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Transferência de Calor
Introdução à Transferência de Calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 2.6
1
• Introdução;
• Mecanismos de transferência de calor;
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Sumário
• Identificação de processos;
• Balanços de energia.
2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
Quais são as habilidades necessárias a um "Engenheiro de
Transferência de Calor”?
•Aquecer, resfriar e isolar;
3
•Modelar e simular;
•Selecionar materiais;
•Medir: temperatura e fluxo de calor;
•Controlar: temperatura, taxa de aquecimento ou
refrigeração, gradiente de temperatura.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
O começo...
4
?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
O começo...
5
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resfriamento de componentes
eletrônicos
6
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
7
Resfriamento de componentes
eletrônicos
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
8
Processos de fabricação
Extrusão
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
9
Processos de fabricação
Fundição
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
10
Resfriamento de MCI
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
11
Ablação térmica a laser
12
Traje espacial
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Atividade & Projeto #1
•Objetivo: medir a temperatura do ar da sala
13
10 mV / oC ⟹ 100 oC / V
Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate
Vamos usar um circuito integrado (LM 35Z) com exatidão de ±¼°C a
temperatura ambiente, sem a necessidade de calibração.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
•Configuração do LM 35:
14
Fonte: datasheet do LM35
•Montagem do LM 35:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
•Montagem do LM 35:
15
// temperature_lm35.ino - measure temperature (Celsius) with LM35 and print it
// (c) BotBook.com - Karvinen, Karvinen, Valtokari
int lmPin = A0;
void setup()
{
Serial.begin(115200);
pinMode(lmPin, INPUT);
}
float tempC()
{
float raw = analogRead(lmPin); // <1>
float percent = raw/1023.0; // <2>
float volts = percent*5.0; // <3>
return 100.0*volts; // <4>
return raw;
}
void loop()
{
Serial.println(tempC());
delay(200); // ms
}
•Código em C++:
Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Vamos realizar a medição!
16
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Perguntas:
17
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
•Estamos medindo a temperatura do ar da sala?
•Qual temperatura estamos medindo então?
•Como é a resposta dinâmica do sensor?
•Qual a relação do processo de medição com transferência de calor?
•Quais fatores interferem no valor medido?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
•Antigos termômetros de rua:
18
Situação similar
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Vamos aplicar um balanço de energia em regime permanente
considerando o LM35 como o sistema:
19
balanço de energia:
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
dE
dt
= !
Q − !
W
!
Q = !
W
Q
W
Tviz
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor:
20
TLM
Tar
qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0
qconv
qrad
Pdiss
balanço de energia:
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
qcond
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
O que é Transferência de Calor?
O que é Energia Térmica?
Trânsito de energia térmica ocasionado por uma diferença
de temperatura.
Aquela associada à translação, rotação, vibração e estado
eletrônico dos átomos e moléculas que compõe a matéria.
Representa o efeito cumulativo das atividades
microscópicas e está diretamente ligada à temperatura.
Existe redundância no termo Transferência de Calor?
Sim.
21
Mecanismos de transferência de calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Mecanismos
Condução – transferência em sólidos ou líquidos
estacionários devido ao movimento aleatório de
átomos, moléculas e/ou elétrons constituintes;
Convecção – transferência devido ao efeito
combinado do movimento global e aleatório de um
fluido sobre uma superfície;
Radiação – energia emitida pela matéria devido a
mudanças na configuração de seus elétrons e
transportada por ondas eletromagnéticas (ou
fótons).
22
Mecanismos de transferência de calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Condução
Convecção
Radiação
23
sólido
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Condução
T1
T2
q
A
L
Lei de Fourier:
ou
k - Condutividade térmica
Joseph Fourier
(1768-1830)
′′
q = −k
ΔT
L
= −k
T2 − T1
L
Fluxo de calor
Taxa de transferência de calor
q
24
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Condutividade térmica
Material k, W/(m.K)
Cobre 401
Alumínio 240
Ferro 80,2
Aço (AISI 1010) 63,9
Aço inox (AISI 304) 14,9
Vidro 1,4
Tijolo, comum 0,72
Solo 0,52
Pele 0,50
Tijolo refratário (Si) 0,25
Ar 0,0263
Condutividade térmica de alguns materiais a temperatura ambiente
Material k, W/(m.K)
Fibra de vidro (placa) 0,058
Placa de fibra mineral 0,049
Fibra de vidro (manta) 0,038
Poliestireno, expandido 0,027
Uretana, espuma 0,026
Materiais em camadas,
Folhas de alumínio, 0,0016
vácuo
Fonte: Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S. Fundamentos de Transferência de Calor e de
Massa, 6a ed., Rio de Janeiro, LTC, 2008.
25
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Convecção
A,Ts
Fluido,T∞
Lei de Newton do
resfriamento:
ou
h Coeficiente de transferência
de calor por convecção
Isaac Newton
(1643-1727)
Placa aquecida
fluido
Ts > T∞
q
26
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Convecção
Convecção Natural
Quente
Quente
Convecção Mista
gravidade
Convecção Forçada
Frio
27
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Convecção
Valores típicos de coeficiente de transferência de
calor por convecção
Processo h, W/(m2K)
Convecção natural
Gases 2 – 25
Líquidos 50 – 1.000
Convecção forçada
Gases 10 – 300
Líquidos 100 – 2.000
Convecção com mudança de fase
Ebulição e condensação 2.500 – 100.000
28
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Radiação
Stefan-Boltzmann: corpo negro
ou
σ Constante de Stefan-Boltzmann
5,67x10-8 W/m2K4
Joseph Stefan
(1835-1893)
Ludwig Boltzmann
(1844-1903)
29
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Radiação
Branco 1200oC
Amarelo 1000oC
Laranja 900oC
Vermelho 680oC
Vermelho escuro 550oC
Cores de superfícies metálicas aquecidas
30
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Radiação
Transferência de calor entre uma pequena e uma grande superfície envolvente:
Emissividade: ε
Absortividade: α
Ts
Tviz
31
Poder emissivo (W/m2): E = εσTs
4
′′
qrad = εσTs
4
−ασTviz
4
Corpo cinza: ε = α
Irradiância (W/m2): G = ασTviz
4
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Radiação
Muitas vezes é conveniente fazer:
32
qrad = hr A Ts −Tsup
( )
Sendo hr o coeficiente linearizado de transferência de calor por convecção:
hr = εσ Ts +Tsup
( ) Ts
2
+Tsup
2
( )
Quando Tsup ≃ Tviz, podemos escrever:
hr = 4εσT 3
, T =
Tsup +Tviz
2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Radiação
Superfície ε
Alumínio anodizado 0,82
Alumínio polido 0,04
Concreto 0,90
Vidro 0,88
Tinta branca, acrílica 0,90
Tinta preta, Parsons 0,98
Emissividade normal de
algumas superfícies a
temperatura ambiente
Superfície α
Alumínio anodizado 0,14
Alumínio polido 0,09
Concreto 0,60
Vidro* (transmissividade) 0,88
Tinta branca, acrílica 0,26
Tinta preta, Parsons 0,98
Propriedades radiativas solares
* 2 a 3 mm de espessura -
vidro comum ou temperado
33
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Balanço de energia superficial
Serve para determinação da temperatura da superfície:
0
(volume de controle sem massa)
0
EXEMPLO #5:
vizinhança
Superfície de
controle
34
Tviz
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor:
35
TLM
Tar
qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0
qconv
qrad
Pdiss
balanço de energia:
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )− hAs TLM −Tar
( )+ Pdiss = 0
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
qcond
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
36
Tviz
TLM
Tar
qconv
qrad
Pdiss
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )− hAs TLM −Tar
( )+ Pdiss = 0
Tar = TLM −
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss
hAs
Como podemos melhorar nossa medida?
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
⇒ ΔT =
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss
hAs
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
37
Como podemos melhorar nossa medida?
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )− hAs TLM −Tar
( )+ Pdiss = 0
hr As Tviz −TLM
( )− hAs TLM −Tar
( )+ Pdiss = 0
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz −
Pdiss
hAs
<0,1 oC (datasheet)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
38
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz −
Pdiss
hAs
<0,1 oC (datasheet)
hr = εσ TLM +Tviz
( ) TLM
2
+Tviz
2
( )
ε = 1
σ = 5,67 ×10−8
W / m2
K4
TLM = 25o
C
15o
C ≤ Tviz ≤ 35o
C
⇒ 5,72 ≤ hr ≤ 6,32W / m2
K
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
39
Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz − 0,1
TLM = 25o
C
Tviz = 35o
C
hr = 6,32W / m2
K
2 ≤ h ≤ 300W / m2
K
⇒ −6,70 ≤ Tar ≤ 24,69o
C
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Ex. 1: Identificação de processos
qconv,1
água
Al
qconv,2
qconv,1 = convecção forçada da chama para o fundo da panela;
qcond,1
qcond,1 = condução através do fundo de alumínio da panela;
qconv,2 = convecção natural do fundo da panela para a água.
•Aquecendo água em uma
panela
40
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Ex. 2: Identificação de processos
•Cozinhando ovos
qconv,1
qconv,1 = convecção forçada da água para a superfície do ovo;
qcond = condução através da casca do ovo;
qcond
qconv,2 = convecção natural no interior do ovo?
(no final por condução).
41
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Ex. 3: Identificação de processos
•Carne na brasa
qconv,1
qconv,1 = convecção mista da superfície superior para os gases;
qconv,2
qconv,2 = convecção forçada dos gases para a superfície inferior;
qrad,1
qrad,1 = radiação (líquida) entre a vizinhança e a superfície inferior;
qrad,2
qrad,2 = radiação (líquida) entre a superfície inferior e a vizinhança.
42
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Ex. 4: Identificação de processos
•Rinoceronte na savana
Radiação
solar direta
Partículas
Radiação espalhada
Vento
Radiação refletida
Radiação refletida
Radiação
emitida
Radiação
emitida pela
atmosfera
Radiação
emitida pela
vegetação
Radiação
emitida pela
solo
Evaporação
Condução
43
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Balanços de energia
Balanço de energia térmica para volume de controle: para um instante de tempo
VC
Ein
Eg
Eac
Eout
•Durante um intervalo de tempo (ΔT)
˙
Ein
Taxa com que energia térmica/mecânica entra no volume de controle;
˙
Eout
Taxa com que energia térmica/mecânica sai no volume de controle;
˙
Eg
Taxa com que energia térmica é gerada no volume de controle a partir da
conversão de outra forma de energia (elétrica, química ou nuclear);
˙
Eac
Taxa de acúmulo de energia térmica no volume de controle.
44
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Ex. 6: Balanço superficial
Reentrada na atmosfera
de nave espacial
Base
Material ablativo
qrad
qconv
qcond
qsublimação
45
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício
Processamento de
“wafer”de silício
Hipóteses:
•Temperatura uniforme na placa;
•Temperaturas uniformes em cada
zona;
•T.C. por radiação entre uma pequena
e uma grande envoltória;
•Perda de calor pequena pela base.
Determinar: A taxa inicial de variação da temperatura e a temperatura
em regime permanente.
46
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício
•
Esquema:
Análise:
47
– –
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Não dá pra seguir em frente sem:
48
• Saber identificar os mecanismos de transferência de calor
relevantes ao problema;
• Memorizar e saber aplicar a Lei de Fourier, a Lei de Newton do
Resfriamento e a Lei de Stefan-Boltzmann;
• Memorizar a ordem de grandeza da condutividade térmica das
categorias de materiais, do coeficiente de transferência de calor por
convecção e da emissividade e absortividade de superfícies;
• Saber linearizar a transferência de calor por radiação, usando o
conceito de coeficiente de transferência de calor por radiação;
• Saber aplicar balanços de energia em regime permanente e transitório;
• Saber aplicar um balanço de energia superficial com o intuito de
determinar a temperatura de uma superfície.
Transferência de Calor
Introdução à Condução de Calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 2.4
1
Tviz
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Calibração do termômetro
•Na aula anterior buscamos medir a temperatura do ar:
2
TLM
Tar
Como nos certificamos que o transdutor funciona adequadamente?
Devemos comparar com uma temperatura “conhecida" e
eventualmente calibrar o transdutor se necessário.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
ITS 90
3
e-H2
TP
–259.3467
13.8033
e-H2
VP
–256.15
17
e-H2
VP
–252.85
20.3
Ne TP
–248.5939
24.5561
O2
TP
–218.7916
54.3584
Ar TP
–189.3442
83.8058
Hg TP
–38.8344
234.3156
H2
O TP
0.01
273.16
Ga MP
29.7646
302.9146
In FP
156.5985
429.7485
Sn FP
231.928
505.078
Zn FP
419.527
692.677
Al FP
660.323
933.473
Ag FP
961.78
1234.93
t90
°C
T90
K
H
y
d
r
o
g
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n
T
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l
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S
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M
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W
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G
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Z
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n
t
Capsule SPRT
Long Stem SPRT
G
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t
C
o
p
p
e
r
F
r
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e
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i
n
g
P
o
i
n
t
Au FP
1064.18
1337.33
Cu FP
1084.62
1357.77
Suitable interpolation
thermometer range
ITS-90 subrange
Calibration points
Subrange 1
Subrange 2
Subrange 3
5
11
Subrange 10
Subrange 9
Subrange 8
Subrange 7
Subrange 6
Subrange 4
Radiation Thermometer
High Temperature SPRT
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Célula de ponto triplo (H2O)
4
TPT = 0,01 oC vapor
água
gelo
Fonte: http://www.npl.co.uk/temperature-humidity/products-services/supply-of-temperature-
fixed-point-for-the-calibration-of-standard-platinum-resistance-thermometers-and-thermocouples
Imperdível: https://www.youtube.com/watch?v=EkFmrWsSzgA
± 0.0001 °C!
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Calibração do termômetro
•Podemos usar um calibrador de bloco seco
5
bloco de
calibração
Poço de
medição
Medimos a temperatura em um dos poços com o nosso transdutor e a de
outro poço com um instrumento padrão e comparamos as medidas.
± 0.2 °C
Existe diferença de temperatura entre os poços? Como podemos
avaliar? Como podemos projetor um bloco em que as variações
sejam pequenas?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Calibração do termômetro
6
bloco de
calibração
Poço de
medição
Existe diferença de temperatura entre os poços?
Como podemos avaliar a diferença?
Como podemos projetar um bloco em que as variações de temperaturas
sejam pequenas?
Podemos projetar se formos capazes de determinar o campo de
temperaturas no interior do bloco de alumínio.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Lei de Fourier
7
O que é a Lei de Fourier?
Qual é sua forma geral?
Equação que permite o cálculo do fluxo de calor por condução a partir do
conhecimento da distribuição de temperatura no meio.
Então o fluxo de calor é um vetor?
Sim, pois o gradiente de temperatura também é um vetor.
′′
!
q = −k∇T = −k
∂T
∂x
,
∂T
∂y
,
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Qual o significado do sinal negativo na expressão acima ?
Ele indica que o fluxo de calor é da superfície de maior para a de menor
temperatura, isto é, contrário ao do gradiente.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução e
coordenadas cartesianas
8
Lei de Fourier:
Partimos de um volume de controle diferencial:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução e
coordenadas cartesianas
9
Balanço de energia:
qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + !
Eg = !
Est
!
Eg = !
qdxdydz
!
Est = ρcp
∂T
∂t
dxdydz
Expansão em série de Taylor:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx +
∂2
qx
∂x2
dx
2!
2
+
∂3
qx
∂x3
dx
3!
3
+....
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução e
coordenadas cartesianas
10
Balanço de energia:
qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (1)
Expansão em série de Taylor:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx +
∂2
qx
∂x2
dx
2!
2
+
∂3
qx
∂x3
dx
3!
3
+....
No limite desprezamos os termos de ordem superior:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx (2)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução e
coordenadas cartesianas
11
Substituindo 2 em 1, e aplicando o mesmo procedimento para as direções x e y:
−
∂qx
∂x
dx −
∂qy
∂y
dy −
∂qz
∂z
dz + !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (3)
Aplicando a Lei de Fourier em (3):
−
∂
∂x
−k
∂T
∂x
dydz
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx −
∂
∂y
−k
∂T
∂y
dxdz
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dy −
∂
∂z
−k
∂T
∂z
dxdy
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dz +
+ !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz
Dividindo pelo volume, obtém-se:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q= ρcp
∂T
∂t
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cartesianas
12
Chegamos em:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
O que significa cada termo na equação acima?
Taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de
um volume de controle unitário;
Taxa volumétrica de geração de energia térmica;
Taxa de variação da energia térmica acumulada no interior do volume de
controle.
Faça a análise dimensional de cada um dos termos da equação anterior!
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cartesianas
13
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Observações:
Trata-se de uma equação diferencial parcial de segunda ordem no
espaço e primeira ordem no tempo;
Para sua solução precisamos de duas condições de contorno para cada
direção;
Para sua solução precisamos, adicionalmente, de uma condição inicial.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cilíndricas
14
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Deduza a expressão anterior a título de exercício!
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂φ
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas esféricas
15
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Deduza a expressão anterior a título de exercício!
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂θ
!
j + k
∂T
rsenθ ∂φ
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Tipos de condição de contorno
16
Temperatura superficial constante
T 0,t
( )= Ts
−k
∂T
∂x x=0
= ′′
qs
Fluxo de calor constante
∂T
∂x x=0
= 0
Superfície adiabática
−k
∂T
∂x x=0
= h T∞ −T 0,t
( )
⎡
⎣
⎤
⎦
Convecção na superfície
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas
17
Condutividade térmica: medida da habilidade do material em
transferir energia térmica por condução.
Difusividade térmica: medida da habilidade de uma material em
responder a mudanças no ambiente térmico.
Tabela de propriedades:
Sólidos: Tabelas A.1 – A.3
Gases: Tabelas A.4
Líquidos: Tabelas A.5 – A.7
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas de alguns
metais sólidos (Tab. A.1)
k cp
= 26,6 x 10–6
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas de alguns
isolantes (Tab. A.3)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas de gases
(Tab. A.4)
= 57,3 x 10–3
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas de líquidos
saturados (Tab. A.5)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Propriedades termofísicas da água
saturada (Tab. A.6)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Forma enxuta
23
Podemos escrever a expressão abaixo de uma forma mais enxuta:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
∇⋅ k∇T
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Qual a vantagem de escrevermos a equação nesse formato?
A equação fica independente do sistema de coordenadas!
ou
div⋅ kgradT
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Quadro resumo: operador nabla
24
Em coordenadas cartesianas:
!
∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Em coordenadas cilíndricas:
!
∇ =
∂
∂r
,
1
r
∂
∂φ
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Em coordenadas esféricas:
ou
!
∇ =
∂
∂x
!
i +
∂
∂y
!
j +
∂
∂z
!
z
ou
!
∇ =
∂
∂r
!
i +
1
r
∂
∂φ
!
j +
∂
∂z
!
k
!
∇ =
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
,
1
rsenθ
∂
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
∇ =
∂
∂r
!
i +
1
r
∂
∂θ
!
j +
1
rsenθ
∂
∂φ
!
k
ou
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Quadro resumo: operações com o
vetor nabla (Cartesiano)
25
Divergente:
!
∇⋅
!
v =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ u,v,w
( )=
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
Gradiente:
!
∇T =
∂T
∂x
,
∂T
∂y
,
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Rotacional:
!
∇ ×
!
v =
!
i
!
j
!
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u v w
=
∂w
∂y
−
∂v
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
i −
∂w
∂x
−
∂u
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
j +
∂v
∂x
−
∂u
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
k
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução –
casos particulares
26
Em coordenadas cartesianas:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Condutividade térmica constante:
k
∂2
T
∂x2
+
∂2
T
∂y2
+
∂2
T
∂z2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Em uma forma mais enxuta:
k ∇2
T
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução –
casos particulares
27
Condutividade térmica constante:
k
∂2
T
∂x2
+
∂2
T
∂y2
+
∂2
T
∂z2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Condução unidimensional em x:
k
∂2
T
∂x2
+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução –
casos particulares
28
Condução unidimensional em x:
k
∂2
T
∂x2
+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Condução unidimensional, em regime permanente e sem geração de calor:
d2
T
dx2
= 0
A integração revela um perfil linear:
T x
( )= ax + b
As constantes são determinadas pelas condições de contorno.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Não dá pra seguir em frente sem:
29
• Saber deduzir a equação da condução de calor em coordenadas
cartesianas e cilíndricas;
• Entender o significado de cada um dos termos que aparece na
equação da condução de calor;
• Entender os tipos de condição de contorno e sob quais condições
práticas podem ser representadas por cada uma das condições;
• Saber escrever a equação da condução em termos do operador nabla;
• Saber simplificar as equações para o caso de meio isotrópico, regime
permanente e condução unidimensional.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 2.28 (6 ed.)
30
Um material semitransparente, com condutividade térmica k e espessura L, quando
exposto à radiação laser, apresenta, em regime permanente, a seguinte distribuição
de temperatura:
em que A, B e C são constantes conhecidas. Para essa situação, a absorção de
radiação no material é representada por um termo de geração de calor distribuída.
(a) Obtenha expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies superior
e inferior.
(b) Deduda uma expressão para q(x).
(c) Desenvolva uma expressão para a taxa de radiação absorvida em todo o material,
por unidade de área superficial. Expresse seu resultado em termos das constantes
conhecidas para a distribuição de temperatura, a condutividade térmica do material e
sua espessura.
T x
( )= −
A
ka2
e−ax
+ Bx + C
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 2.28
31
Distribuição de temperatura em um meio semi-transparente
sujeito a um fluxo radiativo
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4) toda a
radiação é absorvida e pode ser representada por uma geração
interna.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 2.28
32
(a) Fluxos de calor nas faces:
lei de Fourier:
Superfície superior (x = 0):
Superfície inferior (x = L):
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 2.28
33
(b) Geração interna
Eq. geral da condução:
(c) Energia absorvida
Balanço de energia:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 2.28
34
(c) Energia absorvida
Por integração:
Transferência de Calor
Condução de Calor Unidimensional em
Regime Permanente sem Geração Interna
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 2.3
1
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cilíndricas
2
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cilíndricas
3
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂φ
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas esféricas
4
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂θ
!
j + k
∂T
rsenθ ∂φ
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
• Especifique a forma apropriada da equação da condução;
• Resolva-a para determinar a distribuição de temperatura;
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Metodologia da análise de
condução
• Aplique a Lei de Fourier para determinar o fluxo de calor.
5
• Parede plana – descrita em coordenadas cartesianas
pela coordenada x. Área transversal invariável;
• Parede de tubo – condução radial (r)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Metodologia da análise de
condução
• Casca esférica – condução radial.
Caso mais simples: regime permanente, condução de
calor unidimensional sem geração térmica.
6
Situações comuns:
Conseguem imaginar exemplos representativos de cada
situação?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Condução unidimensional em regime
permanente sem geração de calor e k constante
7
d2
T
dx2
= 0
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0
1
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede plana
8
T x
( )= ax + b
T 0
( )= Ts,1, T L
( )= Ts,2
Condições de contorno:
T x
( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1
( )x
L
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Analogia elétrica
9
T x
( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1
( )x
L
Taxa de transferência de calor:
qx = −kA
dT
dx
=
kA
L
Ts,1 −Ts,2
( )
Podemos escrever:
qx =
ΔT
Rcond
Rcond =
L
kA
Resistência térmica à
condução:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Analogia elétrica
10
Note que:
qx =
kA
L
Ts,1 −Ts,2
( )
Podemos escrever:
qx =
ΔT
Rconv
Rconv =
1
h1A
Resistência térmica à
convecção (lado quente):
qx = h1A T∞,1 − Ts,1
( )
qx = h2 A Ts,2 − T∞,2
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Analogia elétrica
11
qx =
T∞,1 −T∞,2
Rtot
Rtot =
1
h1A
+
L
kA
+
1
h2 A
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede composta
12
qx =
T∞,1 −T∞,2
Rtot
∑ Rt =
1
h1A
+
LA
kAA
+
LB
kB A
+
LC
kC A
+
1
h4 A
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Circuito térmico: radiação
13
Circuito equivalente:
Tviz
Tviz
Com:
qrad
qconv
Conservação da energia:
qx = qrad + qconv
e:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resistência de contato
14
Tabelas 3.1 e 3.2: valores dependem dos materiais A e B, da
pressão de contato, das condicões intersticiais e do
acabamento superficial.
Observação:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resistência de contato
15
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resistência de contato
16
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede composta
17
Problema bidimensional!
Superfícies verticais
isotérmicas.
Superfícies horizontais
adiabáticas.
Solução!
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede cilíndrica
18
Equação do calor, T(r):
Tubo:
T2
T1
r1
r2
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
1
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede cilíndrica
19
Aplicando as condições de contorno:
Perfil:
Resolvendo:
T(r1) = T1 e T(r) = T2
Perfil logarítmico!
T2
T1
r1
r2
T r
( )=
T1 −T2
ln r1 / r2
( )
ln
r
r2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +T2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede cilíndrica
20
Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência
de calor:
Podemos definir resistências térmicas?
′′
qr = −k
dT
dr
=
k
r ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )
′
qr = 2πr ′′
qr =
2πk
ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )
qr = 2πrL ′′
qr =
2π Lk
ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede cilíndrica
21
Sim, podemos definir resistências térmicas:
Note que não faz sentido R’’
t,cond
Rt,cond =
ln r2 / r1
( )
2π Lk
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede cilíndrica composta
22
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede esférica
23
Equação do calor, T(r):
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
T2
T1
r1
r2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede esférica
24
Aplicando as condições de contorno:
T(r1) = T1 e T(r2) = T2
Resolvendo:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede esférica
25
Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência
de calor:
Podemos definir resistências térmicas?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Parede esféricas
26
Sim, podemos definir resistências térmicas:
Note que não faz sentido R’
t,cond e R’’
t,cond
Rt,cond =
1/ r1
( )− 1/ r2
( )
4πk
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resumo: fórmulas de resistências
térmicas comuns
27
Situação Resistência
Parede plana
Cilindro
Esfera
Contato
Convecção
Radiação
Radiação (aproximada)
Rt,cond =
ln rout / rin
( )
2π Lk
Rt,cond =
1/ rin
( )− 1/ rout
( )
4πk
Rconv =
1
hAc
Rcond =
L
kAc
Rc =
′′
Rc
As
Rrad =
1
hr Ac
Rrad =
1
hr Ac
hr = εσ Ts + Tviz
( ) Ts
2
+ Tviz
2
( )
hr ≈ 4εσT 3
T =
Ts +Tviz
2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Não dá pra seguir em frente sem:
28
• Saber que o perfil de temperatura é linear em uma placa plana
sem geração e logarítmico em uma casca cilíndrica;
• Saber quais são as limitações na aplicabilidade da analogia termo-
elétrica;
• Memorizar as expressões das resistências térmicas em coordenadas
cartesianas e cilíndricas;
• Memorizar ou saber inferir quais são as unidades das resistências
térmicas (por área, comprimento e de contato)
• Entender e aplicar o conceito de resistência térmica de contato;
• Construir e resolver circuitos térmicos nos três sistemas de
coordenadas valendo-se da analogia termo-elétrica;
• Saber quando utilizar fontes de corrente em circuitos equivalentes.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.4 (6 ed.)
29
Em um processo de fabricação, um filme transparente está sendo fixado a um
substrato, conforme mostrado no esquema. Para curar a fixação a uma temperatura T0,
uma fonte radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor q’’
0 (W / m2), que é
totalmente absorvida pela superfície fixada. A parte posterior do substrato é mantida a
T1 enquanto a superfície livre do filme é exposta ao ar a T∞, com um coeficiente de
transferência de calor por convecção h.
(a) Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em
regime permanente. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de transferência de
calor.
(b) Considere as seguintes condições: T∞ = 20 oC, h = 50 W/m2.K e T1 = 30 oC. Calcule
o fluxo de calor q’’
0 necessário para manter T0 = 60 oC.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.4
30
Cura de um filme transparente por aquecimento radiativo com
substrato e filme sujeitos a condições térmicas conhecidas
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em
x, (3) propriedades constantes, (4) transferência de calor por radiação
desprezível nas superfícies e (5) resistências de contato desprezíveis.
Escola Politécnica da
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Exercício 3.4
31
Balanço de energia no nó 0:
Cálculo das resistências:
b)
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Universidade de São Paulo
Exercício 3.23 (6 ed.)
32
O desempenho de turbinas a gás pode ser melhorado pelo aumento da tolerância das pás aos
gases quentes que deixam o combustor. Um procedimento que permite atingir temperaturas de
operação mais elevadas envolve a aplicação de um revestimento de barreira térmica (TBC) sobre a
superfície externa da pá, enquanto ar de resfriamento passa pelo lado interno da pá. A pá é de uma
superliga resistente a altas temperaturas, como o Inconel (kin = 25 W / m.K), e uma cerâmica, como
a zircônia (kzr = 1,3 W/ m.K), é utilizada como TBC. Considere condições nas quais os gases
quentes a T∞,e = 1700K e o ar a T∞,i = 400 K fornecem coeficientes de convecção nas superfícies
externa e interna de he = 1000 W/m2
.K e hi = 500 W/m2
.K, respectivamente.
Caso um TBC à base de zircônia, com 0,5 mm de espessura, for fixado sobre a parede de uma pá
de Inconel com 5 mm de espessura, por meio de um adesivo metálico, com resistência térmica
interfacial de R’’t,c = 10-4
m2
.K/W, deseja-se saber se o Inconel pode ser mantido a uma temperatura
inferior a 1250 K. Os efeitos da radiação podem ser desprezados, e a pá da turbina pode ser
aproximada como uma parede plana. Represente graficamente a distribuição de temperatura com e
sem o TBC. Existem limites para a espessura do TBC?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.23
33
Avaliação de uma TBC para proteção térmica de uma pá.
Determinar a máxima temperatura da pá com e sem TBC.
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em x, (3) propriedades constantes e (4)
transferência de calor por radiação desprezível nas superfícies.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.23
34
Solução (com TBC):
O fluxo de calor é dado por:
′′
Rtot = ho
−1
+ L k
( )zr
+ ′′
Rt,c + L k
( )in
+ hi
−1
′′
Rtot = 10−3
+ 3.85×10−4
+10−4
+ 2 ×10−4
+ 2 ×10−3
( )= 3,69 ×10−3
m2
⋅ K W
′′
q =
T∞,o − T∞,i
′′
Rtot
=
1700− 400
3,69 ×10−3
= 3,52 ×105
W m2
Ts,o = T∞,i + 1 hi
( )+ L k
( )in
⎡
⎣ ⎤
⎦ ′′
q = 1147K
Temperatura externa da pá:
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Exercício 3.23
35
Solução (sem TBC):
O fluxo de calor é dado por:
′′
Rtot = ho
−1
+ L k
( )In
+ hi
−1
= 3,20 × 10
−3
m
2
⋅K W
′′
q =
T∞,o − T∞,i
′′
Rtot
=
1700− 400
3,2 ×10−3
= 4,06 ×105
W m2
Ts,o = T∞,o − 1 ho
( ) ′′
q = 1293K >1250K
Temperatura externa da pá:
Quanto maior for a espessura do TBC, maior será sua temperatura e menor a sua durabilidade.
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Universidade de São Paulo
Exercício 3.62 (6 ed.)
36
Uma parede esférica composta de raio interno r1 = 0,25 m é
construída com uma camada de chumbo de raio externo
r2 = 0,30 m e uma camada de aço inoxidável AISI 302 de raio
externo r3 = 0,31 m. No seu interior há rejeitos radioativos que
geram calor a uma taxa de 5 x 105 W/m3. É proposto submergir o
recipiente em águas oceânicas que estão a T∞ = 10 oC e
propiciam um coeficiente convectivo h = 500 W/(m2.K) na
superfície externa do recipiente. Há algum problema associado à
proposta?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.62
37
Adequação de um recipiente esférico para armazenar material
radioativo no oceano.
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em r, (3) propriedades constantes (300K), (4)
resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de calor
desprezível na superfície externa.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.62
38
Propriedades: Tabela A-1, chumbo, k = 35,3W/mK e Ponto de
Fusão 601K; aço inox, k = 15,1W/mK.
Balanço de energia:
Resistências:
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Exercício 3.62
39
Taxa:
Temperatura:
Proposta adequada!
Transferência de Calor
Condução de Calor Unidimensional em
Regime Permanente com Geração Interna
Escola Politécnica da
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v. 2.4
1
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cartesianas
2
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas cilíndricas
3
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂φ
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Equação geral da condução em
coordenadas esféricas
4
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂θ
!
j + k
∂T
rsenθ ∂φ
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Condução unidimensional em regime
permanente com geração de calor e k constante
5
k
d2
T
dx2
+ !
q = 0
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
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Universidade de São Paulo
Geração interna de energia térmica
6
• Fonte (ou sorvedouro) de energia térmica – conversão a
partir de outra forma de energia;
• Fonte pode ser uniformemente distribuída.
Exemplo (aproximação) – Efeito Joule: q =
I2.Rel
∀
• Fonte pode ser não uniforme.
Exemplo – Absorção de radiação em
meio semi-transparente (parede plana):
q ∝ exp(–αx)
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Parede plana com geração
7
Equação do calor, T(x):
Regime permanente, condução
de calor unidimensional com
geração térmica uniforme.
Solução geral:
Observe que qx varia com x. Assim,
não se aplica o conceito de
resistência térmica!
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Parede plana com geração
8
Condições de contorno simétricas:
Balanço superficial:
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Sistemas radiais
9
Parede cilíndrica
Cilindro maciço
Casca esférica
Esfera maciça
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0 k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
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Sumário: equações 1D com geração
10
Parede Plana Cilindro Esfera
Equação
diferencial
Gradiente de
temperatura
Solução
Geral
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
d2
T
dx2
+ !
q = 0
dT
dx
= −
!
q
k
x + C1
dT
dr
= −
!
q
2k
r +
C1
r
dT
dr
= −
!
q
3k
r −
C1
r2
T = −
!
q
2k
x2
+ C1x + C2 T = −
!
q
4k
r2
+ C1 lnr + C2
T = −
!
q
6k
r2
+
C1
r
+ C2
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Não dá pra seguir em frente sem:
11
• Saber que o perfil de temperatura é parabólico em uma placa plana
com geração;
• Saber que no ponto de máxima ou mínima temperatura em sólido com
geração é interceptada por uma superfície que se comporta como
adiabática;
• Saber calcular o perfil de temperatura em parede composta com pelo
menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas;
• Saber aplicar o conceito de raio crítico.
• Saber esboçar o perfil de temperatura em parede composta com pelo
menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas,
respeitando os aspectos físicos relevantes.
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Universidade de São Paulo
Exercício 3.77 (6 ed.)
12
Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2L, é coberto com revestimento de
aço com espessura b. O calor gerado no interior do combustível nuclear, a uma taxa q, é
removido por um fluido a T, que se encontra em contato com uma das superfícies e é
caracterizado por um coeficiente convectivo h. A outra superfície encontra-se isolada
termicamente. O combustível e o aço possuem condutividade térmicas kc e ke,
respectivamente.
(a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas T(x) no combustível
nuclear. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros conhecidos.
(b) Esboce a distribuição de temperaturas para o sistema inteiro.
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Exercício 3.77
13
Geometria e condições de contorno de um elemento combustível
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4)
resistências de contato desprezíveis e (5) geração interna
uniforme.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.77
14
Para x = – L a superfície se comporta como adiabática:
(a) Para o elemento de combustível nuclear:
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Exercício 3.77
15
Para determinarmos C2 precisamos antes determinar TS,2 e TS,1,
o que pode ser feito pela aplicação de um balanço de energia:
Para x = L, T = TS,1:
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Exercício 3.77
16
Assim, a distribuição de temperatura para o elemento:
(b) Distribuição de temperatura:
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Exercício 3.91 (6 ed.)
17
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede
cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (kt = 57 W/m.K) encontra-
se envolto em grafite (kg = 3 W/m.K) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de
resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de T∞ = 600 K e o
coeficiente convectivo na superfície externa do grafite é h = 2000W/m2.K .
(a) Se energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustível a uma taxa de
108 W/m3, quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna e externa,
respectivamente.
(b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para alguns
valores da taxa de geração. Qual é o valor máximo permitido para essa taxa?
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Exercício 3.62
18
Determinação das temperaturas máximas em duas paredes
esféricas.
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4)
resistências de contato desprezíveis.
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Exercício 3.62
19
T2 pode ser
determinada por :
′
q =
T2 −T∞
′
Rtot
′
Rtot =
1n r3 / r2
( )
2πkg
+
1
2πr3h
= 0,0185 m⋅K/W
Taxa de geração por unidade de comprimento do elemento:
′
q = !
qπ r2
2
− r1
2
( )= 17907 W/m
Assim: T2 = ′
q ′
Rtot +T∞ = 17,907⋅0,0185+ 600K = 931K<2000K
Propriedades – Tabela A-1, Tório: Tfus = 2000 K e Tabela A-2,
Grafite: Tfus = 2300 K
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Exercício 3.62
20
T1 pode ser determinada a partir da integração de:
kt
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
r
dT
dr
= −
!
q
2kt
r2
+ C1
Integrando:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
Quais são as condições de contorno aplicáveis?
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Exercício 3.62
21
Perfil:
T = T2, r = r2
dT
dr r1
= 0
c.c.:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
dT
dr r1
= −
!
q
2kt
r +
C1
r
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
r1
= 0
C1 =
!
qr1
2
2kt
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Exercício 3.62
22
Perfil:
T = T2, r = r2
dT
dr r1
= 0
c.c.:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
T2 = −
!
q
4kt
r2
2
+ C1 lnr2 + C2
C2 = T2 +
!
q
4kt
r2
2
− C1 lnr2
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Exercício 3.62
23
Perfil:
T = T2 +
!
qr2
2
4kt
1−
r2
r2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
!
qr1
2
2kt
ln
r
r2
(a) T1
= 931K + 25K −18K = 938K<2000K
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Exercício 3.62
24
Perfil no Tório:
(b) T = T2 +
!
qr2
2
4kt
1−
r2
r2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
!
qr1
2
2kt
ln
r
r2
Note que devemos determinar novos valores de T2 em função
das outras taxas de geração interna!
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Exercício 3.62
25
Perfil na Grafite:
Podemos determinar T3 a partir de um balanço superficial na
superfície correspondente (temos um valor de T3 para cada taxa
de geração):
T r
( )=
T2 −T3
ln r2 / r3
( )
ln
r
r3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +T3
′
q =
T3 −T∞
′
Rt
′
Rt =
1
2πr3h
T3 = T∞ + ′
q ′
Rt =
= 600 +17805⋅0,00568 = 708K
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Perfis de temperatura
26
T / oC
r / mm
q = 108 W/m3
q = 3x108 W/m3
q = 5x108 W/m3
500#
700#
900#
1100#
1300#
1500#
1700#
1900#
2100#
2300#
8,0# 9,0# 10,0# 11,0# 12,0# 13,0# 14,0#
acima do permitido
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Exemplo: ablação magnética
27
A ablação térmica é uma técnica empregada no tratamento do câncer que consiste no
aquecimento do tecido atingido até uma temperatura letal. Todos as técnicas
existentes devem tratar apenas a região afetada e poupar o tecido saudável
adjacente. Uma técnica interessante utiliza pequenas esferas metálicas inseridas de
forma precisa no interior do tumor. A região é então exposta a um campo magnético
oscilante que promove o aquecimento das esferas e consequentemente do tecido. O
conceito é explicado na figura a seguir.
É necessário determinar o campo de temperatura associado à implantação de apenas
uma esfera em um meio infinito de tecido. A temperatura longe da perturbação é a
temperatura corporal interna Tb. Os demais dados são apresentados na figura.
(a) Prepare um gráfico mostrando o perfil de temperatura no interior do tumor e no
tecido;
(b) Determine a máxima temperatura e extensão da lesão em função da geração de
energia térmica na esfera. A extensão da lesão é definida como a região delimitada
pela esfera cuja temperatura é a temperatura letal, aproximadamente 50 o
C.
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Exemplo: ablação magnética
28
Te
Tumor
kt = 0,5W/mK
Campo
magnético
oscilante
Material ferromagnético
kts =10W/mK
gts = 1W
rts = 1mm
Tecido
kt = 0,5W/mK
Tb = 37oC
t = tecido;
ts = semente (“thermal seed”);
b = sangue (blood).
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Exemplo: ablação magnética
29
Deseja-se:
- Distribuição de temperatura no interior da esfera e tecido;
- Temperatura máxima no tecido e tamanho da lesão
(Tletal=50oC) em função da potência.
Hipóteses:
- Regime permanente;
- Condução de calor unidimensional;
- Sem geração de calor pelo metabolismo no tecido;
- Sem transferência de calor entre sangue e tecido.
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Exemplo: ablação magnética
30
Equação diferencial - tecido: Equação diferencial - esfera:
condições de contorno: condições de contorno:
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Exemplo: ablação magnética
31
Solução - tecido: Equação diferencial - esfera:
C3 = 0,1592K ⋅m C2 = 473K
C2 e C3 foram determinados numericamente.
d
dr
ktsr2 dTts
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′′
gtsr2
= 0
Tt =
C3
r
+ C4
Tts = −
′′′
gts
6kts
r2
+
C1
r
+ C2
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Exemplo: ablação magnética
32
Solução: temperatura em função da posição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50
75
100
125
150
175
200
225
Posição Radial / mm
Temperatura
/
o
C
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Exemplo: ablação magnética
33
Temperatura máxima
Extensão da lesão
Tmax,t =
C3
rts
+ C4
Tletal =
C3
rlesão
+ C4 ⇒ rlesão =
Tletal − C4
C3
Como variaremos a taxa de geração de energia térmica, devemos recalcular C2 e C3.
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Exemplo: ablação magnética
34
Solução: Temperatura máxima e tamanho da lesão
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Taxa de Geração [W]
Temperatura
Máxima
/
o
C
Extensão
da
Lesão
/
mm
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Universidade de São Paulo
Extra #1
35
Um aquecedor elétrico (kM = 5 W/m.K) gera energia térmica
uniformemente entre um bastão cilíndrico maciço A (k = 0,2 W/m.K,
rA = 20 mm) e um tubo concêntrico B (k = 2,0 W/m.K), de raio
interno riB = 40 mm e externo reB = 60 mm. O ambiente está a
-20 oC, sendo o coeficiente de película igual a 50 W/m2.K. Pede-se:
a) Qual a potência por unidade de comprimento a ser dissipada no
aquecedor para manter a temperatura externa em 5 oC? Qual a
potência por unidade de volume?
b) Qual a temperatura no centro do bastão A?
c) O uso de um revestimento com kR = 4 W/m.K poderia diminuir
essa potência? Com que espessura? Admitir o mesmo h.
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Universidade de São Paulo
Extra #1
36
Hipóteses:
1) Regime permanente;
2) Condução 1D na direção radial;
3) Resistências de contato desprezíveis;
4)Trans. Cal. por radiação na superfície desprezível em face da convecção;
5) Condutividades térmicas constantes;
6) Geração de calor uniforme no aquecedor.
Bastão
rA
riB
reB
aquecedor
tubo
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Extra #1
37
sendo T3 a temperatura na superfície externa.
(a) potência por unidade de comprimento (q’):
q = h.2πreBL T3 −T∞
( )⇒ ′
q = h.2πreB T3 −T∞
( )
q = 50.2π0,06 5 + 20
( )⇒ ′
q = 471W / m
(a) potência por unidade de volume (q’):
!
q =
′
q
π riB
2
− rA
2
( )
⇒ !
q =
′
q
π 0,042
− 0,022
( )
= 125.000W / m3
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Extra #1
38
perfil de temperatura no interior do aquecedor
(b) Temperatura no centro T(rA) :
T(r) =
− !
q
4k
r2
+ C1 lnr + C2
A Eq. anterior está sujeita às
seguintes condições de contorno:
dT
dr r=rA
= 0 ⇒ C1 =
!
q
2k
rA
2
T riB
( ) = T2 ⇒ C2 = 46,3o
C
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Extra #1
39
T2 foi determinado a partir da relação:
′
q =
2πkb T2 −T3
( )
ln
reB
riB
=
2π.2 T2 − 5
( )
ln
60
40
= 471⇒ T2 = 20,2o
C
Assim, o perfil no aquecedor é dado por:
T(r) =
− !
q
4k
r2
+
!
qrA
2
2k
lnr + C2
Para	o	cilindro	maciço,	dT/dt	=	0	em	sua	super7ície	externa	e	considerando	a	
eq.	 diferencial	 que	 fornece	 o	 per7il	 de	 temperatura	 neste	 domínio	 (sem	
geração	 de	 calor),	 conclui-se	 que	 a	 temperatura	 é	 constante.	 Portanto,	 a	
temperatura	no	centro	é	24,3	oC.
Com	 o	 per7il	 de	 temperatura	 no	 interior	 do	 aquecedor,	 calculamos	 a	
temperatura	em	sua	super7ície	interna:	T(rA)	=	24,3	oC
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Extra #1
40
T2 foi determinado a partir da relação:
′
q =
2πkb T2 −T3
( )
ln
reB
riB
=
2π.2 T2 − 5
( )
ln
60
40
= 471⇒ T2 = 20,2o
C
Assim, o perfil no aquecedor é dado por:
T(r) =
− !
q
4k
r2
+
!
qrA
2
2k
lnr + C2
Para	o	cilindro	maciço,	dT/dt	=	0	em	sua	super7ície	externa	e	considerando	a	
eq.	 diferencial	 que	 fornece	 o	 per7il	 de	 temperatura	 neste	 domínio	 (sem	
geração	 de	 calor),	 conclui-se	 que	 a	 temperatura	 é	 constante.	 Portanto,	 a	
temperatura	no	centro	é	24,3	oC.
Com	 o	 per7il	 de	 temperatura	 no	 interior	 do	 aquecedor,	 calculamos	 a	
temperatura	em	sua	super7ície	interna:	T(rA)	=	24,3	oC
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Universidade de São Paulo
Extra #1
41
Calculemos o raio crítico:
(b) Espessura do isolamento para diminuir a potência no aquecedor (t):
rc = kR / h = 4 / 50 = 0,08 m ou 80 mm
q’ (W/m)
r (mm)
80
471
′
q =
T3 −T∞
ln
rR
*
reB
2πkR
+
1
h2πrR
*
⇒ rR
*
= 0,11m
rR
*
A	espessura	é	do	revestimento	deve	ser	de	no	mínimo	0,11	–	0,06	m,	ou	50	mm.
Transferência de Calor
Superfícies estendidas
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 3.1
1
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Superfícies estendidas
2
—Introdução;
—Exemplos;
—Configurações de aleta;
—Aletas – análise geral;
—Condições de contorno em aletas;
—Eficiência de aletas;
—Exercícios.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
3
O que é uma Superfície Estendida?
Prolongamento de uma superfície base em que
internamente há transferência de calor por condução e
externamente por convecção na direção transversal com
temperatura superficial variável.
Qual é a aplicação mais freqüente?
A aplicação mais frequente tem por objetivo aumentar a
taxa de transferência de calor por convecção (e/ou
radiação) de um sólido para a vizinhança. Nesse caso a
superfície é chamada de aleta.
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Exemplos de superfícies estendidas
4
Colher no café
Eixo em motor elétrico
Cabo de panela
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Universidade de São Paulo
Exemplos de aletas
5
Dissipadores de calor de chips
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exemplos de aletas
6
Tubo aletado de trocador de calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exemplos de aletas
7
Trocadores de calor compactos
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Universidade de São Paulo
Exemplos de aletas
8
Aletas em seres vivos
Stegosaurus
Elefante
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Exemplos de aletas
9
Cilindros de moto
Motor elétrico
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Configuração de aleta
10
Aleta plana
Seção uniforme
Aleta plana
Seção não-uniforme
Aleta anular
Aleta piniforme
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Universidade de São Paulo
Aletas – análise geral
11
Hipóteses:
•Regime permanente;
•Condução unidimensional;
•Condutividade térmica
constante;
•Sem geração de calor;
•Radiação desprezível em
face da convecção.
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Dedução
12
Balanço de energia:
qx − qx+dx − dqconv = 0
qx − qx +
dqx
dx
dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Usando uma série de Taylor truncada:
−
d
dx
−kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Usando a lei de Fourier:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução
13
−
d
dx
−kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Chegamos em:
Podemos melhorar:
k
d
dx
Ac
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − hP T −T∞
( )= 0
k
dAc
dx
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + kAc
d2
T
dx2
− hP T −T∞
( )= 0
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Aleta de seção uniforme
14
EDO:
Define-se:
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Solução
15
Ou:
θ = C3
senh mx
( )+ C4
cosh mx
( )
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Funções hiperbólicas
16
Seno hiperbólico: Cosseno hiperbólico: Tangente hiperbólica:
Propriedades:
senh x =
ex
− e−x
2
cosh x =
ex
+ e−x
2
tanh x =
ex
− e−x
ex
+ e−x
sinh0 = 0 x → ∞, sinh x = ∞
cosh0 = 1 x → ∞, cosh x = ∞
tanh0 = 0 x → ∞, tanh x →1
sin ′
h x = cosh x cos ′
h x = sinh x
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Funções hiperbólicas
17
cosh x − y
( )= cosh x
( )cosh x
( )− senh x
( )senh y
( )
senh x − y
( )= senh x
( )cosh y
( )− senh y
( )cosh x
( )
Escola Politécnica da
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Condições de contorno possíveis
18
Na base: θ 0
( )= Tb
−T∞
≡ θb
Na ponta: A. Convecção: − kdθ / dx |x=L
= hθ L
( )
B. Adiabática: − kdθ / dx |x=L
= 0
C. Temperatura especificada: θ L
( )= θL
D. Aleta infinita (mL > 2,65): θ L
( )= 0
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Soluções
19
Caso
Condição da
extremidade (x = L)
Distribuição de temperatura (θ / θb) Taxa de transferência de calor (qa)
A Convecção
B Adiabática
C
Temperatura
prescrita
D Aleta infinita
coshm(L − x)+ (h / mk)senhm(L − x)
coshmL + (h / mk)senhmL
M
senhmL + (h / mk)coshmL
coshmL + (h / mk)senhmL
coshm(L − x)
coshmL
M tanhmL
θL /θb
( )senhmx + senhm(L − x)
senhmL
M
(coshmL −θL /θb )
senhmL
e−mx
M
m2
= hP / kAc
M = θb hPkAc
θ = T −T∞
θb = θ(0) = Tb −T∞
Escola Politécnica da
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Calor transferido pela aleta
20
Podemos calcular o calor transferido pela aleta de dois modos:
qa
= Af
∫ hθ x
( )dAs
Convecção
qa
= −kAc
dθ
dx
|x=0
Condução
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Perfis adimensionais para o caso B
21
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
22
Partimos da solução:
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
Apliquemos as condições de contorno:
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
−k
dT
dx x=L
= h TL
−T∞
( )= hθL
⇒ −k C1
mcosh mx
( )+ C2
msenh mx
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦x=L
= hθL
−km C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
23
−km C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
− C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h
km
C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
C1
h
km
senh mL
( )+ cosh mL
( )+
⎡
⎣
⎤
⎦
= −θb
senh mL
( )− h
km
θb
cosh mL
( )
C1
= −θb
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
24
Substituindo em (1):
θ = −θb
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ
θb
= −
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
senh mx
( )+ cosh mx
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )− h
km
senh mx
( )cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
25
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )− h
km
senh mx
( )cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )− senh mx
( )cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ + cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Podemos usar a relação: senh x − y
( )= senh x
( )cosh y
( )− senh y
( )cosh x
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senhm L − x
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
26
Podemos usar a relação: cosh x − y
( )= cosh x
( )cosh x
( )− senh x
( )senh y
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senhm L − x
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
θ
θb
=
coshm L − x
( )+ h
km
senhm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Nossa solução fica:
θ
θb
=
coshm L − x
( )+ h
km
senhm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
27
Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta:
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
θb
−msenhm L − x
( )− m h
km
coshm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
x=0
qa
= mkAc
θb
senhmL + h
km
coshmL
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso A
28
qa
= M
senhmL + h
km
coshmL
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Obtemos:
Escola Politécnica da
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Dedução do caso B
29
Partimos da solução:
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
Apliquemos as condições de contorno:
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
−kAc
dT
dx x=L
= 0 ⇒ C1
mcosh mL
( )+ C2
msenh mL
( )= 0
Combinando as duas condições de contorno:
⇒ C1
mcosh mL
( )+θb
msenh mL
( )= 0
⇒ C1
= −θb
tanh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso B
30
Substituindo em (1):
θ = −θb
tanh mL
( )senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ
θb
= −
senh mL
( )
cosh mL
( )
senh mx
( )+ cosh mx
( )
θ
θb
=
cosh mL
( )cosh mx
( )− senh mL
( )senh mx
( )
cosh mL
( )
θ
θb
=
coshm L − x
( )
cosh mL
( )
Nossa solução fica:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso B
31
Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta:
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
−θb
m
senhm L − x
( )
cosh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥x=0
qa
= θb
mkAc
senh mL
( )
cosh mL
( )
qa
= θb
kPkAc
tanh mL
( )
qa
= M tanhmL
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso C
32
Partimos da solução:
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
Apliquemos as condições de contorno:
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
θ x = L
( )= θL ⇒θL
= C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⇒ C1
=
θL
−θb
cosh mL
( )
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso C
33
Substituindo em (1):
θ =
θL
−θb
cosh mL
( )
senh mL
( )
senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ =
θL
senh mx
( )−θb
senh mx
( )cosh mL
( )+θb
senh mL
( )cosh mx
( )
senh mL
( )
θ =
θL
senh mx
( )+θb
senh mL
( )cosh mx
( )− senh mx
( )cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
senh mL
( )
θ
θb
=
θL
/θb
senh mx
( )+ senhm L − x
( )
senh mL
( )
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso C
34
Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta:
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
mθb
θL
/θb
cosh mx
( )− coshm L − x
( )
senh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥x=0
qa
= M
coshmL −θL
/θb
senhmL
Escola Politécnica da
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Dedução do caso D
35
Partimos da solução:
θ = C1
emx
+ C2
e−mx
Apliquemos as condições de contorno:
θ x → ∞
( )→ 0 ⇒ C1
= 0
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
e−m0
= θb
∴C2
= θb
Nossa solução fica:
θ
θb
= e−mx
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Dedução do caso D
36
Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta:
qa
= −kAc
dT
dx x=0
θ
θb
= e−mx
qa
= −kAc
−mθb
e−mx
⎡
⎣
⎤
⎦x=0
qa
= θb
mkAc
= θb
hP
kAc
kAc
qa
= θb
kAc
hP
qa
= M
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Parâmetros de desempenho
37
Efetividade =
calor transferido pela aleta
calor transferido sem a aleta
ε =
qa
hAcθb
ε =
θb hPkAc
hAcθb
ε =
Pk
hAc
aleta infinita
Efeciência =
calor transferido pela aleta
máximo calor que pode ser transferido
ηa =
qa
hAsθb
ηa =
M tanh mL
( )
hAsθb
ηa =
θb hPkAc tanh mL
( )
hPLθb
aleta adiabática
ηa =
tanh mL
( )
mL
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Eficiência de aleta
38
ηa =
tanh mLc
( )
mLc
Ap = Lct
Lc = L + t / 2
Lc = L + D / 4
Para compensar a convecção na ponta:
ht
k
ou
hD
2k
≤ 0,0625
Validade da aproximação:
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Eficiência de aleta (gráficos)
39
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Eficiência de aletas (gráficos)
40
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Circuito elétrico equivalente
41
Calor transferido pela aleta
qa = ηahAsθb
qa = ηahAs Tb − T∞
( )
Rt,a =
1
ηahAs
Rt, b =
1
hAb
Resistência introduzida pela base:
Resistência introduzida pela aleta:
Escola Politécnica da
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Circuito elétrico equivalente
42
A introdução da aleta deve diminuir a resistência à transferência de calor:
Rt,b
Rt,a
=
1
hAb
θb
qa
=
qa
hAbθb
εa =
Rt,b
Rt,a
Critério de projeto: εa ≥ 2
Escola Politécnica da
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Superfície aletada
43
Área total
At
= NAa
+ Ab
Rt, b =
1
hAb
Taxa total de transferência de calor: qt
= Nηa
hAa
θb
+ hAb
θb
Eficiência de toda a
superfície:
qt
= ηo
hAt
θb ηo
= 1−
NAa
At
1−ηa
( )
Escola Politécnica da
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Dedução da eficiência da superfície
afetada
44
qt
= Nηa
Aa
At
+
Ab
At
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ hAt
θb
Chegamos em: qt
= Nηa
hAa
θb
+ hAb
θb
qt
= Nηa
Aa
At
+
At
− NAa
At
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ hAt
θb
ηo
= 1−
NAa
At
(1−ηa
)
Escola Politécnica da
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Superfície aletada
45
Resistência térmica da
superfície:
qt
= ηo
hAt
θb
=
θb
Rt,o
Rt,o
=
1
ηo
hAt
Escola Politécnica da
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Superfície aletada
46
Resistência térmica da
superfície (com resistência
de contato):
Rt,o(c)
=
1
ηo(c)
hAt
ηo c
( ) = 1−
NAa
At
1−
ηa
C1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ C1
= 1+ηa
hAa ′′
Rt,c
/ Ac,b
( )
Escola Politécnica da
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Não dá pra seguir em frente sem:
47
• Saber identificar uma superfície estendida;
• Entender porque não podemos utilizar a equação da condução de
calor para representar um aleta unidimensional;
• Saber deduzir a equação diferencial da aleta para os casos sem
geração, com geração e fluxo de calor uniforme na superfície;
• Saber diferenciar entre as quatro condições de contorno possíveis para
a ponta da aleta, especialmente a diferença entre os casos C e D;
• Saber resolver a equação diferencial da aleta, sendo ela homogênea
ou não-homogênea;
• Saber calcular o calor perdido apela aleta para o ambiente;
• Saber aplicar o conceito de eficiência de aleta.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.105 (6 ed.)
48
Um motor recebe potência elétrica Pelec de uma linha de força e transmite potência mecânica
Pmec para uma bomba através de um eixo rotativo de condutividade térmica ke, comprimento L
e diâmetro D. O motor está montado sobre uma base quadrada com lado de comprimento W,
espessura t e condutividade térmica kb. A superfície da carcaça do motor, exposta ao ar
ambiente a T∞, possui uma área Ah e o coeficiente convectivo correspondente é hh. As
extremidades opostas do eixo estão a temperaturas de Th e T∞, e a transferência de calor do
eixo para o ar ambiente é caracterizada por um coeficiente convectivo hs. A superfície inferior
da base do motor está a T∞. Expressando o seu resultado em termos dos parâmetros
fornecidos, obtenha uma expressão para (Th – T∞). Demais dados fornecidos na figura da
próxima página.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.105
49
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional no eixo e na base, (3) propriedades constantes,
(4) resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de
calor por radiação desprezível.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.105
50
Balanço de energia:
Substituindo cada termo:
Escola Politécnica da
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Exercício 3.105
51
Combinando as expressões
anteriores
Obtemos:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.105
52
Substituindo os valores:
Poderíamos ter considerado aleta infinita?
mL = 3,87 > 2,65
Sim, poderíamos ter considerado aleta infinita.
Escola Politécnica da
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Exercício 3.105
53
Poderíamos ter desprezado a radiação? Veja que obtivemos
uma temperatura de 347,1 oC (620 K). Vamos considerar uma
emissividade de 0,8:
Não poderíamos desprezar a radiação!
Comparemos com o calor transferido por convecção:
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115 (6 ed.)
54
Uma operação de união utiliza um laser para fornecer um fluxo de calor constante, q"o,
através da superfície superior de uma fina película de plástico revestida com adesivo para ser
afixada a uma tira de metal como mostrado no esboço. A tira de metal tem uma espessura
d = 1,25 mm, e sua largura é grande em relação à do filme. As propriedades termofísicas da
tira são ρ = 7850 kg / m3, cp = 435 J / kg K e k = 60 W / m K. A resistência térmica da película
plástica de largura w1 = 40 mm é insignificante. As superfícies superior e inferior da tira
(incluindo a película plástica) experimentam uma convecção com ar a 25 oC e um coeficiente
de convecção de 10 W / m2K. A tira e a película são muito longas na direção normal da
página. Suponha que as bordas da tira de metal estão à temperatura do ar (T∞).
(a) Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na porção da tira de aço com a
película de plástico (w1 / 2 ≤ x ≤ w1 / 2).
(b) Se o fluxo de calor fornecido pelo laser for de 10.000 W / m2, determine a temperatura da
película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
55
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional
em x, (3) propriedades constantes, (4) resistências térmica da
película desprezível, (5) transferência de calor por radiação
desprezível, (6) a fita comporta-se como uma aleta infinita, (7)
todo o fluxo radiativo é absorvido pelo filme e (8) o coeficiente
convectivo é uniforme ao longo das superfícies superior e inferior.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
56
(a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2).
Balanço de energia em VC diferencial por unidade de largura:
dx
′
qx ′
qx+dx
′′
qo
dx 2hdx T −T∞
( )
⇒ ′
qx − ′
qx +
d ′
qx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q dx − 2hdx T −T∞
( )= 0
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
57
(a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2).
⇒ ′
qx − ′
qx +
d ′
qx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q dx − 2hdx T −T∞
( )= 0
−
d ′
qx
dx
+ ′′
q − 2h T −T∞
( )= 0
d
dx
k ′
Ac
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q − hrad T −T∞
( )= 0
kd
d2
T
dx2
+ ′′
q − 2h T −T∞
( )= 0
d2
T
dx2
−
2h
kd
T − T∞
( )= −
′′
q
kd
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
58
d2
T
dx2
−
2h
kd
T − T∞
( )= −
′′
q
kd
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k d
θ = T − T∞
m2
=
2h
k d
Equação homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
59
Equação homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx
Equação não-homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k d
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
m2
k d
θ1 = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
2h
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
60
Distribuição de temperatura na região 2 (x ≥ w1 / 2).
θ2
= C3
e−mx
Escola Politécnica da
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Exercício 3.115
61
Condições de contorno:
1
dT
dx x=0
= 0
2 T1 w1 / 2
( )= T2 w1 / 2
( )
3 − k
dT1
dx x=w1/2
= −k
dT2
dx x=w1/2
4 T2 → T∞ para x → ∞ ( já usamos)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
62
Condições de contorno na variável θ:
1
dθ1
dx x=0
= 0
2 θ1 w1 / 2
( )= θ2 w1 / 2
( )
3
dθ1
dx x=w1/2
=
dθ2
dx x=w1/2
4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
63
1
dθ1
dx x=0
= 0
2 θ1 w1 / 2
( )= θ2 w1 / 2
( )
3
dθ1
dx x=w1/2
=
dθ2
dx x=w1/2
4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos)
θ1 = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
2h
θ2
= C3
e−mx
⇒ C1m − C2m = 0 ⇒ C1 = C2
⇒ C1 emw1/2
+ e−mw1/2
( )+
′′
q
2h
= C3e−mw1/2
⇒ C1m emw1/2
− e−mw1/2
( )= −C3me−mw1/2
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Exercício 3.115
64
C1 emw1/2
+ e−mw1/2
( )− C3e−mw1/2
= −
′′
q
2h
C1 emw1/2
− e−mw1/2
( )+ C3e−mw1/2
= 0
Precisamos resolver o sistema linear de equações (2 x 2):
+
C1 emw1/2
( )+ C1 emw1/2
( )= −
′′
q
2h
C1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2
Escola Politécnica da
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Exercício 3.115
65
C1 emw1/2
− e−mw1/2
( )+ C3e−mw1/2
= 0
C1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2
C3 =
′′
q / 2h
2emw1/2
emw1/2
− e−mw1/2
e−mw1/2
C3 = ′′
q / 2hsenh mw1 / 2
( )
Escola Politécnica da
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Exercício 3.115
66
θ1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2
emx
+ e−mx
( )+
′′
q
2h
θ2
= ′′
q / 2hsenh mw1
/ 2
( )e−mx
Obtemos:
θ1 =
′′
q
2h
1− e−mw1/2
coshmx
( ) p / 0 ≤ x ≤
w1
2
θ2
=
′′
q
2h
senh mw1
/ 2
( )e−mx
p / x ≥
w1
2
Escola Politécnica da
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Exercício 3.115
67
(a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
θ1 =
′′
q
2h
1− e−mw1/2
coshmx
( )
′′
q
2h
=
10.000
2.10
= 500K m =
2h
k d
=
2⋅10
60⋅1,25 ×10−3
= 16,33m−1
θ1 0
( )=
′′
q
2h
1− e−mw1/2
( )= 500 1− e−16,33⋅0,02
( )= 139,3K
θ1 0
( )=
′′
q
2h
1− e−mw1/2
( )= 500 1− e−16,33⋅0,02
( )= 139,3o
C
T1 0
( )= 164,3o
C
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Exercício 3.115
68
(a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
θ1(w1 / 2) = 500 1− e−16,33w1/2
coshmw1 / 2
( )= 119,9o
C
OU
θ2
(w1
/ 2) = 500senh 16,33w1
/ 2
( )e
−16,33.w1
/2
= 119,9o
C
T1(w1 / 2) = T1(w2 / 2) = 144,9o
C
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Medidor de fluxo de calor
69
Uma fina placa de um medidor de fluxo de calor é fixada em ambos os lados em uma
carcaça mantida a Tc = 20o
C. Há uma resistência de contato entre a placa e a carcaça de
R" = 10-4
K.m2
/W. A espessura da placa é th = 1 mm e a metade do comprimento, L = 2cm.
A condutividade térmica da placa é k = 10 W/m.K. A superfície inferior da placa é isolada
termicamente e a superior está voltada para um espaço evacuado. A radiação emitida
pela superfície superior pode ser calculada usando um coeficiente de transferência de
calor por radiação calculado pela expressão h = 4εσ , em que é a temperatura média em
kelvin entre a temperatura ambiente (T∞) e a temperatura da placa. O fluxo de calor por
radiação incidente sobre a superfície superior da placa é qʹ′ = 900 W /m2
. Assuma que a
placa comporta-se como um corpo negro. O medidor de fluxo opera correlacionando a
diferença de temperatura entre o centro da placa e a carcaça.
T 3
T
1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5.
2
900 W/m
! evacuated
space
" = 2 cm
-4 2
1x10 K-m /W
#
$% = 1 mm
& = 10 W/m-K
20 C
'
(
20 C
)
'
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
70
A.Obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura da placa
em função da posição. Apresente as condições de contorno.
B.Obtenha a solução da equação diferencial sujeita às condições de contorno do
problema.
C.Esboce a distribuição de temperatura na placa e calcule a temperatura máxima.
D.Obtenha uma expressão para a curva de calibração, que relaciona o fluxo de
calor com a diferença de temperatura entre o centro e a borda da placa. Assuma
que a resistência de contato R é nula (como isso afeta as expressões obtidas
nos itens a e b?) .
1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5.
2
900 W/m
! evacuated
space
" = 2 cm
-4 2
1x10 K-m /W
#
$% = 1 mm
& = 10 W/m-K
20 C
'
(
20 C
)
'
Figure P1.7-5: Flux meter.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
71
a) Equação diferencial e condições de contorno
Hipóteses:
•Regime permanente;
•Condução unidimensional em x;
•Condutividade térmica constante;
•Sem geração interna de energia térmica;
•Sem convecção na face superior;
•Transferência de calor por radiação entre uma
pequena superfície e outra muito maior que a envolve.
Escola Politécnica da
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Medidor de fluxo de calor
72
Balanço de energia em VC diferencial
x
dx
qx
qx+dx
′′
q wdx hwdx T −T∞
( )
qx − qx +
dqx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q wdx − hwdx T −T∞
( )= 0
−
dqx
dx
+ ′′
q w − hw T −T∞
( )= 0
d
dx
kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q W − hradW T −T∞
( )= 0
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
73
Balanço de energia em VC diferencial
x d
dx
kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q W − hradW T −T∞
( )= 0
kW th
d2
T
dx2
+ ′′
q W − hradW T −T∞
( )= 0
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T −T∞
( )= −
′′
q
kth
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
74
Condições de contorno:
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T −T∞
( )= −
′′
q
kth
−k
dT
dx x=0
=
Tc −T(0)
R
dT
dx x=L
= 0
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
75
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T − T∞
( )= −
′′
q
kth
b) Solução da equação diferencial
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k ⋅th
θ = T −T∞
m2
=
h
kth
Equação homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
76
Equação não-homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
kth
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
m2
kth
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
77
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
Condições de contorno
−k
dT
dx x=0
=
Tc −T(0)
R
dθ
dx
= C1memx
− C2me−mx
−kmR C1 − C2
( )= Tc −T∞ − C1 − C2 −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
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Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
78
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
Condições de contorno
dT
dx x=L
= 0
dθ
dx
= C1memx
− C2me−mx
C1memL
− C2me−mL
= 0
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Medidor de fluxo de calor
79
Condições de contorno
C1memL
− C2me−mL
= 0
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C2 = e2mL
C1
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
80
Condições de contorno
C1memL
− C2me−mL
= 0
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C2 = e2mL
C1
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C1 =
Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )+ 1+ kmR
( )e2mL
C2 =
Tc −T∞ −
′′
q
hrad
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e2mL
1− kmR
( )+ 1+ kmR
( )e2mL
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
81
h = 4εσT 3
= 6,309W
m2
K4
c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima
Coeficiente de radiação (hip. = 30oC)
T
m =
′′
qrad
kth
= 25,12m−1
C1 = −37,79o
C
C2 = −103,2o
C
θ = −37,79emx
−103,2e−mx
+
′′
q
h
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
82
c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima
T / oC
x / m
Tmax = 37,5o
C
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
83
d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
dT
dx x=L
= 0 C1memL
− C2me−mL
= 0
Condições de contorno
T (0) = Tc
Tc −T∞ = C1 + C2 +
′′
q
hrad
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
84
d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0
C1memL
− C2me−mL
= 0
Condições de contorno
Tc −T∞ = C1 + C2 +
′′
q
hrad
C1 + C2 +
′′
q
hrad
= 0
C2 = e2mL
C1
C1 = −
′′
q
h
e−mL
2coshmL
C2 = −
′′
q
h
emL
2coshmL
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
85
d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
θmax (L) =
′′
q
h
1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= Tmax −T∞
′′
q = hrad 1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−1
Tmax − T∞
( )
Linear!
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Medidor de fluxo de calor
86
d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
θmax (L) =
′′
q
h
1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= Tmax −T∞
′′
q = hrad 1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−1
Tmax − T∞
( )
Linear!
Transferência de Calor
Análise concentrada
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 1.3
1
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
2
Regime Permanente: temperatura não varia com o tempo (não há variação da energia
térmica)
1-D: T(x)
2-D: T(x,y)
3-D: T(x,y,z)
Regime Transiente ou Transitório: temperatura varia com o tempo (há variação da
energia térmica)
0-D: T(t)
1-D: T(x,t)
2-D: T(x,y,t)
Problemas 0-D são ideais para começar (resultam em uma EDO)
• objeto de interesse apresenta temperatura uniforme que varia com o tempo;
• análise concentrada.
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Experimento
3
Ti (oC)
LM35
Qual é a “cara” da função T x t ?
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Experimento
4
Ti = 25,9 oC
T∞ = 57,0 oC
T∞ = 25,9 oC
Forma esperada: T(t) = T∞ + (Ti – T∞)exp(– t / 𝝉)
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Experimento
5
T
/
o
C
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t (s)
6,3 s
5,6 s
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
6
Ti
T∞
Para um volume de controle em
torno do bloco:
dEst
dt
= ρ∀c
dT
dt
= !
Ein
− !
Eout
+ !
Eg
ρ∀c
dT
dt
= −hAs
T −T∞
( )
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Introdução
7
EDO: ρ∀c
dT
dt
= −hAs
T −T∞
( )
dθ
dt
= −
hAs
ρ∀c
θ com θ = T −T∞
dθ
θ
= −
hAs
ρ∀c
dt
dθ
θ
θi
θ
∫ = −
hAs
ρ∀c
dt
0
t
∫
ln
θ
θi
= −
hAs
ρ∀c
t
θ
θi
= e
−
hAs
ρ∀c
t
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Introdução
8
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
t
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
t
RtCt
Rt
=
1
hAs
Ct
= ρ∀c
em termos de uma constante de tempo:
θ
θi
=
T − T∞
Ti
− T∞
= e
−
t
τ
τ = Rt
Ct
=
ρ∀c
hAs
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Introdução
9
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
t
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Constante de tempo
10
O cálculo da constante de tempo fornece “insight” sobre o
comportamento do sistema.
A constante de tempo é, aproximadamente, o tempo requerido
para que o sistema responda a uma mudança no ambiente.
Sem resolver o problema é possível compreender,
aproximadamente, como o objeto comporta-se em resposta a
diversos estímulos.
Por exemplo, para um degrau positivo na temperatura
ambiente, a constante é o tempo necessário para que o objeto
atinja 67 % da sua temperatura em regime permanente.
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Constante de tempo
11
Time
Temperature
object temperature
ambient temperature
!
temperatura ambiente
temperatura do objeto
Temperatura
Tempo
t
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Medição da temperatura de um fluido
12
Time
Temperature
object temperature
ambient temperature
temperatura ambiente
temperatura do sensor
Temperatura
Tempo
τ << período do oscilação
Time
Temperature
object
temperature
ambient temperature
Tempo
temperatura
do sensor
temperatura ambiente
Temperatura
τ >> período do oscilação
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Validade do método
13
Balanço de energia superficial:
qcond
= qconv
kA
L
Ts,1
−Ts,2
( )= hA Ts,2
−T∞
( )
Bi =
Ts,1
−Ts,2
Ts,2
−T∞
=
L
kA
1
hA
=
Rt,cond
Rt,conv
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Biot e os meteoritos
14
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Validade do método
15
Bi =
hL
k
<<1
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Análise Geral
16
dEst
dt
= ρ∀c
dT
dt
= !
Ein
− !
Eout
+ !
Eg
Balanço de energia:
Obtemos:
ρ∀c
dT
dt
= ′′
qs
As,h
− h T −T∞
( )− εσ T4 −Tsur
4
( )
⎡
⎣
⎤
⎦ As,(c,r)
+ !
Eg
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Caso particular: apenas radiação
17
Integrando:
ρ∀c
dT
dt
= −εσ As
T4 −Tsur
4
( )
εσ As
ρ∀c
dt
0
t
∫ =
dT
Tsur
4 −T4
Ti
T
∫
t =
ρ∀c
4εσ As
Tsur
3
ln
Tsur
+T
Tsur
−T
− ln
Tsur
+Ti
Tsur
−Ti
+ 2 arctan
T
Tsur
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − arctan
Ti
Tsur
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
obtém-se:
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Caso particular: radiação desprezível
18
mudança
de variável:
θ ≡ T −T∞
ρ∀c
dT
dt
= ′′
qs
As,h
− hAs,c
T −T∞
( )+ !
Eg
a = hAs,c
/ ρ∀c
b = ′′
qs
As,h
+ !
Eg
( )/ ρ∀c
dT
dt
= −a T −T∞
( )+ b
mudança
de variável:
dθ
dt
= −aθ + b
mudança
de variável: ′
θ ≡ θ −
b
a
d ′
θ
dt
= −a ′
θ
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19
integrando
d ′
θ
dt
= −a ′
θ
′
θ
′
θi
= e−at
θ −
b
a
θi
−
b
a
= e−at
θ = θi
e−at +
b
a
1− e−at
( )
θ
θi
= e−at +
b
a
1− e−at
( )/θi
T −T∞
Ti
−T∞
= e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( )
a =
hAs,c
ρ∀c
b =
′′
qs
As,h
+ !
Eg
ρ∀c
Caso particular: radiação desprezível
Escola Politécnica da
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20
T −T∞
Ti
−T∞
= e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( ) a =
hAs,c
ρ∀c
b =
′′
qs
As,h
+ !
Eg
ρ∀c
Caso particular: radiação desprezível
Vamos determinar a temperatura de equilíbrio (Tf):
Tf
−T∞
Ti
−T∞
= lim
t→∞
e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( )
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
0 1
Tf
−T∞
Ti
−T∞
=
b / a
Ti
−T∞
Tf
= T∞
+
b
a
Tf
= T∞
+
′′
qs
As,h
+ !
Eg
hAs,c
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Situação original
21
Radiação desprezível e
sem termos fonte: h >> hr
, !
Eg
= 0, ′′
qs
= 0
θ
θi
=
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t
= e
−
t
τ
Calor total transferido: ΔEst
= −Q = − !
Eout
0
t
∫ dt
ΔEst
= −hAs
θ dt
0
t
∫
ΔEst
= ρ∀c
( ) T∞
−Ti
( ) 1− e
−
t
τ
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
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Na forma adimensional
22
θ
θi
=
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t T −T∞
Ti −T∞
= e
−
h
ρLcc
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t
Lc =
∀
As
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hLc
k
kt
Lc
2
ρc
T −T∞
Ti −T∞
= e−Bi⋅Fo
número de Biot: Bi =
hLc
k
número de Fourier: Fo =
αt
Lc
2
α =
k
ρc
Difusividade
térmica:
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Validade do método
23
Lc =
∀
As
vimos que Bi << 1 Bi =
hLc
k
vamos adotar Bi < 0,1 como critério!
Para uma placa de espessura 2L: Lc =
2LAs
2As
= L
Para um cilindro de raio r: Lc =
πr2L
2πrL
=
r
2
Para uma esfera de raio r: Lc =
4 / 3πr3
4πr2
=
r
3
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Universidade de São Paulo
Não dá pra seguir em frente sem:
24
• Saber escrever um balanço de energia para um problema
transitório;
• Entender o significado do número de Biot;
• Saber calcular o número de Biot para geometrias comuns;
• Saber identificar se o método da análise concentrada se aplica a um
problema;
• Entender o significado da constante de tempo de um sistema de 1a
ordem;
• Saber calcular o calor transferido / armazenado;
• Saber modelar a presença de finas camadas de revestimento (conceito
de coeficiente global de transferência de calor.
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Exemplo do picolé
25
a) Caixas de picolés de fruta foram removidos de um armazém frigorífico
para transporte em caminhão refrigerado. Durante o procedimento
algumas caixas caíram, derrubando os picolés no chão da doca. Até que
os picolés fossem recolhidos, passaram-se 5 min. Os picolés têm formato
aproximadamente cilíndrico e são embalados com papel. Admitida que
durante esse período eles ficaram expostos à convecção, transferindo
calor apenas com o ar ambiente da doca. Determine a temperatura
máxima atingida no picolé.
b) Quanto de energia por picolé deve ser removida pelo refrigerador do
caminhão para que o sorvete retorne ao estado inicial?
c) Por quanto tempo o sorvete pode permanecer na doca antes de
começar a derreter?
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  • 1. Transferência de Calor Introdução à Transferência de Calor Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 2.6 1
  • 2. • Introdução; • Mecanismos de transferência de calor; Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Sumário • Identificação de processos; • Balanços de energia. 2
  • 3. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução Quais são as habilidades necessárias a um "Engenheiro de Transferência de Calor”? •Aquecer, resfriar e isolar; 3 •Modelar e simular; •Selecionar materiais; •Medir: temperatura e fluxo de calor; •Controlar: temperatura, taxa de aquecimento ou refrigeração, gradiente de temperatura.
  • 4. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo O começo... 4 ?
  • 5. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo O começo... 5
  • 6. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resfriamento de componentes eletrônicos 6
  • 7. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 7 Resfriamento de componentes eletrônicos
  • 8. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 8 Processos de fabricação Extrusão
  • 9. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 9 Processos de fabricação Fundição
  • 10. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 10 Resfriamento de MCI
  • 11. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 11 Ablação térmica a laser
  • 12. 12 Traje espacial Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
  • 13. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Atividade & Projeto #1 •Objetivo: medir a temperatura do ar da sala 13 10 mV / oC ⟹ 100 oC / V Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate Vamos usar um circuito integrado (LM 35Z) com exatidão de ±¼°C a temperatura ambiente, sem a necessidade de calibração.
  • 14. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala •Configuração do LM 35: 14 Fonte: datasheet do LM35 •Montagem do LM 35:
  • 15. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo •Montagem do LM 35: 15 // temperature_lm35.ino - measure temperature (Celsius) with LM35 and print it // (c) BotBook.com - Karvinen, Karvinen, Valtokari int lmPin = A0; void setup() { Serial.begin(115200); pinMode(lmPin, INPUT); } float tempC() { float raw = analogRead(lmPin); // <1> float percent = raw/1023.0; // <2> float volts = percent*5.0; // <3> return 100.0*volts; // <4> return raw; } void loop() { Serial.println(tempC()); delay(200); // ms } •Código em C++: Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala
  • 16. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Vamos realizar a medição! 16 Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala
  • 17. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Perguntas: 17 Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala •Estamos medindo a temperatura do ar da sala? •Qual temperatura estamos medindo então? •Como é a resposta dinâmica do sensor? •Qual a relação do processo de medição com transferência de calor? •Quais fatores interferem no valor medido?
  • 18. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo •Antigos termômetros de rua: 18 Situação similar
  • 19. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Vamos aplicar um balanço de energia em regime permanente considerando o LM35 como o sistema: 19 balanço de energia: Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala dE dt = ! Q − ! W ! Q = ! W Q W
  • 20. Tviz Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor: 20 TLM Tar qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0 qconv qrad Pdiss balanço de energia: Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala qcond
  • 21. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução O que é Transferência de Calor? O que é Energia Térmica? Trânsito de energia térmica ocasionado por uma diferença de temperatura. Aquela associada à translação, rotação, vibração e estado eletrônico dos átomos e moléculas que compõe a matéria. Representa o efeito cumulativo das atividades microscópicas e está diretamente ligada à temperatura. Existe redundância no termo Transferência de Calor? Sim. 21
  • 22. Mecanismos de transferência de calor Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Mecanismos Condução – transferência em sólidos ou líquidos estacionários devido ao movimento aleatório de átomos, moléculas e/ou elétrons constituintes; Convecção – transferência devido ao efeito combinado do movimento global e aleatório de um fluido sobre uma superfície; Radiação – energia emitida pela matéria devido a mudanças na configuração de seus elétrons e transportada por ondas eletromagnéticas (ou fótons). 22
  • 23. Mecanismos de transferência de calor Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condução Convecção Radiação 23
  • 24. sólido Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condução T1 T2 q A L Lei de Fourier: ou k - Condutividade térmica Joseph Fourier (1768-1830) ′′ q = −k ΔT L = −k T2 − T1 L Fluxo de calor Taxa de transferência de calor q 24
  • 25. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condutividade térmica Material k, W/(m.K) Cobre 401 Alumínio 240 Ferro 80,2 Aço (AISI 1010) 63,9 Aço inox (AISI 304) 14,9 Vidro 1,4 Tijolo, comum 0,72 Solo 0,52 Pele 0,50 Tijolo refratário (Si) 0,25 Ar 0,0263 Condutividade térmica de alguns materiais a temperatura ambiente Material k, W/(m.K) Fibra de vidro (placa) 0,058 Placa de fibra mineral 0,049 Fibra de vidro (manta) 0,038 Poliestireno, expandido 0,027 Uretana, espuma 0,026 Materiais em camadas, Folhas de alumínio, 0,0016 vácuo Fonte: Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, 6a ed., Rio de Janeiro, LTC, 2008. 25
  • 26. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Convecção A,Ts Fluido,T∞ Lei de Newton do resfriamento: ou h Coeficiente de transferência de calor por convecção Isaac Newton (1643-1727) Placa aquecida fluido Ts > T∞ q 26
  • 27. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Convecção Convecção Natural Quente Quente Convecção Mista gravidade Convecção Forçada Frio 27
  • 28. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Convecção Valores típicos de coeficiente de transferência de calor por convecção Processo h, W/(m2K) Convecção natural Gases 2 – 25 Líquidos 50 – 1.000 Convecção forçada Gases 10 – 300 Líquidos 100 – 2.000 Convecção com mudança de fase Ebulição e condensação 2.500 – 100.000 28
  • 29. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Radiação Stefan-Boltzmann: corpo negro ou σ Constante de Stefan-Boltzmann 5,67x10-8 W/m2K4 Joseph Stefan (1835-1893) Ludwig Boltzmann (1844-1903) 29
  • 30. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Radiação Branco 1200oC Amarelo 1000oC Laranja 900oC Vermelho 680oC Vermelho escuro 550oC Cores de superfícies metálicas aquecidas 30
  • 31. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Radiação Transferência de calor entre uma pequena e uma grande superfície envolvente: Emissividade: ε Absortividade: α Ts Tviz 31 Poder emissivo (W/m2): E = εσTs 4 ′′ qrad = εσTs 4 −ασTviz 4 Corpo cinza: ε = α Irradiância (W/m2): G = ασTviz 4
  • 32. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Radiação Muitas vezes é conveniente fazer: 32 qrad = hr A Ts −Tsup ( ) Sendo hr o coeficiente linearizado de transferência de calor por convecção: hr = εσ Ts +Tsup ( ) Ts 2 +Tsup 2 ( ) Quando Tsup ≃ Tviz, podemos escrever: hr = 4εσT 3 , T = Tsup +Tviz 2
  • 33. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Radiação Superfície ε Alumínio anodizado 0,82 Alumínio polido 0,04 Concreto 0,90 Vidro 0,88 Tinta branca, acrílica 0,90 Tinta preta, Parsons 0,98 Emissividade normal de algumas superfícies a temperatura ambiente Superfície α Alumínio anodizado 0,14 Alumínio polido 0,09 Concreto 0,60 Vidro* (transmissividade) 0,88 Tinta branca, acrílica 0,26 Tinta preta, Parsons 0,98 Propriedades radiativas solares * 2 a 3 mm de espessura - vidro comum ou temperado 33
  • 34. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Balanço de energia superficial Serve para determinação da temperatura da superfície: 0 (volume de controle sem massa) 0 EXEMPLO #5: vizinhança Superfície de controle 34
  • 35. Tviz Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor: 35 TLM Tar qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0 qconv qrad Pdiss balanço de energia: εσ As Tviz 4 −TLM 4 ( )− hAs TLM −Tar ( )+ Pdiss = 0 Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala qcond
  • 36. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 36 Tviz TLM Tar qconv qrad Pdiss εσ As Tviz 4 −TLM 4 ( )− hAs TLM −Tar ( )+ Pdiss = 0 Tar = TLM − εσ As Tviz 4 −TLM 4 ( )+ Pdiss hAs Como podemos melhorar nossa medida? Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala ⇒ ΔT = εσ As Tviz 4 −TLM 4 ( )+ Pdiss hAs
  • 37. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 37 Como podemos melhorar nossa medida? Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala εσ As Tviz 4 −TLM 4 ( )− hAs TLM −Tar ( )+ Pdiss = 0 hr As Tviz −TLM ( )− hAs TLM −Tar ( )+ Pdiss = 0 Tar = hr + h ( ) h TLM − hr h Tviz − Pdiss hAs <0,1 oC (datasheet)
  • 38. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 38 Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala Tar = hr + h ( ) h TLM − hr h Tviz − Pdiss hAs <0,1 oC (datasheet) hr = εσ TLM +Tviz ( ) TLM 2 +Tviz 2 ( ) ε = 1 σ = 5,67 ×10−8 W / m2 K4 TLM = 25o C 15o C ≤ Tviz ≤ 35o C ⇒ 5,72 ≤ hr ≤ 6,32W / m2 K
  • 39. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 39 Atividade 1: Medição de temperatura do ar da sala Tar = hr + h ( ) h TLM − hr h Tviz − 0,1 TLM = 25o C Tviz = 35o C hr = 6,32W / m2 K 2 ≤ h ≤ 300W / m2 K ⇒ −6,70 ≤ Tar ≤ 24,69o C
  • 40. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ex. 1: Identificação de processos qconv,1 água Al qconv,2 qconv,1 = convecção forçada da chama para o fundo da panela; qcond,1 qcond,1 = condução através do fundo de alumínio da panela; qconv,2 = convecção natural do fundo da panela para a água. •Aquecendo água em uma panela 40
  • 41. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ex. 2: Identificação de processos •Cozinhando ovos qconv,1 qconv,1 = convecção forçada da água para a superfície do ovo; qcond = condução através da casca do ovo; qcond qconv,2 = convecção natural no interior do ovo? (no final por condução). 41
  • 42. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ex. 3: Identificação de processos •Carne na brasa qconv,1 qconv,1 = convecção mista da superfície superior para os gases; qconv,2 qconv,2 = convecção forçada dos gases para a superfície inferior; qrad,1 qrad,1 = radiação (líquida) entre a vizinhança e a superfície inferior; qrad,2 qrad,2 = radiação (líquida) entre a superfície inferior e a vizinhança. 42
  • 43. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ex. 4: Identificação de processos •Rinoceronte na savana Radiação solar direta Partículas Radiação espalhada Vento Radiação refletida Radiação refletida Radiação emitida Radiação emitida pela atmosfera Radiação emitida pela vegetação Radiação emitida pela solo Evaporação Condução 43
  • 44. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Balanços de energia Balanço de energia térmica para volume de controle: para um instante de tempo VC Ein Eg Eac Eout •Durante um intervalo de tempo (ΔT) ˙ Ein Taxa com que energia térmica/mecânica entra no volume de controle; ˙ Eout Taxa com que energia térmica/mecânica sai no volume de controle; ˙ Eg Taxa com que energia térmica é gerada no volume de controle a partir da conversão de outra forma de energia (elétrica, química ou nuclear); ˙ Eac Taxa de acúmulo de energia térmica no volume de controle. 44
  • 45. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ex. 6: Balanço superficial Reentrada na atmosfera de nave espacial Base Material ablativo qrad qconv qcond qsublimação 45
  • 46. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício Processamento de “wafer”de silício Hipóteses: •Temperatura uniforme na placa; •Temperaturas uniformes em cada zona; •T.C. por radiação entre uma pequena e uma grande envoltória; •Perda de calor pequena pela base. Determinar: A taxa inicial de variação da temperatura e a temperatura em regime permanente. 46
  • 47. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício • Esquema: Análise: 47 – –
  • 48. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 48 • Saber identificar os mecanismos de transferência de calor relevantes ao problema; • Memorizar e saber aplicar a Lei de Fourier, a Lei de Newton do Resfriamento e a Lei de Stefan-Boltzmann; • Memorizar a ordem de grandeza da condutividade térmica das categorias de materiais, do coeficiente de transferência de calor por convecção e da emissividade e absortividade de superfícies; • Saber linearizar a transferência de calor por radiação, usando o conceito de coeficiente de transferência de calor por radiação; • Saber aplicar balanços de energia em regime permanente e transitório; • Saber aplicar um balanço de energia superficial com o intuito de determinar a temperatura de uma superfície.
  • 49. Transferência de Calor Introdução à Condução de Calor Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 2.4 1
  • 50. Tviz Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Calibração do termômetro •Na aula anterior buscamos medir a temperatura do ar: 2 TLM Tar Como nos certificamos que o transdutor funciona adequadamente? Devemos comparar com uma temperatura “conhecida" e eventualmente calibrar o transdutor se necessário.
  • 51. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo ITS 90 3 e-H2 TP –259.3467 13.8033 e-H2 VP –256.15 17 e-H2 VP –252.85 20.3 Ne TP –248.5939 24.5561 O2 TP –218.7916 54.3584 Ar TP –189.3442 83.8058 Hg TP –38.8344 234.3156 H2 O TP 0.01 273.16 Ga MP 29.7646 302.9146 In FP 156.5985 429.7485 Sn FP 231.928 505.078 Zn FP 419.527 692.677 Al FP 660.323 933.473 Ag FP 961.78 1234.93 t90 °C T90 K H y d r o g e n T r i p l e P o i n t S i l v e r F r e e z i n g P o i n t A l u m i n u m F r e e z i n g P o i n t H y d r o g e n V a p o r P r e s s u r e H y d r o g e n V a p o r P r e s s u r e N e o n T r i p l e P o i n t O x y g e n T r i p l e P o i n t A r g o n T r i p l e P o i n t M e r c u r y T r i p l e P o i n t W a t e r T r i p l e P o i n t G a l l i u m M e l t i n g P o i n t I n d i u m F r e e z i n g P o i n t T i n F r e e z i n g P o i n t Z i n c F r e e z i n g P o i n t Capsule SPRT Long Stem SPRT G o l d F r e e z i n g P o i n t C o p p e r F r e e z i n g P o i n t Au FP 1064.18 1337.33 Cu FP 1084.62 1357.77 Suitable interpolation thermometer range ITS-90 subrange Calibration points Subrange 1 Subrange 2 Subrange 3 5 11 Subrange 10 Subrange 9 Subrange 8 Subrange 7 Subrange 6 Subrange 4 Radiation Thermometer High Temperature SPRT
  • 52. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Célula de ponto triplo (H2O) 4 TPT = 0,01 oC vapor água gelo Fonte: http://www.npl.co.uk/temperature-humidity/products-services/supply-of-temperature- fixed-point-for-the-calibration-of-standard-platinum-resistance-thermometers-and-thermocouples Imperdível: https://www.youtube.com/watch?v=EkFmrWsSzgA ± 0.0001 °C!
  • 53. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Calibração do termômetro •Podemos usar um calibrador de bloco seco 5 bloco de calibração Poço de medição Medimos a temperatura em um dos poços com o nosso transdutor e a de outro poço com um instrumento padrão e comparamos as medidas. ± 0.2 °C Existe diferença de temperatura entre os poços? Como podemos avaliar? Como podemos projetor um bloco em que as variações sejam pequenas?
  • 54. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Calibração do termômetro 6 bloco de calibração Poço de medição Existe diferença de temperatura entre os poços? Como podemos avaliar a diferença? Como podemos projetar um bloco em que as variações de temperaturas sejam pequenas? Podemos projetar se formos capazes de determinar o campo de temperaturas no interior do bloco de alumínio.
  • 55. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Lei de Fourier 7 O que é a Lei de Fourier? Qual é sua forma geral? Equação que permite o cálculo do fluxo de calor por condução a partir do conhecimento da distribuição de temperatura no meio. Então o fluxo de calor é um vetor? Sim, pois o gradiente de temperatura também é um vetor. ′′ ! q = −k∇T = −k ∂T ∂x , ∂T ∂y , ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Qual o significado do sinal negativo na expressão acima ? Ele indica que o fluxo de calor é da superfície de maior para a de menor temperatura, isto é, contrário ao do gradiente.
  • 56. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução e coordenadas cartesianas 8 Lei de Fourier: Partimos de um volume de controle diferencial: ′′ q → = − k ∂T ∂x ! i + k ∂T ∂y ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 57. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução e coordenadas cartesianas 9 Balanço de energia: qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + ! Eg = ! Est ! Eg = ! qdxdydz ! Est = ρcp ∂T ∂t dxdydz Expansão em série de Taylor: qx+dx = qx + ∂qx ∂x dx + ∂2 qx ∂x2 dx 2! 2 + ∂3 qx ∂x3 dx 3! 3 +....
  • 58. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução e coordenadas cartesianas 10 Balanço de energia: qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + ! qdxdydz = ρcp ∂T ∂t dxdydz (1) Expansão em série de Taylor: qx+dx = qx + ∂qx ∂x dx + ∂2 qx ∂x2 dx 2! 2 + ∂3 qx ∂x3 dx 3! 3 +.... No limite desprezamos os termos de ordem superior: qx+dx = qx + ∂qx ∂x dx (2)
  • 59. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução e coordenadas cartesianas 11 Substituindo 2 em 1, e aplicando o mesmo procedimento para as direções x e y: − ∂qx ∂x dx − ∂qy ∂y dy − ∂qz ∂z dz + ! qdxdydz = ρcp ∂T ∂t dxdydz (3) Aplicando a Lei de Fourier em (3): − ∂ ∂x −k ∂T ∂x dydz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dx − ∂ ∂y −k ∂T ∂y dxdz ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dy − ∂ ∂z −k ∂T ∂z dxdy ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dz + + ! qdxdydz = ρcp ∂T ∂t dxdydz Dividindo pelo volume, obtém-se: ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q= ρcp ∂T ∂t
  • 60. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cartesianas 12 Chegamos em: ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t O que significa cada termo na equação acima? Taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de um volume de controle unitário; Taxa volumétrica de geração de energia térmica; Taxa de variação da energia térmica acumulada no interior do volume de controle. Faça a análise dimensional de cada um dos termos da equação anterior!
  • 61. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cartesianas 13 ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Observações: Trata-se de uma equação diferencial parcial de segunda ordem no espaço e primeira ordem no tempo; Para sua solução precisamos de duas condições de contorno para cada direção; Para sua solução precisamos, adicionalmente, de uma condição inicial.
  • 62. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cilíndricas 14 1 r ∂ ∂r kr ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Deduza a expressão anterior a título de exercício! Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂φ ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 63. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas esféricas 15 1 r2 ∂ ∂r kr2 ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 sen2 θ ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 senθ ∂ ∂θ k sinθ ∂T ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Deduza a expressão anterior a título de exercício! Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂θ ! j + k ∂T rsenθ ∂φ ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 64. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Tipos de condição de contorno 16 Temperatura superficial constante T 0,t ( )= Ts −k ∂T ∂x x=0 = ′′ qs Fluxo de calor constante ∂T ∂x x=0 = 0 Superfície adiabática −k ∂T ∂x x=0 = h T∞ −T 0,t ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ Convecção na superfície
  • 65. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas 17 Condutividade térmica: medida da habilidade do material em transferir energia térmica por condução. Difusividade térmica: medida da habilidade de uma material em responder a mudanças no ambiente térmico. Tabela de propriedades: Sólidos: Tabelas A.1 – A.3 Gases: Tabelas A.4 Líquidos: Tabelas A.5 – A.7
  • 66. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas de alguns metais sólidos (Tab. A.1) k cp = 26,6 x 10–6
  • 67. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas de alguns isolantes (Tab. A.3)
  • 68. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas de gases (Tab. A.4) = 57,3 x 10–3
  • 69. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas de líquidos saturados (Tab. A.5)
  • 70. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Propriedades termofísicas da água saturada (Tab. A.6)
  • 71. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Forma enxuta 23 Podemos escrever a expressão abaixo de uma forma mais enxuta: ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t ∇⋅ k∇T ( )+ ! q = ρcp ∂T ∂t Qual a vantagem de escrevermos a equação nesse formato? A equação fica independente do sistema de coordenadas! ou div⋅ kgradT ( )+ ! q = ρcp ∂T ∂t
  • 72. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Quadro resumo: operador nabla 24 Em coordenadas cartesianas: ! ∇ = ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Em coordenadas cilíndricas: ! ∇ = ∂ ∂r , 1 r ∂ ∂φ , ∂ ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Em coordenadas esféricas: ou ! ∇ = ∂ ∂x ! i + ∂ ∂y ! j + ∂ ∂z ! z ou ! ∇ = ∂ ∂r ! i + 1 r ∂ ∂φ ! j + ∂ ∂z ! k ! ∇ = ∂ ∂r , 1 r ∂ ∂θ , 1 rsenθ ∂ ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ! ∇ = ∂ ∂r ! i + 1 r ∂ ∂θ ! j + 1 rsenθ ∂ ∂φ ! k ou
  • 73. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Quadro resumo: operações com o vetor nabla (Cartesiano) 25 Divergente: ! ∇⋅ ! v = ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ u,v,w ( )= ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z Gradiente: ! ∇T = ∂T ∂x , ∂T ∂y , ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Rotacional: ! ∇ × ! v = ! i ! j ! k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z u v w = ∂w ∂y − ∂v ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ! i − ∂w ∂x − ∂u ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ! j + ∂v ∂x − ∂u ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ! k
  • 74. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução – casos particulares 26 Em coordenadas cartesianas: ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Condutividade térmica constante: k ∂2 T ∂x2 + ∂2 T ∂y2 + ∂2 T ∂z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Em uma forma mais enxuta: k ∇2 T ( )+ ! q = ρcp ∂T ∂t
  • 75. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução – casos particulares 27 Condutividade térmica constante: k ∂2 T ∂x2 + ∂2 T ∂y2 + ∂2 T ∂z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Condução unidimensional em x: k ∂2 T ∂x2 + ! q = ρcp ∂T ∂t
  • 76. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução – casos particulares 28 Condução unidimensional em x: k ∂2 T ∂x2 + ! q = ρcp ∂T ∂t Condução unidimensional, em regime permanente e sem geração de calor: d2 T dx2 = 0 A integração revela um perfil linear: T x ( )= ax + b As constantes são determinadas pelas condições de contorno.
  • 77. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 29 • Saber deduzir a equação da condução de calor em coordenadas cartesianas e cilíndricas; • Entender o significado de cada um dos termos que aparece na equação da condução de calor; • Entender os tipos de condição de contorno e sob quais condições práticas podem ser representadas por cada uma das condições; • Saber escrever a equação da condução em termos do operador nabla; • Saber simplificar as equações para o caso de meio isotrópico, regime permanente e condução unidimensional.
  • 78. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2.28 (6 ed.) 30 Um material semitransparente, com condutividade térmica k e espessura L, quando exposto à radiação laser, apresenta, em regime permanente, a seguinte distribuição de temperatura: em que A, B e C são constantes conhecidas. Para essa situação, a absorção de radiação no material é representada por um termo de geração de calor distribuída. (a) Obtenha expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies superior e inferior. (b) Deduda uma expressão para q(x). (c) Desenvolva uma expressão para a taxa de radiação absorvida em todo o material, por unidade de área superficial. Expresse seu resultado em termos das constantes conhecidas para a distribuição de temperatura, a condutividade térmica do material e sua espessura. T x ( )= − A ka2 e−ax + Bx + C
  • 79. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2.28 31 Distribuição de temperatura em um meio semi-transparente sujeito a um fluxo radiativo Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4) toda a radiação é absorvida e pode ser representada por uma geração interna.
  • 80. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2.28 32 (a) Fluxos de calor nas faces: lei de Fourier: Superfície superior (x = 0): Superfície inferior (x = L):
  • 81. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2.28 33 (b) Geração interna Eq. geral da condução: (c) Energia absorvida Balanço de energia:
  • 82. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2.28 34 (c) Energia absorvida Por integração:
  • 83. Transferência de Calor Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente sem Geração Interna Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 2.3 1
  • 84. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cilíndricas 2 ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂x ! i + k ∂T ∂y ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 85. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cilíndricas 3 1 r ∂ ∂r kr ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂φ ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 86. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas esféricas 4 1 r2 ∂ ∂r kr2 ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 sen2 θ ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 senθ ∂ ∂θ k sinθ ∂T ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂θ ! j + k ∂T rsenθ ∂φ ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 87. • Especifique a forma apropriada da equação da condução; • Resolva-a para determinar a distribuição de temperatura; Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Metodologia da análise de condução • Aplique a Lei de Fourier para determinar o fluxo de calor. 5
  • 88. • Parede plana – descrita em coordenadas cartesianas pela coordenada x. Área transversal invariável; • Parede de tubo – condução radial (r) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Metodologia da análise de condução • Casca esférica – condução radial. Caso mais simples: regime permanente, condução de calor unidimensional sem geração térmica. 6 Situações comuns: Conseguem imaginar exemplos representativos de cada situação?
  • 89. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condução unidimensional em regime permanente sem geração de calor e k constante 7 d2 T dx2 = 0 ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t 1 r ∂ ∂r kr ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t 1 r2 ∂ ∂r kr2 ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 sen2 θ ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 senθ ∂ ∂θ k sinθ ∂T ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t 1 r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0 1 r2 d dr r2 dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0
  • 90. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede plana 8 T x ( )= ax + b T 0 ( )= Ts,1, T L ( )= Ts,2 Condições de contorno: T x ( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1 ( )x L
  • 91. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Analogia elétrica 9 T x ( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1 ( )x L Taxa de transferência de calor: qx = −kA dT dx = kA L Ts,1 −Ts,2 ( ) Podemos escrever: qx = ΔT Rcond Rcond = L kA Resistência térmica à condução:
  • 92. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Analogia elétrica 10 Note que: qx = kA L Ts,1 −Ts,2 ( ) Podemos escrever: qx = ΔT Rconv Rconv = 1 h1A Resistência térmica à convecção (lado quente): qx = h1A T∞,1 − Ts,1 ( ) qx = h2 A Ts,2 − T∞,2 ( )
  • 93. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Analogia elétrica 11 qx = T∞,1 −T∞,2 Rtot Rtot = 1 h1A + L kA + 1 h2 A
  • 94. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede composta 12 qx = T∞,1 −T∞,2 Rtot ∑ Rt = 1 h1A + LA kAA + LB kB A + LC kC A + 1 h4 A
  • 95. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Circuito térmico: radiação 13 Circuito equivalente: Tviz Tviz Com: qrad qconv Conservação da energia: qx = qrad + qconv e:
  • 96. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resistência de contato 14 Tabelas 3.1 e 3.2: valores dependem dos materiais A e B, da pressão de contato, das condicões intersticiais e do acabamento superficial. Observação:
  • 97. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resistência de contato 15
  • 98. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resistência de contato 16
  • 99. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede composta 17 Problema bidimensional! Superfícies verticais isotérmicas. Superfícies horizontais adiabáticas. Solução!
  • 100. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede cilíndrica 18 Equação do calor, T(r): Tubo: T2 T1 r1 r2 Integrando uma vez: Integrando novamente: 1 r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 0
  • 101. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede cilíndrica 19 Aplicando as condições de contorno: Perfil: Resolvendo: T(r1) = T1 e T(r) = T2 Perfil logarítmico! T2 T1 r1 r2 T r ( )= T1 −T2 ln r1 / r2 ( ) ln r r2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +T2
  • 102. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede cilíndrica 20 Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência de calor: Podemos definir resistências térmicas? ′′ qr = −k dT dr = k r ln r2 / r1 ( ) T1 −T2 ( ) ′ qr = 2πr ′′ qr = 2πk ln r2 / r1 ( ) T1 −T2 ( ) qr = 2πrL ′′ qr = 2π Lk ln r2 / r1 ( ) T1 −T2 ( )
  • 103. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede cilíndrica 21 Sim, podemos definir resistências térmicas: Note que não faz sentido R’’ t,cond Rt,cond = ln r2 / r1 ( ) 2π Lk
  • 104. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede cilíndrica composta 22
  • 105. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede esférica 23 Equação do calor, T(r): Integrando uma vez: Integrando novamente: T2 T1 r1 r2
  • 106. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede esférica 24 Aplicando as condições de contorno: T(r1) = T1 e T(r2) = T2 Resolvendo:
  • 107. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede esférica 25 Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência de calor: Podemos definir resistências térmicas?
  • 108. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede esféricas 26 Sim, podemos definir resistências térmicas: Note que não faz sentido R’ t,cond e R’’ t,cond Rt,cond = 1/ r1 ( )− 1/ r2 ( ) 4πk
  • 109. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resumo: fórmulas de resistências térmicas comuns 27 Situação Resistência Parede plana Cilindro Esfera Contato Convecção Radiação Radiação (aproximada) Rt,cond = ln rout / rin ( ) 2π Lk Rt,cond = 1/ rin ( )− 1/ rout ( ) 4πk Rconv = 1 hAc Rcond = L kAc Rc = ′′ Rc As Rrad = 1 hr Ac Rrad = 1 hr Ac hr = εσ Ts + Tviz ( ) Ts 2 + Tviz 2 ( ) hr ≈ 4εσT 3 T = Ts +Tviz 2
  • 110. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 28 • Saber que o perfil de temperatura é linear em uma placa plana sem geração e logarítmico em uma casca cilíndrica; • Saber quais são as limitações na aplicabilidade da analogia termo- elétrica; • Memorizar as expressões das resistências térmicas em coordenadas cartesianas e cilíndricas; • Memorizar ou saber inferir quais são as unidades das resistências térmicas (por área, comprimento e de contato) • Entender e aplicar o conceito de resistência térmica de contato; • Construir e resolver circuitos térmicos nos três sistemas de coordenadas valendo-se da analogia termo-elétrica; • Saber quando utilizar fontes de corrente em circuitos equivalentes.
  • 111. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.4 (6 ed.) 29 Em um processo de fabricação, um filme transparente está sendo fixado a um substrato, conforme mostrado no esquema. Para curar a fixação a uma temperatura T0, uma fonte radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor q’’ 0 (W / m2), que é totalmente absorvida pela superfície fixada. A parte posterior do substrato é mantida a T1 enquanto a superfície livre do filme é exposta ao ar a T∞, com um coeficiente de transferência de calor por convecção h. (a) Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em regime permanente. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de transferência de calor. (b) Considere as seguintes condições: T∞ = 20 oC, h = 50 W/m2.K e T1 = 30 oC. Calcule o fluxo de calor q’’ 0 necessário para manter T0 = 60 oC.
  • 112. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.4 30 Cura de um filme transparente por aquecimento radiativo com substrato e filme sujeitos a condições térmicas conhecidas Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em x, (3) propriedades constantes, (4) transferência de calor por radiação desprezível nas superfícies e (5) resistências de contato desprezíveis.
  • 113. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.4 31 Balanço de energia no nó 0: Cálculo das resistências: b)
  • 114. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.23 (6 ed.) 32 O desempenho de turbinas a gás pode ser melhorado pelo aumento da tolerância das pás aos gases quentes que deixam o combustor. Um procedimento que permite atingir temperaturas de operação mais elevadas envolve a aplicação de um revestimento de barreira térmica (TBC) sobre a superfície externa da pá, enquanto ar de resfriamento passa pelo lado interno da pá. A pá é de uma superliga resistente a altas temperaturas, como o Inconel (kin = 25 W / m.K), e uma cerâmica, como a zircônia (kzr = 1,3 W/ m.K), é utilizada como TBC. Considere condições nas quais os gases quentes a T∞,e = 1700K e o ar a T∞,i = 400 K fornecem coeficientes de convecção nas superfícies externa e interna de he = 1000 W/m2 .K e hi = 500 W/m2 .K, respectivamente. Caso um TBC à base de zircônia, com 0,5 mm de espessura, for fixado sobre a parede de uma pá de Inconel com 5 mm de espessura, por meio de um adesivo metálico, com resistência térmica interfacial de R’’t,c = 10-4 m2 .K/W, deseja-se saber se o Inconel pode ser mantido a uma temperatura inferior a 1250 K. Os efeitos da radiação podem ser desprezados, e a pá da turbina pode ser aproximada como uma parede plana. Represente graficamente a distribuição de temperatura com e sem o TBC. Existem limites para a espessura do TBC?
  • 115. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.23 33 Avaliação de uma TBC para proteção térmica de uma pá. Determinar a máxima temperatura da pá com e sem TBC. Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em x, (3) propriedades constantes e (4) transferência de calor por radiação desprezível nas superfícies.
  • 116. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.23 34 Solução (com TBC): O fluxo de calor é dado por: ′′ Rtot = ho −1 + L k ( )zr + ′′ Rt,c + L k ( )in + hi −1 ′′ Rtot = 10−3 + 3.85×10−4 +10−4 + 2 ×10−4 + 2 ×10−3 ( )= 3,69 ×10−3 m2 ⋅ K W ′′ q = T∞,o − T∞,i ′′ Rtot = 1700− 400 3,69 ×10−3 = 3,52 ×105 W m2 Ts,o = T∞,i + 1 hi ( )+ L k ( )in ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ′′ q = 1147K Temperatura externa da pá:
  • 117. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.23 35 Solução (sem TBC): O fluxo de calor é dado por: ′′ Rtot = ho −1 + L k ( )In + hi −1 = 3,20 × 10 −3 m 2 ⋅K W ′′ q = T∞,o − T∞,i ′′ Rtot = 1700− 400 3,2 ×10−3 = 4,06 ×105 W m2 Ts,o = T∞,o − 1 ho ( ) ′′ q = 1293K >1250K Temperatura externa da pá: Quanto maior for a espessura do TBC, maior será sua temperatura e menor a sua durabilidade.
  • 118. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 (6 ed.) 36 Uma parede esférica composta de raio interno r1 = 0,25 m é construída com uma camada de chumbo de raio externo r2 = 0,30 m e uma camada de aço inoxidável AISI 302 de raio externo r3 = 0,31 m. No seu interior há rejeitos radioativos que geram calor a uma taxa de 5 x 105 W/m3. É proposto submergir o recipiente em águas oceânicas que estão a T∞ = 10 oC e propiciam um coeficiente convectivo h = 500 W/(m2.K) na superfície externa do recipiente. Há algum problema associado à proposta?
  • 119. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 37 Adequação de um recipiente esférico para armazenar material radioativo no oceano. Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em r, (3) propriedades constantes (300K), (4) resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de calor desprezível na superfície externa.
  • 120. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 38 Propriedades: Tabela A-1, chumbo, k = 35,3W/mK e Ponto de Fusão 601K; aço inox, k = 15,1W/mK. Balanço de energia: Resistências:
  • 121. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 39 Taxa: Temperatura: Proposta adequada!
  • 122. Transferência de Calor Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente com Geração Interna Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 2.4 1
  • 123. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cartesianas 2 ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂x ! i + k ∂T ∂y ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 124. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas cilíndricas 3 1 r ∂ ∂r kr ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂φ ! j + k ∂T ∂z ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 125. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equação geral da condução em coordenadas esféricas 4 1 r2 ∂ ∂r kr2 ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 sen2 θ ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 senθ ∂ ∂θ k sinθ ∂T ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t Lei de Fourier: ′′ q → = − k ∂T ∂r ! i + k ∂T r ∂θ ! j + k ∂T rsenθ ∂φ ! k ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟
  • 126. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condução unidimensional em regime permanente com geração de calor e k constante 5 k d2 T dx2 + ! q = 0 ∂ ∂x k ∂T ∂x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂y k ∂T ∂y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t 1 r ∂ ∂r kr ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂z k ∂T ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t 1 r2 ∂ ∂r kr2 ∂T ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 sen2 θ ∂ ∂φ k ∂T ∂φ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 senθ ∂ ∂θ k sinθ ∂T ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = ρcp ∂T ∂t k r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0 k r2 d dr r2 dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0
  • 127. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Geração interna de energia térmica 6 • Fonte (ou sorvedouro) de energia térmica – conversão a partir de outra forma de energia; • Fonte pode ser uniformemente distribuída. Exemplo (aproximação) – Efeito Joule: q = I2.Rel ∀ • Fonte pode ser não uniforme. Exemplo – Absorção de radiação em meio semi-transparente (parede plana): q ∝ exp(–αx)
  • 128. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede plana com geração 7 Equação do calor, T(x): Regime permanente, condução de calor unidimensional com geração térmica uniforme. Solução geral: Observe que qx varia com x. Assim, não se aplica o conceito de resistência térmica!
  • 129. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parede plana com geração 8 Condições de contorno simétricas: Balanço superficial:
  • 130. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Sistemas radiais 9 Parede cilíndrica Cilindro maciço Casca esférica Esfera maciça k r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0 k r2 d dr r2 dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0
  • 131. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Sumário: equações 1D com geração 10 Parede Plana Cilindro Esfera Equação diferencial Gradiente de temperatura Solução Geral k r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0 k r2 d dr r2 dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0 k d2 T dx2 + ! q = 0 dT dx = − ! q k x + C1 dT dr = − ! q 2k r + C1 r dT dr = − ! q 3k r − C1 r2 T = − ! q 2k x2 + C1x + C2 T = − ! q 4k r2 + C1 lnr + C2 T = − ! q 6k r2 + C1 r + C2
  • 132. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 11 • Saber que o perfil de temperatura é parabólico em uma placa plana com geração; • Saber que no ponto de máxima ou mínima temperatura em sólido com geração é interceptada por uma superfície que se comporta como adiabática; • Saber calcular o perfil de temperatura em parede composta com pelo menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas; • Saber aplicar o conceito de raio crítico. • Saber esboçar o perfil de temperatura em parede composta com pelo menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas, respeitando os aspectos físicos relevantes.
  • 133. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.77 (6 ed.) 12 Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2L, é coberto com revestimento de aço com espessura b. O calor gerado no interior do combustível nuclear, a uma taxa q, é removido por um fluido a T, que se encontra em contato com uma das superfícies e é caracterizado por um coeficiente convectivo h. A outra superfície encontra-se isolada termicamente. O combustível e o aço possuem condutividade térmicas kc e ke, respectivamente. (a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas T(x) no combustível nuclear. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros conhecidos. (b) Esboce a distribuição de temperaturas para o sistema inteiro.
  • 134. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.77 13 Geometria e condições de contorno de um elemento combustível Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4) resistências de contato desprezíveis e (5) geração interna uniforme.
  • 135. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.77 14 Para x = – L a superfície se comporta como adiabática: (a) Para o elemento de combustível nuclear:
  • 136. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.77 15 Para determinarmos C2 precisamos antes determinar TS,2 e TS,1, o que pode ser feito pela aplicação de um balanço de energia: Para x = L, T = TS,1:
  • 137. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.77 16 Assim, a distribuição de temperatura para o elemento: (b) Distribuição de temperatura:
  • 138. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.91 (6 ed.) 17 Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (kt = 57 W/m.K) encontra- se envolto em grafite (kg = 3 W/m.K) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de T∞ = 600 K e o coeficiente convectivo na superfície externa do grafite é h = 2000W/m2.K . (a) Se energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustível a uma taxa de 108 W/m3, quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna e externa, respectivamente. (b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para alguns valores da taxa de geração. Qual é o valor máximo permitido para essa taxa?
  • 139. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 18 Determinação das temperaturas máximas em duas paredes esféricas. Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4) resistências de contato desprezíveis.
  • 140. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 19 T2 pode ser determinada por : ′ q = T2 −T∞ ′ Rtot ′ Rtot = 1n r3 / r2 ( ) 2πkg + 1 2πr3h = 0,0185 m⋅K/W Taxa de geração por unidade de comprimento do elemento: ′ q = ! qπ r2 2 − r1 2 ( )= 17907 W/m Assim: T2 = ′ q ′ Rtot +T∞ = 17,907⋅0,0185+ 600K = 931K<2000K Propriedades – Tabela A-1, Tório: Tfus = 2000 K e Tabela A-2, Grafite: Tfus = 2300 K
  • 141. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 20 T1 pode ser determinada a partir da integração de: kt r d dr r dT dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! q = 0 r dT dr = − ! q 2kt r2 + C1 Integrando: T = − ! q 4kt r2 + C1 lnr + C2 Quais são as condições de contorno aplicáveis?
  • 142. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 21 Perfil: T = T2, r = r2 dT dr r1 = 0 c.c.: T = − ! q 4kt r2 + C1 lnr + C2 dT dr r1 = − ! q 2kt r + C1 r ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ r1 = 0 C1 = ! qr1 2 2kt
  • 143. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 22 Perfil: T = T2, r = r2 dT dr r1 = 0 c.c.: T = − ! q 4kt r2 + C1 lnr + C2 T2 = − ! q 4kt r2 2 + C1 lnr2 + C2 C2 = T2 + ! q 4kt r2 2 − C1 lnr2
  • 144. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 23 Perfil: T = T2 + ! qr2 2 4kt 1− r2 r2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! qr1 2 2kt ln r r2 (a) T1 = 931K + 25K −18K = 938K<2000K
  • 145. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 24 Perfil no Tório: (b) T = T2 + ! qr2 2 4kt 1− r2 r2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ! qr1 2 2kt ln r r2 Note que devemos determinar novos valores de T2 em função das outras taxas de geração interna!
  • 146. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.62 25 Perfil na Grafite: Podemos determinar T3 a partir de um balanço superficial na superfície correspondente (temos um valor de T3 para cada taxa de geração): T r ( )= T2 −T3 ln r2 / r3 ( ) ln r r3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +T3 ′ q = T3 −T∞ ′ Rt ′ Rt = 1 2πr3h T3 = T∞ + ′ q ′ Rt = = 600 +17805⋅0,00568 = 708K
  • 147. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Perfis de temperatura 26 T / oC r / mm q = 108 W/m3 q = 3x108 W/m3 q = 5x108 W/m3 500# 700# 900# 1100# 1300# 1500# 1700# 1900# 2100# 2300# 8,0# 9,0# 10,0# 11,0# 12,0# 13,0# 14,0# acima do permitido
  • 148. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 27 A ablação térmica é uma técnica empregada no tratamento do câncer que consiste no aquecimento do tecido atingido até uma temperatura letal. Todos as técnicas existentes devem tratar apenas a região afetada e poupar o tecido saudável adjacente. Uma técnica interessante utiliza pequenas esferas metálicas inseridas de forma precisa no interior do tumor. A região é então exposta a um campo magnético oscilante que promove o aquecimento das esferas e consequentemente do tecido. O conceito é explicado na figura a seguir. É necessário determinar o campo de temperatura associado à implantação de apenas uma esfera em um meio infinito de tecido. A temperatura longe da perturbação é a temperatura corporal interna Tb. Os demais dados são apresentados na figura. (a) Prepare um gráfico mostrando o perfil de temperatura no interior do tumor e no tecido; (b) Determine a máxima temperatura e extensão da lesão em função da geração de energia térmica na esfera. A extensão da lesão é definida como a região delimitada pela esfera cuja temperatura é a temperatura letal, aproximadamente 50 o C.
  • 149. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 28 Te Tumor kt = 0,5W/mK Campo magnético oscilante Material ferromagnético kts =10W/mK gts = 1W rts = 1mm Tecido kt = 0,5W/mK Tb = 37oC t = tecido; ts = semente (“thermal seed”); b = sangue (blood).
  • 150. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 29 Deseja-se: - Distribuição de temperatura no interior da esfera e tecido; - Temperatura máxima no tecido e tamanho da lesão (Tletal=50oC) em função da potência. Hipóteses: - Regime permanente; - Condução de calor unidimensional; - Sem geração de calor pelo metabolismo no tecido; - Sem transferência de calor entre sangue e tecido.
  • 151. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 30 Equação diferencial - tecido: Equação diferencial - esfera: condições de contorno: condições de contorno:
  • 152. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 31 Solução - tecido: Equação diferencial - esfera: C3 = 0,1592K ⋅m C2 = 473K C2 e C3 foram determinados numericamente. d dr ktsr2 dTts dr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′′ gtsr2 = 0 Tt = C3 r + C4 Tts = − ′′′ gts 6kts r2 + C1 r + C2
  • 153. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 32 Solução: temperatura em função da posição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 75 100 125 150 175 200 225 Posição Radial / mm Temperatura / o C
  • 154. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 33 Temperatura máxima Extensão da lesão Tmax,t = C3 rts + C4 Tletal = C3 rlesão + C4 ⇒ rlesão = Tletal − C4 C3 Como variaremos a taxa de geração de energia térmica, devemos recalcular C2 e C3.
  • 155. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo: ablação magnética 34 Solução: Temperatura máxima e tamanho da lesão 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Taxa de Geração [W] Temperatura Máxima / o C Extensão da Lesão / mm
  • 156. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 35 Um aquecedor elétrico (kM = 5 W/m.K) gera energia térmica uniformemente entre um bastão cilíndrico maciço A (k = 0,2 W/m.K, rA = 20 mm) e um tubo concêntrico B (k = 2,0 W/m.K), de raio interno riB = 40 mm e externo reB = 60 mm. O ambiente está a -20 oC, sendo o coeficiente de película igual a 50 W/m2.K. Pede-se: a) Qual a potência por unidade de comprimento a ser dissipada no aquecedor para manter a temperatura externa em 5 oC? Qual a potência por unidade de volume? b) Qual a temperatura no centro do bastão A? c) O uso de um revestimento com kR = 4 W/m.K poderia diminuir essa potência? Com que espessura? Admitir o mesmo h.
  • 157. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 36 Hipóteses: 1) Regime permanente; 2) Condução 1D na direção radial; 3) Resistências de contato desprezíveis; 4)Trans. Cal. por radiação na superfície desprezível em face da convecção; 5) Condutividades térmicas constantes; 6) Geração de calor uniforme no aquecedor. Bastão rA riB reB aquecedor tubo
  • 158. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 37 sendo T3 a temperatura na superfície externa. (a) potência por unidade de comprimento (q’): q = h.2πreBL T3 −T∞ ( )⇒ ′ q = h.2πreB T3 −T∞ ( ) q = 50.2π0,06 5 + 20 ( )⇒ ′ q = 471W / m (a) potência por unidade de volume (q’): ! q = ′ q π riB 2 − rA 2 ( ) ⇒ ! q = ′ q π 0,042 − 0,022 ( ) = 125.000W / m3
  • 159. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 38 perfil de temperatura no interior do aquecedor (b) Temperatura no centro T(rA) : T(r) = − ! q 4k r2 + C1 lnr + C2 A Eq. anterior está sujeita às seguintes condições de contorno: dT dr r=rA = 0 ⇒ C1 = ! q 2k rA 2 T riB ( ) = T2 ⇒ C2 = 46,3o C
  • 160. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 39 T2 foi determinado a partir da relação: ′ q = 2πkb T2 −T3 ( ) ln reB riB = 2π.2 T2 − 5 ( ) ln 60 40 = 471⇒ T2 = 20,2o C Assim, o perfil no aquecedor é dado por: T(r) = − ! q 4k r2 + ! qrA 2 2k lnr + C2 Para o cilindro maciço, dT/dt = 0 em sua super7ície externa e considerando a eq. diferencial que fornece o per7il de temperatura neste domínio (sem geração de calor), conclui-se que a temperatura é constante. Portanto, a temperatura no centro é 24,3 oC. Com o per7il de temperatura no interior do aquecedor, calculamos a temperatura em sua super7ície interna: T(rA) = 24,3 oC
  • 161. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 40 T2 foi determinado a partir da relação: ′ q = 2πkb T2 −T3 ( ) ln reB riB = 2π.2 T2 − 5 ( ) ln 60 40 = 471⇒ T2 = 20,2o C Assim, o perfil no aquecedor é dado por: T(r) = − ! q 4k r2 + ! qrA 2 2k lnr + C2 Para o cilindro maciço, dT/dt = 0 em sua super7ície externa e considerando a eq. diferencial que fornece o per7il de temperatura neste domínio (sem geração de calor), conclui-se que a temperatura é constante. Portanto, a temperatura no centro é 24,3 oC. Com o per7il de temperatura no interior do aquecedor, calculamos a temperatura em sua super7ície interna: T(rA) = 24,3 oC
  • 162. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra #1 41 Calculemos o raio crítico: (b) Espessura do isolamento para diminuir a potência no aquecedor (t): rc = kR / h = 4 / 50 = 0,08 m ou 80 mm q’ (W/m) r (mm) 80 471 ′ q = T3 −T∞ ln rR * reB 2πkR + 1 h2πrR * ⇒ rR * = 0,11m rR * A espessura é do revestimento deve ser de no mínimo 0,11 – 0,06 m, ou 50 mm.
  • 163. Transferência de Calor Superfícies estendidas Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 3.1 1
  • 164. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Superfícies estendidas 2 —Introdução; —Exemplos; —Configurações de aleta; —Aletas – análise geral; —Condições de contorno em aletas; —Eficiência de aletas; —Exercícios.
  • 165. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 3 O que é uma Superfície Estendida? Prolongamento de uma superfície base em que internamente há transferência de calor por condução e externamente por convecção na direção transversal com temperatura superficial variável. Qual é a aplicação mais freqüente? A aplicação mais frequente tem por objetivo aumentar a taxa de transferência de calor por convecção (e/ou radiação) de um sólido para a vizinhança. Nesse caso a superfície é chamada de aleta.
  • 166. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de superfícies estendidas 4 Colher no café Eixo em motor elétrico Cabo de panela
  • 167. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aletas 5 Dissipadores de calor de chips
  • 168. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aletas 6 Tubo aletado de trocador de calor
  • 169. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aletas 7 Trocadores de calor compactos
  • 170. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aletas 8 Aletas em seres vivos Stegosaurus Elefante
  • 171. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aletas 9 Cilindros de moto Motor elétrico
  • 172. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Configuração de aleta 10 Aleta plana Seção uniforme Aleta plana Seção não-uniforme Aleta anular Aleta piniforme
  • 173. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Aletas – análise geral 11 Hipóteses: •Regime permanente; •Condução unidimensional; •Condutividade térmica constante; •Sem geração de calor; •Radiação desprezível em face da convecção.
  • 174. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução 12 Balanço de energia: qx − qx+dx − dqconv = 0 qx − qx + dqx dx dx − hP T −T∞ ( )dx = 0 Usando uma série de Taylor truncada: − d dx −kAc dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dx − hP T −T∞ ( )dx = 0 Usando a lei de Fourier:
  • 175. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução 13 − d dx −kAc dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ dx − hP T −T∞ ( )dx = 0 Chegamos em: Podemos melhorar: k d dx Ac dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − hP T −T∞ ( )= 0 k dAc dx dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + kAc d2 T dx2 − hP T −T∞ ( )= 0
  • 176. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Aleta de seção uniforme 14 EDO: Define-se:
  • 177. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Solução 15 Ou: θ = C3 senh mx ( )+ C4 cosh mx ( )
  • 178. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Funções hiperbólicas 16 Seno hiperbólico: Cosseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: Propriedades: senh x = ex − e−x 2 cosh x = ex + e−x 2 tanh x = ex − e−x ex + e−x sinh0 = 0 x → ∞, sinh x = ∞ cosh0 = 1 x → ∞, cosh x = ∞ tanh0 = 0 x → ∞, tanh x →1 sin ′ h x = cosh x cos ′ h x = sinh x
  • 179. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Funções hiperbólicas 17 cosh x − y ( )= cosh x ( )cosh x ( )− senh x ( )senh y ( ) senh x − y ( )= senh x ( )cosh y ( )− senh y ( )cosh x ( )
  • 180. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Condições de contorno possíveis 18 Na base: θ 0 ( )= Tb −T∞ ≡ θb Na ponta: A. Convecção: − kdθ / dx |x=L = hθ L ( ) B. Adiabática: − kdθ / dx |x=L = 0 C. Temperatura especificada: θ L ( )= θL D. Aleta infinita (mL > 2,65): θ L ( )= 0
  • 181. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Soluções 19 Caso Condição da extremidade (x = L) Distribuição de temperatura (θ / θb) Taxa de transferência de calor (qa) A Convecção B Adiabática C Temperatura prescrita D Aleta infinita coshm(L − x)+ (h / mk)senhm(L − x) coshmL + (h / mk)senhmL M senhmL + (h / mk)coshmL coshmL + (h / mk)senhmL coshm(L − x) coshmL M tanhmL θL /θb ( )senhmx + senhm(L − x) senhmL M (coshmL −θL /θb ) senhmL e−mx M m2 = hP / kAc M = θb hPkAc θ = T −T∞ θb = θ(0) = Tb −T∞
  • 182. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Calor transferido pela aleta 20 Podemos calcular o calor transferido pela aleta de dois modos: qa = Af ∫ hθ x ( )dAs Convecção qa = −kAc dθ dx |x=0 Condução
  • 183. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Perfis adimensionais para o caso B 21
  • 184. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 22 Partimos da solução: θ = C1 senh mx ( )+ C2 cosh mx ( ) (1) Apliquemos as condições de contorno: θ x = 0 ( )= θb ⇒ C2 = θb −k dT dx x=L = h TL −T∞ ( )= hθL ⇒ −k C1 mcosh mx ( )+ C2 msenh mx ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦x=L = hθL −km C1 cosh mL ( )+θb senh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = h C1 senh mL ( )+θb cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦
  • 185. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 23 −km C1 cosh mL ( )+θb senh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = h C1 senh mL ( )+θb cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ − C1 cosh mL ( )+θb senh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = h km C1 senh mL ( )+θb cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ C1 h km senh mL ( )+ cosh mL ( )+ ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −θb senh mL ( )− h km θb cosh mL ( ) C1 = −θb senh mL ( )+ h km cosh mL ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( )
  • 186. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 24 Substituindo em (1): θ = −θb senh mL ( )+ h km cosh mL ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) senh mx ( )+θb cosh mx ( ) θ θb = − senh mL ( )+ h km cosh mL ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) senh mx ( )+ cosh mx ( ) θ θb = −senh mL ( )senh mx ( )− h km senh mx ( )cosh mL ( )+ h km senh mL ( )cosh mx ( )+ cosh mL ( )cosh mx ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( )
  • 187. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 25 θ θb = −senh mL ( )senh mx ( )− h km senh mx ( )cosh mL ( )+ h km senh mL ( )cosh mx ( )+ cosh mL ( )cosh mx ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) θ θb = −senh mL ( )senh mx ( )+ h km senh mL ( )cosh mx ( )− senh mx ( )cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ + cosh mL ( )cosh mx ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) Podemos usar a relação: senh x − y ( )= senh x ( )cosh y ( )− senh y ( )cosh x ( ) θ θb = −senh mL ( )senh mx ( )+ h km senhm L − x ( )+ cosh mL ( )cosh mx ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( )
  • 188. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 26 Podemos usar a relação: cosh x − y ( )= cosh x ( )cosh x ( )− senh x ( )senh y ( ) θ θb = −senh mL ( )senh mx ( )+ h km senhm L − x ( )+ cosh mL ( )cosh mx ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) θ θb = coshm L − x ( )+ h km senhm L − x ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) Nossa solução fica: θ θb = coshm L − x ( )+ h km senhm L − x ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( )
  • 189. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 27 Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta: qa = −kAc dT dx x=0 qa = −kAc θb −msenhm L − x ( )− m h km coshm L − x ( ) cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ x=0 qa = mkAc θb senhmL + h km coshmL cosh mL ( )+ h km senh mL ( )
  • 190. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso A 28 qa = M senhmL + h km coshmL cosh mL ( )+ h km senh mL ( ) Obtemos:
  • 191. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso B 29 Partimos da solução: θ = C1 senh mx ( )+ C2 cosh mx ( ) (1) Apliquemos as condições de contorno: θ x = 0 ( )= θb ⇒ C2 = θb −kAc dT dx x=L = 0 ⇒ C1 mcosh mL ( )+ C2 msenh mL ( )= 0 Combinando as duas condições de contorno: ⇒ C1 mcosh mL ( )+θb msenh mL ( )= 0 ⇒ C1 = −θb tanh mL ( )
  • 192. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso B 30 Substituindo em (1): θ = −θb tanh mL ( )senh mx ( )+θb cosh mx ( ) θ θb = − senh mL ( ) cosh mL ( ) senh mx ( )+ cosh mx ( ) θ θb = cosh mL ( )cosh mx ( )− senh mL ( )senh mx ( ) cosh mL ( ) θ θb = coshm L − x ( ) cosh mL ( ) Nossa solução fica:
  • 193. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso B 31 Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta: qa = −kAc dT dx x=0 qa = −kAc −θb m senhm L − x ( ) cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥x=0 qa = θb mkAc senh mL ( ) cosh mL ( ) qa = θb kPkAc tanh mL ( ) qa = M tanhmL
  • 194. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso C 32 Partimos da solução: θ = C1 senh mx ( )+ C2 cosh mx ( ) (1) Apliquemos as condições de contorno: θ x = 0 ( )= θb ⇒ C2 = θb θ x = L ( )= θL ⇒θL = C1 senh mL ( )+θb cosh mL ( ) ⇒ C1 = θL −θb cosh mL ( ) senh mL ( )
  • 195. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso C 33 Substituindo em (1): θ = θL −θb cosh mL ( ) senh mL ( ) senh mx ( )+θb cosh mx ( ) θ = θL senh mx ( )−θb senh mx ( )cosh mL ( )+θb senh mL ( )cosh mx ( ) senh mL ( ) θ = θL senh mx ( )+θb senh mL ( )cosh mx ( )− senh mx ( )cosh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ senh mL ( ) θ θb = θL /θb senh mx ( )+ senhm L − x ( ) senh mL ( )
  • 196. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso C 34 Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta: qa = −kAc dT dx x=0 qa = −kAc mθb θL /θb cosh mx ( )− coshm L − x ( ) senh mL ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥x=0 qa = M coshmL −θL /θb senhmL
  • 197. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso D 35 Partimos da solução: θ = C1 emx + C2 e−mx Apliquemos as condições de contorno: θ x → ∞ ( )→ 0 ⇒ C1 = 0 θ x = 0 ( )= θb ⇒ C2 e−m0 = θb ∴C2 = θb Nossa solução fica: θ θb = e−mx
  • 198. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução do caso D 36 Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta: qa = −kAc dT dx x=0 θ θb = e−mx qa = −kAc −mθb e−mx ⎡ ⎣ ⎤ ⎦x=0 qa = θb mkAc = θb hP kAc kAc qa = θb kAc hP qa = M
  • 199. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Parâmetros de desempenho 37 Efetividade = calor transferido pela aleta calor transferido sem a aleta ε = qa hAcθb ε = θb hPkAc hAcθb ε = Pk hAc aleta infinita Efeciência = calor transferido pela aleta máximo calor que pode ser transferido ηa = qa hAsθb ηa = M tanh mL ( ) hAsθb ηa = θb hPkAc tanh mL ( ) hPLθb aleta adiabática ηa = tanh mL ( ) mL
  • 200. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Eficiência de aleta 38 ηa = tanh mLc ( ) mLc Ap = Lct Lc = L + t / 2 Lc = L + D / 4 Para compensar a convecção na ponta: ht k ou hD 2k ≤ 0,0625 Validade da aproximação:
  • 201. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Eficiência de aleta (gráficos) 39
  • 202. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Eficiência de aletas (gráficos) 40
  • 203. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Circuito elétrico equivalente 41 Calor transferido pela aleta qa = ηahAsθb qa = ηahAs Tb − T∞ ( ) Rt,a = 1 ηahAs Rt, b = 1 hAb Resistência introduzida pela base: Resistência introduzida pela aleta:
  • 204. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Circuito elétrico equivalente 42 A introdução da aleta deve diminuir a resistência à transferência de calor: Rt,b Rt,a = 1 hAb θb qa = qa hAbθb εa = Rt,b Rt,a Critério de projeto: εa ≥ 2
  • 205. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Superfície aletada 43 Área total At = NAa + Ab Rt, b = 1 hAb Taxa total de transferência de calor: qt = Nηa hAa θb + hAb θb Eficiência de toda a superfície: qt = ηo hAt θb ηo = 1− NAa At 1−ηa ( )
  • 206. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dedução da eficiência da superfície afetada 44 qt = Nηa Aa At + Ab At ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ hAt θb Chegamos em: qt = Nηa hAa θb + hAb θb qt = Nηa Aa At + At − NAa At ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ hAt θb ηo = 1− NAa At (1−ηa )
  • 207. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Superfície aletada 45 Resistência térmica da superfície: qt = ηo hAt θb = θb Rt,o Rt,o = 1 ηo hAt
  • 208. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Superfície aletada 46 Resistência térmica da superfície (com resistência de contato): Rt,o(c) = 1 ηo(c) hAt ηo c ( ) = 1− NAa At 1− ηa C1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ C1 = 1+ηa hAa ′′ Rt,c / Ac,b ( )
  • 209. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 47 • Saber identificar uma superfície estendida; • Entender porque não podemos utilizar a equação da condução de calor para representar um aleta unidimensional; • Saber deduzir a equação diferencial da aleta para os casos sem geração, com geração e fluxo de calor uniforme na superfície; • Saber diferenciar entre as quatro condições de contorno possíveis para a ponta da aleta, especialmente a diferença entre os casos C e D; • Saber resolver a equação diferencial da aleta, sendo ela homogênea ou não-homogênea; • Saber calcular o calor perdido apela aleta para o ambiente; • Saber aplicar o conceito de eficiência de aleta.
  • 210. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 (6 ed.) 48 Um motor recebe potência elétrica Pelec de uma linha de força e transmite potência mecânica Pmec para uma bomba através de um eixo rotativo de condutividade térmica ke, comprimento L e diâmetro D. O motor está montado sobre uma base quadrada com lado de comprimento W, espessura t e condutividade térmica kb. A superfície da carcaça do motor, exposta ao ar ambiente a T∞, possui uma área Ah e o coeficiente convectivo correspondente é hh. As extremidades opostas do eixo estão a temperaturas de Th e T∞, e a transferência de calor do eixo para o ar ambiente é caracterizada por um coeficiente convectivo hs. A superfície inferior da base do motor está a T∞. Expressando o seu resultado em termos dos parâmetros fornecidos, obtenha uma expressão para (Th – T∞). Demais dados fornecidos na figura da próxima página.
  • 211. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 49 Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional no eixo e na base, (3) propriedades constantes, (4) resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de calor por radiação desprezível.
  • 212. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 50 Balanço de energia: Substituindo cada termo:
  • 213. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 51 Combinando as expressões anteriores Obtemos:
  • 214. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 52 Substituindo os valores: Poderíamos ter considerado aleta infinita? mL = 3,87 > 2,65 Sim, poderíamos ter considerado aleta infinita.
  • 215. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.105 53 Poderíamos ter desprezado a radiação? Veja que obtivemos uma temperatura de 347,1 oC (620 K). Vamos considerar uma emissividade de 0,8: Não poderíamos desprezar a radiação! Comparemos com o calor transferido por convecção:
  • 216. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 (6 ed.) 54 Uma operação de união utiliza um laser para fornecer um fluxo de calor constante, q"o, através da superfície superior de uma fina película de plástico revestida com adesivo para ser afixada a uma tira de metal como mostrado no esboço. A tira de metal tem uma espessura d = 1,25 mm, e sua largura é grande em relação à do filme. As propriedades termofísicas da tira são ρ = 7850 kg / m3, cp = 435 J / kg K e k = 60 W / m K. A resistência térmica da película plástica de largura w1 = 40 mm é insignificante. As superfícies superior e inferior da tira (incluindo a película plástica) experimentam uma convecção com ar a 25 oC e um coeficiente de convecção de 10 W / m2K. A tira e a película são muito longas na direção normal da página. Suponha que as bordas da tira de metal estão à temperatura do ar (T∞). (a) Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na porção da tira de aço com a película de plástico (w1 / 2 ≤ x ≤ w1 / 2). (b) Se o fluxo de calor fornecido pelo laser for de 10.000 W / m2, determine a temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
  • 217. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 55 Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em x, (3) propriedades constantes, (4) resistências térmica da película desprezível, (5) transferência de calor por radiação desprezível, (6) a fita comporta-se como uma aleta infinita, (7) todo o fluxo radiativo é absorvido pelo filme e (8) o coeficiente convectivo é uniforme ao longo das superfícies superior e inferior.
  • 218. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 56 (a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2). Balanço de energia em VC diferencial por unidade de largura: dx ′ qx ′ qx+dx ′′ qo dx 2hdx T −T∞ ( ) ⇒ ′ qx − ′ qx + d ′ qx dx dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q dx − 2hdx T −T∞ ( )= 0
  • 219. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 57 (a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2). ⇒ ′ qx − ′ qx + d ′ qx dx dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q dx − 2hdx T −T∞ ( )= 0 − d ′ qx dx + ′′ q − 2h T −T∞ ( )= 0 d dx k ′ Ac dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q − hrad T −T∞ ( )= 0 kd d2 T dx2 + ′′ q − 2h T −T∞ ( )= 0 d2 T dx2 − 2h kd T − T∞ ( )= − ′′ q kd
  • 220. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 58 d2 T dx2 − 2h kd T − T∞ ( )= − ′′ q kd d2 θ dx2 − m2 θ = − ′′ q k d θ = T − T∞ m2 = 2h k d Equação homogênea: d2 θ dx2 − m2 θ = 0 θ = C1emx + C2e−mx
  • 221. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 59 Equação homogênea: d2 θ dx2 − m2 θ = 0 θ = C1emx + C2e−mx Equação não-homogênea: d2 θ dx2 − m2 θ = − ′′ q k d θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q m2 k d θ1 = C1emx + C2e−mx + ′′ q 2h
  • 222. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 60 Distribuição de temperatura na região 2 (x ≥ w1 / 2). θ2 = C3 e−mx
  • 223. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 61 Condições de contorno: 1 dT dx x=0 = 0 2 T1 w1 / 2 ( )= T2 w1 / 2 ( ) 3 − k dT1 dx x=w1/2 = −k dT2 dx x=w1/2 4 T2 → T∞ para x → ∞ ( já usamos)
  • 224. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 62 Condições de contorno na variável θ: 1 dθ1 dx x=0 = 0 2 θ1 w1 / 2 ( )= θ2 w1 / 2 ( ) 3 dθ1 dx x=w1/2 = dθ2 dx x=w1/2 4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos)
  • 225. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 63 1 dθ1 dx x=0 = 0 2 θ1 w1 / 2 ( )= θ2 w1 / 2 ( ) 3 dθ1 dx x=w1/2 = dθ2 dx x=w1/2 4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos) θ1 = C1emx + C2e−mx + ′′ q 2h θ2 = C3 e−mx ⇒ C1m − C2m = 0 ⇒ C1 = C2 ⇒ C1 emw1/2 + e−mw1/2 ( )+ ′′ q 2h = C3e−mw1/2 ⇒ C1m emw1/2 − e−mw1/2 ( )= −C3me−mw1/2
  • 226. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 64 C1 emw1/2 + e−mw1/2 ( )− C3e−mw1/2 = − ′′ q 2h C1 emw1/2 − e−mw1/2 ( )+ C3e−mw1/2 = 0 Precisamos resolver o sistema linear de equações (2 x 2): + C1 emw1/2 ( )+ C1 emw1/2 ( )= − ′′ q 2h C1 = − ′′ q / 2h 2emw1/2
  • 227. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 65 C1 emw1/2 − e−mw1/2 ( )+ C3e−mw1/2 = 0 C1 = − ′′ q / 2h 2emw1/2 C3 = ′′ q / 2h 2emw1/2 emw1/2 − e−mw1/2 e−mw1/2 C3 = ′′ q / 2hsenh mw1 / 2 ( )
  • 228. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 66 θ1 = − ′′ q / 2h 2emw1/2 emx + e−mx ( )+ ′′ q 2h θ2 = ′′ q / 2hsenh mw1 / 2 ( )e−mx Obtemos: θ1 = ′′ q 2h 1− e−mw1/2 coshmx ( ) p / 0 ≤ x ≤ w1 2 θ2 = ′′ q 2h senh mw1 / 2 ( )e−mx p / x ≥ w1 2
  • 229. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 67 (a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2). θ1 = ′′ q 2h 1− e−mw1/2 coshmx ( ) ′′ q 2h = 10.000 2.10 = 500K m = 2h k d = 2⋅10 60⋅1,25 ×10−3 = 16,33m−1 θ1 0 ( )= ′′ q 2h 1− e−mw1/2 ( )= 500 1− e−16,33⋅0,02 ( )= 139,3K θ1 0 ( )= ′′ q 2h 1− e−mw1/2 ( )= 500 1− e−16,33⋅0,02 ( )= 139,3o C T1 0 ( )= 164,3o C
  • 230. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3.115 68 (a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2). θ1(w1 / 2) = 500 1− e−16,33w1/2 coshmw1 / 2 ( )= 119,9o C OU θ2 (w1 / 2) = 500senh 16,33w1 / 2 ( )e −16,33.w1 /2 = 119,9o C T1(w1 / 2) = T1(w2 / 2) = 144,9o C
  • 231. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 69 Uma fina placa de um medidor de fluxo de calor é fixada em ambos os lados em uma carcaça mantida a Tc = 20o C. Há uma resistência de contato entre a placa e a carcaça de R" = 10-4 K.m2 /W. A espessura da placa é th = 1 mm e a metade do comprimento, L = 2cm. A condutividade térmica da placa é k = 10 W/m.K. A superfície inferior da placa é isolada termicamente e a superior está voltada para um espaço evacuado. A radiação emitida pela superfície superior pode ser calculada usando um coeficiente de transferência de calor por radiação calculado pela expressão h = 4εσ , em que é a temperatura média em kelvin entre a temperatura ambiente (T∞) e a temperatura da placa. O fluxo de calor por radiação incidente sobre a superfície superior da placa é qʹ′ = 900 W /m2 . Assuma que a placa comporta-se como um corpo negro. O medidor de fluxo opera correlacionando a diferença de temperatura entre o centro da placa e a carcaça. T 3 T 1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5. 2 900 W/m ! evacuated space " = 2 cm -4 2 1x10 K-m /W # $% = 1 mm & = 10 W/m-K 20 C ' ( 20 C ) '
  • 232. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 70 A.Obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura da placa em função da posição. Apresente as condições de contorno. B.Obtenha a solução da equação diferencial sujeita às condições de contorno do problema. C.Esboce a distribuição de temperatura na placa e calcule a temperatura máxima. D.Obtenha uma expressão para a curva de calibração, que relaciona o fluxo de calor com a diferença de temperatura entre o centro e a borda da placa. Assuma que a resistência de contato R é nula (como isso afeta as expressões obtidas nos itens a e b?) . 1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5. 2 900 W/m ! evacuated space " = 2 cm -4 2 1x10 K-m /W # $% = 1 mm & = 10 W/m-K 20 C ' ( 20 C ) ' Figure P1.7-5: Flux meter.
  • 233. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 71 a) Equação diferencial e condições de contorno Hipóteses: •Regime permanente; •Condução unidimensional em x; •Condutividade térmica constante; •Sem geração interna de energia térmica; •Sem convecção na face superior; •Transferência de calor por radiação entre uma pequena superfície e outra muito maior que a envolve.
  • 234. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 72 Balanço de energia em VC diferencial x dx qx qx+dx ′′ q wdx hwdx T −T∞ ( ) qx − qx + dqx dx dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q wdx − hwdx T −T∞ ( )= 0 − dqx dx + ′′ q w − hw T −T∞ ( )= 0 d dx kAc dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q W − hradW T −T∞ ( )= 0
  • 235. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 73 Balanço de energia em VC diferencial x d dx kAc dT dx ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ′′ q W − hradW T −T∞ ( )= 0 kW th d2 T dx2 + ′′ q W − hradW T −T∞ ( )= 0 d2 T dx2 − hrad kth T −T∞ ( )= − ′′ q kth
  • 236. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 74 Condições de contorno: d2 T dx2 − hrad kth T −T∞ ( )= − ′′ q kth −k dT dx x=0 = Tc −T(0) R dT dx x=L = 0
  • 237. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 75 d2 T dx2 − hrad kth T − T∞ ( )= − ′′ q kth b) Solução da equação diferencial d2 θ dx2 − m2 θ = − ′′ q k ⋅th θ = T −T∞ m2 = h kth Equação homogênea: d2 θ dx2 − m2 θ = 0 θ = C1emx + C2e−mx
  • 238. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 76 Equação não-homogênea: d2 θ dx2 − m2 θ = − ′′ q kth θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q m2 kth θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q hrad
  • 239. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 77 θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q hrad Condições de contorno −k dT dx x=0 = Tc −T(0) R dθ dx = C1memx − C2me−mx −kmR C1 − C2 ( )= Tc −T∞ − C1 − C2 − ′′ q hrad 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )C2 = Tc −T∞ − ′′ q hrad
  • 240. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 78 θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q hrad Condições de contorno dT dx x=L = 0 dθ dx = C1memx − C2me−mx C1memL − C2me−mL = 0
  • 241. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 79 Condições de contorno C1memL − C2me−mL = 0 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )C2 = Tc −T∞ − ′′ q hrad C2 = e2mL C1 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )e2mL C1 = Tc −T∞ − ′′ q hrad 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )e2mL C1 = Tc −T∞ − ′′ q hrad
  • 242. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 80 Condições de contorno C1memL − C2me−mL = 0 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )C2 = Tc −T∞ − ′′ q hrad C2 = e2mL C1 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )e2mL C1 = Tc −T∞ − ′′ q hrad 1− kmR ( )C1 + 1+ kmR ( )e2mL C1 = Tc −T∞ − ′′ q hrad C1 = Tc −T∞ − ′′ q hrad 1− kmR ( )+ 1+ kmR ( )e2mL C2 = Tc −T∞ − ′′ q hrad ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ e2mL 1− kmR ( )+ 1+ kmR ( )e2mL
  • 243. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 81 h = 4εσT 3 = 6,309W m2 K4 c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima Coeficiente de radiação (hip. = 30oC) T m = ′′ qrad kth = 25,12m−1 C1 = −37,79o C C2 = −103,2o C θ = −37,79emx −103,2e−mx + ′′ q h
  • 244. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 82 c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima T / oC x / m Tmax = 37,5o C
  • 245. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 83 d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0 θ = C1emx + C2e−mx + ′′ q hrad dT dx x=L = 0 C1memL − C2me−mL = 0 Condições de contorno T (0) = Tc Tc −T∞ = C1 + C2 + ′′ q hrad
  • 246. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 84 d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0 C1memL − C2me−mL = 0 Condições de contorno Tc −T∞ = C1 + C2 + ′′ q hrad C1 + C2 + ′′ q hrad = 0 C2 = e2mL C1 C1 = − ′′ q h e−mL 2coshmL C2 = − ′′ q h emL 2coshmL θ = ′′ q h 1− cosh m(L − x) [ ] cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭
  • 247. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 85 d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0 θ = ′′ q h 1− cosh m(L − x) [ ] cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ θmax (L) = ′′ q h 1− 1 cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = Tmax −T∞ ′′ q = hrad 1− 1 cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ −1 Tmax − T∞ ( ) Linear!
  • 248. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medidor de fluxo de calor 86 d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0 θ = ′′ q h 1− cosh m(L − x) [ ] cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ θmax (L) = ′′ q h 1− 1 cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = Tmax −T∞ ′′ q = hrad 1− 1 cosh mL [ ] ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ −1 Tmax − T∞ ( ) Linear!
  • 249. Transferência de Calor Análise concentrada Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v. 1.3 1
  • 250. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 2 Regime Permanente: temperatura não varia com o tempo (não há variação da energia térmica) 1-D: T(x) 2-D: T(x,y) 3-D: T(x,y,z) Regime Transiente ou Transitório: temperatura varia com o tempo (há variação da energia térmica) 0-D: T(t) 1-D: T(x,t) 2-D: T(x,y,t) Problemas 0-D são ideais para começar (resultam em uma EDO) • objeto de interesse apresenta temperatura uniforme que varia com o tempo; • análise concentrada.
  • 251. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Experimento 3 Ti (oC) LM35 Qual é a “cara” da função T x t ?
  • 252. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Experimento 4 Ti = 25,9 oC T∞ = 57,0 oC T∞ = 25,9 oC Forma esperada: T(t) = T∞ + (Ti – T∞)exp(– t / 𝝉)
  • 253. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Experimento 5 T / o C 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t (s) 6,3 s 5,6 s
  • 254. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 6 Ti T∞ Para um volume de controle em torno do bloco: dEst dt = ρ∀c dT dt = ! Ein − ! Eout + ! Eg ρ∀c dT dt = −hAs T −T∞ ( )
  • 255. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 7 EDO: ρ∀c dT dt = −hAs T −T∞ ( ) dθ dt = − hAs ρ∀c θ com θ = T −T∞ dθ θ = − hAs ρ∀c dt dθ θ θi θ ∫ = − hAs ρ∀c dt 0 t ∫ ln θ θi = − hAs ρ∀c t θ θi = e − hAs ρ∀c t
  • 256. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 8 θ θi = T −T∞ Ti −T∞ = e − hAs ρ∀c t θ θi = T −T∞ Ti −T∞ = e − t RtCt Rt = 1 hAs Ct = ρ∀c em termos de uma constante de tempo: θ θi = T − T∞ Ti − T∞ = e − t τ τ = Rt Ct = ρ∀c hAs
  • 257. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução 9 θ θi = T −T∞ Ti −T∞ = e − hAs ρ∀c t
  • 258. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Constante de tempo 10 O cálculo da constante de tempo fornece “insight” sobre o comportamento do sistema. A constante de tempo é, aproximadamente, o tempo requerido para que o sistema responda a uma mudança no ambiente. Sem resolver o problema é possível compreender, aproximadamente, como o objeto comporta-se em resposta a diversos estímulos. Por exemplo, para um degrau positivo na temperatura ambiente, a constante é o tempo necessário para que o objeto atinja 67 % da sua temperatura em regime permanente.
  • 259. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Constante de tempo 11 Time Temperature object temperature ambient temperature ! temperatura ambiente temperatura do objeto Temperatura Tempo t
  • 260. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Medição da temperatura de um fluido 12 Time Temperature object temperature ambient temperature temperatura ambiente temperatura do sensor Temperatura Tempo τ << período do oscilação Time Temperature object temperature ambient temperature Tempo temperatura do sensor temperatura ambiente Temperatura τ >> período do oscilação
  • 261. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Validade do método 13 Balanço de energia superficial: qcond = qconv kA L Ts,1 −Ts,2 ( )= hA Ts,2 −T∞ ( ) Bi = Ts,1 −Ts,2 Ts,2 −T∞ = L kA 1 hA = Rt,cond Rt,conv
  • 262. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Biot e os meteoritos 14
  • 263. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Validade do método 15 Bi = hL k <<1
  • 264. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Análise Geral 16 dEst dt = ρ∀c dT dt = ! Ein − ! Eout + ! Eg Balanço de energia: Obtemos: ρ∀c dT dt = ′′ qs As,h − h T −T∞ ( )− εσ T4 −Tsur 4 ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ As,(c,r) + ! Eg
  • 265. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Caso particular: apenas radiação 17 Integrando: ρ∀c dT dt = −εσ As T4 −Tsur 4 ( ) εσ As ρ∀c dt 0 t ∫ = dT Tsur 4 −T4 Ti T ∫ t = ρ∀c 4εσ As Tsur 3 ln Tsur +T Tsur −T − ln Tsur +Ti Tsur −Ti + 2 arctan T Tsur ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − arctan Ti Tsur ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ obtém-se:
  • 266. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Caso particular: radiação desprezível 18 mudança de variável: θ ≡ T −T∞ ρ∀c dT dt = ′′ qs As,h − hAs,c T −T∞ ( )+ ! Eg a = hAs,c / ρ∀c b = ′′ qs As,h + ! Eg ( )/ ρ∀c dT dt = −a T −T∞ ( )+ b mudança de variável: dθ dt = −aθ + b mudança de variável: ′ θ ≡ θ − b a d ′ θ dt = −a ′ θ
  • 267. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 19 integrando d ′ θ dt = −a ′ θ ′ θ ′ θi = e−at θ − b a θi − b a = e−at θ = θi e−at + b a 1− e−at ( ) θ θi = e−at + b a 1− e−at ( )/θi T −T∞ Ti −T∞ = e−at + b / a Ti −T∞ 1− e−at ( ) a = hAs,c ρ∀c b = ′′ qs As,h + ! Eg ρ∀c Caso particular: radiação desprezível
  • 268. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 20 T −T∞ Ti −T∞ = e−at + b / a Ti −T∞ 1− e−at ( ) a = hAs,c ρ∀c b = ′′ qs As,h + ! Eg ρ∀c Caso particular: radiação desprezível Vamos determinar a temperatura de equilíbrio (Tf): Tf −T∞ Ti −T∞ = lim t→∞ e−at + b / a Ti −T∞ 1− e−at ( ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 0 1 Tf −T∞ Ti −T∞ = b / a Ti −T∞ Tf = T∞ + b a Tf = T∞ + ′′ qs As,h + ! Eg hAs,c
  • 269. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Situação original 21 Radiação desprezível e sem termos fonte: h >> hr , ! Eg = 0, ′′ qs = 0 θ θi = T −T∞ Ti −T∞ = e − hAs ρ∀c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟t = e − t τ Calor total transferido: ΔEst = −Q = − ! Eout 0 t ∫ dt ΔEst = −hAs θ dt 0 t ∫ ΔEst = ρ∀c ( ) T∞ −Ti ( ) 1− e − t τ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥
  • 270. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Na forma adimensional 22 θ θi = T −T∞ Ti −T∞ = e − hAs ρ∀c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟t T −T∞ Ti −T∞ = e − h ρLcc ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟t Lc = ∀ As T −T∞ Ti −T∞ = e − hLc k kt Lc 2 ρc T −T∞ Ti −T∞ = e−Bi⋅Fo número de Biot: Bi = hLc k número de Fourier: Fo = αt Lc 2 α = k ρc Difusividade térmica:
  • 271. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Validade do método 23 Lc = ∀ As vimos que Bi << 1 Bi = hLc k vamos adotar Bi < 0,1 como critério! Para uma placa de espessura 2L: Lc = 2LAs 2As = L Para um cilindro de raio r: Lc = πr2L 2πrL = r 2 Para uma esfera de raio r: Lc = 4 / 3πr3 4πr2 = r 3
  • 272. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Não dá pra seguir em frente sem: 24 • Saber escrever um balanço de energia para um problema transitório; • Entender o significado do número de Biot; • Saber calcular o número de Biot para geometrias comuns; • Saber identificar se o método da análise concentrada se aplica a um problema; • Entender o significado da constante de tempo de um sistema de 1a ordem; • Saber calcular o calor transferido / armazenado; • Saber modelar a presença de finas camadas de revestimento (conceito de coeficiente global de transferência de calor.
  • 273. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo do picolé 25 a) Caixas de picolés de fruta foram removidos de um armazém frigorífico para transporte em caminhão refrigerado. Durante o procedimento algumas caixas caíram, derrubando os picolés no chão da doca. Até que os picolés fossem recolhidos, passaram-se 5 min. Os picolés têm formato aproximadamente cilíndrico e são embalados com papel. Admitida que durante esse período eles ficaram expostos à convecção, transferindo calor apenas com o ar ambiente da doca. Determine a temperatura máxima atingida no picolé. b) Quanto de energia por picolé deve ser removida pelo refrigerador do caminhão para que o sorvete retorne ao estado inicial? c) Por quanto tempo o sorvete pode permanecer na doca antes de começar a derreter?