História dos Sistemas de Numeração

História da Matemática
RONAN ARAUJO ROSA
Nome:
RA:

Os números fazem parte da vidas das pessoas, presentes em
casa, no trabalho, no supermercado, no banco, na escola, nas
brincadeiras e jogos, entre outros. Mas nem sempre foi assim.
UMA HISTÓRIA ANTIGA

Há muito tempo, o homem pré-histórico
(≈10 mil e 50 mil anos atrás) fazia
entalhe em ossos de animais e pintava
cavernas, seja para registrar caças
abatidas, ritos religiosos ou fenômenos
naturais.

A matemática surgiu como ferramenta para resolver questões
prática, utilizada por caçadores, pastores, agricultores,
religiosos, construtores, astrônomos e, somente por último,
por matemáticos.
Mas como o homem aprendeu a contar?

Tudo começou com o artifício conhecido como
correspondência um a um, que compara duas coleções de
seres ou objetos, da mesma natureza ou não, sem ter que
recorrer à contagem abstrata. Exemplo, de um lado, temos a
quantidade de pedrinhas; do outro, a quantidade de ovelhas.
Surgiu daí uma ideia comum aos dois grupos em
comparação: o número.

Além de objetos (pedras, ossos,
cordas, etc), os seres humanos
pré-históricos usavam os dedos
das mãos e outras partes do
corpo para contar.

Sistema de numeração é um
conjunto de símbolos e regras que
nos permite escrever e ler qualquer
número de determinado conjunto.
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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

A história da
Humanidade nos
apresenta muitos
sistemas de
numeração: egípcios,
babilônios, chineses,
maias, romanos,
hindus, entre outros.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Os egípcios criaram o primeiro sistema de numeração que se tem
notícia.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

Com eles, era possível escrever números de acordo com as
seguintes regras:
 Cada símbolo podia ser repetido no máximo nove vezes.
 A cada dez símbolos repetidos fazia-se a troca por outro, de
um agrupamento superior.
 Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para
encontrar o valor representado.
 A posição dos símbolos não altera o número escrito.

Alguns exemplos:

Os egípcios não utilizavam um
símbolo para representar o zero.
Os símbolos da escrita e da
numeração egípcia são chamados
hieróglifos.

A multiplicação egípcia era feita por um
processo de duplicação, isto é,
multiplicação por dois.
Supondo a multiplicação de dois números
naturais, (a x b), e usando uma tabela de
duas colunas.
A MULTIPLICAÇÃO NO ANTIGO EGITO

A primeira coluna era iniciada com 1 e a segunda coluna era colocado, ou
o multiplicando ou o multiplicador. Isso se justifica devido a multiplicação
ter em uma de suas propriedades, a comutatividade: a x b = b x a. Em
seguida, eles encontravam o dobro de cada número até que soma da
primeira coluna desse um resultado igual ao do outro fator (multiplicando
ou multiplicador, esse fato depende da escolha inicial). Para encontrar o
resultado, bastava somar os números correspondentes na segunda
coluna o qual era escolhido na primeira.

Exemplo, para a multiplicação 15 por
32, pode-se escolher o 32 para ser
duplicado. Portanto, atente para o
processo descrito no Quadro 1 ao lado.

A primeira coluna não pode ultrapassar
o número 15, paramos no 8, visto que o
dobro de 8 é 16. Segue que,
1 + 2 + 4 + 8 = 15, somemos os
números correspondentes na segunda
coluna, utilize a “/” para marcar os
números que somados vão dar o
resultado da sua operação, ou seja, 32
+ 64 + 128 + 256 = 480. Logo, teremos
que 15 x 32 = 480.

Aqui, usou-se um quadro para realizar a
divisão de 450 por 25. Seguindo a
mesma ideia da multiplicação, em que
começa escrevendo 1 na primeira coluna
e o número a ser duplicado na segunda,
ou seja, ele é o respectivo do algarismo
1. Tem-se que 25 é o divisor, então, ele
deve ser duplicado, assim, observe a
multiplicação conforme o Quadro 2.
A DIVISÃO NO ANTIGO EGITO

Atente-se à segunda coluna do quadro e
perceba que 400 + 50 = 450, essa
resposta, na divisão, é o nosso
dividendo. Dessa maneira, para
encontrar o resultado, é necessário
adicionar os seus respectivos da 1ª
coluna, que são 2 e 16, esses
adicionados resultam em 18. Portanto, o
quociente da divisão 450 ÷ 25 é 18.

Todavia, eles tinham o problema da
divisão não exata, com isso, surgiu o
aparecimento das frações nesses
problemas, pois considerando 225
dividido por 20 não se obtém como
resultado um número inteiro. Verifique
essa divisão no Quadro 3.

Veja que, até a duplicação por 8, não
se obtém nenhuma soma de
respectivos na segunda coluna que dê
o dividendo 225. Ao adicionar 160, 40 e
20, tem-se 220 e, portanto, faltam 5
unidades para chegar-se ao resultado
que se procura, então, perceba que o
faltante é do divisor que é 20, assim,
coloque esse no quadro.

Desse modo, tem-se:
160 + 40 + 20 + 5 = 225
Logo, o quociente dessa divisão será:
8 + 2 + 1 +
𝟏
𝟒
= 11
𝟏
𝟒

Por isso, quando houver uma divisão
com resto, determine a fração ou as
frações correspondentes do todo, pois
eles usavam as frações do tipo 𝟏
𝒏
, ou
seja, frações unitárias, sendo que o
resto pode ser representado por uma
junção de mais de uma dessas. É
importante ressaltar que os egípcios
não tinham o conhecimento da
nomenclatura “frações unitárias”.

Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia foram
encontrados bloco de argila com as inscrições que se assemelhavam a
cunhas. A escrita desse povo foi nomeada como cuneiforme.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNICO

Não possuía símbolo para o zero.
Os babilônios utilizavam dois símbolos para registrar quantidades:

 O “cravo” podia ser utilizado até nove vezes, representando os
números de 1 a 9.
 O número 10 era representado pelo símbolo “asna”.

Era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de
agrupamento, e o símbolo usado para representar o 1 era o mesmo
do 60. A contagem era feita em agrupamentos de 10 e também de,
assim:

A seguir podemos ver os processos que
permitiram aos babilônios multiplicar e
dividir dois números como. A
decomposição que fazem dos números,
antes de multiplicá-los, torna o
algoritmo didático, induzindo de
imediata a memorização no leitor.
A MULTIPLICAÇÃO NA BABILÔNIA

Exemplo, para multiplicar 14 por 23.
Primeiro decompunham em dezenas e
em unidades e depois multiplicavam-
nas e por fim somavam tudo.
14 x 23 =
(10 + 4) x (20 + 3) =
10 x 20 + 10 x 3 + 4 x 20 + 4 x 3 =
200 + 30 + 80 + 12 = 322
Em outras palavras aplicavam a
propriedade distributiva.
A MULTIPLICAÇÃO NA BABILÔNIA

Os babilônicos dividiam dois números com base na tabela dos
recíprocos.
Uma tábua de argila codificada por NP – 410 descreve o processo de
divisão aplicado pelos babilônios. A tábua traz uma tabela de números
recíprocos que são os inversos dos inteiros. Para se dividir um
número (numerador) por outro (denominador), procurava-se na tabela
o recíproco do denominador e multiplicava-se pelo numerador. É
idêntico ao nosso processo de divisão de frações no qual se inverte a
fração de baixo e multiplica-se pela de cima.
A DIVISÃO NO BABILÔNIA

Exemplos: 160 dividido por 8, o recíproco de 8 é 125, que multiplicado
por 160 resulta em 20.000. a virgula percorre três dígitos: 20.
Observe que o recíproco corresponde a
𝟏
𝟖
= 0,125 do qual percorremos
três casas com a vírgula (multiplicando por mil)
18 dividido por 5, o recíproco de 5 é 2 (
𝟏
𝟓
= 0,2 e corre uma casa com
a vírgula), que multiplicado por 18 resulta 36. A vírgula percorre um
dígito: 3,6.
A DIVISÃO NA BABILÔNIA

Espalhou-se por todo o Ocidente em consequência da expansão do
Império Romano ao longo dos séculos.
Atualmente, usados na indicação dos séculos, no nome de papas e de
reis, na numeração de capítulos de uma obra ou de cenas de uma
peça de teatro, em mostradores de relógios analógicos, na designação
de congressos, feiras, olimpíadas, assembleias...
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO

Não há símbolo para o zero.
No sistema de numeração romano há sete símbolos, que
correspondem a letra maiúsculas do alfabeto latino.

 Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo três vezes.

 Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor
indica uma subtração dos respectivos valores.

Lembre-se:
 I só pode ser subtraído de V e X.
 X só pode ser subtraído de L e C.
 C só pode ser subtraído de D e M.
 Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.

 Basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores:

 Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois
milhões:

De acordo com relatos históricos, o
sistema é vigesimal porque possui
como base a soma dos números de
dedos das mãos e dos pés.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA

No sistema de numeração Maia, os algarismos são baseados em
símbolos. Os símbolos utilizados são o ponto e a barra horizontal, e
no caso do zero, uma forma oval parecida com uma concha.

A soma de cinco pontos constitui uma
barra, dessa forma, se usarmos os
símbolos maias para escrever o
numeral oito, utilizaremos três pontos
sobre uma barra horizontal.

Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham
a ideia de que o 5 formava uma unidade (a mão) e o número 4 estava
ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20
dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros
a utilizar a simbologia do zero no intuito de demonstrar um valor nulo.
Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos
números em casas numéricas.

Consiste em desenhar linhas paralelas e perpendiculares para
representar os dígitos dos números a serem multiplicados.
Por exemplo, 23 x 41. Desenhamos duas linhas paralelas para
representar o 2 e outras três linhas paralelas para representar o 3.
Depois, de forma perpendicular, desenhamos quatro linhas paralelas
para o 4 e uma linha para o 1.
A continuação, uma vez que temos a imagem, é somar os pontos que
se formam nas intersecções. E assim, temos como resultado 943, o
mesmo que sai na forma tradicional de multiplicar.
UM MÉTODO PRÁTICO DA MULTIPLICAÇÃO NO IMPÉRIO MAIA

A MULTIPLICAÇÃO NO IMPÉRIO MAIA
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No algoritmo da divisão, o divisor está localizado no lado esquerdo da
tabela, enquanto o dividendo toma o seu lugar na diagonal e o
quociente será escrito na parte superior. Nosso objetivo é encontrar um
número que vezes o divisor dará o dividendo.
A DIVISÃO NO IMPÉRIO MAIA

Dividiremos cada entrada pelo nível mais alto do divisor, deixando os
outros níveis para confirmar o quociente encontrado ajudando a
preencher as entradas em branco. E para tornar mais didático
utilizaremos a legenda:

Façamos a divisão de 714 por 42.

Queremos saber qual é o inteiro que vezes dois(A1) dá um(C1). Como
tal resultado não é possível, pois 1<2, temos em B1 e nossa
unidade em C1 será relocalizada para um nível posicional mais baixo,
no nível das vintenas. Como uma duzentena vale vinte vintenas
reescreveremos a tabela assim:

Colocamos em C3 pois dois(A2) vezes zero(B1) é zero.
Agora queremos saber qual inteiro que vezes dois(A1) resulta em
35(C0 + C2). Como não existe tal inteiro, mas 35>2 podemos fazer uma
nova arrumação de forma que tal divisão seja possível. No caso, como
34 é divisível por 2, tiraremos uma vintena das trinta e cinco e a
relocalizaremos na entrada das unidades. Nossa tabela então ficará
assim:

O número procurado então é 17. Na tabela final temos:
Note que 2(A2) vezes 17(B2) é 34(C4) o que confirma nosso
resultado. O quociente procurado é , 17.

Criado pelos hindus, que habitavam as
terras às margens do rio Indo, mas
coube aos árabes a tarefa de
aperfeiçoar e divulgar o sistema.
O sistema de numeração revolucionou
a escrita numérica e é adotado no
Brasil é o sistema de numeração
decimal.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

 O sistema é decimal, ou seja, são dez
símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
 O sistema é posicional.
 existe um símbolo que representa a
ausência de quantidade: o zero

A palavra algarismos tem origem no nome do matemático árabe
Mohamed ibu-Musa al-Khowarizmi. Ele foi o responsável pela introdução
desse sistema de numeração na Europa.

CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, Jose Ruy; GIOVANNI JR., José
Ruy. Conquista da Matemática. 6º ano. São Paulo: Moderna, 2011.
C397 CENTRO UNIVERSITARIO DE MARINGA. Núcleo de Educação a
Distância; NOGUEIRA, Clélia Maria Ignatius. História da Matemática.
Clélia Maria Ignatius Nogueira. Reimpressão 2021. Maringá-Pr.:
UniCesumar, 2019. 248 p. Graduação – EaD.
Boyer, C. (1975). História da Matemática: Edgard Blucher.
REFERÊNCIAS

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