Relogio solares marcos_calil

RELÓGIO DE SOL
Prof. Dr. Marcos Calil

SUMÁRIO
Uma breve história dos Relógios Solares;
• O gnômon e a sombra do dia;
• O gnômon e a sombra do ano;
• Determinação da linha norte-sul;
• Relógio de garrafa pet;
• Relógio de disquinho;
• Relógio plano horizontal.
E se der tempo vamos explorar pelo Excel...
• Relógio plano horizontal;
• Relógio analemmatic.

RELÓGIO SOLARES - HISTÓRIA
Hemicyclium excavatum ex quadrato ad enclimaque
succisum Berosus Chaldaeus dicitur invenisse. scaphen sive
hemisphaerium Aristarchus Samius, idem etiam discum in
planitia. arachnen Eudoxus astrologus, nonnulli dicunt
Apollonium. plinthium sive lacunar, quod etiam in circo
Flaminio est positum, Scopinas Syracusius, προς τα
ιστορουμενα Parmenion, προς παν κλιμα Theodosius et
Andreas, Patrocles pelecinum, Dionysodorus conum,
Apollonius pharetram, aliaque genera et qui supra scripti
sunt et alii plures inventa reliquerunt, uti conarachnen,
conicum plinthium, antiboreum. item ex his generibus
viatoria pensilia uti fierent plures scripta reliquerunt. ex
quorum libris si qui velit subiectiones invenire poterit,
dummodo sciat analemmatos descriptiones
Thayer, “The texts of Vitruvius on LacusCurtius”, http://penelope.uchicago.edu/Thayer/L/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html#8.1.

Berosus o Caldeu nos diz ter inventado o relógio
semicircular côncavo escavado num bloco quadrado de
acordo com sua latitude; Aristarchus de Samos, a Tigela ou
Hemisfério, assim como ele disse, também o Disco sobre o
nível da superfície; o astrônomo Eudoxus ou como alguns
dizem Apollonius, a Aranha; Scopinas de Siracusa, o
Plinthium ou Cobertura, dos quais um exemplar está no
Circus Flaminius; Parmenio, o Relógio para Consulta;
Theodosius e Andrias, o Relógio para todas as latitudes;
Patrocles, o Encaixe; Dionysodorus, o Cone; Apollonius, a
Aljava.

Das pessoas aqui descritas e muitas outras descobertas
deixadas para trás, como a Aranha Cônica, o Cônico Coberto
e o Antibóreo. Muitos também têm deixado instruções para
construção de Relógios Suspensos para viagens. A partir
desses trabalhos quem quiser poderá encontrar instruções,
desde que ele compreenda o método de descrever o
analema.

1. Relógio de Berosus o Caldeu
Relógio esférico com obliqüidade da
face frontal apontada de acordo com a
latitude do local
Hemicyclium excavatum ex
quadrato ad enclimaque succisum

2.1 Relógio de Aristarchus de Samos
quadrante solar côncavo ou
hemisférico
Scaphen sive hemisphaerium
dicitur (...)

2.2 Relógio de Aristarchus de Samos
O disco colocado sobre um plano
(...) discum in planitia

3. A “aranha” de Eudoxus (Apollonius)
“Aranha”
rede de linhas de horas e curvas de
dias sobre uma face do relógio, em
particular, sobre a sombra recebida na
sua superfície
Arachnen

4.1 Relógio de Scopinas de Siracusa (?)
Quadrante lacunar
Plinthium sive lacunar

Relógio de Sol horizontal
Plinthium sive lacunar

Plinthium sive lacunar:
Relógio solar cavado sobre um paralelepípedo
(Severino e Ebert);
Relógio solar esférico de cobertura
(Gibbs e Granger);
Relógio solar de cobertura
(Blánquez e Katinsky);
Relógio solar horizontal plano
(Soubiran, Rehm e Choisy).

5. Relógio de Parmenion
cuadrante que marca las horas correspondientes a los
lugares célebres
προσ τα ιστορυμενα

6. Relógio de Theodosius e Andrias
προζ παν κλιμα
Cuadrante para todas las latitudes

7.1 Relógio de Patrocles (?)
Pelecinum
Pelicano (ou)
cuadrante en forma de hacha

7.2 Relógio de Patrocles (?)
Pelecinum
Relógio solar horizontal

8. Relógio de Dionysodorus
Conum
Quadrante cônico

9. Relógio de Apollonius
Pharetram
Aljava

10. Relógio de Sol Arachnen
Arachnen
Aranha cônica

11. Relógio Conicum Plinthium (?)
Conicum Plinthium
• objeto cavado;
• uma superfície receptora plana e vertical;
• objeto na forma de tijolo, paralelepípedo liso ou oco;
• relógio variante do relógio do tipo cobertura.

12.1 Relógio Antiboreum (?)
Antiboreum
Antibóreo

12.2 Relógio Antiboreum (?)
Antiboreum
Antibóreo
NS

13. Relógio Viatoria
Viatoria
Relógios viajantes ou portáteis
(instrumentos para uma latitude fixa)

O analema de Vitruvius

Vitruvius =
12
SoldopôrSoldonascer +
Conseqüências
Atualmente
24 horas = dia sideral médio
23 horas 56 minutos e 4 segundos = dia solar médio
Verão = “horas” mais longas
Inverno = “horas” mais curtas
A contagem do tempo

Mudanças nas formas dos relógios solares
Exemplo: Relógio Solar Plano Horizontal

Pelo analema de Vitruvius ...

Pelo método atual ...

Para os ângulos que definem os ponteiros das horas
tomando como partida o gnômon:
arctan x = tan t . sen f, onde:
x é o ângulo;
t são as horas em graus e;
f é a latitude.
Para a distância do gnômon, em metros, até a origem dos
ângulos deve-se usar a fórmula tan f = G / D, onde:
D é a origem e;
G tamanho do gnômon, em metros.

Tipos de relógios solares (concepção atual)
• horizontal
• vertical
• equatorial
• polar
• analemmatic
• portátil

Relógio de Sol Horizontal

Relógio de Sol Vertical

Relógio de Sol Equatorial (1/2)

Relógio de Sol Equatorial (2/2)

Relógio de Sol Polar

Relógio de Sol Analemmatic

Relógio de Sol Portátil

GNÔMON
De acordo com Online Etymology Dictionary:
Gnômon: "eixo vertical, que indica o tempo pela
sombra que projeta" (especialmente a placa
triangular em um relógio de sol), (...) do grego
"indicador", gnômon, literalmente, "aquele que
discerne", de gignoskein "vir a conhecer"
Dê preferência o local não deve sofrer
interferência de sombras produzidas por
objetos ao redor do gnômon.
Através da sombra produzida pelo gnômon, é
possível:
http://www.etymonline.com/index.php?allowed_in_frame=0&
search=gnomon&searchmode=none

GNÔMON
1- observar o deslocamento e tamanho da sombra ao longo
do dia para entender o movimento aparente do Sol;
2- observar o deslocamento e tamanho da sombra ao longo
do ano e com isso compreender as estações do ano;
3- verificar o deslocamento do Sol ao longo do ano pelos
pontos cardeais e colaterais e compreender a importância
do eixo de inclinação da Terra e sua relação com as
estações do ano;
5- relacionar o deslocamento da sombra com o cotidiano;
4- comparar e discutir o tamanho da sombra x temperatura;

GNÔMON
6- determinar a latitude local e entender a importância
desse valor para posição terrestre e astronômica,
utilizando instrumentos geométricos, trigonometria ou
softwares de simulação astronômica;
10- comparar o meio-dia real com os relógios
convencionais através do nascer e ocaso do Sol;
8- compreender e obter o meio-dia real e sua relação
quanto ao tamanho da sombra e o eixo meridional;
9- discutir as diferenças existentes entre os dois
hemisférios quanto a posição da sombra e as estações
do ano;
7- relacionar a latitude com o nascer e pôr do Sol nas
diferentes regiões do mundo;

GNÔMON
11- determinar pelo método de Eratóstenes o raio da Terra,
assim como sua “circunferência” e volume;
12- inserir o conceito de Sol a pino;
13- outras.

GNÔMON
Movimento diurno aparente do Sol
Ao longo do dia o Sol descreve um movimento aparente
que quando observado pelo gnômon pode-se perceber sua
trajetória.
Linha de Solstício de Verão
Linha do Equinócio de
Primavera e Outono
Linha de Solstício de Inverno

GNÔMON
LO
1
2
3
Verão
Figura fora
de escala

GNÔMON
LO
1 2 3
Primavera
Outono
Figura fora
de escala

GNÔMON
2
LO
31
Inverno
Figura fora
de escala

GNÔMON
Movimento anual aparente do Sol

GNÔMON
Sol a pino = sombra zero, de um poste na vertical.
Para localidades inseridas a exatos 23,5o do equador, norte
ou sul, o Sol fica a pino somente no solstício de verão (ao
meio dia solar, quando o Sol passa pelo meridiano do
lugar).
E
T.Cp.
T.C.
C.P.
C.P.
Solstício de verão
Solstício de verão

GNÔMON
Para localidades entre o trópicos do equador terrestre (E),
norte ou sul (-23,5º < E < 23,5o) , o Sol fica a pino somente
dois dias ao ano.
Esses dias estão simetricamente dispostos em relação ao
solstício de verão e tanto mais próximos do dia desse
solstício quanto mais próxima da latitude 23,5º estiver a
localidade.
E
T.Cp.
T.C.
C.P.
C.P.
Dois dias do ano
(referência solstício de verão)

GNÔMON
Caso Belo Horizonte 2002
Fonte: http://www.observatorio.ufmg.br/pas44.htm
Por Prof. Renato Las Casas

GNÔMON
Ângulo entre os raios solares e a
vertical (ao meio dia solar)
18/nov/02 0,5º Sol ao norte
21/nov/02 0,1º Sol ao sul
Data
Sol “indo” para o Sul

GNÔMON
Ângulo entre os raios solares e a
vertical (ao meio dia solar)
Data
19/jan/93 0,5º Sol ao sul
22/jan/93 0,2º Sol ao norte
Sol “voltando” para o Norte

GNÔMON
Conclusão:
Com uma boa tolerância podemos dizer que o Sol passará
a pino sobre Belo Horizonte por alguns dias, nos dias 21 de
novembro e 21 de janeiro.
E mais ...

GNÔMON
21/janeiro "Sol a Pino" 05h 32m 18h 39m
20/março Equinócio 05h 58m 18h 05m
21/junho Solstício Inverno 06h 28m 17h 24m
23/setembro Equinócio 05h 43m 17h 50m
21/novembro "Sol a Pino" 05h 06m 18h 14m
22/dezembro Solstício Verão 05h 13m 18h 33m
Data Nascer Pôr

GNÔMON
Localidades sobre o equador terrestre, têm o Sol a pino
exatamente nos equinócios de outono e primavera.
E
T.Cp.
T.C.
C.P.
C.P.
Equinócios de
outono e primavera

GNÔMON
Localidades acima de 23,5º do equador terrestre, ao norte
ou ao sul, nunca têm o Sol a pino.
E
T.Cp.
T.C.
C.P.
C.P.
Nunca tem Sol a pino
Nunca tem Sol a pino

CONCEITOS ELEMENTARES
Vamos agora, compreender alguns conceitos elementares
para construção de relógios solares (simples).

Linha do horizonte (grego = horos = limite)
Pode-se dizer que é a linha que proporciona a percepção
visual entre encontro do céu com a terra ou mar.

Ao plano que contém essa linha chamamos de Plano do
Horizonte.

Se suspendermos num fio um corpo, a direção indicada pela
posição do fio (fio de prumo) denomina-se Vertical do local.
Plano do Horizonte
Vertical

A vertical do lugar, que passa pelo observador, parece
“furar” o céu num ponto bem acima da cabeça do
observador. A este ponto chamamos de Zênite do
observador.
Plano do
Horizonte
Vertical
Zênite
Linha do
Horizonte

O ponto oposto ao Zênite, com relação ao observador é
chamado de Nadir.
Linha do
Horizonte
Plano do
Horizonte
Vertical
Zênite
Nadir

Ao fenômeno do aparecimento do Sol pela manhã,
emergindo pelo horizonte, chamamos de Nascer do Sol ou
Aurora.
Ao fenômeno do seu desaparecimento do Sol, imergindo
pelo horizonte, à tarde denominamos Pôr do Sol ou Ocaso.
O Movimento Diurno Aparente do Sol, para um observador
na Terra ocorre entre esses dois intervalos durante a parte
clara do dia.

A questão do
nascer do Sol no Leste
ou
pôr do Sol no Oeste...
Leste = Este = Nascente = Oriente
Oeste = Poente = Ocidente
Lado Ponto

Origem do Sistema de Referência
Topocêntrico
GeocêntricoHeliocêntrico
Baricêntrico
(Centro de massa Terra-Sol)
Sol
Terra
Crédito imagem: Prof. Roberto Bockzo

Latitude (ϕ) e Longitude (λ)
λ
ϕ < 0 ϕ
PN
PS
Greenwich
Meridiano
do ponto
a ser localizado
paralelo
meridiano São Paulo
ϕ = -23º 34’
λ = -46º 38’

Observador localizado no Hemisfério Sul:
Durante o movimento, parece que o astro se desloca para o
Norte.
Z
PS
N S
E
W

Observador localizado no Hemisfério Norte:
Durante o movimento, parece que o astro se desloca para o
Sul.
Z
PN
E
W
SN

Hemisfério celeste norte
Hemisfério celeste sul

Equador
terrestre
Pólo norte
da Terra
Pólo Sul da
Terra Pólo celeste
Sul
Pólo celeste
norte
Equador
celeste

CONSTELAÇÃO PERÍODO
01 Capricornus de Jan.20 a Fev.16
02 Aquarius de Fev.17 a Mar.11
03 Pisces de Mar.12 a Abr.18
04 Aries de Abr.19 a Mai.13
05 Taurus de Mai.14 a Jun.21
06 Gemini de Jun.22 a Jul.20
07 Cancer de Jul.21 a Ago.10
08 Leo de Ago.11 a Set.16
09 Virgo de Set.17 a Out.30
10 Libra de Out.31 a Nov.22
11 Scorpius de Nov.23 a Nov.29
12 Ophiuchus de Nov.30 a Dez.17
13 Sagittarius de Dez.18 a Jan.19

CONSTRUÇÃO LINHA MERIDIANA (NORTE-SUL)
Métodos de construção:
1- Sombras da manhã e tarde
1.1- Pela bissetriz;
1.2- Pela linha leste-oeste (processo simples).
2- Sombra do meio-dia real;
Outras sem utilizar gnômon (imprecisas):
3- Relógio de ponteiro e palito;
4- Cruzeiro do Sul (hemisfério sul);
5- Movimento aparente do Sol;
6- Bússola (desconsiderando a declinação magnética);
7- Tronco de árvores.

SOMBRAS DA MANHÃ E DA TARDE
2
31
4
O L
N
S
5
Construção da rosa-dos-ventos e a determinação dos pontos
cardeais (processo simples).

1- Marcar a sombra da manhã no chão produzida pelo
Gnômon;
2- Construir a circunferência com o centro no Gnômon
passando pela sombra da manhã;
3- Realizar uma marca no chão quando a sombra da tarde
“tocar” na circunferência;
4- Traçar a linha Leste-Oeste sobre as marcas realizadas
nos itens 1 e 3;
5- Entre o Gnômon e a mediana dos itens 1 e 3, traçar a
linha Norte-Sul, ou se preferir, traçar uma reta
perpendicular em relação a linha Leste-Oeste.

Prof. Ms. Marcos Calil
O L
N
S
Sombra no eixo Sul
(Hemisfério Sul)
Meio-dia real
Sombra no eixo Norte
(Hemisfério Norte)
Norte
verdadeiro

CONSTRUÇÃO LINHA NORTE-SUL
Métodos de construção pela sombra do meio-dia real
Meio-dia real – exato momento que o dia claro é dividido em
duas partes iguais.
Consequências:
Difere do meio dia sideral médio (24 horas), lembrando que o
dia solar médio vale 23 horas 56 minutos e 4 segundos;
Varia dia após dia.

Sombra formada
pelo Gnômon
Horário da menor sombra
de 03/05/08
12:03
Gnômon
Chão
NORTE SUL

Como obter o horário da menor sombra do dia de forma
antecipada?
1- Horários do nascer e pôr do Sol fornecido pela mídia;
2- Stellarium.

CONSTRUÇÃO LINHA NORTE-SUL (imprecisos)

1- Sobre a extremidade externa do ponteiro das horas
coloque um palito;
2- Gire o relógio até a sombra do palito coincidir sobre o
próprio ponteiro das horas;
3- A bissetriz formado entre os dois ponteiros (hora e
minuto) irá determinar o horizonte sul.

Determinação do horizonte norte e sul pelo tronco de árvores
Como o Sol “percorre” na sua grande maioria do ano o
lado norte para nós moradores do Hemisfério Sul, então os
troncos de árvores ficam menos úmidos para esse lado.

VAMOS CONSTRUIR RELÓGIOS SOLARES

RELÓGIO DE GARRAFA PET
Relógio de Sol Equatorial
Objetivo:
Proporcionar para o aluno o entendimento do movimento do
Sol na esfera celeste e consequentemente como é possível
determinar as horas do dia através de um relógio solar de
simples construção.

Material:
• Garrafa de plástico transparente e lisa;
• Barbante;
• Palito;
• Folha;
• Régua;
• Tesoura;
• Caneta.

Procedimento:
1. Meça a circunferência da garrafa de plástico;
2. Com o valor obtido divida por 24 (H);
3. Construa uma tira de papel com as seguintes medidas:
largura = 4 cm
comprimento = metade da circunferência da garrafa
adicionado 1 cm
4. Na tira marque 13 riscos espaçados de medida H;

5. Nos riscos, escreva os números de 6 à 18 na ordem
inversa;

6. Cole a tira no meio da garrafa com os riscos voltados
para dentro;
7. Faça um furo no centro da tampa e no centro do fundo da
garrafa;
8. Passe o barbante de um extremo ao outro da garrafa,
esticando bem e amarrando bem com o palito;
9. DICA - Para esticar mais ainda o barbante, abra um
pouco a tampa.

Para utilizar o relógio de Sol devemos conhecer a:
• Latitude local (S.P. = 23.533 (S) = 23º 33' (S) );
• Direção Norte-Sul
Utilização:
• Alinhamento:
Tampa voltada para o Sul
na linha Norte-Sul
• Inclinação:
Latitude local

Para inclinar o relógio de Sol pode ser utilizada outra garrafa
pet. Para tanto deve-se saber que:
Um pouco mais...
ϕ
Hipotenusa
Cateto adjacente (ca)
Cateto oposto (h)

tg ϕ =
Cateto oposto
Cateto adjacente
ϕ
Hipotenusa
ca
h
tg 23.533o =
h
ca
0,435487 =
h
ca
Para São Paulo:
= 0,435487 . cah

Direcionamento:
A tampa da garrafa pet deverá estar indica ao pólo Sul
celeste sobre a linha norte-sul. Assim:

Com essa atividade podemos explorar:
Conceito sobre latitude;
Movimento aparente do Sol;
Rosa-dos-ventos;
Fuso horário;
Hora civil e astronômica;
Horário de verão;
Analema;
Equação do tempo ...
Conceitos:

RELÓGIO DE DISQUINHO
Relógio de Sol Equatorial
Objetivo:
Proporcionar para o aluno o entendimento do movimento do
Sol na esfera celeste e conseqüentemente como é possível
determinar as horas do dia através de um relógio solar de
simples construção.

Material:
• Uma cartolina;
• Um palito de churrasco ou canudinho;
• Compasso;
• Transferidor;
• Régua;
• Tesoura;
• Lápis;
• Borracha.

Construção do mostrador
1. Na cartolina, faça um segmento de reta igual a 10 cm;
2. Divida esse segmento em duas partes iguais, ou seja, 5
cm de cada lado;
3. Iremos chamar esse ponto de divisão de ponto O;
4. Agora, com a ponta seca em O, construa uma
circunferência de raio igual a 5 cm. Veja na figura como
deve ficar:

5. Coloque o transferidor com a origem no ponto O e marque
os ângulos 0o, 15o, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º, 105º, 120º, 135º, 150º,
165º e 180º;
6. Repita todos os itens anteriores, exatamente atrás do
mesmo disquinho.
Você terá de um lado da cartolina a mesma construção
realizada no outro lado.
Veja na figura como deverá ficar a sua construção:

7. Na parte frontal, escreva Mostrador Austral e marque as
horas iniciando às 6h até às 18h.
Para o disco no verso da cartolina escreva Mostrador Boreal
e marque as horas iniciando a partir das 18h até às 6h. Veja
na figura como deverá ficar sua construção:

Construção do ponteiro:
8. Insira o palito de churrasco no centro do mostrador. Para
isso, você deverá furar o centro O utilizando uma tesoura.
Nesse momento o palito de churrasco será o nosso
ponteiro;
9. A distância que o palito de churrasco terá do solo até o
disquinho dependerá da latitude. Veja na figura como irá
ficar a construção numa visão lateral:

10. Como tal distância entre o mostrador e o solo (d) é uma
variável dependente da latitude (ϕ), observe a fórmula que
deverá ser usada para calcular o valor de d demonstrado na
figura. Dado que ϕ é a latitude do local, m o raio do
mostrador que equivale a 5 cm e d do mostrador até o solo
na qual iremos determinar.

tg ϕ =
Cateto oposto
Cateto adjacente
Exemplo para
São Paulo
d = 11,48 cm
tg ϕ =
m
d
tg ϕ =
5
d
tg ϕ
5
d =
tg 23,533o
5
d =
0,435497
5
d =

Direcionamento:
Aponta do palito de churrasco com a face Austral do
disquinho deverá estar indica ao pólo Sul celeste sobre a
linha norte-sul. Assim:

Assista o vídeo no www.youtube.com/marcoscalil
apresentado por Marcos Calil sobre a montagem do Relógio
de Disquinho.

Determinação da origem dos ângulos até o gnômon, em
metros:
Fórmula: tan f = G / D, onde:
f é a latitude local;
D é a origem e;
G local inserido do gnômon.
RELÓGIO HORIZONTAL PLANO
D
G
f
tg f =
Cateto oposto
Cateto adjacente
tg f =
G
D

Exemplo:
Para um gnômon de 1 metro (G = 1) e f = 23,7º
tan f = G / D
tan 23,7 = 1 / D
0,4389 = 1 / D
D = 1 / 0,4389
D = 2,27 metros

D = 2,27 metros
Gnômon (G)
12h
Origem (D)

Determinação dos ângulos que definem os ponteiros das
horas tomando como partida o gnômon:
arctan x = tan t . sen f, onde:
x é o ângulo iniciando as 12h;
t são as horas em graus e;
f é a latitude.

Antes, você deve saber que:
15º = 1h de arco
30º = 2h de arco
E assim, sucessivamente. Com isso, temos que:
12h = 0o
11h e 13h = 15º (- e + 1h, em relação a 12h)
Assim, utilizando tan t com os ângulos mencionados acima,
podemos aplicar a fórmula arctan x = tan t . sen 23,7

Para t = 12h, temos t = 0o
arctan x = tan 0 . sen 23,7
arctan x = 0 . 0,4019
arctan x = 0
x = 0 graus

Para t = 11h e 13h, temos t = 15o
arctan x = tan 15 . sen 23,7
arctan x = 0,268 . 0,4019
arctan x = 0,1077
x = 6,14 graus

Gnômon (G)
12h11h13h
Origem (D)

E assim, repita os cálculos para as demais horas!

FIM
Mais palestras de Marcos Calil
http://www.slideshare.net/marcoscalil/
Twitter - @marcoscalil
Youtube – www.youtube.com/marcoscalil
Currículo lattes: http://lattes.cnpq.br/0597969424607596

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