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Professor:
Marcelo Vianello (MsC.)

AULA 2

Organização e Arquitetura de
Computadores
Objetivo da Aula
Apresentar os conceitos dos Sistema de Numeração,
destacando o sistema decimal, binário, octal e
hexadecimal
Conteúdo Geral da Aula
1. Introdução
2. O Sistema Binário de Numeração

3. O Sistema Octal de Numeração
4. O Sistema Hexadecimal de Numeração
1. Introdução
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
1. INTRODUÇÃO

O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de
sistemas numéricos.
Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam:
 O sistema decimal;
 O sistema binário;
 O sistema octal;
 E o sistema hexadecimal.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
1. INTRODUÇÃO

O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais
importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui 10
(dez) algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da
lei da formação.
Os outros sistemas (binário, octal e hexadecimal) são importantes nas áreas
de técnicas digitais e informática.
2. O Sistema Binário de Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO

No sistema binário de numeração, existem apenas dois (02) algarismos. São
eles:
 O algarismos “0” (zero) e
 O algarismo “1” (um)
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO

Informação Importante. Se não possuímos o algarismo 2 nesse sistema,
como devemos representá-lo?
No sistema decimal, não possuímos o algarismo “dez”, e representamos a
quantidade de uma dezena utilizando o algarismo “1”, seguido do algarismo
“0”. Neste caso, significará que temos um grupo de uma dezena e o
algarismo “0” nenhuma unidade, o que significa “dez”.

No sistema binário é a mesma coisa. Agimos da mesma forma. Para
representarmos a quantidade “dois”, utilizamos o algarismo “1” seguido do
algarismo “0”. O algarismo 1 significará que temos um grupo de “dois”
elementos e o “0” o grupo de nenhuma unidade, representando assim o
número “dois”.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO

Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit). O conjunto de
4 bits é denominado de nibble e um conjunto de 8 bits corresponde a um
byte ou octeto (Binary Term – muito utilizado para especificar o tamanho ou
a quantidade de memória e a capacidade de armazenamento de um
determinado dispositivo). Termo bastante utilizado na área de informática.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Para explicar a conversão, vamos utilizar como exemplo, o número decimal
594.
Este número significa o seguinte:
(5 x 100) + (9 x 10) + (4 x 1) = 594

Esquematicamente, temos:

dezena

101)

100)

1

9

4

unidade

102)

10

5
centena

100

(5 x

+ (9 x

+ (4 x

= 594

102
5

101 100
9

4

Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a
mesma equivalência, convertendo assim o número binário para o sistema
decimal.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Para explicar a conversão do sistema binário para o sistema decimal,
vamos utilizar como exemplo, o número binário 1012.

22

21

20

1

0

1

=

(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5

Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10.
Para melhor identificação do número, colocaremos como índice, a
base do sistema ao qual o número pertence. Para o nosso exemplo,
podemos escrever: 510 = 1012
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL

Exemplo:

22

21

20

1

0

1

=

(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5

Seguindo o exemplo acima, façam a conversão do sistema binário para o
sistema decimal:
a)

10012

b)

011102

c)

10102

d)

11001100012

e)

10112

f)

111112
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL
a)

10012

(1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) (1 x 20) = 910

b)

011102

(1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) (0 x 20) = 1410

c)

10102

(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 1010

d)

11001100012

(1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 20) = 512+256+32+16+1 = 81710

e)

10112

(1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 1110

f)

111112

(1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 3110
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Veremos agora a conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário.
Para este tipo de conversão, basta você dividir o número decimal por 2,
conforme demonstrado no exemplo a seguir, com o número decimal 47.

47
1º resto

2

1

23
1

2º resto

3º resto
4º resto
5º resto
6º resto

4710 = 1011112

2
11

2

1

5
1

2
2

2

0

1
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
(LSB)
(MSB)

O último quociente será o algarismo mais
significativo e ficará colocado à esquerda.
Os outros algarismos seguem na ordem até
o 1° resto.

4710

=

1011112

O bit menos significativo de um número
binário recebe a notação de LSB (Least
Significant Bit) e o bit mais significativo de
MSB (Most Significant Bit)
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Façam as conversões dos números decimais mencionados abaixo, para o
para o sistema binário, utilizando o método das divisões sucessivas.
a)

400

b)

21

c)

552

d)

715

e)

27

f)

45

g)

28
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS
Seguindo o mesmo método apresentado anteriormente, só que agora, utilizando um
número decimal fracionário qualquer, por exemplo, o número 10,5 e, aplicando a regra
básica de formação de um número, temos:
101 100 10-1
1

0

5

=

(1 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) = 10,5

Para números binários, agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o
número 101,1012.
22 21 20
2-1 2-2 2-3
1
0
1
1
0
1

=
(1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) =

= x 1/8) = 5,625
4 + 0 + 1 + 0,5 + (0 x ¼) + (1

10

=

101,1012
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS
Façam a conversão dos números binários mencionados abaixo, para o
sistema decimal.

a) 1010,11012
b) 111,0012
c) 100,110012
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
Vamos tomar como exemplo, o número decimal fracionário 8,375 e convertêlo para binário.
Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375
1º Passo: Transformar a parte inteira do número, como já vimos
anteriormente:

8
LSB

2

0

4

2

0

2

2

0

1
MSB

810 = 10002
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
2º Passo: Transformar a parte fracionária, que consiste na multiplicação
sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O
número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros
resultantes tomados na ordem das multiplicações. Teremos então:

1° algarismo

2° algarismo

3° algarismo

0,375
x2
------0,75
x2
------1,5

0,5
x2
------1

Parte fracionária
Base do sistema

Quando atingirmos o número 1, e a parte após a virgula não for nula,
separamos esta última e reiniciamos o processo:

O processo para aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS
Para finalizar a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária,
ficando da seguinte forma:

8,37510 = 1000,0112
Exercícios
Façam a conversão dos números decimais fracionários abaixo para o sistema
binário:
a) 4,810
b) 0,62510
c) 3,38010
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 4,810, para o sistema binário.
1. Passo: Transformar a parte inteira do número 410

410 = 1002
2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.
a)
b)
c)
d)

0,8 x 2 = 1,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8

0,810 = (0,1100 1100 1100...)2
Sequência
calculada

Repetições

Podemos notar que o número 0,8 tornou a aparecer. Se continuarmos o processo,
teremos a mesma sequência já vista até aqui. Um caso equivalente a uma dízima. Temos
então:

Logo: 4,810 = (100,1100110011001100...)2
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 0,62510, para o sistema binário.

a) 0,625 x 2 = 1,250
b) 0,250 x 2 = 0,5

c) 0,5 x 2 = 1 (verdadeiro)

Logo, dizemos que (0,625)10 = (0,101)2
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Faça a conversão do número decimal fracionário 3,38010, para o sistema binário.
1. Passo: Transformar a parte inteira do número 310

310 = 112
2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)

0,38 x 2 = 0,76
0,76 x 2 = 1,52
0,52 x 2 = 1,04
0,04 x 2 = 0,08
0,08 x 2 = 0,16
0,16 x 2 = 0,32
0,32 x 2 = 0,64
0,64 x 2 = 1,28
0,28 x 2 = 0,56

Neste caso, temos:
0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-8 = 0,3789062510
Observação: Se aproximarmos o número decimal em duas casas,
teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é
suficiente que tenhamos seguido o método até aí.

0,3810 = 0,011000012 .: 3,3810 = 11,0110000102
3. O Sistema Octal de Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.1 O SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO
O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos
assim enumerados:

0, 1, 2, 3, 4 ,5 6 e 7
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de
formação de um número, conforme já visto.

Vamos converter o número 1448 em decimal:
82

81

80

1

4

4

=

(1 x 82) + (4 x 81) + (4 x 80) = 64 + 32 + 4 = 10010

.: 1448 = 10010
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL
Converta os números abaixo em decimal.

a) 778
b) 1008
c) 4768
d) 218

e) 358
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
O processo é análogo do sistema decimal do sistema binário. Só que neste
caso utilizaremos a divisão por 8, por ser o sistema octal, sua base é igual a
8.
Exemplo: Convertendo o número 9210 para o sistema octal.

92
4

8
11

8

3

1

9210 = 1348
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL
Converta os números decimais abaixo para o sistema octal.

a) 7410

b) 51210
c) 71910
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a
regra prática descrita abaixo.
Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar
cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o
número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8.
Desta forma, teremos:

2
010

7
111
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática
descrita abaixo.
Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada
algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número
padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma,
teremos:

2
010

7
111
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO
Converta os números octais em binários:

a) 348
b) 5368
c) 446758
d) 578
e) 258

f)

118

g) 728
4. O Sistema Hexadecimal de
Numeração
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO
O Sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os
algarismos são assim enumerados:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
Notamos que a letra “A” por sua vez representa a quantidade dez. A letra “B”
que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F, que
representa a quantidade quinze.
Este sistema é muito usado na área de microprocessadores e também no
mapeamento de memoria em sistemas digitais, sendo aplicado em projetos
de software e hardware.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA
DECIMAL
A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste
caso a base é 16.
Exemplo: Converta o número 3F16 em decimal.
161 160
3

F

=

(3 x 161)+ (15 x 160) = 6310

Sendo F16 = 1510
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA
DECIMAL
Converta os números hexadecimal para decimal:
a) 1C316
b) 23816
c) 1FC916
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Da mesma forma como nos casos anteriores, esta conversão se faz através
de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido.
Exemplo: transformar o número 100010 em hexadecimal.

1000

16

8

62
14

16
3

Sendo 1410 = E16

100010 = 3E816
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Convertam os números decimais abaixo para o sistema hexadecimal.
a) 13410
b) 38410
c) 388210
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
É análoga à conversão do sistema binário para octal, só que neste caso,
agrupamos de 4 em 4 bits para a esquerda.
Exemplo: Transforme o número 100110002 em hexadecimal.

1001 1000
9

8

.: 100110002 = 9816
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA
HEXADECIMAL
Converta para o sistema hexadecimal os números binários:

a) 11000112
b) 110001111000111002
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO
É análoga à conversão do sistema octal para binário, só que neste caso,
necessita-se de 4 bits para representar cada hexadecimal
Exemplo: Converter o número C1316 para o sistema binário:

C  C16 = 1210

C = 1100

1 = 0001

3 = 0011

C1316 = 1100000100112
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO
Exercícios: Convertam os números abaixo para o sistema decima:

a) 1ED16
b) 6CF916

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Sistema de numeração

  • 1. Professor: Marcelo Vianello (MsC.) AULA 2 Organização e Arquitetura de Computadores
  • 2. Objetivo da Aula Apresentar os conceitos dos Sistema de Numeração, destacando o sistema decimal, binário, octal e hexadecimal
  • 3. Conteúdo Geral da Aula 1. Introdução 2. O Sistema Binário de Numeração 3. O Sistema Octal de Numeração 4. O Sistema Hexadecimal de Numeração
  • 5. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1. INTRODUÇÃO O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam:  O sistema decimal;  O sistema binário;  O sistema octal;  E o sistema hexadecimal.
  • 6. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1. INTRODUÇÃO O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui 10 (dez) algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da lei da formação. Os outros sistemas (binário, octal e hexadecimal) são importantes nas áreas de técnicas digitais e informática.
  • 7. 2. O Sistema Binário de Numeração
  • 8. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO No sistema binário de numeração, existem apenas dois (02) algarismos. São eles:  O algarismos “0” (zero) e  O algarismo “1” (um)
  • 9. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO Informação Importante. Se não possuímos o algarismo 2 nesse sistema, como devemos representá-lo? No sistema decimal, não possuímos o algarismo “dez”, e representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo “1”, seguido do algarismo “0”. Neste caso, significará que temos um grupo de uma dezena e o algarismo “0” nenhuma unidade, o que significa “dez”. No sistema binário é a mesma coisa. Agimos da mesma forma. Para representarmos a quantidade “dois”, utilizamos o algarismo “1” seguido do algarismo “0”. O algarismo 1 significará que temos um grupo de “dois” elementos e o “0” o grupo de nenhuma unidade, representando assim o número “dois”.
  • 10. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
  • 11. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit). O conjunto de 4 bits é denominado de nibble e um conjunto de 8 bits corresponde a um byte ou octeto (Binary Term – muito utilizado para especificar o tamanho ou a quantidade de memória e a capacidade de armazenamento de um determinado dispositivo). Termo bastante utilizado na área de informática.
  • 12. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Para explicar a conversão, vamos utilizar como exemplo, o número decimal 594. Este número significa o seguinte: (5 x 100) + (9 x 10) + (4 x 1) = 594 Esquematicamente, temos: dezena 101) 100) 1 9 4 unidade 102) 10 5 centena 100 (5 x + (9 x + (4 x = 594 102 5 101 100 9 4 Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a mesma equivalência, convertendo assim o número binário para o sistema decimal.
  • 13. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Para explicar a conversão do sistema binário para o sistema decimal, vamos utilizar como exemplo, o número binário 1012. 22 21 20 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Para melhor identificação do número, colocaremos como índice, a base do sistema ao qual o número pertence. Para o nosso exemplo, podemos escrever: 510 = 1012
  • 14. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Exemplo: 22 21 20 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 Seguindo o exemplo acima, façam a conversão do sistema binário para o sistema decimal: a) 10012 b) 011102 c) 10102 d) 11001100012 e) 10112 f) 111112
  • 15. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL a) 10012 (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) (1 x 20) = 910 b) 011102 (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) (0 x 20) = 1410 c) 10102 (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 1010 d) 11001100012 (1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 20) = 512+256+32+16+1 = 81710 e) 10112 (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 1110 f) 111112 (1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 3110
  • 16. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Veremos agora a conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário. Para este tipo de conversão, basta você dividir o número decimal por 2, conforme demonstrado no exemplo a seguir, com o número decimal 47. 47 1º resto 2 1 23 1 2º resto 3º resto 4º resto 5º resto 6º resto 4710 = 1011112 2 11 2 1 5 1 2 2 2 0 1
  • 17. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO (LSB) (MSB) O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem na ordem até o 1° resto. 4710 = 1011112 O bit menos significativo de um número binário recebe a notação de LSB (Least Significant Bit) e o bit mais significativo de MSB (Most Significant Bit)
  • 18. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Façam as conversões dos números decimais mencionados abaixo, para o para o sistema binário, utilizando o método das divisões sucessivas. a) 400 b) 21 c) 552 d) 715 e) 27 f) 45 g) 28
  • 19. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS Seguindo o mesmo método apresentado anteriormente, só que agora, utilizando um número decimal fracionário qualquer, por exemplo, o número 10,5 e, aplicando a regra básica de formação de um número, temos: 101 100 10-1 1 0 5 = (1 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) = 10,5 Para números binários, agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o número 101,1012. 22 21 20 2-1 2-2 2-3 1 0 1 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) = = x 1/8) = 5,625 4 + 0 + 1 + 0,5 + (0 x ¼) + (1 10 = 101,1012
  • 20. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS Façam a conversão dos números binários mencionados abaixo, para o sistema decimal. a) 1010,11012 b) 111,0012 c) 100,110012
  • 21. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS Vamos tomar como exemplo, o número decimal fracionário 8,375 e convertêlo para binário. Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375 1º Passo: Transformar a parte inteira do número, como já vimos anteriormente: 8 LSB 2 0 4 2 0 2 2 0 1 MSB 810 = 10002
  • 22. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS 2º Passo: Transformar a parte fracionária, que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros resultantes tomados na ordem das multiplicações. Teremos então: 1° algarismo 2° algarismo 3° algarismo 0,375 x2 ------0,75 x2 ------1,5 0,5 x2 ------1 Parte fracionária Base do sistema Quando atingirmos o número 1, e a parte após a virgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos o processo: O processo para aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula.
  • 23. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS Para finalizar a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária, ficando da seguinte forma: 8,37510 = 1000,0112 Exercícios Façam a conversão dos números decimais fracionários abaixo para o sistema binário: a) 4,810 b) 0,62510 c) 3,38010
  • 24. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 4,810, para o sistema binário. 1. Passo: Transformar a parte inteira do número 410 410 = 1002 2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada. a) b) c) d) 0,8 x 2 = 1,6 0,6 x 2 = 1,2 0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 0,810 = (0,1100 1100 1100...)2 Sequência calculada Repetições Podemos notar que o número 0,8 tornou a aparecer. Se continuarmos o processo, teremos a mesma sequência já vista até aqui. Um caso equivalente a uma dízima. Temos então: Logo: 4,810 = (100,1100110011001100...)2
  • 25. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 0,62510, para o sistema binário. a) 0,625 x 2 = 1,250 b) 0,250 x 2 = 0,5 c) 0,5 x 2 = 1 (verdadeiro) Logo, dizemos que (0,625)10 = (0,101)2
  • 26. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 3,38010, para o sistema binário. 1. Passo: Transformar a parte inteira do número 310 310 = 112 2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0,38 x 2 = 0,76 0,76 x 2 = 1,52 0,52 x 2 = 1,04 0,04 x 2 = 0,08 0,08 x 2 = 0,16 0,16 x 2 = 0,32 0,32 x 2 = 0,64 0,64 x 2 = 1,28 0,28 x 2 = 0,56 Neste caso, temos: 0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-8 = 0,3789062510 Observação: Se aproximarmos o número decimal em duas casas, teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é suficiente que tenhamos seguido o método até aí. 0,3810 = 0,011000012 .: 3,3810 = 11,0110000102
  • 27. 3. O Sistema Octal de Numeração
  • 28. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.1 O SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4 ,5 6 e 7
  • 29. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de formação de um número, conforme já visto. Vamos converter o número 1448 em decimal: 82 81 80 1 4 4 = (1 x 82) + (4 x 81) + (4 x 80) = 64 + 32 + 4 = 10010 .: 1448 = 10010
  • 30. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL Converta os números abaixo em decimal. a) 778 b) 1008 c) 4768 d) 218 e) 358
  • 31. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL O processo é análogo do sistema decimal do sistema binário. Só que neste caso utilizaremos a divisão por 8, por ser o sistema octal, sua base é igual a 8. Exemplo: Convertendo o número 9210 para o sistema octal. 92 4 8 11 8 3 1 9210 = 1348
  • 32. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL Converta os números decimais abaixo para o sistema octal. a) 7410 b) 51210 c) 71910
  • 33. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática descrita abaixo. Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma, teremos: 2 010 7 111
  • 34. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática descrita abaixo. Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma, teremos: 2 010 7 111
  • 35. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Converta os números octais em binários: a) 348 b) 5368 c) 446758 d) 578 e) 258 f) 118 g) 728
  • 36. 4. O Sistema Hexadecimal de Numeração
  • 37. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO O Sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os algarismos são assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Notamos que a letra “A” por sua vez representa a quantidade dez. A letra “B” que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F, que representa a quantidade quinze. Este sistema é muito usado na área de microprocessadores e também no mapeamento de memoria em sistemas digitais, sendo aplicado em projetos de software e hardware.
  • 38. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste caso a base é 16. Exemplo: Converta o número 3F16 em decimal. 161 160 3 F = (3 x 161)+ (15 x 160) = 6310 Sendo F16 = 1510
  • 39. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL Converta os números hexadecimal para decimal: a) 1C316 b) 23816 c) 1FC916
  • 40. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Da mesma forma como nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Exemplo: transformar o número 100010 em hexadecimal. 1000 16 8 62 14 16 3 Sendo 1410 = E16 100010 = 3E816
  • 41. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Convertam os números decimais abaixo para o sistema hexadecimal. a) 13410 b) 38410 c) 388210
  • 42. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL É análoga à conversão do sistema binário para octal, só que neste caso, agrupamos de 4 em 4 bits para a esquerda. Exemplo: Transforme o número 100110002 em hexadecimal. 1001 1000 9 8 .: 100110002 = 9816
  • 43. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Converta para o sistema hexadecimal os números binários: a) 11000112 b) 110001111000111002
  • 44. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO É análoga à conversão do sistema octal para binário, só que neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada hexadecimal Exemplo: Converter o número C1316 para o sistema binário: C  C16 = 1210 C = 1100 1 = 0001 3 = 0011 C1316 = 1100000100112
  • 45. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO Exercícios: Convertam os números abaixo para o sistema decima: a) 1ED16 b) 6CF916