade; depende da herança cultural e de ter motivação para aprender.  PROFESSOR 3:  Precisa conscientizar os alunos a estudar, e de maneira certa.  PROFESSOR 4:  Depende do vestibular, pois talvez este seja fraco.
  • 20. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A PARTIR DA TEORIA  DAVID TALL (1976), nos diz que o problema de aprendizado do Cálculo não é cultural, mas um fenômeno global.  DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES  Dificuldades de aprendizado do conceito de função, ao longo evolução histórica, separados em:  Proporção: Até a Idade Média os elementos de funcionalidade não podias ser expressos pela proporção.  Homogeneidade: O princípio de homogeneidade estipulava que só se poderia comparar elementos da mesma natureza.
  • 21. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES  Agrupamos tais dificuldades em categorias, associadas à:  A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo, i. e., aqui o problema é de domínio técnico.  A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino: rompimento com as concepções prévias de tal noção.  Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e algébrico:  Dificuldade na transição do pensamento numérico para o pensamento algébrico.
  • 22. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS  Para ORTON (1983), os alunos constroem um significado adequado do conceito de derivada.  Identificação de três tipos de erros cometidos pelos alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:  Estruturais: relacionados com os conceitos implicados.  Arbitrários: quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dados do problema.  Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos.  SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) destaca:  Dificuldades de entender a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a função derivada f ′(x).  Dificuldades de aplicações da regra da cadeia.
  • 23. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS  Principais problemas de aprendizagem do conceito de integral:  Os estudantes identificam integral com primitiva, i. e., a integral é um processo algébrico. Falta ligação entre o contexto algébrico e o geométrico.  MUNDY (1984) fez a seguinte pergunta: Por que a integral abaixo está errada?  Só 5% dos alunos pesquisados por MUNDY (1984) souberam identificar o erro. Na Espanha só 23% sabiam que a integral estava errada LORENS & SANTONJA (1997).  Durante uma entrevista na UFSCar, ocorre o mesmo. O professor cita que o mesmo ocorre na USP.  Os estudantes não vêem conexão da integral com continuidade ou convergência.
  • 24. DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES  Antiguidade: Não tinha sido isolada as noções de gerais de quantidades variáveis e de funções.  Idade Média: São expressas de forma geométrica e mecânica os casos de dependência entre duas quantidades.  Período Moderno: Entre os séculos XVI e XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer, sendo expressas por soma de séries infinitas.
  • 25. DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES  É considerado o conceito básico do Cálculo.  O conceito de limites só surge no Iluminismo, e demora devido a problema com o infinito.  A idéia de limite apareceu com a discussão dos quatro paradoxos de Zenão, levando os gregos ao chamado horror ao infinito.  Retomado por Fermat no problema das tangentes e estudo das derivadas.  Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins.  O conceito de limites fica confuso até o inicio do século XVIII, quando Cauchy e Weierstrass estabelecem sua definição moderna.
  • 26. DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS  Euclides e Arquimedes estudaram tangentes na Grécia Antiga.  As tangentes são retomadas por, quando Fermat estudou o método para achar Máximos e Mínimos das parábolas superiores (y = kxª, a= 2, 3, 4, ...).  Newton formulou regras para cobrir soluções gerais da maioria dos problemas relativos ao cálculo infinitesimal, de seu tempo.  Leibnitz dá as fórmulas para produtos, quocientes e potências, juntamente com as explicações geométricas. Também dá a notação.  Cauchy estabelece a ligação entre a derivada e os diferenciais.
  • 27. DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS  O cálculo integral surge com os problemas de quadratura e cubatura, através de Eudoxo e Arquimedes (método de exaustão), onde a idéia de integral está embutida.  Principais contribuições:  Fermat desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das parábolas superiores.  Newton dá ao Cálculo a idéia de que a diferenciação e a integração são operações inversas.  Euler estabelece padrões definitivos ao Cálculo.  Cauchy foi introduzir a integral analiticamente e reforma o Cálculo.  Riemann estabelece critérios para a integrabilidade.  Em 1901 Lebesgue estabelece um novo conceito de integral, eliminado deficiências de Cauchy e Riemann.
  • 28. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO  Discreto é aquilo que exprime objetos distintos.  Contínuo é o que está imediatamente unido a outra coisa.  O problema da continuidade e do infinito surgem na antiguidade.  Zenão deu relevância ao problema da relação entre discreto e contínuo, gerando a crise dos incomensuráveis.  Para EDWARDS (1977), faltava a Arquimedes a noção de limite, compartilhando com os gregos o chamado horror ao infinito, impedindo o surgimento do Cálculo.  Podemos dizer que Newton chegou ao Cálculo pela via do contínuo, e Leibniz via discreto.
  • 29. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE HOJE  Segundo ÁVILA (1991), o Cálculo fazia parte do 2º grau até o inicio da década de 60.  O Programa Mínimo de Ensino Secundário de 1951, tínhamos:  Limite de funções; limites infinitos; propriedades; descontinuidade de funções.  Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.  Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas imediatas; regras simples de integração.  A Reforma da Matemática Moderna trouxe a utilização da linguagem de conjuntos e mais formalismo, trazendo mudanças desastrosas (ÁVILA, 1991).  Após 1965, o 2º grau passa apenas a ter somente noções de limites e derivadas, de modo intuitivo, retirando-se as integrais.
  • 30. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO  Dos 17 livros adotados nos cursos iniciais de Cálculo, selecionamos 6:  APOSTOL(1967): constrói os conceitos de através de processos aproximados, levando o leitor a alcançar a formalização.  ÁVILA (2001): explora os conceitos por colocações provisórias, para mostrar que o Cálculo foi construído.  COURANT (1970): atinge um alto nível de generalização, constituindo um texto de Cálculo extremamente completo.  GUIDORIZZI (1997): traz o Cálculo como uma revelação, com preocupação com o formalismo.  PISKUNOV (1968): preocupação excessiva com as demonstrações.  SWOKOWSKI (1994): trabalha exemplos antes dos conceitos, usa a intuição; demonstração bem cuidadas. Deixa os problemas mais interessantes para depois.
  • 31. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DE CÁLCULO  A história possibilita entender a origem das idéias que levaram à nossa cultura, observando os aspectos humanos do seu desenvolvimento.  O desenvolvimento histórico mostra o sentido dos conceitos e teorias, de forma a delinear a exposição destes.  A história aparece nos livros didáticos como mera curiosidade, e no máximo como elemento motivador.  A história mostra como a matemática foi construída através dos tempos.
  • 32. PANORAMA METODOLÓGICO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA  Seguir os passos da "invenção" do conhecimento:  Segue o caminho dos inventores, para perceber a razão que move o inventor.  Principio Genético:  A aprendizagem requer que cada aluno refaça os principais passos da evolução histórica.  Método Experimental:  É pegar um fato e “caminhar” com ele através da história da matemática.  Perspectiva Lógico-Histórica:  Decorre da investigação, enfatizando a reconstituição dos resultados, e dos contextos sócio-político e culturais, levando o aluno a participar da construção do conhecimento de forma ativa e crítica.
  • 33. LIVROS DE CÁLCULO USANDO A HISTÓRIA  “Curso de História da Matemática”, de M. E. Baron e H. J. M. Bos:  É dividia em 5 volumes e expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo, contando os principais fatos históricos.  “The Calculus: a Genetic Approach”, Toeplitz:  O livro segue a inspiração histórica para apresentar os conceitos do Cálculo ao estudante.  “The Historical Development of the Calculus”, EDWARDS:  O livro têm exercícios ao longo do texto como uma parte integrante da exposição, fazendo o leitor não se prender a leitura passiva.
  • 34. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO  O antigo paradigma das aulas preparadas e nunca mudadas deveria ter sido substituído (SPINA, 2002).  Persistem os antigos métodos de ensino, à revelia das mudanças que estão a exigir uma nova mentalidade (SPINA, 2002).  Passa a ser questionado o modelo matemático absoluto, abrindo espaço para inspirações nas influências sociais e culturais (ZUÑIGA, 1991).  RIBNIKOV (1987), nos diz que conhecer a história do desenvolvimento da matemática, nos permite compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens.  Professores e estudantes devem partir do princípio de que aprender um conceito matemático envolve apropriação de significações que são produzidos durante o desenvolvimento histórico da humanidade (SOUSA, 2004).
  • 35. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARAAS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA  Para BARUFI (1999), existem duas opções de ensino a serem seguidas: i. A apresentação do Cálculo sistematizado, formal e em geral reveladora. ii. A apresentação de uma seqüência temática que não obedece à estrutura lógica, mas ao desenvolvimento do Cálculo.  A abordagem lógico-histórica, condiz com o segundo modelo.  Pesquisamos em: SCIELO, e banco de teses da USP, UNICAMP, PUC, UFF, UFRJ e UNESP, e concluímos que praticamente não existem atividades de ensino com a abordagem histórica.  Encontramos os autores de livros com enfoque histórico: TOEPLITZ (1996), PRIESTLEY (1974) e EDWARDS (1977).  EDWARDS (1977) é o que mais se aproxima de um livro didático de cálculo usando a história da matemática, mas traz vários exercícios de simples fixação, e poucos problemas.
  • 36. CONCLUSÕES  Concluímos que nossa pesquisa cumpriu os objetivos, pois:  Levantamos as taxas de reprovações de algumas universidades.  Levantamos as principais dificuldades no ensino-aprendizagem, e aprofundamos seu estudo.  Discutimos que o principal conceito do Cálculo é o de limite, fundamental para o aprendizado de derivadas e integrais.  Destacamos em nossa pesquisa:  A ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico, como problema de ensino-aprendizagem do Cálculo.  Problemas com a integração de funções em intervalos descontínuos.  O desenvolvimento lento e gradual do conceito de funções.  O surgimento primeiro das integrais, antes dos demais.  A queixa dos professores sobre o comportamento dos alunos.
  • 37. CONCLUSÕES  Vimos que uma boa alternativa é o estudo do Cálculo via história da matemática, assentada em problemas de cunho histórico, priorizando o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez do enfoque tradicional.  O que melhor se adequou a um livro didático de cálculo usando a história da matemática é o livro de EDWARS (1977).  Para encerrarmos, respondendo a nossa questão de investigação:  “De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologia de ensino de Cálculo?”  Tal perspectiva deve enfatizar a reconstituição, dos resultados matemáticos, e também dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturais, levando o aluno a participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica, tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo.
  • 38. BIBLIOGRAFIA  APOSTOL, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967.  ÁVILA, G. As Coisas que Ensinamos. Revista Matemática Universitária, Nº 18, SBM. RIO DE JANEIRO, 1991.  BARBOSA, E. F. M. A REGRA DE L’HÔPITAL: Analise Histórica da regra de L’Hôpital. A importância da História da Matemática na disciplina de Cálculo. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO, CAMPINAS: UNICAMP, 2008.  BARUFI, M. C. B. A construção/negociação de significados no curso universitário inicial de Cálculo Diferencial e Integral. TESE DE DOUTORADO, SÃO PAULO: USP, 1999.  CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Tipografia Matemática. Lisboa, 1951.  COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Vol. 1. Alberto Nunes Serrao (Trad.). Porto Alegre: Globo, 1970.  DA SILVA, J. F.; BORGES NETO, H. QUESTÕES BÁSICAS DO ENSINO DO CÁLCULO. Disponível em:  www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-basicas-do-ensino- de-calculo.pdf Consultado em: 14/05/2009.  EDWARDS, C. H. Jr. The historical development of the calculus. New York: Springer-Verlag, 1977.
  • 39. BIBLIOGRAFIA  ENGLEL, A.; VRANCKEN, S.; MÜLLER, D.; GREGORINI, M. I. Análisis de uma propuesta dedática para La enseñanza de limite finito de variable finita. Revista Iberoamericaca de Educacion Matemática. Nº 11, p. 113 – 132. ARGENTINA, 1997.  GUIDORIZZI, H. L. Um Curso De Cálculo. Vol. I, Rio de Janeiro, LTC Editora, 1997.  LLORENS, J. L.; SANTONJA, F. J. Uma interpretación de las dificultades em el aprendizaje de concepto de integral. Divulgaciones Matemáticas, v. 5, No, ½, p. 61 – 76. Valencia, 1997.  MUNDY, J., Analysis of Errors of First Year Calculus Students, en Theory, Research and Practice in Mathematics Education, Bell, A., Low, B. And Kilpatrick, J. (Eds.), Proceedings ICME-5, 170–172, 1984.  ORTON, A. Student’s understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, 1983.  PISKUNOV, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou, 1968.  PRIESTLEY, W. M. Calculus: Na Historical Approach. Springer-Verlag, New York, 1979.
  • 40. BIBLIOGRAFIA  REZENDE, Wanderley Moura O ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Anais do II SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Santos/SP, 2003.  SOUSA, MARIA DO Carmo de. O ENSINO DE ÁLGEBRA NUMA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Um estudo das elaborações correlatas de professores do Ensino Fundamental. Tese de Doutorado. UNICAMP, 2004.  SPINA, Catharina de Oliveira Corcoll. MODELAGEM MATEMÁTICA NO PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA O ENSINO MÉDIO. Dissertação de Mestrado. RIO CLARO-SP, 2002.  SWOKOWSKI, E. W. Cálculo Com Geometria Analítica. Vol. I, Trad. Alfredo Alves de Faria, São Paulo, Makron Books, 1994.  TOEPLITZ, O. The Calculus, a Genetic Approach. Chicago: The University Press, 1966.  ZUÑIGA, A.R. Las Matemáticas Modernas en las Américas: filosofia de una reforma. In VIII CIAEM, Miami, USA, 1991.