12 modelagem mat_sist_term

368 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
368
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
5
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

12 modelagem mat_sist_term

  1. 1. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 1 12 Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos1 INTRODUÇÃOSistemas térmicos são sistemas nos quais estão envolvidos o armazenamento e o fluxo de calorpor condução, convecção ou radiação. A rigor, sempre estão envolvidas simultaneamente as trêsformas de transferência de calor. Entretanto, na prática, tem-se em geral a preponderância deuma forma sobre as demais ou então a preponderância de duas formas sobre a terceira, o que émais comum. Exemplos clássicos de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motorde um automóvel, o refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de umescritório, etc.Há três maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução,convecção e radiação. Na transferência de calor por condução ou convecção, o fluxo de calor q,em kcal/s, é dado por(1) q = K∆θonde ∆θ = diferença de temperatura, em K K = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K, dado por kA(2) K= na condução ∆X(3) K = hA na convecçãoonde k = condutividade térmica, em kcal/m.s.K A = área normal ao fluxo de calor, m2 ∆X = espessura do condutor, em m h = coeficiente de transferência de calor por convecção, kcal/m2.s.KNa transferência de calor por radiação, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por 4 4(4) q = Kr ( θ 1 − θ 2 )onde Kr = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K4, que depende da emissividade, tamanho e configuração da superfície θ1 = temperatura do emissor, em K θ1 = temperatura do emissor, em K 1
  2. 2. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 2Na modelagem que será feita a seguir, serão consideradas apenas as transferências de calor porcondução e por convecção, desprezando-se o efeito da radiação.2 VARIÁVEIS TÉRMICASAs variáveis usadas para descrever o comportamento de um sistema térmico são: o θ = temperatura em Kelvins [K] C = K - 273,15 q = fluxo de calor em Watts [W] 1 W = 1 J/sAs temperaturas em vários pontos de um corpo variam com a localização, o que significa que osistema térmico é inerentemente um sistema com parâmetros distribuídos. Em conseqüência, osmodelos matemáticos são constituídos por equações diferenciais parciais, pois as propriedadessão distribuídas e não concentradas. Na modelagem e na análise, entretanto, para simplificar oproblema, é conveniente admitir que um sistema térmico possa ser representado por um modelode parâmetros concentrados, no qual as substâncias que são caracterizadas pela resistência aofluxo de calor têm capacitância térmica desprezível e que as substâncias que são representadaspela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor. Isso nos conduzirá amodelos regidos por equações diferenciais ordinárias, com as suas já conhecidas vantagens.3 NÚMERO DE BIOTExiste um parâmetro adimensional, denominado Número de Biot, que serve de critério paradefinir se um sistema térmico pode ser admitido como de parâmetros concentrados. Ele édefinido como hLc(5) Bi = konde h e k já foram definidos e onde Lc é o comprimento característico do sólido, definido por V(6) Lc = Asonde V = volume do sólido, em m3 As = é a área da superfície de contato entre sólido e fluido, no caso de transferência de calor por convecção, em m2Evidentemente, Lc depende da forma do sólido.Assim, para esferas de raio r, temos: 2
  3. 3. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 3 4 3 πr 1 Lc = 3 2 = r 4 πr 3Para cilindros maciços de raio r e comprimento L: πr 2 L rL Lc = = 2πrL + 2πr 2 2(r + L)Para cubos de aresta L: L3 L Lc = = 6L 2 6Um critério aceitável para que a temmperatura no interior de um sólido não varie com alocalização é que hL(7) Bi = c < 0,1 k4 VARIÁVEIS INCREMENTAISPara a maioria dos sistemas térmicos existe uma condição de equilíbrio que define o ponto deoperação do sistema. Assim, podemos definir uma temperatura incremental e um fluxo de calorincremental como ^ −(8) θ( t ) = θ( t ) − θ ^ −(9) q( t ) = q( t ) − q − -onde θ e q são os valores das variáveis no ponto de operação.5 CAPACITÂNCIA TÉRMICAExiste uma relação entre a temperatura de um corpo físico e o calor nele armazenado. Nãohavendo mudança de fase e desde que a faixa de temperaturas não seja excessiva, tal relaçãopode ser considerada linear. Assim, sendo qi(t) o fluxo de calor que entra em um corpo e qo(t) ofluxo de calor que sai do mesmo corpo, o calor líquido (no sentido contábil) armazenado no corpoentre dois instantes de tempo t0 e t é dado por t ∫ t0 [ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλonde λ é uma variável muda usada na integração. 3
  4. 4. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 4Vamos assumir que o calor armazenado durante esse intervalo de tempo seja igual a uma certaconstante C multiplicada pela variação de temperatura, ou seja t ∫t0 [ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλ = C [ θ( t ) − θ( t 0 )]onde θ(t0) é a temperatura do corpo no instante de referência t0. Podemos rescrever a equaçãoacima como 1 t(10) θ( t ) = θ( t 0 ) + C t0 ∫ [ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλonde a constante C é definida como a capacitância térmica do corpo, dada em [J/K]. Para umcorpo de massa M e calor específico c, a capacitância térmica é dada por C = Mc, para M em [kg]e c em [J/kg.K].Diferenciando a eq. (10), obtemos . 1(11) θ( t ) = [ qi ( t ) − qo ( t )] Cequação que é muito usada quando o sistema é modelado no espaço de estados.6 RESISTÊNCIA TÉRMICANo caso de transferência de calor por condução, a Lei de Fourier estabelece que o fluxo de calorq(t) entre dois corpos com temperatura θ1(t) > θ2(t), separados por um meio condutor, é dado por θ1 ( t ) − θ 2 ( t ) q( t ) = αA donde α = condutividade térmica do material condutor [J/m.s.K] ou [W/m.K] (tabelada) A = área normal ao fluxo de calor [m2] d = espessura do condutor [m]Podemos rescrever a equação acima como 1(12) q( t ) = [ θ ( t ) − θ 2 ( t )] R 1onde R é definida como a resistência térmica e é função do material e das dimensões do meiocondutor, sendo dada por d(13) R = Aα 4
  5. 5. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 5Só podemos usar a eq. (12) quando não há armazenamento de energia térmica no meio condutor.Caso isso não aconteça, devemos então incluir a capacitância térmica do meio condutor nomodelo.Resistências térmicas em sérieConsideremos dois corpos com temperaturas θ1(t) > θ2(t), separados por duas resistênciastérmicas em série R1 e R2, conforme ilustra a fig. 1(a): Fig. 1Sendo q(t) o fluxo de calor através das mesmas e estando as resistências perfeitamente isoladastermicamente, queremos achar uma resistência térmica equivalente Req, conforme a fig. 1(b).Chamando θB a temperatura na interface das duas resistências, podemos escrever a eq. (12) duasvezes: 1 q = (θ − θ B ) R1 1 1 q = (θ − θ 2 ) R2 BEliminando θB nas equações acima, chegamos a 1 q = (θ − θ 2 ) R1 + R2 1que, comparada com a eq. (12), permite que escrevamos Req = R1 + R2donde podemos concluir que existe uma analogia com as resistências elétricas em série.Podemos estender o resultado para n resistências térmicas em série: n(14) Req = ∑R i =1 i 5
  6. 6. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 6Resistências térmicas em paraleloAproveitando a analogia citada, podemos estabelecer uma expressão para n resistênciastérmicas em paralelo: 1(15) Req = n 1 i =1 ∑ Ri7 FONTE TÉRMICAA fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema. No primeiro caso, o fluxo decalor qi(t) é positivo e, no segundo caso, qi(t) é negativo. A fonte térmica ideal é representadapela fig. 2: Fig. 2Vamos estudar, a seguir, a modelagem matemática de alguns sistemas térmicos através deexemplos.8 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS TÉRMICOSExemplo 1A fig. 3 mostra uma capacitância térmica C isolada do ambiente por uma resistência térmicaequivalente R. A temperatura interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperaturaambiente é θa, também uniforme. Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo qi(t). No − -ponto de operação, os valores de qi e θ são q i e θ , respectivamente. Desenvolver um modelomatemático para o sistema em termos das variáveis incrementais. Fig. 3 6
  7. 7. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 7 Solução 1Aplicando a eq. (12): qo ( t ) = [ θ( t ) − θ a ] R . 1 1Substituindo na eq. (11): θ( t ) = { qi ( t ) − [ θ( t ) − θ a ]} C Rou . RC θ( t ) + θ( t ) = Rqi ( t ) + θ aonde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, comduas entradas qi(t) e θa e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC. ^ −Em termos das variáveis incrementais θ( t ) = θ( t ) − θ e ^ − q( t ) = q( t ) − qpodemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), qi(t) e suas derivadas na EDOL acima,chegando a . ^ ^ ^ RC θ( t ) + θ( t ) = R q i ( t )Vemos, agora, que temos um sistema com apenas uma entrada e uma saída.Exemplo 2 - Termômetro de mercúrioA fig. 4 ilustra um sistema térmico constando de um termômetro de mercúrio que está, −inicialmente, à temperatura ambiente θ e é mergulhado em um reservatório cujo líquido está a −uma temperatura θ + θb, isto é, θb acima da temperatura ambiente. Fig. 4O reservatório tem capacitância térmica C e o termômetro tem resistência térmica R.Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais. 7
  8. 8. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 8 Solução 1Aplicando a eq. (12) para o termômetro: qi ( t ) = [ θ − θ( t )] R b . 1 1Substituindo na eq. (11): θ( t ) = { [ θ − θ ( t )]} C R bou .(16) RC θ( t ) + θ( t ) = θ bonde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, comentrada θb e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.Comparando a eq. (16) com a EDOL modelo matemático do circuito elétrico RC paralelo mostradona fig. 5, dada por d eo RC + e o = ei dt Fig. 5vemos que existe uma analogia entre o sistema térmico e o sistema elétrico, denominada analogiaeletrotérmica, dada pela tabela seguinte: Sistema elétrico Sistema térmico voltagem e temperatura θ corrente elétrica i fluxo de calor q resistência elétrica R resistência térmica R Capacitância C capacitância térmica CExemplo 3A fig. 6 mostra um vaso indeformável de volume V, no qual um líquido de massa específica ρ ecalor específico c escoa através dele. Um "mixer" assegura que a temperatura do líquidopermaneça uniforme em todo o reservatório e igual a θ(t). O líquido entra no reservatório com −uma vazão volumétrica constante w à temperatura θi(t). Ele sai do reservatório com a mesmavazão volumétrica à temperatura θo(t), considerada igual à temperatura do líquido θ(t), devido àmistura perfeita feita pelo "mixer". A resistência térmica do vaso é R e a temperatura ambienteé constante e igual a θa. 8
  9. 9. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 9 Fig. 6É adicionado um fluxo de calor qh(t) ao líquido por meio de um aquecedor. Desenvolver um modelomatemático para o sistema. Solução −Calor que entra no vaso: qi (t) = qh (t) + w ρcθ i (t) 1 _Calor que sai do vaso: q0 ( t ) = [θ(t) − θ a ] + w ρcθ(t) RCapacitância térmica: C = Mc = ρVcLevando na eq. (11): . 1 1 − 1 − θ(t) = [qi (t) − qo (t)] = {[qh (t) + w ρcθ i (t)] − [ (θ(t) − θ a ) + w ρcθ(t)]} C ρcV RRearrumando a equação acima, chegamos à EDOL de 1a ordem − − . w 1 w 1 1 θ( t ) + ( + )θ( t ) = θi (t) + qh ( t ) + θa V RC V C RC 1onde a constante de tempo é dada por τ = − . w 1 + V RCPodemos observar que temos três entradas, θi(t), qh(t) e θa, e apenas uma saída, θ(t).Exemplo 4Uma esfera de cobre (ρ = 8954 kg/m3, c = 383,1 J/kg.0C e k = 385 W/m. 0C), de diâmetro 0,06m, é subitamente colocada em um reservatório que contem um líquido quente a uma temperaturaθo. Em conseqüência, a temperatura da esfera, θ(t), cresce com o tempo. O coeficiente detransferência de calor por convecção é h = 25 W/ m. 0C. Pedem-se: 9
  10. 10. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 10(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique;(b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema;(c) Calcular a constante de tempo do sistema. Solução 1 1 0,06(a) Lc = r= . = 0,01 m 3 3 2 hL 25x0,01 Bi = c = = 6,49x10 − 4 < 0,1 k 385Logo, é possível.(b) Aplicando a eq. (11): . 1 θ( t ) = [ qi ( t ) − qo ( t )] Conde C = Mc = ρVc qi = hAs [θ o − θ(t)] qo = 0 . 1Logo: θ(t) = {hAs [θ o − θ(t)] − 0} ρVc ρVc . θ(t) + θ(t) = θ o hAs ρVc ρcLc 8954x383,1x0,01(c) τ= = = = 1372 s = 22,87 h hAs h 25 10
  11. 11. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 11EXERCÍCIOS1 A figura mostra um vaso fechado, isolado, cheio de líquido e contendo um aquecedor elétrico imerso no líquido. A resistência elétrica do aquecedor, por sua vez, está colocada dentro de uma jaqueta metálica de resistência térmica RHL. A resistência térmica do vaso e de seu isolamento é RLa. O aquecedor tem uma capacitância térmica CH e o líquido uma capacitância térmica CL. A temperatura do aquecedor é θH e a do líquido é θL, a qual é considerada uniforme devido ao "mixer". Dados numéricos: CH = 20 x 103 J/K CL = 1 x 106 J/K RHL = 1 x 10-3 K/W RLA = 5 x 10-3 K/W θa = 300 KO aquecedor elétrico e o líquido estão inicialmente à temperatura ambiente θa, estando oaquecedor desligado. No instante t = 0, o aquecedor é ligado, de modo que o fluxo de calorfornecido ao sistema é qi(t). Pedem-se:(a) modelo matemático no espaço de estados, usando as variáveis de estado θH(t) e θL(t), as quais podem ser obtidas diretamente a partir da eq. (9);(b) usando o VisSim, graficar as temperaturas θH(t) e θL(t) para as entradas θa = 300 K e qi(t) sendo um degrau de amplitude 1,5 x 104 W;(c) a partir do gráfico do item (b), achar o tempo que leva o líquido para atingir a temperatura desejada θd = 365 K.Obs.: para os itens (b) e (c) usar os dados numéricos mostrados ao lado da figura.2 Uma esfera de alumínio de diâmetro 0,08 m encontra-se em um forno à temperatura de 200 0C. Ela é retirada do forno e colocada ao ar livre que se encontra à temperatura de 20 0C. Conhecendo as propriedades do alumínio, dadas abaixo, pedem-se: (a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique; (b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema; (c) Calcular a constante de tempo do sistema.Dados do Alumínio: ρ = 2707 kg/m3; c = 896 J/kg.0C; k = 204 W/m. 0C; 0 h = 3,5 W/ m. C ρVc .Resp.: (a) Sim; (b) θ(t) + θ(t) = θ ar (c) 2,56 h hAs 11
  12. 12. Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 12 12

×