Modelo de Gás Ideal

Modelo de Gás Ideal
Departamento de Ciências Exatas – Engenharia
Termodinâmica – Aula 06
11/05/2021 FMU - Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 1
Prof. MSc. PhD. Alberto Lozéa Feijó Soares
E-mail: alberto.soares@fmu.br

Equação de estado para um Gás Ideal
Seja um GÁS qualquer confinado em uma montagem pistão-cilindro com TEMPERATURA
𝑇1 constante conforme a Figura abaixo. O pistão mover-se livremente sem ATRITO e quase-
estaticamente (lentamente), de modo que uma série de ESTADOS TERMODINÂMICOS em
EQUILÍBRIO à 𝑇1 = Const. podem ocorrer.
Puxando-se o pistão (tampa) isotermicamente, o VOLUME MOLAR ҧ
𝑣 aumenta, e a
PRESSÃO 𝑝 diminui. É a chamada Lei de Boyle.
(𝑝1, ҧ
𝑣1, 𝑇1) (𝑝2, ҧ
𝑣2, 𝑇1)
Expansão Isotérmica
( ҧ
𝑣 ↑, 𝑝 ↓)
ҧ
𝑣 → ∞ ⇒ 𝑝 → 0
⇒ 𝑝 ∝
1
ҧ
𝑣

Suponha que o valor de 𝑝 ҧ
𝑣/𝑇, pode ser experimentalmente determinado. Os resultados
do experimento podem ser organizados em um gráfico:
𝑝 ҧ
𝑣
𝑇
𝑝
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇4
ത
𝑅 ⟹ lim
𝑝→0
𝑝 ҧ
𝑣
𝑇
= ത
𝑅
Extrapolação para
𝑝 = 0
Valor limite, vale para
qualquer gás sobre
certas condições!
Se o experimento for refeito para diferentes TEMPERATURAS, obtemos as curvas 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4
e etc. Para diferentes gases, obteremos o mesmo limite ത
𝑅, o que mostra que a maioria dos
gases se comportam de maneira igual sob condições semelhantes.

A constante ത
𝑅 é denominada CONSTANTE UNIVERSAL DOS GASES IDEAIS e seu valor
determinado experimentalmente é:
ത
𝑅 = 8,314
kJ
kmol ⋅ K
Dependendo das unidades das PROPRIEDADES 𝑝, 𝑣 e 𝑇 do gás, teremos ത
𝑅 em várias
unidades diferentes.
ത
𝑅 =
83,14 bar ⋅ L/kmol ⋅ K
0,083 bar ⋅ m3
/kmol ⋅ K
1,987 kcal/kmol ⋅ K
0,082 atm ⋅ L/mol ⋅ K
1545,4 lbf ⋅ ft/lbmol ⋅ °R
1,9859 Btu/lbmol ⋅ °R
No SI a TEMPERATURA ABSOLUTA é dada em Kelvin, mas em alguns casos, a
TEMPERATURA é dada na escala Rankine (𝑇𝑅 = 𝑇𝐹 + 460).

𝑍 =
𝑝 ҧ
𝑣
ത
𝑅𝑇
⇒ 𝑝 ҧ
𝑣 = ത
𝑅𝑇𝑍
A razão adimensional 𝑝 ҧ
𝑣/ ത
𝑅𝑇 é denominada FATOR DE COMPRESSIBILIDADE (𝑍):
Onde 𝑅 é uma constante para um gás em particular cujo MASSA MOLECULAR é 𝑀 =
𝑚/𝑛.
Com o VOLUME MOLAR dado por ҧ
𝑣 = 𝑀𝑣, onde 𝑀 é o MASSA ATÔMICA ou MOLECULAR
do gás, o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE também pode ser dado por:
ҧ
𝑣 = 𝑀𝑣 ⇒ 𝑝𝑀𝑣 = ത
𝑅𝑇𝑍 ⇒ 𝑝𝑣 =
ത
𝑅
𝑀
𝑇𝑍
⇒ 𝑅 =
ത
𝑅
𝑀
⇒ 𝑅 =
kJ/kmol ⋅ K
kg/kmol
=
kJ
kg ⋅ K
Logo, teremos a Eq. de Estado para um Gás específico:
𝑝𝑣 = 𝑅𝑇𝑍 (2)
(1)

Exemplo: Use a Eq. (2) e determine o VOLUME ESPECÍFICO do vapor d’água superaquecido,
à 1 bar (105 Pa) de PRESSÃO e 120 ℃ de TEMPERATURA. Considere 𝑍 = 1.
Consultando a Tabela T-4 temos 𝑣 = 1,793 m3
/kg, o que resulta 1,16 % de erro relativo.
Diferentes substâncias, têm diferentes constantes do gás:
Substância 𝑴(𝐤𝐠/𝐤𝐦𝐨𝐥) 𝑹(𝒌𝐉/𝐤𝐠 ⋅ 𝐊)
Ar 28,97 0,2870
Hélio 4,003 2,0769
Oxigênio 32 0,2598
Metano 16,04 0,5183
𝑅Vapor =
ത
𝑅
𝑀𝐻2𝑂
⇒ 𝑅Vapor =
8,314
kJ
kmol ⋅ K
18,02
kg
kmol
⇒ 𝑅Vapor ≅ 0,4614
kJ
kg ⋅ K
𝑣 =
𝑅𝑇𝑍
𝑝
⇒ 𝑣 =
461,4
J
kg ⋅ K
⋅ 120 + 273,15 K ⋅ 1
105 Pa
≅ 1, 814
N ⋅ m
kg
N
m2
≅ 1,8
m3
kg

Logo, concluímos que para 𝑍 = 1, e para BAIXAS PRESSÕES e/ou ALTAS TEMPERATURAS o
vapor d’água se comporta como um GÁS IDEAL. Podemos comprovar este comportamento
na área azul do diagrama 𝑇 × 𝑣 da água.
𝑇(℃)
𝑣(m3
/kg)

Este comportamento também é observado para outros gases. O FATOR DE
COMPRESSIBILIDADE 𝑍 tente à unidade conforme a PRESSÃO tende a zero para uma
TEMPERATURA fixa. A Figura abaixo ilustra isso para o Hidrogênio à 1 atm.
lim
𝑝→0
𝑝 ҧ
𝑣
ത
𝑅𝑇
= lim
𝑝→0
𝑍 = 1 ⟹

Gráficos semelhantes ao anterior foram preparados para outros gases. Ao serem
analisados, veremos que são qualitativamente semelhantes. Estudos adicionais mostram
que, escolhendo coordenadas convenientes, as curvas de vários gases diferentes ficam
semelhantes quando representadas juntas no mesmo sistema de coordenadas e,
portanto, a semelhança quantitativa também se verifica. Esse fato é conhecido como
PRINCÍPIO DOS ESTADOS CORRESPONDENTES.
Em tal abordagem, o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE 𝑍 é representado graficamente em
função de uma PRESSÃO REDUZIDA adimensional 𝑝𝑟 e de uma TEMPERATURA REDUZIDA
𝑇𝑟, definidas pelas expressões:
Onde 𝑝𝐶 e 𝑇𝐶 representam PRESSÃO e TEMPERATURA CRÍTICAS, respectivamente. As
grandezas reduzidas 𝑝𝑟 e 𝑇𝑟 podem ser encontradas nas Tabelas apropriadas de cada
substância. Estes dados permitem uma boa aproximação para as PROPRIEDADES de gases.
𝑝𝑟 =
𝑝
𝑝𝐶
𝑇𝑟 =
𝑇
𝑇𝐶
Tabelas

T-9: Propriedades do Ar como gás ideal.
Volume específico reduzido
Pressão reduzida
Entalpia específica
Energia interna específica

O resultado é um gráfico de COMPRESSIBILIDADE GENERALIZADA do tipo 𝑍 = 𝑓(𝑝𝑟, 𝑇𝑟). A
Figura abaixo mostra dados experimentais de 10 gases diferentes. As linhas cheias
denotando curvas ISOTÉRMICAS REDUZIDAS ajustadas mais adequadas aos dados.
𝑍
𝑝𝑟

Um gás é considerado IDEAL se ele encontra-se a uma pressão pequena em relação a
PRESSÃO CRÍTICA e/ou a uma temperatura elevada em relação a TEMPERATURA CRÍTICA.
Para esses casos o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE é próximo de 𝑍~1, logo a Eq. (1) torna-
se:
𝑝𝑣 = 𝑅𝑇
(3)
ቊ
ҧ
𝑣 = 𝑣𝑀
ത
𝑅 = 𝑅𝑀
Onde,
𝑝 ҧ
𝑣 = ത
𝑅𝑇
(4)
Já a Eq. (2) torna-se:
Da Eq. (4) e (5), temos que:
𝑣 =
𝑉
𝑚
⟶ 𝑝𝑉 = 𝑚𝑅𝑇
ҧ
𝑣 =
𝑉
𝑛
⟶ 𝑝𝑉 = 𝑛 ത
𝑅𝑇 (5)
(6)

Devido ao fato de estar a baixa PRESSÃO, as moléculas de um gás ideal ficam bem
dispersas no ambiente. Por causa disso, a ENERGIA INTERNA ESPECÍFICA depende apenas
da TEMPERATURA.
Modelo de Gás Ideal
Observações experimentais (Joule, 1843), mostram, que a EQUAÇÃO DE ESTADO é dada
realmente por 𝑝𝑣 = 𝑅𝑇 em boa aproximação. Logo a ENTALPIA do SISTEMA também
dependerá somente da TEMPERATURA, ou seja,
𝑢 = 𝑢(𝑇)
ℎ = 𝑢 + 𝑝𝑣 ⇒ ℎ = 𝑢(𝑇) + 𝑅𝑇
ℎ = ℎ(𝑇)
Logo,
Claro que 𝑢 e ℎ não dependem exclusivamente de 𝑇, mesmo assim, GASES REAIS (𝑍 ≠ 1),
podem ser tratados em boa aproximação como GASES IDEAIS (𝑍 = 1).
(7)

Calores específicos de gases ideias
Corpos com diferentes TEMPERATURAS trocam CALOR até entrarem em EQUILÍBRIO
TÉRMICO. CALOR 𝑄 somente é trocado quando existe uma diferença de temperatura Δ𝑇.
Durante muitos anos, a natureza do calor foi um mistério. No século XVII, Galileu, Newton
e outros cientistas concordavam (mas não tinham certeza) com as teorias dos antigos
gregos que consideravam a energia térmica, ou seja, o calor, como uma manifestação do
movimento molecular.
As moléculas, mesmo nos sólidos,
possuem vibração mesmo a
baixas temperaturas
A temperaturas mais altas, as moléculas
permanecem do mesmo tamanho, a
vibração cresce e o corpo se expande.

O CALOR SENSÍVEL é quantidade de calor recebida ou cedida por um corpo para variar sua
TEMPERATURA. Verifica-se experimentalmente que esta quantidade de CALOR é dada por:
Calores específicos de gases ideias
𝑄𝑆 = 𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅ ∆𝑇
Onde 𝑐 é denominado CALOR ESPECÍFICO da substância que constitui o corpo. Se Δ𝑇 0, o
corpo perde CALOR, se Δ𝑇  0, o corpo ganha CALOR. Qual o significado físico de 𝒄?
O CALOR ESPECÍFICO é a quantidade de calor que se deve fornecer ou retirar de um corpo
com 1 kg para variar sua temperatura em 1 °C.
A Eq. (8) é conhecida como Eq. Fundamental da Calorimetria. Isolando 𝑐 nesta expressão e
fazendo a análise dimencional temos que no S.I. e no S. Inglês a unidade de 𝑐 será:
(8)
𝑐 =
𝑄
𝑚 ⋅ ∆𝑇
⇒ 𝑐 =
kJ
kg ⋅ K
ou
Btu
lb ⋅ ℉

O CALOR ESPECÍFICO é uma característica de cada substância e assim como a ENERGIA
INTERNA ESPECÍFICA e a ENTALPIA depende da TEMPERATURA. Normalmente considera-
se 𝒄 constante dentro de uma certa faixa de TEMPERATURA.
Equação de estado para um gás ideal
Considerando o gás como um GÁS IDEAL e admitindo o CALOR ESPECÍFICO como
constante para pequenas variações da TEMPERATURA, é possível avalia-lo de duas
maneiras diferentes: à VOLUME constante e a PRESSÃO constante,
𝑐 = 𝑐(𝑇)
𝑣 = Const. ⇒ 𝑐𝑣(𝑇) =
∆𝑢
∆𝑇
𝑝 = Const. ⇒ 𝑐𝑝(𝑇) =
∆ℎ
∆𝑇
(9)
(10)
É possível encontrar 𝑐𝑣 e 𝑐𝑝 para diversas substâncias nas Tabelas T-10 e T-10E.

Da Eq. (7) podemos mostrar que:
Equação de estado para um gás ideal
(11)
∆ℎ = ∆𝑢 + 𝑅∆𝑇 ⇒
∆ℎ
∆𝑇
=
∆𝑢
∆𝑇
+ 𝑅 ⇒ 𝑐𝑝(𝑇) = 𝑐𝑣(𝑇) + 𝑅
Embora 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 de um GÁS IDEAL seja apenas função da TEMPERATURA, a Eq. (11) mostra
que os CALORES ESPECÍFICOS diferem apenas por uma constante, a constante 𝑅 do gás, o
que permite saber um deles conhecendo o outro. A Eq. (11) também mostra que 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣.
Para um GÁS IDEAL, a razão entre os CALORES ESPECÍFICOS, 𝑘, também é função apenas
da TEMPERATURA.
𝑘 =
𝑐𝑝(𝑇)
𝑐𝑣(𝑇)
(12)
Como 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣, significa que 𝑘 > 1. Combinando as Eqs. (12) e (11), temos,
𝑐𝑝(𝑇) =
𝑘𝑅
𝑘 − 1
e 𝑐𝑣(𝑇) =
𝑅
𝑘 − 1
(13)

Para um PROCESSO POLITRÓPICO de um SISTEMA TERMODINÂMICO fechado temos que:
O processo Politrópico para um Gás Ideal
𝑝 ⋅ 𝑉𝑛
= Const.
Onde 𝑛 é um número constante entre um e dois. No caso de um Estado inicial 1 e final 2,
𝑝1 ⋅ 𝑉1
𝑛
= 𝑝2 ⋅ 𝑉2
𝑛
⇒
𝑝2
𝑝1
=
𝑉1
𝑉2
𝑛
Já o TRABALHO no PROCESSO POLITRÓPICO é:
𝑊 =
𝑝2𝑉2 − 𝑝1𝑉1
1 − 𝑛
Essas equações se aplicam para qualquer gás ou líquido (Fenômenos de Transporte III)
submetido a um PROCESSO POLITRÓPICO e/ou ADIABÁTICO.
(14)
(15)

Quando a idealização adicional do comportamento de um GÁS IDEAL for acrescentada a
essas equações, outras relações entre PROPRIEDADES do SISTEMA podem ser deduzidas.
Então, introduzindo as Eqs. (5) ou (6) na Eq. (14) do PROCESSO POLITRÓPICO, obtemos os
seguintes resultados,
O processo Politrópico para um Gás Ideal
𝑇2
𝑇1
=
𝑝2
𝑝1
𝑛−1
𝑛
=
𝑉1
𝑉2
𝑛−1
(16)
𝑊 =
𝑚𝑅(𝑇2 − 𝑇1)
1 − 𝑛
(17)
Aplicando a aproximação para o GÁS IDEAL para o TRABALHO do PROCESSO POLITRÓPICO
obtemos,
Ou,
𝑊 =
𝑛 ത
𝑅(𝑇2 − 𝑇1)
1 − 𝑛
(18)

Também podemos aplicar a aproximação para um GÁS IDEAL para os PROCESSOS
ISOTÉRMICO, ISOCÓRICO e ISOBÁRICO,
Processos Isotérmico, Isocórico e Isobárico para um gás ideal
𝑝𝑉
𝑇
= 𝑚𝑅 = const. ⇒
𝑝1𝑉1
𝑇1
=
𝑝2𝑉2
𝑇2
PROCESSO
ISOTÉRMICO
ISOCÓRICO
ISOBÁRICO
𝑝1𝑉1 = 𝑝2𝑉2
𝑊 = 𝑚𝑅 ln
𝑉2
𝑉1
𝑝1
𝑇1
=
𝑝2
𝑇2
𝑊 = 0
𝑉1
𝑇1
=
𝑉2
𝑇2
𝑊 = 𝑚𝑅 𝑇2 − 𝑇1

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