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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense




                             Ana Paula Reinecke¹
                            Camilla Moreira Uchoa²
                             Larissa Rozza Peluso³




Disciplina: Arquitetura de Computadores
Professor: Nildo Carlos da Silva
Turma: BSI11
Sistemas de Numeração

* Existem várias regras que permitem ler e escrever
qualquer número, usando poucas palavras e poucos
símbolos.

* O conjunto de tais regras constitui um Sistema de
Numeração. Estes sistemas, têm variado com as
épocas e com os povos.
Sistemas de Numeração Antigos

Egípcio               Babilônio




             Romano

          1.969 = MCMLXIX
Apresentação1   sistemas numéricos
Exemplos:
Exemplos:
Exemplos:

 I : um     V: cinco X: dez L: cinqüenta
 X: cem     D: quinhentos   M : mil

3 = III     9 = IX   21 = XXI   206 = CCVI

1.969 = MCMLXIX
Base de um Sistema


É o número de elementos necessários para formar
um conjunto padrão que auxilie a contagem de
objetos.
Assim, quando falamos em base 10, por exemplo,
estamos pensando na formação de conjuntos com
dez elementos, isto é, dada uma coleção de
objetos, procuramos saber quantos conjuntos de 10
podem ser formados.
Bit – menor partícula de informação no
computador, pode representar 0 ou 1. Esses dois
símbolos são opostos e mutuamente exclusivos.

Byte – conjunto de 8 bits.
• Existiram e existem diversos sistemas de
  numeração.
• No computador,         serve   para
  questões    de endereçamento, armazenamento,
  conteúdo de tabelas e representações gráficas.
• Bases diferentes usadas nos mais
  diversos computadores.
Representação nas bases

   * 1011012 - 101101 na base 2 (binária)

   * 7528 - 752 na base 8 (octal)

   * 651 - 651 na base 10 (decimal)

   Quando não é indicada a base, a base é
   decimal. Mas poderia ser representado assim:
   65110

   * 42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)
• Bases
   • Binária
      • 0, 1
   • Octal
      • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
   • Decimal
      • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
   • Hexadecimal
      • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
SISTEMA DECIMAL

Sistema decimal é um sistema de numeração de
base10,           com           dígitos       decimais
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Considere o significado
do número 83. Ele significa oito dezenas e três
unidades:

                   83 = (8 x 10) + 3
O número 4728 significa quatro milhares, sete
centenas, duas dezenas e oito unidades:

     4728 = (4 x 1000) + (7 x 100) + (2 x 10) + 8
O sistema decimal é assim chamado por usar a
base 10. Isso significa que cada dígito do
número é multiplicado por 10 elevado à potência
correspondente a posição do dígito:

                83 = (8 x 10¹) + (3 x 100)
     4728 = (4 x 10³) + (7 x 10²) + (2 x 10¹) + (8 x
                       100)
Valores fracionários são representados do mesmo
modo:
472,83 = (4 x 10²) + (7 x 10¹) + (2 x 10°) + (8 x 10-1)
+ (3 x 10-2)


Em geral, para a representação decimal
de
X = {...x2x1x0 ... x-1x-2x-3...}, o valor de X é igual a:

                           X= ∑xi10i
                               i
SISTEMA BINÁRIO

No sistema decimal, são usados dez dígitos
distintos para representar os números na base
10. No sistema binário, temos apenas dois
dígitos, 1 e 0. Portanto, números no sistema
binário são representados na base 2.
Para evitar confusão, algumas vezes
usamos um número subscrito para indicar a
base do sistema de numeração adotado. Por
exemplo, 8310 e 4728 10 são números
representados na notação decimal, ou seja,
números decimais.
Os dígitos 1 e 0, na notação binária, têm o mesmo
significado que na notação decimal:
                                  02 = 010
                                  12 = 110

Para representar números maiores, como na notação
decimal, cada dígito de um número binário tem um dado
valor, dependendo de sua posição:

                       10 2 = (1 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 2 10
                     11 2 = (1 x 2 1 ) + (1 x 2°) = 3 10
              100 2 = (1 x 2 2) + (0 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 4 10

e assim por diante.
Valores fracionários são representados com
potências negativas da base:
1001,101 = 2 3 + 2° + 2-1 + 2-3= 9,625 10

   CONVERSÃO ENTRE NÚMEROS
      BINÁRIOS E DECIMAIS

A conversão de um número na notação
binária para a notação decimal é simples.
Basta multiplicar cada dígito binário pela
potência de 2 adequada e somar os resultados.
Para converter a notação decimal em notação binária,
o número inteiro e a parte fracionária são
tratados separadamente. Suponha que queremos
converter um
número inteiro decimal N para a forma binária.
Se dividirmos N por 2, no sistema decimal,
obtendo um quociente N1 e um resto R1, podemos
escrever:

         N = 2 x N1 + R1       R1 = 0 ou 1
A seguir, dividimos o quociente N1 por 2. Suponha
que o novo quociente seja N2 e o novo resto, R2.
Então:

         N1 = 2 x N2 + R2       R2 = 0 ou 1

assim:

   N = 2(2N2 + R2) + R1 = 2²N2 + R2 x 2¹ x R1 x 20
Se, a seguir, tivermos: N2 = 2N3 + R3
então obteremos:

         N= 2³N3 + R3 x 2² + R2 x 2¹ + R1 x 20


Ou seja, podemos converter da base 10 para a base 2
por meio de repetidas divisões por 2. O resto e o
quociente final, 1, nos dão os dígitos binários de N,
na ordem do menor para o maior dígito significativo.

Exemplos de conversão de números inteiros da notação
decimal para a notação binária.
a)     Quociente        Resto

11 =   5 ( 5,5)    1 ---------------------
 2

5 =    2 (2,5)     1 ---------------
2

2 =      1         0 -----------
2

1 =    0 (0,5)     1 ------
2



                          1        0 1   12 = 1110
b)

21 =   10 (10,5)   1 ---------------------
2
                   0 ----------------
10 =      5
2                  1 -----------

5 =     2 (2,5)    0 -------
2
                   1 ---
2 =       1
2

1 =     0 (0,5)
2                      1 0 1        0        12 = 2110
A conversão da parte fracionária envolve
repetidas multiplicações por dois. A cada passo, a
parte fracionária do número decimal é multiplicada
por 2.
O dígito à esquerda da vírgula decimal no produto
será 0 ou 1 e contribuirá para a representação
binária, começando pelo bit mais significativo. A parte
fracionária do produto é usada como multiplicando
no próximo passo. Para mostrar que isso
funciona, consideramos uma fração decimal
positiva F < 1. Podemos expressar F como:
F =(a-1 x 1) + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + ...
          2           2²          2³

onde cada a-i é 0 ou 1. Se multiplicarmos isso por
2, teremos:

2F = a-1 + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ...
                  2           2²          2³
As partes inteiras dessas duas expressões devem ser
iguais.
Conseqüentemente, a parte inteira de 2F, que deve ser
0 ou 1, uma vez que 0 < F < 1, é simplesmente a-1 .
Portanto:
2F = a-1 + F1 , onde 0 < F1 < 1 e:

F1 =(a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ...
           2           2²          2³
Para encontrar a-2 repetimos o mesmo processo, que
não é necessariamente exato. Ou seja, uma fração
decimal com um número finito de dígitos pode
demandar uma fração binária com número infinito
de dígitos. Nesses casos, o algoritmo de
conversão normalmente é interrompido depois do
número predefinido de passos, dependendo da
precisão desejada.
Representação de binário na base 10

   * 11010012
   * 11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 +
                0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

   * 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1

   * 11010012 = 10510
Representação de octal na base 10

   * 546218

   * 546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 +
             1 x 80

   * 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1

   * 546218 = 2292910
Representação de hexadecimal na base 10

 * 3974116

 * 3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 +
             1 x 160

 * 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1

 * 3974116 = 23532910
NOTAÇÃO HEXADECIMAL

Em virtude da natureza binária inerente dos
componentes de um computador digital, todas as
formas de dados são representadas, dentro do
computador, por códigos binários.
 No entanto, embora o sistema binário seja
conveniente para computadores, é excessivamente
ineficiente para seres humanos. Por isso, a
maioria dos profissionais de computação que
passam grande parte do tempo trabalhando
com dados manipulados no computador
prefere uma notação mais compacta.
Exemplos de conversão de números fracionários da
notação decimal para a notação binária.

a) 0,8110 = 0,1100112 (aproximado)

Produto              Parte inteira , 1 1 0 0 1 1

0,81 x 2 = 1,62               1 ------
0,62 x 2 = 1,24               1 ---------
0,24 x 2 = 0,48               0 ------------
0,48 x 2 = 0,96               0 ---------------
0,96 x 2 = 1,92               1 ------------------
0,92 x 2 = 1,84               1 ---------------------
b) 0,2510 = 0,012 (exato)

                                                 ,0 1


0,25 x 2 = 0,5                  0 ------------------
0,5 x 2 = 1,0                   1 ---------------------

Em vez disso, é adotada uma notação conhecida como
hexadecimal. Os dígitos binários são agrupados em
conjuntos de quatro. A cada combinação possível de
quatro dígitos binários é atribuído um símbolo, como a
seguir:
0000 = 0               1000 = 8
0001 = 1               1001 = 9
0010 = 2               1010 = A
0011 = 3               1011 = B
0100 = 4               1100 = C
0101 = 5               1101 = D
0110 = 6               1110 = E
0111 = 7               1111 = F


Por serem usados 16 símbolos, a notação é chamada
hexadecimal e esses 16 símbolos são os dígitos
hexadecimais.
Uma seqüência de dígitos hexadecimais pode ser vista
como uma representação de um número inteiro na base 16.
Portanto,

1A16 = (116 x 16¹) + (A16 x 16 0)
     = (110 x 16¹) + (1010 x 16 0) = 26

A notação hexadecimal é usada não apenas para representar
números inteiros. Ela também é usada como uma notação
concisa para representar qualquer seqüência de dígitos
binários, mesmo que representem texto, números ou algum
outro tipo de dado. As razões para se usar notação
hexadecimal são as seguintes:
1. É mais compacta que a notação binária.
2. Na maioria dos computadores, os dados binários
têm um tamanho que é múltiplo de 4 bits e, portanto,
múltiplo de um dígito hexadecimal.
3. É extremamente fácil converter entre as
notações binária e hexadecimal.

Como um exemplo desse último ponto, considere
a seqüência de bits 110111100001. Isso é equivalente a:

1101     1110       0001 = DE116
  D        E          1
Esse processo é realizado tão naturalmente que um
programador experiente pode converter representações
visuais de dados binários para seus equivalentes
hexadecimais mentalmente, sem precisar escrever.
Mudança da base 10 para binário

   714
   714 |_2_
     0 357 |_2_
          1 178 |_2_         714 = 10110010102
              0 89 |_2_
                  1 44 |_2_
                     0 22 |_2_
                         0 11 |_2_
                            1 5 |_2_
                               1 2 |_2_
                                 0 1 |_2_
                                     1 0
Mudança da base 10 para octal

   714                      714 = 13128

   714 |_8_
     2 89 |_8_
         1 11 |_8_
            3 1 |_8_
               1 0
Mudança da base 10 para hexadecimal

   714                            714 = 2CA16

          714 |_16_
           10 44 |_16_
                 12 2 |_16_
                    2 0
Hexadecimal
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15
Mudança da base octal para decimal (10)

13128 = 2+8+192+512 = 714

                    2 x 80 = 2
                    1 x 81 = 8
                    3 x 82 = 192
                    1 x 83 = 512
Mudança da base hexadecimal para decimal
2CA16 = 10+192+512 = 714
                    A x 160 = 10 x 160 = 10

                   C x 161 = 12 x 161 = 192

                   2 x 162 = 2 x 256 = 512
ARITMÉTICA COMPUTACIONAL

As palavras de um computador são compostas por bits e
podem representar números armazenados na memória.
Estes números podem ter diferentes significados, como
inteiros ou reais, serem positivos ou negativos.
A manipulação dos números inclui operações de soma,
subtração, multiplicação e divisão.
COMPLEMENTO DE 1 (C – 1)


Este sistema de representação também utiliza o bit mais
à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e
o 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits da
direita representam o módulo. O simétrico de um número
positivo é obtido pelo complemento de todos os seus dígitos
(trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal.
Exemplo: representar 10 e –10
              Limitação de 8 bits (N=8)

10     0       0001010


Nº    sinal     módulo


Número – 10 é o complemento do seu simétrico

-10    1       1110101


 Nº    sinal   módulo
Vantagem: possuir faixa simétrica.
Inconveniência: 2 representações para o número 0.
          Para 8 bits o 0 tem as seguintes representações:

                                   00000000 (+0)
                                   10000000 (-0)
Complemento de 1 com valores inteiros de 4 bits

Decimal Complemento de 1

0 0000       −0 1111
1 0001       −1 1110
2 0010       −2 1101
3 0011       −3 1100
4 0100       −4 1011
5 0101       −5 1010
6 0110       −6 1001
7 0111       −7 1000
COMPLEMENTO DE 2 ( C – 2)

Este sistema de representação utiliza o bit mais à esquerda
para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -.
Para os números positivos, os N- 1 bits da direita
representam o módulo, igualmente ao MS (módulo e sinal)
e C - 1.
O simétrico de um número é obtido em dois passos: 1º
passo – obtém-se o complemento de todos os bits do
número positivo (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o
bit de sinal, isto é, executa-se o complemento de 1;
2º passo – ao resultado obtido no primeiro passo, soma-se
1 (em binário).
Exemplo: complemento de 2 dos números 10 e –10
            Limitação de 8 bits (N=8)




10     0      0001010


 nº   sinal   módulo
Número – 10
1º passo: complemento de 1

-10     1       1110101

  nº    sinal    módulo


2º passo:      1

       1110101
       +        10
       -----------
       1110110
Vantagem: uma única representação para o número 0..
      Para 8 bits teremos:

                Nº 0                     00000000 (+0)
                Nº -0 passo 1             11111111 (-0)
                      passo 2                       1
                                         -------------------
                                         100000000

                                         estouro desprezado

Logo 0 e –0 tem a mesma representação.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS BINÁRIOS


Adição

A adição no sistema binário é realizada exatamente da
mesma forma que uma adição no sistema decimal.
Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e
posteriormente outra na base 2.
Seja a operação 85 + 18.

85
18 +
-----
103
-Somamos por colunas à partir da direita, temos
8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito
disponível, usamos a regra do transporte para a
próxima coluna.
- Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”.
- Este transporte “vai um” é computado na soma da
próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente
usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um”
abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1.
- Obtemos desta forma o resultado 103.
-- Vamos agora para o sistema base 2, como temos
apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis
casos que ocorrerão na soma por colunas:

-a) 0 b)0 c)1 d)1         e)1
   +0 +1 +0 +1               1
   ---- ---- ---- ----     +1
    0    1     1   10      ----
                            11

- No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vai
um” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelas
incluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”.
Subtração

-Como o método também é análogo ao da subtração no sistema
decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na
subtração por colunas.

a) 0 b) 0 c) 1 d) 1
  -0   -1    -0   -1
  ---- ---- ---- ----
   0    1    1     0
- No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá um
transporte para a coluna seguinte, que deve ser
acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos
efetuar 11102 – 10012
                               1110
                              -1001
                               -------
                                0101
Multiplicação

-Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casos
possíveis são:

a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1

A multiplicação de números binários é feita do
mesmo modo que a multiplicação de números decimais.
O procedimento, na verdade, é mais simples, uma vez
que os dígitos multiplicadores podem ser apenas 0 ou
1.
O exemplo seguinte ilustra este procedimento para
números binários sem sinal.

    1001
    1011
   -----------
    1001
   1001
  0000
 1001
 1100011
Caso um número esteja em complemento de 2, deve-
se primeiro convertê-lo para o seu equivalente em
binário positivo. Assim, é possível efetuar a
multiplicação como no caso acima.Evidente que o
resultado deve ser convertido para binário
negativo, usando o complemento de 2.
Divisão Binária

O processo para dividir números binários é o mesmo
que é utilizado para números decimais.Para ilustrar,
segue um exemplo onde iremos dividir (9) 10 por (3) 10.

+9 = 1 0 0 1
+3 = 1 1
1 0 0 1 /1 1
  1 1 1 1(3) 10
---------
 0011
     11
----------
       0

A divisão de números com sinal é tratada do
mesmo modo que na multiplicação.

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Apresentação1 sistemas numéricos

  • 1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense Ana Paula Reinecke¹ Camilla Moreira Uchoa² Larissa Rozza Peluso³ Disciplina: Arquitetura de Computadores Professor: Nildo Carlos da Silva Turma: BSI11
  • 2. Sistemas de Numeração * Existem várias regras que permitem ler e escrever qualquer número, usando poucas palavras e poucos símbolos. * O conjunto de tais regras constitui um Sistema de Numeração. Estes sistemas, têm variado com as épocas e com os povos.
  • 3. Sistemas de Numeração Antigos Egípcio Babilônio Romano 1.969 = MCMLXIX
  • 7. Exemplos: I : um V: cinco X: dez L: cinqüenta X: cem D: quinhentos M : mil 3 = III 9 = IX 21 = XXI 206 = CCVI 1.969 = MCMLXIX
  • 8. Base de um Sistema É o número de elementos necessários para formar um conjunto padrão que auxilie a contagem de objetos. Assim, quando falamos em base 10, por exemplo, estamos pensando na formação de conjuntos com dez elementos, isto é, dada uma coleção de objetos, procuramos saber quantos conjuntos de 10 podem ser formados.
  • 9. Bit – menor partícula de informação no computador, pode representar 0 ou 1. Esses dois símbolos são opostos e mutuamente exclusivos. Byte – conjunto de 8 bits.
  • 10. • Existiram e existem diversos sistemas de numeração. • No computador, serve para questões de endereçamento, armazenamento, conteúdo de tabelas e representações gráficas. • Bases diferentes usadas nos mais diversos computadores.
  • 11. Representação nas bases * 1011012 - 101101 na base 2 (binária) * 7528 - 752 na base 8 (octal) * 651 - 651 na base 10 (decimal) Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado assim: 65110 * 42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)
  • 12. • Bases • Binária • 0, 1 • Octal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • Decimal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Hexadecimal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
  • 13. SISTEMA DECIMAL Sistema decimal é um sistema de numeração de base10, com dígitos decimais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Considere o significado do número 83. Ele significa oito dezenas e três unidades: 83 = (8 x 10) + 3 O número 4728 significa quatro milhares, sete centenas, duas dezenas e oito unidades: 4728 = (4 x 1000) + (7 x 100) + (2 x 10) + 8
  • 14. O sistema decimal é assim chamado por usar a base 10. Isso significa que cada dígito do número é multiplicado por 10 elevado à potência correspondente a posição do dígito: 83 = (8 x 10¹) + (3 x 100) 4728 = (4 x 10³) + (7 x 10²) + (2 x 10¹) + (8 x 100)
  • 15. Valores fracionários são representados do mesmo modo: 472,83 = (4 x 10²) + (7 x 10¹) + (2 x 10°) + (8 x 10-1) + (3 x 10-2) Em geral, para a representação decimal de X = {...x2x1x0 ... x-1x-2x-3...}, o valor de X é igual a: X= ∑xi10i i
  • 16. SISTEMA BINÁRIO No sistema decimal, são usados dez dígitos distintos para representar os números na base 10. No sistema binário, temos apenas dois dígitos, 1 e 0. Portanto, números no sistema binário são representados na base 2. Para evitar confusão, algumas vezes usamos um número subscrito para indicar a base do sistema de numeração adotado. Por exemplo, 8310 e 4728 10 são números representados na notação decimal, ou seja, números decimais.
  • 17. Os dígitos 1 e 0, na notação binária, têm o mesmo significado que na notação decimal: 02 = 010 12 = 110 Para representar números maiores, como na notação decimal, cada dígito de um número binário tem um dado valor, dependendo de sua posição: 10 2 = (1 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 2 10 11 2 = (1 x 2 1 ) + (1 x 2°) = 3 10 100 2 = (1 x 2 2) + (0 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 4 10 e assim por diante.
  • 18. Valores fracionários são representados com potências negativas da base: 1001,101 = 2 3 + 2° + 2-1 + 2-3= 9,625 10 CONVERSÃO ENTRE NÚMEROS BINÁRIOS E DECIMAIS A conversão de um número na notação binária para a notação decimal é simples. Basta multiplicar cada dígito binário pela potência de 2 adequada e somar os resultados.
  • 19. Para converter a notação decimal em notação binária, o número inteiro e a parte fracionária são tratados separadamente. Suponha que queremos converter um número inteiro decimal N para a forma binária. Se dividirmos N por 2, no sistema decimal, obtendo um quociente N1 e um resto R1, podemos escrever: N = 2 x N1 + R1 R1 = 0 ou 1
  • 20. A seguir, dividimos o quociente N1 por 2. Suponha que o novo quociente seja N2 e o novo resto, R2. Então: N1 = 2 x N2 + R2 R2 = 0 ou 1 assim: N = 2(2N2 + R2) + R1 = 2²N2 + R2 x 2¹ x R1 x 20
  • 21. Se, a seguir, tivermos: N2 = 2N3 + R3 então obteremos: N= 2³N3 + R3 x 2² + R2 x 2¹ + R1 x 20 Ou seja, podemos converter da base 10 para a base 2 por meio de repetidas divisões por 2. O resto e o quociente final, 1, nos dão os dígitos binários de N, na ordem do menor para o maior dígito significativo. Exemplos de conversão de números inteiros da notação decimal para a notação binária.
  • 22. a) Quociente Resto 11 = 5 ( 5,5) 1 --------------------- 2 5 = 2 (2,5) 1 --------------- 2 2 = 1 0 ----------- 2 1 = 0 (0,5) 1 ------ 2 1 0 1 12 = 1110
  • 23. b) 21 = 10 (10,5) 1 --------------------- 2 0 ---------------- 10 = 5 2 1 ----------- 5 = 2 (2,5) 0 ------- 2 1 --- 2 = 1 2 1 = 0 (0,5) 2 1 0 1 0 12 = 2110
  • 24. A conversão da parte fracionária envolve repetidas multiplicações por dois. A cada passo, a parte fracionária do número decimal é multiplicada por 2. O dígito à esquerda da vírgula decimal no produto será 0 ou 1 e contribuirá para a representação binária, começando pelo bit mais significativo. A parte fracionária do produto é usada como multiplicando no próximo passo. Para mostrar que isso funciona, consideramos uma fração decimal positiva F < 1. Podemos expressar F como:
  • 25. F =(a-1 x 1) + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + ... 2 2² 2³ onde cada a-i é 0 ou 1. Se multiplicarmos isso por 2, teremos: 2F = a-1 + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³
  • 26. As partes inteiras dessas duas expressões devem ser iguais. Conseqüentemente, a parte inteira de 2F, que deve ser 0 ou 1, uma vez que 0 < F < 1, é simplesmente a-1 . Portanto: 2F = a-1 + F1 , onde 0 < F1 < 1 e: F1 =(a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³
  • 27. Para encontrar a-2 repetimos o mesmo processo, que não é necessariamente exato. Ou seja, uma fração decimal com um número finito de dígitos pode demandar uma fração binária com número infinito de dígitos. Nesses casos, o algoritmo de conversão normalmente é interrompido depois do número predefinido de passos, dependendo da precisão desejada.
  • 28. Representação de binário na base 10 * 11010012 * 11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 * 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 * 11010012 = 10510
  • 29. Representação de octal na base 10 * 546218 * 546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 * 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 * 546218 = 2292910
  • 30. Representação de hexadecimal na base 10 * 3974116 * 3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 1 x 160 * 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 * 3974116 = 23532910
  • 31. NOTAÇÃO HEXADECIMAL Em virtude da natureza binária inerente dos componentes de um computador digital, todas as formas de dados são representadas, dentro do computador, por códigos binários. No entanto, embora o sistema binário seja conveniente para computadores, é excessivamente ineficiente para seres humanos. Por isso, a maioria dos profissionais de computação que passam grande parte do tempo trabalhando com dados manipulados no computador prefere uma notação mais compacta.
  • 32. Exemplos de conversão de números fracionários da notação decimal para a notação binária. a) 0,8110 = 0,1100112 (aproximado) Produto Parte inteira , 1 1 0 0 1 1 0,81 x 2 = 1,62 1 ------ 0,62 x 2 = 1,24 1 --------- 0,24 x 2 = 0,48 0 ------------ 0,48 x 2 = 0,96 0 --------------- 0,96 x 2 = 1,92 1 ------------------ 0,92 x 2 = 1,84 1 ---------------------
  • 33. b) 0,2510 = 0,012 (exato) ,0 1 0,25 x 2 = 0,5 0 ------------------ 0,5 x 2 = 1,0 1 --------------------- Em vez disso, é adotada uma notação conhecida como hexadecimal. Os dígitos binários são agrupados em conjuntos de quatro. A cada combinação possível de quatro dígitos binários é atribuído um símbolo, como a seguir:
  • 34. 0000 = 0 1000 = 8 0001 = 1 1001 = 9 0010 = 2 1010 = A 0011 = 3 1011 = B 0100 = 4 1100 = C 0101 = 5 1101 = D 0110 = 6 1110 = E 0111 = 7 1111 = F Por serem usados 16 símbolos, a notação é chamada hexadecimal e esses 16 símbolos são os dígitos hexadecimais.
  • 35. Uma seqüência de dígitos hexadecimais pode ser vista como uma representação de um número inteiro na base 16. Portanto, 1A16 = (116 x 16¹) + (A16 x 16 0) = (110 x 16¹) + (1010 x 16 0) = 26 A notação hexadecimal é usada não apenas para representar números inteiros. Ela também é usada como uma notação concisa para representar qualquer seqüência de dígitos binários, mesmo que representem texto, números ou algum outro tipo de dado. As razões para se usar notação hexadecimal são as seguintes:
  • 36. 1. É mais compacta que a notação binária. 2. Na maioria dos computadores, os dados binários têm um tamanho que é múltiplo de 4 bits e, portanto, múltiplo de um dígito hexadecimal. 3. É extremamente fácil converter entre as notações binária e hexadecimal. Como um exemplo desse último ponto, considere a seqüência de bits 110111100001. Isso é equivalente a: 1101 1110 0001 = DE116 D E 1
  • 37. Esse processo é realizado tão naturalmente que um programador experiente pode converter representações visuais de dados binários para seus equivalentes hexadecimais mentalmente, sem precisar escrever.
  • 38. Mudança da base 10 para binário 714 714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 714 = 10110010102 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1 |_2_ 1 0
  • 39. Mudança da base 10 para octal 714 714 = 13128 714 |_8_ 2 89 |_8_ 1 11 |_8_ 3 1 |_8_ 1 0
  • 40. Mudança da base 10 para hexadecimal 714 714 = 2CA16 714 |_16_ 10 44 |_16_ 12 2 |_16_ 2 0 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15
  • 41. Mudança da base octal para decimal (10) 13128 = 2+8+192+512 = 714 2 x 80 = 2 1 x 81 = 8 3 x 82 = 192 1 x 83 = 512
  • 42. Mudança da base hexadecimal para decimal 2CA16 = 10+192+512 = 714 A x 160 = 10 x 160 = 10 C x 161 = 12 x 161 = 192 2 x 162 = 2 x 256 = 512
  • 43. ARITMÉTICA COMPUTACIONAL As palavras de um computador são compostas por bits e podem representar números armazenados na memória. Estes números podem ter diferentes significados, como inteiros ou reais, serem positivos ou negativos. A manipulação dos números inclui operações de soma, subtração, multiplicação e divisão.
  • 44. COMPLEMENTO DE 1 (C – 1) Este sistema de representação também utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits da direita representam o módulo. O simétrico de um número positivo é obtido pelo complemento de todos os seus dígitos (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal.
  • 45. Exemplo: representar 10 e –10 Limitação de 8 bits (N=8) 10 0 0001010 Nº sinal módulo Número – 10 é o complemento do seu simétrico -10 1 1110101 Nº sinal módulo
  • 46. Vantagem: possuir faixa simétrica. Inconveniência: 2 representações para o número 0. Para 8 bits o 0 tem as seguintes representações: 00000000 (+0) 10000000 (-0)
  • 47. Complemento de 1 com valores inteiros de 4 bits Decimal Complemento de 1 0 0000 −0 1111 1 0001 −1 1110 2 0010 −2 1101 3 0011 −3 1100 4 0100 −4 1011 5 0101 −5 1010 6 0110 −6 1001 7 0111 −7 1000
  • 48. COMPLEMENTO DE 2 ( C – 2) Este sistema de representação utiliza o bit mais à esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits da direita representam o módulo, igualmente ao MS (módulo e sinal) e C - 1. O simétrico de um número é obtido em dois passos: 1º passo – obtém-se o complemento de todos os bits do número positivo (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal, isto é, executa-se o complemento de 1; 2º passo – ao resultado obtido no primeiro passo, soma-se 1 (em binário).
  • 49. Exemplo: complemento de 2 dos números 10 e –10 Limitação de 8 bits (N=8) 10 0 0001010 nº sinal módulo
  • 50. Número – 10 1º passo: complemento de 1 -10 1 1110101 nº sinal módulo 2º passo: 1 1110101 + 10 ----------- 1110110
  • 51. Vantagem: uma única representação para o número 0.. Para 8 bits teremos: Nº 0 00000000 (+0) Nº -0 passo 1 11111111 (-0) passo 2 1 ------------------- 100000000 estouro desprezado Logo 0 e –0 tem a mesma representação.
  • 52. OPERAÇÕES COM NÚMEROS BINÁRIOS Adição A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma que uma adição no sistema decimal. Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base 2. Seja a operação 85 + 18. 85 18 + ----- 103
  • 53. -Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a regra do transporte para a próxima coluna. - Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”. - Este transporte “vai um” é computado na soma da próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um” abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1. - Obtemos desta forma o resultado 103.
  • 54. -- Vamos agora para o sistema base 2, como temos apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis casos que ocorrerão na soma por colunas: -a) 0 b)0 c)1 d)1 e)1 +0 +1 +0 +1 1 ---- ---- ---- ---- +1 0 1 1 10 ---- 11 - No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vai um” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelas incluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”.
  • 55. Subtração -Como o método também é análogo ao da subtração no sistema decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na subtração por colunas. a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 -0 -1 -0 -1 ---- ---- ---- ---- 0 1 1 0
  • 56. - No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá um transporte para a coluna seguinte, que deve ser acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos efetuar 11102 – 10012 1110 -1001 ------- 0101
  • 57. Multiplicação -Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casos possíveis são: a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1 A multiplicação de números binários é feita do mesmo modo que a multiplicação de números decimais.
  • 58. O procedimento, na verdade, é mais simples, uma vez que os dígitos multiplicadores podem ser apenas 0 ou 1. O exemplo seguinte ilustra este procedimento para números binários sem sinal. 1001 1011 ----------- 1001 1001 0000 1001 1100011
  • 59. Caso um número esteja em complemento de 2, deve- se primeiro convertê-lo para o seu equivalente em binário positivo. Assim, é possível efetuar a multiplicação como no caso acima.Evidente que o resultado deve ser convertido para binário negativo, usando o complemento de 2.
  • 60. Divisão Binária O processo para dividir números binários é o mesmo que é utilizado para números decimais.Para ilustrar, segue um exemplo onde iremos dividir (9) 10 por (3) 10. +9 = 1 0 0 1 +3 = 1 1
  • 61. 1 0 0 1 /1 1 1 1 1 1(3) 10 --------- 0011 11 ---------- 0 A divisão de números com sinal é tratada do mesmo modo que na multiplicação.