Aulas 8 e 9 - Sistemas de Numeração

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Aulaa 8 e 9 da disciplina Computação Aplicada, Unijorge, 2012.2

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Aulas 8 e 9 - Sistemas de Numeração

  1. 1. Sistemas de NumeraçãoProfª Jocelma RiosOut/2012
  2. 2. O que pretendemos:● Contar um pouco sobre a origem dos números e dos sistemas de numeração● Apresentar alguns sistemas de numeração utilizados no passado e atualmente● Mostrar as possibilidades de conversão entre os sistemas de numeração vinculados à computação● Refletir sobre a relação entre os sistemas de numeração estudados e o processamento computacional
  3. 3. A origem dos númerosNa pré- história, seráque os homens jácontavam?
  4. 4. A origem dos números● Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos conhecer um pouco da história humana, que pode ser feito através de: – estudo das ruínas de antigas civilizações – estudo de fósseis – estudo da linguagem escrita – avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos
  5. 5. A origem dos númerosA necessidade de contar começou com odesenvolvimento das atividades humanas,voltadas para sua “civilização”, quando ohomem foi deixando de ser pescador e coletorde alimentos para fixar-se no soloO homem começou a produzir alimentos,construir casas e domesticar animais,aproveitando-se dos mesmos através do uso dalã e do leite, tornando-se criador edesenvolvendo o pastoreio... tudo issotrouxe profundas modificações na vida humana
  6. 6. A origem dos númerosOlhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos números...
  7. 7. A origem dos números● As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10 mil anos na região que hoje fica o Oriente Médio● A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua, e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário
  8. 8. A origem dos númerosNo pastoreio, o pastor usava várias formaspara controlar o seu rebanho. Pela manhã,ele soltava os seus carneiros e analisava aofinal da tarde se algum tinha sido roubado,fugido, se perdido do rebanho ou se haviasido acrescentado um novo carneiro aorebanho.Assim, eles tinham a correspondência um aum, onde cada carneiro correspondia a umapedrinha que era armazenada em um saco.
  9. 9. A origem dos númerosNo caso das pedrinhas, cada animal que saíapara o pasto de manhã correspondia a umapedra que era guardada em um saco de couro.No final do dia, quando os animais voltavamdo pasto, era feita a correspondênciainversa, onde, para cada animal queretornava, era retirada uma pedra do saco.Se no final do dia sobrasse alguma pedra, éporque faltava algum dos animais, e se algumfosse acrescentado ao rebanho, era sóacrescentar mais uma pedra.
  10. 10. A origem dos números● A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa “pedrinha”● A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação
  11. 11. Senso numérico ● Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção ● O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental "Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmoquatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.
  12. 12. Senso numéricoTemos também alguns animais, ditosirracionais, como os rouxinóis e os corvos,que possuem este senso numérico ondereconhecem quantidades concretas que vão deum até três ou quatro unidadesExiste um exemplo célebre sobre um corvo quetinha capacidade de reconhecer quantidade...
  13. 13. Um corvo que sabia contar...Um fazendeiro estava disposto a matar um corvoque fez seu ninho na torre de observação de suamansão.Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saíado ninho.De uma árvore distante, ele esperava atentamenteaté que o homem saísse da torre e só entãovoltava ao ninho.
  14. 14. Um corvo que sabia contar...Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2homens entraram na torre, um ficou dentro e ooutro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foienganado: manteve-se afastado até que o outrohomem saísse da torre. A experiência foi repetidanos dias subsequentes com 3 e 4 homens, aindasem sucesso.Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes,todos entraram na torre e um permaneceu ládentro enquanto os outros 4 saíam e se afastavam.Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz dedistinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente aoninho e foi surpreendido.
  15. 15. Ábaco ● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem que podem fazer-se deslizar livremente ● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também serem apontados como seus inventores ● Emprega um processo de cálculo com sistema decimal, atribuindo a cada haste um múltiplo de dezSaiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco
  16. 16. Ábaco● No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais● No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular
  17. 17. Representação numéricaCom o passar do tempo, as quantidadesforam representadas por expressões,gestos, palavras e símbolos, sendoque cada povo tinha a sua maneirade representaçãoA faculdade humana natural dereconhecimento imediato dequantidades se resume a,no máximo, quatro elementosO senso numérico não pode serconfundido com contagem, que é umatributo exclusivamente humano quenecessita de um processo mental
  18. 18. Sistemas de numeração● Como existem infinitas quantidades, não é possível criar um símbolo para cada uma. Assim, para resolver este problema, foram desenvolvidos os sistemas de numeração● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto finito de símbolos somado a uma lei de formação que permite representar qualquer quantidade● Podem ser classificados em: – Sistemas de Numeração Posicionais – Sistemas de Numeração Não Posicionais
  19. 19. Sistema de numeração não- posicional● Neles, cada símbolo, independente da posição, representa um único valor, como é o caso do sistema romano É composto de um conjunto de sete símbolos {I,V,L,C,D,M} capazes de representar uma grande variedade de números, com base numa lei de formação, porém não é possível representar qualquer quantidade como o zero por exemplo
  20. 20. Sistema de numeração não- posicional● Sistema romano – é dito não-posicional...por exemplo, IV e VI representam 4 e 6 respectivamente, contudo I e V representam 1 e 5 em ambos os numerais – No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso, a representação é aditiva, com X representando a quantidade decimal 10, e com a combinação XX associada a 10+10=20. Por outro lado, em IX (nove em decimal) a representação é subtrativa
  21. 21. Sistemas de numeração posicional● Nos sistemas de numeração posicional, o valor posicional do dígito em um número depende da posição que ele ocupa neste mesmo número – 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9 – 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100● Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira e decrescem para a direita na parte fracionária – 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1
  22. 22. Sistemas de numeração posicional● A representação posicional fornece uma forma simplificada para a escrita de números e permite a representação de qualquer número com um alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de dígitos
  23. 23. Sistema de numeração egípcio● Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
  24. 24. Sistema de numeração egípcio
  25. 25. Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html Sistema de numeração egípcio ● Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33
  26. 26. Sistema de numeração Maia
  27. 27. Sistema de numeração babilônico● Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado há, aproximadamente, 4 mil anos
  28. 28. Sistema de numeração hindu● Evolução aos longo da história
  29. 29. Sistema de numeração indo- arábico ● Nosso sistema de numeração (decimal) surgiu decimal na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão ● O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade; e o número 3 significava muitos, multidãoSaiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm
  30. 30. Sistema de numeração - comparativo
  31. 31. Sistemas de numeração computacionalO sistema de numeração com o qual estamos maisfamiliarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção desímbolos) é formado por 10 dígitos acima mostrados.Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistemadecimal um computador precisaria codificar 10 níveis dereferência para caracterizar os 10 dígitos do sistemautilizado. Esses níveis de referência poderiam servalores de tensão (0V, 1V, 2V etc.) que precisariam serdefinidos e interpretados de maneira clara e precisapela máquina.Desvantagem: quanto maior o número de interpretaçõesmaior a probabilidade de erro. Para decidir que estálendo o número 5 a máquina precisaria ter certeza de queo que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
  32. 32. Sistemas de numeração computacionalConsequência: O sistema de numeração mais segurodeveria ser aquele com o menor número de símbolos(dígitos).Conclusão: o melhor sistema de numeração para umamáquina seria o binário com apenas dois dígitos, ozero (0) e o um (1).Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de umúnico dígito. Todo sistema de numeração precisa dosconceitos de presença (1) e ausência (0), ao menos.
  33. 33. Sistemas de numeração computacionalUm possível problema no uso de máquinas binárias: onúmero binário precisa de mais dígitos para ser escritoque o decimal. → Quatro em decimal é representado como 4. → Sua representação em binário é 100.Consequência: o computador binário seria maispreciso, porém muito lento porque a leitura dainformação iria requerer mais tempo.
  34. 34. Sistemas de numeração computacionalUma solução: o uso de dispositivos eletrônicosbaseados na tecnologia dos semicondutores, comoos transistores.O transistor: é um dispositivo usado para controlaro fluxo de corrente. Ele tem duas característicasimportantes: 1- é capaz de amplificar um sinal elétrico. 2- é capaz de chavear (comutar) entre ligado edesligado (ou fechado e aberto), deixando correntepassar através dele ou bloqueando-a.
  35. 35. Sistemas de numeração computacionalO transistor pode mudar da condição de saturaçãopara o corte em velocidades acima de um milionésimode segundo. Ele pode ser usado para caracterizar apresença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou1) e pode tomar decisões desse tipo a uma taxasuperior a um milhão de decisões por segundo. O primeiro Transistor Um Transistor moderno
  36. 36. Sistemas de numeração computacionalFatos importantes:- Máquinas do século XIX utilizavam base 10- O matemático inglês George Boole (1815-1864)publicou em 1854 os princípios da lógica booleana,onde variáveis assumem valores de 0 (falso) ou 1(verdadeiro)- Alan Turing utilizou a lógica booleana paraconceber a Máquina de Turing, que deu origem àcomputação digital- A lógica booleana foi usada na implementação doscircuitos elétricos internos do computador digital.
  37. 37. Bases de sistemas de numeração● A base de um sistema é a quantidade de algarismos disponível na representação● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada, embora não seja a única utilizada● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma grosa de parafusos (base 12) e também marcamos o tempo em minutos e segundos (base 60)● Os computadores utilizam a base 2 (sistema binário) e os programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal
  38. 38. Bases de sistemas de numeração● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades● Generalizando, temos que uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1)
  39. 39. Bases de sistemas de numeração posicional● Sistema Decimal → Base 10 → alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}● Sistema Binário → Base 2 → alfabeto {0, 1}● Sistema Octal → Base 8 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}● Sistema Hexadecimal → Base 16 → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
  40. 40. Bases de sistemas denumeração posicional
  41. 41. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base Z● Consiste em decompor o número de acordo com a estrutura posicional, usando operações de produtos, divisão e somas● Para facilitar o cálculo das operações de conversão de base, vale a pena relembrar as potências das bases numéricas mais utilizadas na teoria da computação – 2 – 10 – 16 – 8
  42. 42. Conversão de base● Potência de 2: ● Potência de 8: 20 1 80 1 21 2 81 8 22 4 82 64 23 8 83 512 24 16 84 4.096 25 32 85 32768 26 64 86 262.144 2 7 128 87 2.097.152 2 8 256 88 16.777.216 89 134.217.728 2 9 512 10 810 10.73.741.824 2 1.024
  43. 43. Conversão de base● Potência de 10: ● Potência de 16: 100 1 160 1 101 10 161 16 102 100 162 256 103 1.000 163 4.096 104 10.000 164 65.536 105 100.000 165 1.048.576 106 1.000.000 166 16.777.216 107 10.000.000 167 268.435.456 108 100.000.000 168 4.294.967.296 109 1.000.000.000 169 68.719.476.736 1010 10.000.000.000 1610 1.099.511.627.776
  44. 44. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10● Converte-se a base e cada dígito do número para o equivalente decimal● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura posicional e, usando aritmética decimal, efetua-se as operações de produtos e somas Notação: (...)R ler como o número do parêntesis expresso na base R – (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13 – (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688
  45. 45. Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência e 10 correspondente a sua posição
  46. 46. Conversão de base Passagem de uma Base 16 para base 10● Basta multiplicar cada dígito pela potência ed 16 correspondente a sua posição
  47. 47. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida● Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero● Os restos das divisões sucessivas, lidos do último para o primeiro, constituem o número transformado para a base R (341)10 = (2331)5
  48. 48. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 2● Basta dividir o número repetidas vezes por 2, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1
  49. 49. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para base 16● Basta dividir o número repetidas vezes por 16, até que não seja mais possível efetuar a divisão para obter número maior ou igual a 1
  50. 50. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida● A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira desse produto é guardada e a parte fracionária é novamente multiplicada por R. O processo é repetido até que se obtenha um número com parte fracionária nula ou até que se considere a aproximação suficiente.● As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da primeira para a última, formam a parte fracionária do número transformado
  51. 51. Conversão de base Passagem de uma Base 10 para a base R● Ex: 34110 = 23315
  52. 52. Conversão de base Passagem de uma Base R para a base 10● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2 – 0,4375*2 = 0,8750 – 0,8750*2 = 1,7500 – 0,7500*2 = 1,1500 – 0,5000*2 = 1,0000 resultado → 0,01112
  53. 53. Conversão de base Passagem de uma Base 2 para base de potência 2 (8 ou 16 p.ex.)● A base para a qual se quer a transformação é expressa no formato 2n – Se essa base for 8, por exemplo, o valor de “n” é 3 porque 8 = 23● Formam-se grupos, a partir da direita do número binário, contendo uma quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos do sistema para o qual se quer a transformação.
  54. 54. Clique aqui,para escolher Conversão de base o tipo de calculadora Utilizando a calculadora do Windows
  55. 55. Operações aritméticas em base binária Veremos agora como se efetua as operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e divisão de binários, além de conceitos como complemento a 1 e a 2 e a sinalização dos números binários. Essas funções lógicas aritméticas constituem a Unidade Lógica e Aritmética (ULA) que é um bloco funcional fundamental em um processador.
  56. 56. Operações aritméticas em base binária Para efetuarmos a adição no sistema binário, devemos agir como numa adição convencional no sistema decimal, lembrando que, no sistema binário temos apenas dois algarismos. Assim: ✔ 0 + 0 = 0, (vai 0) ✔ 1 + 0 = 1, (vai 0) ✔ 0 + 1 = 1, (vai 0) ✔ 1 + 1 = 0, e transporta 1 (vai 1)
  57. 57. Operações aritméticas em base binária Observe, então, que enquanto no sistema decimal 1 + 1 = 210, no sistema binário seria 102. Exemplo 1: Exemplo 2:
  58. 58. Operações aritméticas em base binária A subtração requer um pouco de atenção. Quando subtraímos números às vezes temos que fazer um empréstimo da próxima coluna à esquerda. Esse caso ocorre quando temos que subtrair 1 de 0. Observe as operações: ✔ 0 – 0 = 0, empresta 0 ✔ 1 – 1 = 0, empresta 0 ✔ 1 – 0 = 1, empresta 0 ✔ 0 – 1 = 1, empresta 1 da próxima coluna
  59. 59. Operações aritméticas em base binária Vejamos como se realiza a operação de subtração com binário: Exemplo 1: Exemplo 2:
  60. 60. Operações aritméticas em base binária● As regras da multiplicação de binários são iguais às regras da multiplicação de decimais. ✔ 0 x 0 = 0 ✔ 0 x 1 = 0 ✔ 1 x 0 = 0 ✔ 1 x 1 = 1
  61. 61. Operações aritméticas em base bináriaVejamos como se realiza a operação de multiplicaçãocom binário. Note que numa multiplicação por umnúmero com dois ou mais algarismos, é necessáriofazer a soma do resultado gerado para obter oresultado final da multiplicação.Exemplo 1: Exemplo 2:
  62. 62. Operações aritméticas em base binária● A divisão é análoga a uma divisão de decimais, trabalhando com multiplicação e subtração na lógica binária. ✔ No dividendo, separa-se uma quantidade de algarismos (mais significativos) para iniciar a divisão pelo divisor; ✔ Multiplica-se o divisor por 1 ou 0, conforme cada caso; ✔ Subtrai-se o resultado do dividendo, encontrando o resto
  63. 63. Operações aritméticas em base bináriaVejamos como se realiza a operação de divisão combinário.Exemplo:
  64. 64. Operações aritméticas em base binária Representação de números negativos:● Complemento de 1: O complemento de 1 de um número binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do número entre parêntesis.● Complemento de 2: O complemento de 2 de um número binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e vice-versa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)
  65. 65. Operações aritméticas em base binária Overflow● Em computação, há limitações no tamanho de registradores para representar números e a aritmética binária obedece tais limitações.● Os números são finitos e devem ser representados no intervalo entre 0 e 2r-1, onde r é o número de bits dos registradores.● Nas operações aritméticas, devemos considerar a possibilidade de obter resultados que extrapolam os limites de representação dos números num dado registrador, ou seja, fora dos limites de +/- (2 r-1)● Quando isto ocorre dizemos que temos uma condição de aritmética de overflow
  66. 66. Para refletir... Por que o sistema de numeração hexadecimal étambém largamente utilizado na computação, se os computadores só conseguem compreender 0 e 1?
  67. 67. Referências● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.
  68. 68. Referências (História da Matemática)● www.matematica.br/historia● http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/nume ros/numeros.htm● www.infoescola.com/matematica/historia-da-matematica● www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/historia-da- matematica/historia-da-matematica-1.php
  69. 69. Vídeos sugeridos Conversão de baseBinário para Decimal – www.youtube.com/watch?v=0XsHNwNXpt0Binário para Hexadecimal // Binário para Octal – www.youtube.com/watch?v=vjSKQPTkJ_oDecimal para Octal – www.youtube.com/watch?v=pl1vdcMrBTgDecimal para Binário // Binário para Decimal – www.youtube.com/watch?v=1sRdkyAzdy4Octal para Decimal // Hexadecimal para Decimal – www.youtube.com/watch?v=9qSNPCMS3r4
  70. 70. Vídeos sugeridos Operações aritméticasAdição e subtração em binário – www.youtube.com/watch?v=MeragDzjp5M – www.youtube.com/watch?v=5GOL-qg3420Multiplicação e divisão em binário – www.youtube.com/watch?v=WOFKKTUWFd0 – www.youtube.com/watch?v=lJPtZnaZZ-k – www.youtube.com/watch?v=8VMk7GYzYa0 – www.youtube.com/watch?v=YBhBJSyaGTk (em espanhol)

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