MACs

1. ÁRVORES ABRANGENTES

2. Árvores abrangentes
Uma árvore abrangente é um grafo conexo e sem circuitos, que contém todos
os seus vértices.
A utilização de uma árvore abrangente na resolução de problemas identifica-se
com os problemas do tipo do caixeiro viajante: está implícita a procura de um
circuito de Hamilton uma vez que temos de «visitar» todos os vértices.
No entanto, não temos de regressar ao ponto de partida.
ÁRVORES ABRANGENTES

3. O que procuramos é uma árvore abrangente mínima.
Uma árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima
Algoritmo de Kruskal
As arestas do grafo vão-se unindo por ordem crescente dos pesos, desde que
não se formem circuitos, sendo que, no final, todos os vértices estão na árvore.
Este algoritmo garante que a solução encontrada é uma solução ótima, ao
contrário dos algoritmos utilizados para os problemas do tipo do Caixeiro
Viajante.
ÁRVORES ABRANGENTES

4. Um camião deve recolher resíduos tóxicos de 7 instalações e, ao fazê-lo, deve percorrer a
menor distância possível. A empresa responsável distribuiu ao condutor um esquema,
com as instalações a visitar e as distâncias entre elas (em km), que está representado a
seguir sob a forma de grafo:
Determine o percurso mínimo e desenhe a árvore abrangente correspondente.
A
C
D
35
45
70
10
60
93
37
55
52
43
B
F
E
G
23
ÁRVORES ABRANGENTES

5. Vamos ordenar as arestas do grafo representativo da situação problemática apresentada
por ordem crescente dos pesos das arestas:
A
C
D
35
45
70
10
60
93
37
55
52
43
B
F
E
G
23
C A ;
10
C D ;
23
C E ;
35
B F ;
60
A D ;
37
E G ;
43
B D ;
45
F G ;
52
A B ;
55
D E ;
70
D F
93
ÁRVORES ABRANGENTES

6. A
C
10
60
93
37
55 45
B 52
F
35
E
43
G
70
D
23
C A
10
C D
23
C E.
35
B F ,
60
A D
37
E G ,
43
B D ,
45
F G
52
A B ,
55
D E
70
D F,
93
Escolhemos a aresta para começar
e juntamos a seguir e
A aresta não pode ser acrescentada
pois fecharia o circuito.
Acrescentam-se as arestas
e já não se acrescentam
pois já temos todos os vértices ligados.
e
ÁRVORES ABRANGENTES

7. Resultado final:
10
45
52
35
43
A
C
B
F
E
G
D
23
A árvore abrangente mínima para a situação apresentada
é:
O percurso tem um comprimento de 10+ 23+ 35 + 43+ 45 = 208 km.
+ 52
ÁRVORES ABRANGENTES