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Estruturando e medindo o Mundo na Antigüidade R. Boczko IAG-USP 16 01 11

Mundo na Antigüidade Estrelas (~6000) Lua S l Marte Mercúrio Júpiter Vênus Saturno

História da Astronomia ~1453 Queda de Constantinopla Idade Média Revolução Francesa 1789 Idade Moderna Idade Contemporânea Queda do Império do Ocidente ~476 Idade Antiga Descrição cinemática do céu (estudo dos movimentos e ciclos) Comportamento dinâmico dos astros (gravitação) Astrofísica (aplicação dos conceitos de física no estudo dos astros) Astronomia Moderna Astronomia Antiga ~500 a.C. Astronomia clássica ~1400 Astronomia Renascentista ~1650 Newton Mecânica Clássica Galileu Uso do telescópio

Alguns Astrônomos Famosos Ulugh Beg Catálogos estelares Ptolomeu Sistema Geocêntrico Hiparcos Distância Terra-Lua Eratóstenes Raio da terra Aristarco Processo p/ obter a distância até o Sol Aristóteles Geocentrismo filosófico Heráclides Sistema híbrido Pitágoras Terra esférica Kepler Raios orbitais Órbitas elípticas Galileu Uso do telescópio Tycho Brahe Excelente observador Copérnico Sistema Heliocêntrico Filolau Heliocentrismo religioso Tales Previsão de eclipse solar Platão Estrelas fixas na esfera e planetas errantes Eudoxo Geocentrismo Newton Mecânica Clássica 200 400 1000 800 600 400 200 1200 1400 1600 0 1800 2000 600

Evolução das idéias sobre a Estrutura do Mundo

Heliocentrismo religioso ou filosófico Sol

Akenaton ( Egípcio, séc. XIV a.C. ) Heliocentrismo por convicção religiosa ! Sol Mundo

Heliocentrismo ( Filolau, Grego 480 a.C.- ? ) Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Lua gira em torno do Sol! O Sol era um fogo sagrado !

Aristarco (séc. III a.C.) Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat A partir de tentativas de medir a distância da Terra-Sol em unidades de distância Terra-Lua: Sol tem que ser muito maior qua a Lua e a Terra Sol no centro do Mundo Ter

Idéias sobre a forma da Terra

Tales ( Grego, séc. VI a.C. ) A Terra é um disco chato num Universo infinito de água Como ele vivia na Grécia, que é formada por muitas ilhas, a ideia de comparar o Mundo com uma ilha não deve ter sido muito difícil. Terra

Latitude astronômica  Norte Leste Oeste Polo Norte PN N Horizonte 

Altura do PN em diferentes posições na Terra suposta plana Horizonte PN Observador na posição 1 h 1 S h 2 = h 1 =  Estrela Polar suposta no infinito Sentido do deslocamento do observador N h 2 Observador na posição 2 PN

Uma explicação para a variação observada na altura da estrela Polar Horizonte N Polar Observador na posição 1 h 1 S h 2  h 1 Inferência: A estrela Polar estaria muito próxima da Terra e essa seria plana. h 2 Observador na posição 2 Sentido do deslocamento do observador

Outra explicação para a variação na altura do PN Horiz. 1 h 1 N PN Horiz. 2 h 2 N PN w Horiz. 2 Horiz. 1 h 2 h 1 N PN PN PN PS

Anaximandro ( Grego, séc. VI a.C. ) Eixo de rotação Equador W L PN Eclíptica Universo composto por ápeirion (infinito) w Horiz. 1 h 1 Variação na altura da estrela Polar Estrela Polar Terra Horiz. 2 h 2

Pitágoras ( Samos, Grécia, séc. VI a.C. ) Propôs de que a Terra fosse esférica Ele se baseou em dois fatos já conhecidos na época: visão de um navio chegando ou partindo de um porto, observação da forma da sombra da Terra na Lua durante um eclipse lunar.

Carroça descendo a ladeira Rua Plana Visão do Observador: + Carroça completa + Imagem cada vez menor, mas inteira Visão do Observador: + Carroça desaparecendo gradativamente + Desaparece a roda + Desaparece a carroceria + Desaparece o carroceiro + Imagem cada vez menor Rua Em Descida

Esfericidade da Terra Terra esférica

Tipos de Eclipses Lunares Sol Terra Eclipse Lunar Lua Lua Sol Lua Lua Eclipse Lunar Total Parcial Lua Sombra da Terra Terra esférica

Sombra sempre circular da Terra Conclusão: Para a sombra da Terra ser sempre circular, a Terra deve ser esférica. 00 h Sol Terra plana 06 h Sol Terra plana 12 h 18 h 06 h 00 h Sol Terra

Primeira foto da Terra mostrando efetivamente sua esfericidade !968 Terra Lua

Geocentrismo por convicção Terra

Platão (Grego, IV a.C.) Terra Céu As estrelas estão fixas à esfera celeste. Os planetas vagam entre as duas esferas. Platão

Sistema Geocêntrico ( Eudoxo de Cnido, grego, séc. IV a .C. ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat 27 esferas

Aristóteles (Grego, séc. IV a.C. ) Geocentrismo por convicção filosófica! Mundo Terra Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Água Ar Terra Fogo Éter 55 esferas

Sistema Geocêntrico Puro ( Ptolomeu, séc. II ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat

Geocentrismo, mas ... com ressalvas! Terra

Disposições (im)possíveis de planetas com relação ao Sol Esfera das estrelas fixas Ter Vênus nunca se afasta muito do Sol. (do ponto de vista angular) Vên Júp Vên Vên Júp Júp Júp

Posição de Mercúrio ou de Vênus em relação ao Sol Observação de Vênus após o pôr-do-sol: Ele nunca se afasta muito do Sol. Lado Oeste Sol Vênus Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Observação de Vênus antes do nascer do Sol: Ele nunca nasce muito mais cedo do que o Sol. Lado Leste Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 Dia 5 Dia 6 Sol

Sistema Híbrido ( Heráclides, séc. IV a .C. ) Esfera das estrelas fixas Lua Vên Mar Júp Sat Mer Ter

Problemas no geocentrismo Terra

Teoria versus Observação ? Calculei ! Estará lá ! Errooou ! Estou aquiiii !

Sistema de Epiciclos ( Apolônio, séc. III a .C. ) Planeta Gira com MCU em torno de E Deferente E: Ponto fictício que tem MCU em torno da Terra Ter E Epiciclo

Sistema Complexo de Epiciclos Ter Planeta E Deferente Epiciclo Epiciclo Epiciclo Cada epiciclo pode ser o deferente de outro epiciclo

Geocentrismo forçado! Terra ( Ptolomeu, séc. II ) Almagesto

Geocentrismo com epiciclos Lua Mer Mar Vên Júp Sat Céu Ter ( Ptolomeu, séc. II )

Dificuldade matemática no Egito

Dificuldade matemática na Babilônia Sistema sexagesimal O zero era representado por um espaço entre os algarismos.

Algarismos Romanos 1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1.000 M 1.000.000 M

Evolução dos algarismos indu-arábicos Indu: I d.C. Indu: IX d.C. Indu: XI d.C. Indu-arábico Oriental: XI d.C. Indu-arábico Ocidental: XI d.C. Indu-arábico Ocidental: XV d.C. Indu-arábico Ocidental: XVI d.C.

Intgrodução dos algarismos indu-arábicos na Europa 1090-1150: Adelardo de Bath Erudito inglês Estudou árabe Traduziu Euclides para o latim Traduziu Al-Khwarizmi Usou os algarismos indu-arábicos 1170-1230: Leonardo Fibonacci Matemático italiano Estudou matemática com árabes Estudou Al-Khwarizmi Escreveu 'O livro do ábaco' Explicou o uso dos algarismo indu-arábicos Fibonacci

Um dos motivos da Idade das Trevas Considerado o mais sábio dos santos e o mais santo dos sábios , elaborou a SUMMA TEOLOGICA , que é a a síntese do cristianismo adotando o mundo geocêntrico de Aristóteles . Este seu maior mérito enfim perdurou e prevaleceu como a verdadeira ciência e sabedoria da Igreja Católica até muito além dos tempos de Galileu... Assim foram 400 anos que caracterizaram a Idade Média como: A Idade das Trevas Idade Média São Tomás de Aquino 1225 a 1274

Astrônomos árabes Felizmente existiram os ... ... livres das algemas cristãs!

Milênio perdido no ocidente Galileu Uso do telescópio Newton Mecânica Clássica Observatório de Istambul (Turquia) ? Ulugh Beg Catálogos estelares Ptolomeu Sistema Geocêntrico Hiparcos Distância Terra-Lua Eratóstenes Raio da terra Aristarco Processo p/ obter a distância até o Sol Aristóteles Geocentrismo filosófico Heráclides Sistema híbrido Pitágoras Terra esférica Kepler Raios orbitais Órbitas elípticas Tycho Brahe Excelente observador Copérnico Sistema Heliocêntrico Filolau Heliocentrismo religioso Tales Previsão de eclipse solar Platão Estrelas fixas na esfera e planetas errantes Eudoxo Geocentrismo 200 400 1000 800 600 400 200 1200 1400 1600 0 1800 2000 600

Deslocamento do saber Espanha Portugal França Itália Iugoslávia Alb. Grécia Turquia Síria Egito Líbia Iraque Jordânia Arábia Líbano Israel Bulgária Tunísia Argélia Marrocos Mar Mediterrâneo Mar Vermelho Irã

Ulugh Beg (1394 Pérsia – 1449 Uzbequistão) Construiu um observatório em Samarkand: Sextante de 48 m recortado no solo. Instrumento muito preciso: 5' Criou um catálogo com 1018 estrelas em 1437. Lamentavelmente só foi publicado em 1665. Samarkand

Descrição chinesa do Céu ~940 d.C.

Esfera celeste chinesa metálica

Astronomia chinesa Schall Globo celeste chinês

Astronomia chinesa Determinação do solstício Explicação de um eclipse solar

Sistema de Tycho Brahe (séc. XVI) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Mar Sat Júp

Observatórios de Tycho Brahe Stellaburg Uraniburg

Tycho Brahe (1564 - 1601) Legado: Observações precisas de planetas e estrelas. Melhor conjunto de medidas das posições de Marte Orifício para observação Quadrante mural de Tycho Brahe

Tycho Brahe observando a supernova de 1572

Visão moderna demais ... para a época!

Giordano Bruno ( Italiano, séc. XVI ) O espaço é infinito. As estrelas são outros sóis. Em torno delas giram outros planetas com outros seres vivos. A Terra se move. Temos que manter nossa reserva de mercado!!!!

Heliocentrismo por conveniência Sol Copérnico

Sistema Heliocêntrico ( Copérnico, séc. XVI ) Esfera das estrelas fixas Ter Lua Mer Vên Sol Mar Júp Sat Copérnico ( séc. XVI )

Como explicar o movimento aparente não “perfeito” ? Oeste Leste “ Laçada”

Explicação das ‘laçadas’ Sol Copérnico 4 P 4 T 4 1 P 1 T 1 P 2 T 2 2 T 0 P 0 3 T 3 P 3 5 T 5 P 5 1 2 3 4 5 Laçada 1 2 3 4 5 Movimentos

Demócrito ( V a.C. ) Via Láctea = Conjunto muito grande de estrelas

Hevelius e sua "luneta" vazia (sem lente)

Galileu e a luneta Galileu mostrando sua luneta às autoridades de Veneza

Observações a olho nu e com telescópios 1609 Era pré-telescópio Galileu Era pós-telescópio

Via Láctea Galáxia Galileu (1610) descobriu a composição estelar

Mas ... será que Galileu foi realmente o primeiro a observar o céu com uma luneta?

Quem começou a usar a luneta celeste? Thomas Harriot 1609 jul 26 Desenhos da Lua feitos por Harriot, aparentemente usando luneta Hans Lippershey Carta citando algo que pode ser um telescópio: "Olhando através dessas lentes, que ele clama ter descoberto, todas as coisas a grande distância podem ser vistas como se estivessem perto." 1608 set 25 Sacharias Janssen Tavez tenha inventado a luneta antes de 1600. Mas ... não há documentos comprobatórios! ~1600 ~1352 Hugh de Provence Construção de óculos usando lentes ~1286 Fabricação das primeiras lentes por um monge de um monastério em Piza Galileu 1610 1609 ago 25 Galileu mostrando a luneta

Morte do sistema geocêntrico puro! Galileu Aqui jaz o Geocentrismo

Fases de Vênus Sistema Copernicano Sistema Ptolomaico Não perceptível a olho nu 3 4 2 1 5 6 Sol 3 4 2 5 6 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 Sol

Fases de Vênus Perto da conjunção inferior Perto da conjunção superior Perto da máxima elongação

Satélites de Júpiter ( Galileu, séc. XVII ) Os satélites giram em torno de Júpiter , e não da Terra! Noite 1 Júpiter Noite 2 Noite 3 Noite 4 Noite 5

Explicando a visão dos satélites de Júpiter Júp Olhando para Júpiter Io Europa Ganimedes Calixto

Morte do Sistema Geocêntrico! Geo Helio Bradley Aberração 1728 Prova da translação da Terra Foucault Pêndulo 1852 Prova da rotação da Terra

Tamanho da Sombra Sombra em verdadeira grandeza exige que a fonte esteja no infinito. Fonte de luz Sombra Eratóstenes admitiu que o Sol deveria estar muuuito distante, já que as sombras por ele projetadas apareciam em verdadeira grandeza Eratóstenes

O Sol em Alexandria e em Siena (séc. III a .C.) Egito Siena Alexandria Eratóstenes Sol Eratóstenes Obelisco

Raio da Terra ( Eratóstenes, séc. III a .C. ) L Alexandria Siena R 360 0  2  R   L Terra R = 360 0 L / (2   )  = 7,2 0 L  800 km R Real  6378 km R Eratóstenes = R Real + 15% R Real Obelisco   22 / 7 Raios de Sol  Eratóstenes

Obtendo o período orbital da Lua

Período orbital da Lua Terra t 1 Estrela X Período orbital T = t 2 – t 1 T = 27,32166 dias Método: Reposicionamento da Lua com relação às estrelas Observa-se a Lua no instante t 1 quando ela está na direção de dada estrela. Observa-se a Lua no instante t 2 quando ela volta a estar na direção daquela mesma dada estrela. Terra t 2 Estrela X

Períodos Lunares Período orbital da Lua t 2 -t 1 = 27,321660 dias Período sinódico da Lua t 3 -t 1 = 29,530589 dias Sol Lua Cheia Terra t1 Terra t2 Terra t3 Lua Cheia

Período orbital da Lua A = período orbital da Terra =tempo para dar uma volta em torno do Sol T = período orbital da Lua =tempo para dar uma volta em torno da Terra S = período sinódico da Lua =tempo entre duas fases iguais consecutivas Terra: A  360 o S  a Lua: S  360 o + a T  360 o T = 27,32166 dias a Lua Cheia a Terra t 2 Lua Cheia Terra t 1

Esquema e uso de um astrolábio simples Transferidor Canudinho de refrigerante Borracha Linha Fita colante Fita colante 0 90 90 0 30 30 0

Medindo o semidiâmetro angular do Sol e da Lua com o astrolábio Lua L = semi-diâmetro angular da Lua L ~ 16’ (medido) Sol s = semi-diâmetro angular do Sol s ~ 16’ (medido)

Semi-diâmetro angular do Sol e da Lua s  16’ L  16’ Os dois astros têm a mesma abertura angular aparente! Coincidência?! Sol Lua Balestilha

Distância da Terra à Lua Hiparcos Almagesto

Região de umbra e de penumbra num Eclipse Lunar Umbra Penumbra Corte no 'céu' na região em que a Lua cruza a sombra da Terra durante um eclipse lunar Sol Terra Sol

Tipos de eclipses lunares Umbra Penumbra Lua Movimento aparente da Lua no céu Penumbral Parcial Penumbral Total Umbral Total Sem eclipse Umbral Parcial

Distância da Terra à Lua ( Hiparcos, séc. II a .C. ) s a b c c L L R L 1 L 2 A B C Sol Lua Q d d = Distância Terra-Lua = ? = Valor procurado R = raio da Terra (Eratóetenes) L = semi-diâmetro angular da Lua  16’ (medido) s = semi-diâmetro angular do Sol  16’ (medido) a = semi-diâmetro angular da Terra vista do Sol  8,794” T = período orbital da Lua  27,3 dias t = Duração do eclipse = t final - t inicial t final t inicial Vela t inicial t final Meio dia Meio dia

Trigonometria no triângulo retângulo a b c B se n B = Cateto SE parado / Hipotenusa co s B = Cateto CO lado / Hipotenusa

Distância da Terra à Lua s a b c c L L R L 1 L 2 A B C Sol Lua Q d No triângulo BCQ: sen b = R / d Logo: d = R / sen b B b R C Q d

Geometria plana A B C Soma dos ângulos internos de um triângulo plano A + B + C = 180 o Ângulo raso 180 o A B C

Distância da Terra à Lua s a b c c L A B Lua d R C Sol L Para a Lua: T  360 o t  2( c + L ) No triângulo ABC: a + b + x = 180 o Ângulo raso em C: s + x + c = 180 o a + b + x = s + x + c a + b = s + c a  0 b  s + c No triângulo BCQ: sen b = R / d Logo: d = R / sen b t = t 2 - t 1 x L 2 L 1 Q

Aristarco (III a.C.) Sol Translação da Terra Sugeria: # Rotação da Terra em torno de seu eixo # Movimento de translação da Terra em torno do Sol Rotação da Terra Não apresentou provas nem evidências!

Distância da Terra ao Sol ( Aristarco, séc. III a .C. ) a d D cos a = d / D D = d / cos a Lua Quarto Crescente Terra Sol D Aristarco ~ 8 milhões de km séc. XVII D Wendelin ~ 96 " km 1642 D Cassini ~ 140 " km D Real  150 " km Trajetória da Lua em torno da Terra Vilão da imprecisão: a  89 0 51' 11"  90 0

Configurações planetárias particulares

Planetas interiores e exteriores Lua Mer Vên Mar Júp Sat Ura Net Ter Sol Interiores Mercúrio Vênus Exteriores Marte Júpiter Saturno Urano Netuno

Planetas internos e externos Em ordem de distância e em escala de tamanho S o l Plu Mer Vên Mar Ter Júp Sat Ura Net Plu Planetas internos Planetas externos

Configurações Planetárias Sol Interior Exterior Oposição Conjunção Quadratura Ocidental Quadratura Oriental Conjunção Superior Conjunção Inferior Máxima Elongação Ocidental Máxima Elongação Oriental Lua Mer Vên Mar Júp Sat Ura Net Ter Sol

Tamanho aparente de Marte ao longo de um período sinódico ~ Conjunção ~ Conjunção ~ Oposição ~ Oposição

Máximas elongações PS Leste Oeste Máxima elongação ocidental Máxima elongação oriental Interiores Mercúrio Vênus

Quadraturas PS Leste Oeste Quadratura ocidental Quadratura oriental Exteriores Marte Júpiter Saturno Urano Netuno

Raio orbital dos planetas do Sistema Solar

Planetas interiores Lua Mer Vên Mar Júp Sat Ura Net Ter Sol Interiores Mercúrio Vênus

Rotação de um corpo rígido   Todos os pontos de um corpo rígido giram em torno de um ponto fixo sob um mesmo ângulo A B O A B

Planetas Interiores Distância X: sen B = X / D X = D . sen B Períodos S = t 3 - t 1 = Sinódico T = ? = Orbital A = 365,256 (Orb. da Terra) Terra A  360 0 S  a Planeta S  360 0 + a T  360 0 1/T = 1/A + 1/S b b tempo B B = b máximo Ângulo entre o Sol e o planeta T 1 D X B P 1 P 2 P 3 P 4 a a T 1 T 3 P 1 P 3 P 2 D X b T 2

Planetas exteriores Lua Mer Vên Mar Júp Sat Ura Net Ter Sol Exteriores Marte Júpiter Saturno Urano Netuno

Planetas Exteriores T 1 T 3 P 1 P 3 T 2 P 2 a Terra A  360 0 S  360 + a Planeta S  a T  360 0 1/T = 1/A - 1/S Terra Planeta A  360 0 T  360 0 t  b t  c No  ST 2 P 2  = b - c cos  = D / Y Y = D / cos  T 1 P 1 T 2 P 2 Sol b c  D Y t = t 2 - t 1

‘ Lei’ empírica de Titus & Bode Descobridor (?) Johann Titius von Wittenberg (1766) Divulgador: Johann Bode (1747-1826) Bode Titus

Lei de Titus-Bode (1766) Astro n D Real (UA) Mercúrio -  0,40 0,39 Vênus 0 0,70 0,72 Terra 1 1,00 1,00 Marte 2 1,60 1,52 Asteróides 3 2,80 2,80 Júpiter 4 5,20 5,20 Saturno 5 10,0 9,54 Urano 6 19,6 19,2 Netuno 7 38,8 30,1 Plutão 8 77,2 39,4 D = 0,4 + 0,3 * 2 n Sol D Planeta Terra D Terra = 1

Determinação da velocidade da luz

Ocultações dos satélites de Júpiter Júpiter Previsão de ocultações: t 1 t 2 t 3 ... t n Ocultações efetivas: t 1 +  t 1 t 2 +  t 2 t 3 +  t 3 ... t n +  t n Valores dos  t 0 + 8 m - 8 m Seqüência cronológica das ocultações

Velocidade da Luz segundo Röemer / Huyghens J J T T A partir dos dados de Röemer v = 227.000 km Real c  299.792 km Eclipse parece acontecer atrasado Röemer Dinamarquês 1644 - 1710 Fez as medidas 1676 Huyghens Holandês 1629 - 1695 Interpretou os dados 1690

Velocidade da luz, segundo Röemer (Dinamarca, 1675) 1 Júpiter 1 3 3 2 2 Terra Sol r = 150.000.000 km Real c  300.000 km Valores dos  t 0 + 8 m - 8 m Seqüência cronológica das ocultações ~16 min c = d / (  t + +  t - ) d = 2r c Röemer  227.000 km/s

Duração do dia solar num planeta qualquer

Dia Solar num planeta Estrela distante R (Período de rotação) Sol O (Período orbital do planeta) Rotação D  360 0 + x R  360 0 Translação D  x O  360 0 1/D = 1/R + 1/O D = O • R / (O - R) D (Dia Solar do planeta) x x

Mas será que as órbita dos planetas são mesmo circulares?

Órbita da Terra segundo Kepler

Lei do seno num triângulo qualquer a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

Distâncias da Terra ao Sol M 0 =M 1 =M 2 Terra: s = (360 o / T) ( t’- t 0 ) No  STM m = 180 o - s - b d / sen m = D / sen b D = Sol- Marte = constante depois de cada ciclo d = ? = Sol-Terra (constante?) T 0 D SM b = ângulo medido entre o Sol e Marte Sol T = período orbital da Terra t´- t 0 = múltiplo do período orbital de Marte T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 T 2 s 2 m 2 b 2 d 2 a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

Órbita da Terra em torno do Sol, segundo Kepler M 0 T 0 D SM Sol Diagrama polar Circunferência! M 0 T 0 T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 T 2 s 2 m 2 b 2 d 2 D SM Sol T 1 s 1 d 1 T 2 s 2 d 2 Centro

Órbita de Marte segundo Kepler

Distância do Sol à Marte segundo Kepler Terra a = (360 o / T) ( t’- t ) No  STM m = 180 o - s - b No  STM d / sen m = D / sen b Marte n = ( 360 o / M ) ( t’- t ) D = ? = Sol- Marte d = Sol-Terra = conhecido M 0 T 0 D SM s = a - n Sol b = ângulo medido entre o Sol e Marte M = período orbital de Marte T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 D 1 n 1 a 1 M 1 T 2 b 2 s 2 m 2 d 2 D 2 n 2 a 2 M 2 a b c A B C a / sen A = b / sen B = c / sen C

Órbita de Marte segundo Kepler T 0 D SM M 0 Sol Elipse D 2 n 2 M 2 D 1 n 1 M 1 M 0 T 0 D SM T 1 s 1 m 1 b 1 d 1 D 1 n 1 a 1 M 1 T 2 b 2 s 2 m 2 d 2 D 2 n 2 a 2 M 2 Sol

Primeira Lei de Kepler ( 1571 - 1630 ) Um planeta gira em torno do Sol numa órbita elíptica, sendo que o Sol ocupa o foco da elipse. Sol Semieixo maior Semi eixo menor Foco Planeta

Segunda Lei de Kepler Foco A A  t  t Um planeta gira em torno do Sol numa órbita elíptica, sendo que o Sol ocupa o foco da elipse.

Terceira Lei de Kepler Existe alguma relação entre r e T ? T’ m’ r’ M m T r

Obtenção da terceira lei de Kepler r T r 3 = k T 2 r 3 T 2 r 2 T r 3 T r 3 T 3

Terceira Lei de Kepler ( r / r’ ) 3 = ( T / T’ ) 2 r 3 = k T 2 O cubo do semieixo maior é proporcional ao quadrado do período orbital T’ m’ r’ M m T r

Enunciado atual da Terceira Lei de Kepler ( r / r’ ) 3 = { ( M + m ) / ( M + m’ ) } x ( T / T’ ) 2 T’ m’ r’ M m r T r 3 = [G/(4  2 )] ( M + m ) T 2 Expressão correta: ( r / r’ ) 3 = ( T / T’ ) 2 r 3 = k T 2

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