Este documento discute o modelo de crescimento logarítmico. Ele apresenta a equação do modelo logarítmico e explica como o gráfico desse modelo forma uma curva. O documento também fornece um exemplo numérico de como aplicar o modelo logarítmico para modelar o crescimento de altura de árvores com base em dados reais.

1. MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

2. Modelo de crescimento logarítmico
É uma função de equação
variável dependente
variável independente
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO
𝑦 = 𝑎 + 𝑏 ln 𝑥 , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

3. O seu gráfico é uma curva:
x
b
a
y ln


MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

4. Problema: Os dados da tabela referem-se ao crescimento médio de um certo tipo de
árvore num pomar, plantadas com 1 ano:
Idade (anos) Altura (metros)
1 1,7
2 2,5
3 3,8
4 4,4
5 4,9
6 5,2
7 5,5
8 5,6
9 5,8
10 5,9
11 6,0
Com o auxílio da calculadora gráfica:
1.º Represente o conjunto de dados através de uma
nuvem de pontos.
2.º Determine o modelo de regressão logarítmico de
equação, , que se ajusta à nuvem de pontos.
Indique os valores de 𝑎 e de 𝑏 com uma aproximação
às milésimas.
3.º Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
x
b
a
y ln


MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

5. 1.º Represente o conjunto de dados através de uma nuvem de pontos.
Idade (anos)
Altura
(metros)
1 1,7
2 2,5
3 3,8
4 4,4
5 4,9
6 5,2
7 5,5
8 5,6
9 5,8
10 5,9
11 6,0
Introduzem-se os valores da tabela nas listas da calculadora:
e de seguida representa-se graficamente.
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

6. 2.º Determine o modelo de regressão logarítmico, de equação, ,que se ajusta à
nuvem de pontos. Indique os valores de 𝑎 e de 𝑏 com uma aproximação às milésimas.
A partir dos valores introduzidos
obtendo o modelo de crescimento logarítmico
x
b
a
y ln


x
y ln
918
,
1
611
,
1 

MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

7. 3.º Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

8. Questão 1: Estime a altura de uma árvore desta espécie ao fim de 15 anos.
No modelo determinado
basta substituir o valor da variável independente, 𝑥, por 15, pois nesta
situação a idade desempenha o papel da variável independente, sendo a
altura a variável dependente:
A altura da árvore deverá ser, aproximadamente, de 6,8 metros.
x
y ln
918
,
1
611
,
1 

80504028
,
6
15
ln
918
,
1
611
,
1
ln
918
,
1
611
,
1 15





 


 
y
y
x
y x
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

9. Questão 2: Estime ao fim de quantos anos a altura das árvores poderá ser
em média, de 8 metros.
Ao fim de, aproximadamente, 28 anos.
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO

10. Problema: De uma experiência envolvendo o crescimento de um cato em
função do tempo, recolheram-se os dados seguintes:
Tempo
(meses)
Comprimento
(cm)
1 9,5
2 17,1
4 30,6
6 45,0
8 50,8
10 55,4
12 57,3
14 59,5
16 60,8
18 61,6
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO
Com o auxílio da calculadora gráfica:
1.º Represente o conjunto de dados através de uma
nuvem de pontos.
2.º Determine o modelo de regressão logarítmico de
equação, , que se ajusta à nuvem de pontos.
Indique os valores de 𝑎 e de 𝑏 com uma aproximação
às milésimas.
3.º Verifique o ajuste do modelo à nuvem de pontos.
x
b
a
y ln



11. Resultados:
Nuvem de pontos
Ajuste do modelo determinado à nuvem de pontos
Modelo (regressão) logarítmico
MODELO DE CRESCIMENTO LOGARÍTMICO