1) O documento apresenta os conceitos de análise vetorial, movimento curvilíneo, velocidade e aceleração de um ponto material em coordenadas cartesianas.
2) Inclui exemplos de exercícios sobre movimento de projeteis, movimento relativo entre referenciais e equações que descrevem a trajetória de pontos materiais.
3) Fornece referências bibliográficas sobre mecânica vetorial.
Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros Alan Guimaraes
1) O documento apresenta um resumo sobre mecânica II, incluindo análise vetorial de movimento curvilíneo, derivadas vetoriais e movimentos de projeteis.
2) São definidos conceitos como vetor posição, velocidade e aceleração de um ponto material em coordenadas cartesianas e suas equações.
3) Também são apresentados exemplos de exercícios resolvidos sobre esses tópicos.
1. O documento apresenta as notas de aula sobre cinemática dos sólidos, abordando conceitos como vetor posição, velocidade e aceleração para partículas e sólidos.
2. São apresentados os objetivos gerais e específicos da disciplina, conteúdo programático, bibliografia e exemplos resolvidos sobre rotação com eixo fixo.
3. O resumo explica que durante rotação com eixo fixo, todos os pontos do sólido apresentam trajetórias circulares com a mesma vel
1) O documento apresenta as informações iniciais sobre um curso de Mecânica Técnica, incluindo os tópicos que serão abordados e a bibliografia recomendada.
2) É definida a Mecânica Técnica e seus principais ramos. Também são apresentadas as grandezas físicas fundamentais como comprimento, tempo, massa e força.
3) O Sistema Internacional de Unidades é explicado, incluindo as sete unidades de base, suas definições, unidades suplementares e derivadas.
Segundo a física, movimento é a variação de posição espacial de um objeto ou ponto material no decorrer do tempo. A área da Física que estuda o movimento é a Mecânica. Ela se preocupa tanto com o movimento em si quanto com o agente que o faz iniciar ou parar.
I. O documento apresenta os conceitos fundamentais do movimento harmônico simples, incluindo definições de elongação, amplitude, período, frequência, ângulo de fase, fase inicial e velocidade angular.
II. São descritas as funções horárias da elongação, velocidade e aceleração em termos destas grandezas.
III. Exemplos de exercícios sobre MHS são apresentados para ilustrar a aplicação destes conceitos.
Este documento lista 73 problemas resolvidos de física relacionados ao capítulo 8 do livro Física de Resnick, Halliday e Krane sobre a conservação da energia. Os problemas envolvem cálculos de velocidades, distâncias, energias e outras grandezas físicas usando o princípio da conservação da energia mecânica.
Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros Alan Guimaraes
1) O documento apresenta um resumo sobre mecânica II, incluindo análise vetorial de movimento curvilíneo, derivadas vetoriais e movimentos de projeteis.
2) São definidos conceitos como vetor posição, velocidade e aceleração de um ponto material em coordenadas cartesianas e suas equações.
3) Também são apresentados exemplos de exercícios resolvidos sobre esses tópicos.
1. O documento apresenta as notas de aula sobre cinemática dos sólidos, abordando conceitos como vetor posição, velocidade e aceleração para partículas e sólidos.
2. São apresentados os objetivos gerais e específicos da disciplina, conteúdo programático, bibliografia e exemplos resolvidos sobre rotação com eixo fixo.
3. O resumo explica que durante rotação com eixo fixo, todos os pontos do sólido apresentam trajetórias circulares com a mesma vel
1) O documento apresenta as informações iniciais sobre um curso de Mecânica Técnica, incluindo os tópicos que serão abordados e a bibliografia recomendada.
2) É definida a Mecânica Técnica e seus principais ramos. Também são apresentadas as grandezas físicas fundamentais como comprimento, tempo, massa e força.
3) O Sistema Internacional de Unidades é explicado, incluindo as sete unidades de base, suas definições, unidades suplementares e derivadas.
Segundo a física, movimento é a variação de posição espacial de um objeto ou ponto material no decorrer do tempo. A área da Física que estuda o movimento é a Mecânica. Ela se preocupa tanto com o movimento em si quanto com o agente que o faz iniciar ou parar.
I. O documento apresenta os conceitos fundamentais do movimento harmônico simples, incluindo definições de elongação, amplitude, período, frequência, ângulo de fase, fase inicial e velocidade angular.
II. São descritas as funções horárias da elongação, velocidade e aceleração em termos destas grandezas.
III. Exemplos de exercícios sobre MHS são apresentados para ilustrar a aplicação destes conceitos.
Este documento lista 73 problemas resolvidos de física relacionados ao capítulo 8 do livro Física de Resnick, Halliday e Krane sobre a conservação da energia. Os problemas envolvem cálculos de velocidades, distâncias, energias e outras grandezas físicas usando o princípio da conservação da energia mecânica.
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdlJunior Tonial Espinha
O documento discute vibração forçada harmonicamente sem amortecimento em um sistema de um grau de liberdade. Apresenta a modelagem matemática do movimento, resolvendo as equações diferenciais do movimento para obter a solução geral como a soma da resposta transitória e permanente. Explica conceitos como fator de ampliação, ressonância e batimento.
O documento discute conceitos fundamentais de física como movimento retilíneo uniforme, movimento retilíneo uniformemente variado, funções de posição, velocidade e aceleração para diferentes tipos de movimento. Ele fornece exemplos como o movimento de um rapaz em movimento uniforme e de um paraquedista em queda livre para ilustrar esses conceitos.
O documento classifica os sólidos geométricos em dois grupos: poliedros, limitados por superfícies planas, e não poliedros, que possuem alguma superfície curva. Prismas e pirâmides são exemplos de poliedros, com prisma tendo bases paralelas e pirâmide com vértice único. Objetos do dia a dia como esferas, cubos e cilindros ilustram os diferentes tipos de sólidos.
1) O documento apresenta a resolução de dois problemas envolvendo cálculos de campos de velocidade e fluxo. O primeiro problema calcula a velocidade em diferentes regiões de um campo de escoamento dado. O segundo problema calcula a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através de uma superfície inclinada para um campo de velocidade dado.
Este documento descreve o método de ensaio de dureza Vickers. Ele foi desenvolvido por Smith e Sandland em 1925 para superar limitações dos ensaios de dureza Brinell e Rockwell. O ensaio Vickers usa um penetrador de diamante em forma de pirâmide para medir a dureza de um material com base na relação entre a força aplicada e a área da impressão deixada. O documento explica como calcular a dureza Vickers a partir das medidas das diagonais da impressão e as vantagens deste método em fornecer uma
1) Cálculos estáticos de vigas sob ação de cargas distribuídas e concentradas para determinar forças internas.
2) Transformação de cargas distribuídas em cargas concentradas para simplificar os cálculos.
3) Uso de equações de equilíbrio para calcular forças desconhecidas como reações, esforços axiais e momentos fletores.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento discute parâmetros para medir a rugosidade de superfícies, como Ra (rugosidade média), Ry (rugosidade máxima), e Rt (rugosidade total). Ra é a média aritmética dos valores de desvio da linha média. Ry é o maior valor de desvio parcial em um percurso de medição. Rt é a distância entre o pico mais alto e o vale mais fundo em um percurso. Cada parâmetro tem usos específicos dependendo do tipo de superfície e processo de fabricação.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de viga.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
1) O documento discute funções vetoriais e suas propriedades como domínio, imagem e continuidade.
2) Apresenta exemplos de curvas no espaço como helicóide e cicloide definidas por funções vetoriais.
3) Discutem derivadas de funções vetoriais e suas interpretações geométricas em termos de velocidade e aceleração de uma partícula.
O documento apresenta 12 situações de movimento circular e as fórmulas de forças envolvidas em cada uma delas, como força centrípeta, peso, força normal, força de atrito e força elástica. As situações incluem objetos girando presos a fios ou molas, carros em curvas, brinquedos de parque de diversões e aeronaves fazendo curvas.
1. Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elementos de máquinas para fixar conceitos da disciplina.
2. A lista contém 74 exercícios sobre temas como velocidade angular, período, frequência e cálculos em transmissões por correias e polias.
3. Os exercícios foram elaborados por alunos da Universidade Tuiuti do Paraná para a disciplina de Elementos de Máquinas I.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme (MCU), incluindo radianos, velocidade angular, velocidade linear, período, frequência, aceleração centrípeta e força centrípeta. Exemplos ilustram como calcular estas grandezas para objetos em movimento circular como discos, rodas e esferas presas por fios.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento descreve um experimento sobre a Lei de Ohm, realizando medidas de resistência e associando resistores em série e paralelo. Foram obtidos valores de tensão e corrente para cada resistor isolado e combinações, e traçados gráficos que confirmaram a linearidade prevista pela lei, apesar dos erros nas medidas não terem permitido precisão total nos valores calculados.
O documento discute os conceitos fundamentais de estática, incluindo: (1) Para um corpo estar em equilíbrio, a soma das forças aplicadas deve ser nula; (2) Para um corpo rígido estar em equilíbrio, a soma dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser nula; (3) Exemplos e exercícios ilustram como aplicar esses princípios para determinar forças desconhecidas.
O documento descreve os diferentes estados de tensão que podem ocorrer em peças estruturais sob carga, incluindo tensões normais, de cisalhamento e em planos inclinados. Explica que uma barra sob carga axial pode desenvolver tensões normais e de cisalhamento em seções inclinadas, e que as tensões em um ponto podem ser representadas por um tensor simétrico de 6 componentes. Também discute os estados plano e tridimensional de tensão, com ênfase no estado plano de tensão em chapas.
Este documento apresenta exercícios resolvidos sobre fenômenos de transporte em engenharia, incluindo cálculos de vazão, número de Reynolds, e aplicação da equação de Bernoulli. As propriedades do escoamento, como regime laminar ou turbulento, são analisadas. Unidades são convertidas entre o sistema inglês e SI.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento descreve o capítulo 4 sobre deflexão de vigas de um curso de engenharia civil. O capítulo apresenta a equação diferencial da linha elástica para vigas sob flexão e discute as condições de contorno e continuidade. Dois exemplos ilustram o cálculo da deflexão, rotação e outros parâmetros para vigas sob diferentes configurações de carregamento.
Aula 4 vibração forçada hamonicamente sem e com amortecimento 1 gdlJunior Tonial Espinha
O documento discute vibração forçada harmonicamente sem amortecimento em um sistema de um grau de liberdade. Apresenta a modelagem matemática do movimento, resolvendo as equações diferenciais do movimento para obter a solução geral como a soma da resposta transitória e permanente. Explica conceitos como fator de ampliação, ressonância e batimento.
O documento discute conceitos fundamentais de física como movimento retilíneo uniforme, movimento retilíneo uniformemente variado, funções de posição, velocidade e aceleração para diferentes tipos de movimento. Ele fornece exemplos como o movimento de um rapaz em movimento uniforme e de um paraquedista em queda livre para ilustrar esses conceitos.
O documento classifica os sólidos geométricos em dois grupos: poliedros, limitados por superfícies planas, e não poliedros, que possuem alguma superfície curva. Prismas e pirâmides são exemplos de poliedros, com prisma tendo bases paralelas e pirâmide com vértice único. Objetos do dia a dia como esferas, cubos e cilindros ilustram os diferentes tipos de sólidos.
1) O documento apresenta a resolução de dois problemas envolvendo cálculos de campos de velocidade e fluxo. O primeiro problema calcula a velocidade em diferentes regiões de um campo de escoamento dado. O segundo problema calcula a vazão volumétrica e o fluxo de quantidade de movimento através de uma superfície inclinada para um campo de velocidade dado.
Este documento descreve o método de ensaio de dureza Vickers. Ele foi desenvolvido por Smith e Sandland em 1925 para superar limitações dos ensaios de dureza Brinell e Rockwell. O ensaio Vickers usa um penetrador de diamante em forma de pirâmide para medir a dureza de um material com base na relação entre a força aplicada e a área da impressão deixada. O documento explica como calcular a dureza Vickers a partir das medidas das diagonais da impressão e as vantagens deste método em fornecer uma
1) Cálculos estáticos de vigas sob ação de cargas distribuídas e concentradas para determinar forças internas.
2) Transformação de cargas distribuídas em cargas concentradas para simplificar os cálculos.
3) Uso de equações de equilíbrio para calcular forças desconhecidas como reações, esforços axiais e momentos fletores.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
O documento discute parâmetros para medir a rugosidade de superfícies, como Ra (rugosidade média), Ry (rugosidade máxima), e Rt (rugosidade total). Ra é a média aritmética dos valores de desvio da linha média. Ry é o maior valor de desvio parcial em um percurso de medição. Rt é a distância entre o pico mais alto e o vale mais fundo em um percurso. Cada parâmetro tem usos específicos dependendo do tipo de superfície e processo de fabricação.
1. O documento discute cisalhamento transversal em vigas, apresentando a relação entre esforço cortante e tensão cisalhante.
2. Apresenta a fórmula para calcular tensão cisalhante em seções retangulares e suas limitações.
3. Inclui dois exemplos numéricos ilustrando cálculos de momento de inércia, momento estático, esforço cortante e tensão cisalhante em pontos de viga.
O documento apresenta os conceitos fundamentais da disciplina de Mecânica Técnica. É introduzido o curso, o professor, as unidades do Sistema Internacional e os principais tópicos a serem abordados, incluindo definição de mecânica, grandezas físicas, equilíbrio de corpos rígidos e bibliografia recomendada.
1) O documento discute funções vetoriais e suas propriedades como domínio, imagem e continuidade.
2) Apresenta exemplos de curvas no espaço como helicóide e cicloide definidas por funções vetoriais.
3) Discutem derivadas de funções vetoriais e suas interpretações geométricas em termos de velocidade e aceleração de uma partícula.
O documento apresenta 12 situações de movimento circular e as fórmulas de forças envolvidas em cada uma delas, como força centrípeta, peso, força normal, força de atrito e força elástica. As situações incluem objetos girando presos a fios ou molas, carros em curvas, brinquedos de parque de diversões e aeronaves fazendo curvas.
1. Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elementos de máquinas para fixar conceitos da disciplina.
2. A lista contém 74 exercícios sobre temas como velocidade angular, período, frequência e cálculos em transmissões por correias e polias.
3. Os exercícios foram elaborados por alunos da Universidade Tuiuti do Paraná para a disciplina de Elementos de Máquinas I.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento circular uniforme (MCU), incluindo radianos, velocidade angular, velocidade linear, período, frequência, aceleração centrípeta e força centrípeta. Exemplos ilustram como calcular estas grandezas para objetos em movimento circular como discos, rodas e esferas presas por fios.
O documento descreve as funções afins, definindo-as como f(x)=ax+b e explicando os significados de a e b. Também apresenta casos particulares como funções constantes, lineares e identidade. Exemplifica como determinar a e b a partir de dois pontos e estudar o sinal da função.
O documento descreve um experimento sobre a Lei de Ohm, realizando medidas de resistência e associando resistores em série e paralelo. Foram obtidos valores de tensão e corrente para cada resistor isolado e combinações, e traçados gráficos que confirmaram a linearidade prevista pela lei, apesar dos erros nas medidas não terem permitido precisão total nos valores calculados.
O documento discute os conceitos fundamentais de estática, incluindo: (1) Para um corpo estar em equilíbrio, a soma das forças aplicadas deve ser nula; (2) Para um corpo rígido estar em equilíbrio, a soma dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser nula; (3) Exemplos e exercícios ilustram como aplicar esses princípios para determinar forças desconhecidas.
O documento descreve os diferentes estados de tensão que podem ocorrer em peças estruturais sob carga, incluindo tensões normais, de cisalhamento e em planos inclinados. Explica que uma barra sob carga axial pode desenvolver tensões normais e de cisalhamento em seções inclinadas, e que as tensões em um ponto podem ser representadas por um tensor simétrico de 6 componentes. Também discute os estados plano e tridimensional de tensão, com ênfase no estado plano de tensão em chapas.
Este documento apresenta exercícios resolvidos sobre fenômenos de transporte em engenharia, incluindo cálculos de vazão, número de Reynolds, e aplicação da equação de Bernoulli. As propriedades do escoamento, como regime laminar ou turbulento, são analisadas. Unidades são convertidas entre o sistema inglês e SI.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento descreve o capítulo 4 sobre deflexão de vigas de um curso de engenharia civil. O capítulo apresenta a equação diferencial da linha elástica para vigas sob flexão e discute as condições de contorno e continuidade. Dois exemplos ilustram o cálculo da deflexão, rotação e outros parâmetros para vigas sob diferentes configurações de carregamento.
O documento descreve as propriedades da função polinomial do 2° grau f(x) = ax2 + bx + c. Ele define a função, explica como calcular o vértice e raízes e analisa a variação de sinal e concavidade de acordo com os valores de a, b e Δ.
O documento discute os conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado, definindo-os, apresentando suas equações, representações gráficas e propriedades. É apresentada a equação de Torricelli para movimento uniformemente variado. Exemplos numéricos ilustram os conceitos discutidos.
O documento discute a definição de ângulos entre retas e planos no espaço. Para ângulos entre retas, ele define que o ângulo é 0° se as retas forem coincidentes ou paralelas, ou o menor ângulo positivo entre as retas se forem concorrentes. Para planos, o ângulo é 0° se forem paralelos ou coincidentes, ou o ângulo entre as retas perpendiculares aos planos que passam pelo ponto de interseção. Ele também fornece fórmulas para calcular esses ângulos
Exercicios resolvidos unidade 1 curso básico de mecânica dos fluidoszeramento contabil
O documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre mecânica dos fluidos. O primeiro exercício determina a lei de variação da tensão de cisalhamento e o momento total aplicado a um mecanismo que gira com velocidade angular constante. O segundo exercício calcula a velocidade de descida de uma placa sobre um plano inclinado lubrificado. O terceiro exercício calcula o momento resistente originado por um óleo em contato com um eixo em rotação. O quarto exercício determina a expressão para o cálculo do
1) O capítulo descreve modelos matemáticos para molas, crescimento exponencial e logístico, circuitos elétricos e reações químicas.
2) A seção sobre molas fornece a equação diferencial que descreve o movimento de um corpo preso a uma mola e sua solução.
3) As seções sobre crescimento exponencial e logístico fornecem as equações diferenciais que descrevem esses modelos populacionais e suas soluções.
1. Mecânica II.
Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br
Mecânica II
Parte II
Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais,
movimentos de projeteis.
Referências:
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996.
[2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978.
[3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica,
ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991.
[4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999.
[5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego,
1985.
Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas)
Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo.
r
Vetor posição .
j∣=∣
Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos , e k , isto é, ∣∣=∣ k∣ .
i j i
Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano.
i j
=x y z k
r
∣∣=r= x y j z k ⋅ x y jz k
r i i
r= x y z
2 2 2
Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares).
˙ d
r r
= = lim
v r =
t 0 t dt
d dx dy dz
˙
r j
= x i y z k = i ˙ i ˙ j ˙
j k = x y z k
dt dt dt dt
∣ ∣
r
v = lim
s ds
t 0 t
= = lim
dt t 0 t ∣
= lim
t 0 t
r
= ∣∣ ∣
dr
dt
=∣∣
˙
r
v= x 2 y 2 z 2
˙ ˙ ˙
dx
Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura x =
˙ ,
dt
2
d xi
xi =
¨ 2
,onde x i é uma variável qualquer de um sistema de coordenas.
dt
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Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
2. Mecânica II.
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Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares).
2
˙ d d
v v r
= = lim
a v = = 2
t 0 t dt dt
d dx dy dz
˙ ˙ ˙
= x i ˙ z k =
¨
r ˙ y j ˙ i j ¨ i ¨ j ¨
k = x y z k
dt dt dt dt
2
a r
= =¨ d = d
v r
dt dt 2
a=∣∣= x 2 y 2 y 2
¨
r ¨ ¨ ¨
Movimento relativo.
Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo:
r
Posição relativa A/ B
r r r
B= A B / A
v
Velocidade relativa A/ B
d d
B = A B / A
r r r
dt dt
˙
r r r˙ ˙ v v v
B= A B / A ⇒ B = A B / A
a
Aceleração relativa A / B
¨ B= A B / A ⇒ B= A B / A
r
r ¨ r ¨ a a a
Exercícios.
1. Dispara-se um projétil de uma colina de y 0=150 m , ˙ 0=v cos θ =180 cos 30º m/s
y
150 m de altura, com uma velocidade inicial 1
y= y 0 ˙ 0 t g t 2
y
de 180 m/ s , num ângulo de 30º com a 2
horizontal. Desprezando-se a resistência do ar,
determinar (a) distância horizontal da arma ao 2
0=2y 02 ˙ 0 tg t ⇒ t=
y
˙ 2
−2 y 0 ± 2 y 0 −4g 2y0
˙
2g
ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura
t=19,9 s tempo de queda da bala.
máxima que o projétil alcança em relação ao
solo.
Movimento na horizontal (direção x).
x 0=0, x 0 =v sen =180 sen 30º m / s
˙
x= x0 x 0 t ⇒ x=3,10 km
˙
(b) Elevação máxima
Quando a elevação é máxima temos um ponto
de retorno da variável y , sendo que ˙ =0 ,
y
assim, temos:
Resposta:
Consideremos separadamente o movimento − y0
˙
y = y 0 g t ⇒0= y 0g t ⇒ t=
˙ ˙ ˙
vertical e horizontal. g
(a) Movimento vertical (direção y ). 1
y= y 0 y0 t g t 2 ⇒
˙
2
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3. Mecânica II.
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2
y0 1 − y0
˙
y max= y 0 − ˙ 0 g
y
g 2
g
˙
= y 0−
y2
˙0
2g
y max=413 m
Outro método mais direto seria pela equação de
Torricelli.
2 2 2
˙ = y 0 2g y− y 0 ⇒ 0= y 0 2g y max − y0
y ˙ ˙
2 Movimento relativo de B em relação à A .
y
˙0
y max = y 0 − =413 m Determinando o triangulo correspondente à
2g r r r
equação vetorial B = A B / A , obteremos o
modulo, direção e sentido do vetor B em
2. Um automóvel A está trafegando para leste relação à A .
com uma velocidade constante de 25 km/ h . r A/ B =37,8 m ⇒ =23,4 º
Quando passa pelo cruzamento ilustrado na
figura, um automóvel B , que estava parado a
Procedendo de forma análoga temos:
30 m ao norte dirige-se para o sul com uma
v A/ B =9,17 m/ s ⇒ =40,8 º
aceleração constante de 1,2 m/ s 2 . Determine 2
a posição, velocidade e aceleração de B a A/ B =1,2 m / s
relativos à A 5,0 s após A passar pelo
cruzamento.
3. O movimento de um ponto material é dado
2
pelas equações x=2t −4t e
Resposta: 2
y=2 t−1 −4 t−1 , onde x e y são dados
Escolhemos a origem no cruzamento das duas em metros e t em segundos. Determinar (a) o
ruas com os sentidos, para leste e norte. mínimo valor da velocidade escalar do ponto e
Movimento do automóvel A . (b) o instante, a posição e a direção da
x A =0, x A =6,94 m / s , x A = x 0A x t =6,94 t
˙ ˙ velocidade correspondente.
Para t =5 s , temos: x A=6,94 t=34,7 m
4. Um ponto material descreve uma elipse de
Movimento do automóvel B . equação: = Acos t Bsen t . Mostre
r i j
a B=1,3 m/ s 2 , y B= y 0B a B t=−1,2 t ,
˙ ˙ que a aceleração (a) aponta para a origem e (b)
1 1 r
é proporcional a .
y B= y 0B y 0 t a B t 2=30− 1,2 t 2
˙
2 2
Para t =5 s , temos ˙ B=6 m/ s , y B =15 m
y
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4. Mecânica II.
Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br
5. As equações dadas definem o movimento de 9. Descarrega-se areia do ponto A de uma
2 −2
um ponto material: =2 t 1 2 t1 ,
r i j esteira horizontal, com velocidade inicial v 0 .
onde r é dado em metros e t em segundos. Determine o intervalo de valores de v 0 para os
Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento quais a areia entrara no tubo vertical.
de hipérbole mostrado na figura abaixo e
determinar a aceleração quando (a) t = 0 e (b)
t = 5s .
10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma
plataforma. O bocal A expele uma água a uma
6. O movimento vibratório de um ponto velocidade inicial de 7,6 m/ s formando um
material é definido pela equação ângulo de 50º com a vertical. Determine o
, onde r é dado
=4 sin t i−cos 2 t j
r intervalo de alturas h para as quais a água
em metros e t em segundos. (a) Determinar a atinge a abertura BC .
velocidade e a aceleração em t=1 s e (b)
mostre que a trajetória limita-se a um arco de
parábola:
11. Considerando-se que a esteira se move com
7. O movimento tridimensional de um ponto
material é definido por velocidade constante v 0 , (a) determinar o
=R sen
r t
ict jR cos
t k . Determinar valor mínimo de v 0 para o qual a areia pode
os módulos da velocidade e da aceleração do ser depositada em B . Determina também o
ponto (A curva descrita pelo ponto é um correspondente valor de .
hélice).
8. Um jogador de handebol atira uma bola do
ponto A , com velocidade horizontal v 0 . A
distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor
de v 0 para o qual a bola atingira o vértice C e
(b) o intervalo de valores de v 0 para os quais a
bola atingira a região BCD .
12. Os instrumentos de um avião indicam que
ele está se movendo para o norte com
velocidade de 500 km/h , em relação ao ar.
Simultaneamente, um radar terrestre indica que
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o avião se move com velocidade de 530 km/h 16. Dois aviões A e B coando a uma mesma
numa direção que faz um ângulo de 5º voltado altitude; o avião A está voando para o leste a
para o leste. Determina a magnitude e a direção uma velocidade constante de 900 km/h ,
da velocidade do ar. enquanto B está coando para sudoeste a uma
velocidade constante de 600 km/h .
13. Dispara-se um projétil com velocidade Determine a mudança de posição de B
inicial v 0 , a um ângulo de 20º com a relativamente a A, que ocorre durante um
horizontal. Determine v 0 para o projétil atingir intervala de 2 min .
(a) B (b) C.
17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em
movimento em movimento para a direita, com
aceleração constante de 100 mm / s2 e o bloco
B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo
da cunha, indo para a esquerda com uma
aceleração de 150 mm / s2 relativamente a
cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e
14. Num dado instante, a peça A tem (b) sua velocidade no instante t=4 s .
velocidade de 16 mm /s e uma aceleração de
2
24 mm/ s , ambas para baixo. Determina (a)
velocidade do bloco B e (b) sua aceleração,
no mesmo instante.
18. Esguicha-se água de A com velocidade
inicial de 12 m/ s , atingindo-se uma série de
pás em B. Sabendo-se que as pás se movem
para baixo com velocidade constante de
1,5 m/ s , determine a velocidade e a
aceleração em relação à pá em B.
15. Um jogador atira uma bola com velocidade
v 0 =15 m/s , de um ponto A localizado a
1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do
ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a
máxima altura do ponto B que pode ser
atingida pela bola.
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Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas).
Um pouco de calculo vetorial:
Seja um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição:
A
A⋅A=constante
Seja q uma coordenada do espaço que define : temos: A
d ⋅d
A⋅A =0 ⇒ d A⋅ A A =2 d A =0
A A⋅
dq dq dq dq
dA dA
⇒ ⋅
A =0 ⇔ ⊥A
dq dq
Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a
uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo.
Seja e q um vetor unitário, e q⋅ q =ij onde ij =
i
e i j
1 se i= j
0 se i≠ j
, na direção da coordenada{
qi , assim temos
d d eq d eq
d eq
d eq
e q⋅ q =1⇒
e i i
dq j
e q⋅ q =0 ⇒ e q⋅ dq dq ⋅ q =2 eq⋅ dq =0 ⇔ e q ⊥ dq
e i i
i
e i
i
i i
i
i
i
j j j j
Logo podemos definir e q como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma:
j
1 d eq
eq =
. i
k dq j j
onde k =
∣ ∣
d eq
dq j
i
é conhecido como curvatura da curva.
Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os
vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção e q que orienta a terceira
k
coordenada, chamemos de coordenada q k . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme
um conjunto linearmente independente com e q e e q . Podemos construir esse vetor eq da
i j
ˆ k
forma:
eqk = eqi × eq j
ˆ ˆ ˆ
Observe que
e
k i
∣e q ∣=∣e q × q ∣=∣eq ∣e q ∣sen
∣
2
=1 j i j
Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer.
Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano.
Seja um ponto material em um movimento plano dado por:
= s ,t
r r
Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos:
v r
==˙ d = ds d =v et , com et = d
r r
r
dt dt ds ds
d
r
onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor
ds
é unitário.
Calculando a aceleração temos:
˙ d = d v e t = v e tv ˙t = v e t v ds d e t =v e t v 2 d e t = v e t v n , com e n= 1 d e t
2
v
a v
= = ˙ e ˙ ˙ ˙ e
dt dt dt ds ds ds
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2
v
a ˙
= v e t e
n
onde = ∣ ∣
d et
ds
é a curvatura da curva = s ,t . Os vetores et e e n formam um plano que
r r
contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador.
2
2
O modulo da aceleração a=∣∣= v v
a ˙
2
.
Exercícios.
1. Para atravessar uma depressão seguida de Uma vez que o raio de curvatura é infinito em
uma elevação na estrada, o motorista de um um ponto de reflexão, pode-se facilmente
carro aplica os freios para produzir uma calcular a n =0 e:
desaceleração uniforme. Sua velocidade é de a=a t=−2,41 m/s
2
100 km/h no ponto A da depressão e de
50 km/h no ponto C no topo da elevação, (c) Condição em C
que se encontra 120 m de A ao longo da v2 13,89 2
pista. Se os passageiros do carro a n = ⇒ a n= =1,286 m/ s 2
150
experimentam uma desaceleração total de
2
3 m/ s em A e se o raio de curvatura da
a=a n e na t e t =−1,286 e n2,41 t m/s 2
e
elevação em C é de 150 m , calcule (a) o
a= a n a t =2,73 m/s
2 2 2
raio de curvatura em A , (b) a aceleração
no ponto de inflexão B e (c) a aceleração
total em C . 2. Um carro a uma velocidade constante v 0
encontra-se numa rampa circular de um trevo,
movendo-se no sentido de A para B . O
odômetro do carro indica uma distância de
0,6 km entre o ponto A e o ponto B .
Determine v 0 para que a componente normal da
aceleração seja 0,08 g .
Resposta
v A=100 km/h=27 ,8 m/s
vC = 50 km h = 13,89 m s
Calculo da desaceleração uniforme ao longo
da trajetória:
1 2
∫ vdv=∫ a t ds ⇒ 2 vC −v 2 =a t s
A
1
a t = v 2 −v 2 =−2,41 m/s 2
2s C A
(a) Condição em A Resposta:
=0.6 ⇒≈191 m
a 2 =at2a 2 ⇒ a 2 =a 2 −a 2 =3 2−2,412 =3,19
n n t
v2
a 2 =3, 19 ⇒a n =1, 785 m/ s 2
n
a n = 0 ¿ ⇒ v 2= a n =191⋅0.08g≈150
0
v2 v 2 27,82 ⇒ v 0=12,25 m/ s
a n = ⇒ = = =432 m
a n 1,785
3. Uma fita de computador move-se sobre dois
(b) Condição em B tambores, a uma velocidade v 0 . A componente
normal da aceleração da porção da fita em
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contato com o tambor B é 122 m/ s 2 . 100 km/h , e diminui a velocidade com uma
Determinar (a) a velocidade v 0 e (b) a desaceleração constante para 50 km/h em
componente normal da aceleração da porção 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem
da fita em contato como o tambor A . grava a aceleração horizontal de 2 m s 2
quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule
o raio de curvatura dos trilhos nesse instante.
7. Um satélite irá se manter em orbita circular
em torno da Terra, desde que a componente
normal de sua aceleração seja igual a g R /r 2 ,
onde g =9,81 m/ s2 , R=6,37⋅103 km e r
distância entre o satélite e o centro da Terra.
Determine a altitude de um satélite para que ele
4. Um ônibus parte do repouso descrevendo possa orbitar a uma velocidade de
uma circunferência de 250 m de raio. Sua 2,65⋅10 4 km/ h .
aceleração a t constante é igual a 0,6 m/ s 2 .
Determinar (a) o tempo necessário para que o
módulo da aceleração total do ônibus atinja
2
0,75 m/ s . Determinar (b) também à
distância percorrida nesse tempo.
Resposta:
a t =0,6 m/ s 2 , r=250 m , v 0=0,
(a)
a t=? =0,75 m/s 2 , s t=?=?
v2
a 2 =at2a 2 ⇒ a n = = a 2−a 2
n t 7. A velocidade de um carro aumenta
r
uniformemente com o tempo de 50 km/h em
v = r a 2 −a 2
t A para 100 km/h em B durante 10 s . O raio
v =v 0 a t t ⇒ r a 2 −a t =a t t de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se
o módulo da aceleração total do centro de massa
⇒t=
r a −a2 2
t do carro é o mesmo em B e em A , determine o
at raio de curvatura B da depressão na estrado em
B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da
1 r a −a t
2 2
1 2
(b) s=v 0 t a t t ⇒ s= estrada.
2 2 at
5. A velocidade inicial do jato d’água na
figura é 7,62 m/ s . Determine o raio de
curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu
ponto de máxima.
Resposta: B=163,0 m
8. O carro C aumenta sua velocidade a uma
taxa constante de 1,5 m/ s 2 conforme percorre a
curva mostrada. Se o módulo da aceleração total
do carro é 2,5 m/s 2 no ponto A , onde o raio
6. Um trem entra em uma seção curva de curvatura é de 200 m , determine a
horizontal dos trilhos a uma velocidade de velocidade v do carro nesse ponto.
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Resposta: (a) y =r sen , y =r 2 cos
˙ ¨
(b) y =0, y =r sen
˙ ¨
9. O pino P da manivela PO conecta-se a
ranhura horizontal na guia C que controla
seu movimento sobre a haste vertical fixa.
Determine a velocidade y e a aceleração y
˙ ¨
da guia C para um dado valor do ângulo
˙ ¨ ˙ ¨
se (a) = e =0 (b) =0 e = .
Movimento em coordenadas polares:
Em um sistema de coordenadas polares r , temos como escrever a posição da partícula
por r , da forma:
r
x=r cos , y=r sen
i j=r cos sen cos
=x y
r ir j=r isen =r
j r
r =cos isen j
Calculando a velocidade temos:
v r ˙ d
= = [ r cos sen ]= r r r −sen cos
i j ˙ ˙ i j
dt
= r r r
v ˙ ˙
d =−sen i cos .
onde =
r j
d
Observe também que
r =−
dθ
, d
θ=
r
d d
Calculando a aceleração temos:
a v ˙ d ˙ ˙ ¨ ˙ d r θ d r θ r θ d θ =r r dθ d r θ d r θ r θ dθ d θ
= = r r r θ θ = r r r
˙ ˙ ¨r ˙
˙ ˙
dt dt dt dt dt dθ dt dt dθ
= r r r θ θ θ r θr θ −r θ 2 r
a ¨ ˙˙ ˙ ˙ ¨ ˙
= r −r θ 2 r r θ2 r θ θ
a ¨ ˙ ¨ ˙˙
Tendo como módulos:
v = r 2 rθ
˙
2
a= r¨ −r θ˙ r θ¨ 2 r˙ θ˙
2 2 2
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Movimento em coordenadas cilíndricas:
Em movimentos cilíndricos temos:
=x i y jz k =r cos θ irsen θ
r
jz k
v r ˙
˙ ˙ ˙
= = r r r θ θ z k
= r −r θ r r θ2 r θ θ z k
2
a ¨ ˙ ¨ ˙˙ ¨
Tendo como módulos:
2
v = r 2 rθ z 2
˙ ˙
a= ( − rθ ) + (rθ + 2rθ )
r 2 2
2
+ 2
z
Exercícios.
1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira = −0,4− 0,9−0,2 t 0,30 t
2 2
a r
ao redor de O e seu movimento está
0,9−0,2 t 0,302 −0,4 t 0,30 t
2
definido pela relação =0,15 t 2 onde e
expresso em radianos e t em segundos. O =−0,4−0,081 t 2 0,018 t 4 r
a
0,27−0,06 t −0,24 t
2 2
curso B desliza ao longo do braço, sendo o
seu deslocamento em relação a O dado por =−0,4−0,081 t 2 0,018 t 4 r
a
r =0,9−0,2 t 2 , onde r está em metros e t 2
0,27−0,30 t
em segundos. Determine a velocidade e a
Para =30º
aceleração do curso B após ter girado por
2 30
30º . =0,15 t = = ⇒ t=1,867 s
180 6
Assim:
v
=−0,747 r 4,41 m/ s
2 2
v = −0,747 4,41 =4,72 m/ s
=−0,464 −0,775 m/s 2
a r
2 2
a= −0,464 −0,775 =0.903 m/ s 2
2. O movimento de um ponto material é definido
Resposta:
por r =2b cos t , =t , onde b e são
=0,15 t 2 rad ⇒ =0,30 t rad / s
˙
constantes positivas. Determine (a) a velocidade
⇒ =0,30 rad / s 2
¨ e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura
2
r =0,9−0,2 t m ⇒ r =−0,4 t m/ s
˙ de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre
⇒ r =−0,4 m/ s
¨
2 a trajetória do ponto material.
Velocidade:
˙
= r r r
v ˙ 3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de
Arquimedes. As relações r =10t e =2 t
= −0,4 t 0.90,2 t 2 0.3t
v r
3 definem o ponto P , onde r é expresso em
=−0,4 t r 0.27t0,6 t
v
metros e t em segundos. e radianos.
Aceleração:
= r −r 2 r r 2 r
a ¨ ˙ ¨ ˙˙
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Determine a velocidade e a aceleração do velocidade e da aceleração do ponto, em função
ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s do tempo t .
4. O pino B pode deslizar livremente pela
abertura circular DE e também pela abertura
feita na barra OC . A barra OC gira
˙
uniformemente a uma razão (a) Mostre 6. O movimento tridimensional de um ponto é
que a aceleração de B tem módulo constante definido por R= A , =2 t , e
e (b) determine sua direção. z =Asen 2 2 t . Determine a (a) velocidade e a
(b) aceleração, em modulo.
v ˙ ˙e ˙
= R e r R z k
a ¨ ˙ ¨ ˙ ˙ ¨
= R−R 2 e r R 2 R eθ z k
2 sen x cos x =sen 2x
Resposta
˙
R= A⇒ R=0, R=0 ¨
˙
=2 t ⇒ =2 , =0 ¨
2
z =Asen 2 t ⇒ z =2A 2sen 2 t cos 2 t
˙
2
Resposta, Usando a lei dos senos ou dos z =2A sen 4 t ⇒ z =8A cos 4 t
˙ ¨
cosenos, temos:
˙ v
(a) =2A e 2A sen 4 t k
r =2b cos ⇒ r =−2b sen ⇒
˙
r =−2b sen −2b cos ⇒ r =−2b 2 cos
¨ ¨ ˙ 2
¨ ˙ 2 2
v = 4 A 4 A sin 2 4 t
=t ˙ ˙ ¨
˙ ⇒ =⇒ θ=0 v =2A 1sen 2 4 t
= r −r r 2 r
a ¨ ˙2 r ¨ ˙˙ (b) = R−R θ e r R θ2 R θ e θ z k
a ¨ ˙2 ¨ ˙ ˙ ¨
= −2b cos −2b cos r −2⋅2b sen
2 2 2
a ˙ ˙ ˙
v ˙ ˙ ˙
= R e r R θ eθ z k
=−4b 2 sen r cos
a ˙
=0 e r 2A e θ 2Aπ sen 4 t k
v
Porem sabemos que: 2
=cos
r isen
j a
= A 2 e r 8A 2 cos 4 t k
=−sen cos
i j
(
a = 4 Aπ 2 er + cos(4π t )k
ˆ ˆ )
Assim temos:
a = 4 Aπ 2
1 + cos ( 4π t )
2
j
sen r cos =
2
a ˙ ˙2
=−4b j ⇒ a=4b =const. 7. O movimento tridimensional de um ponto é
definido por R= A 1−e−t , =2 t , e
5. O movimento de um ponto material sobre
a superfície de um cone circular reto é z =B 1−e−t . Determine a (a) velocidade e (b)
definido por R=ht tg , =2 t e z =ht , a aceleração, em modulo, para t=0 e t ∞ .
onde é o ângulo do vértice do cone e h é
o avanço em altura que o ponto sofre em cada Respostas:
volta completa. Determine os módulos da R= A 1−e−t ⇒ R= Ae−t , R=−Ae−t
˙ ¨
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˙
=2 t ⇒ =2 , =0¨ 2 2 2 b
v= b b = 2 12
z =B 1−e ⇒ z = Be−t , z =−Be−t
−t
˙ ¨ 2
v ˙ ˙ ˙
(a) = R e r R θ e θ z k 9. Um elétron sobre a ação de um campo
v
= Ae−t e r 2A 1−e −t e θ Be−t k magnético espacialmente não uniforme o
b
movimento em um espiral r =r 0 e , mostrado
2
v = A2 e −2t 4A 2 2 1−e−t B 2 e−2t na figura abaixo. Sabendo-se que θ=0 . ¨
Determine o modulo da aceleração em termos de
Para t=0 v = A2 B 2 ˙
b , r e =
Para t ∞ v =2A .
(b) = R−R θ e r R θ2 R θ e θ z k
a ¨ ˙2 ¨ ˙ ˙ ¨
2
=−A e 4π 1−e e r 4π Ae e θ −Be k
−t −t −t −t
a
a
Para t=0 =− A e r 4πA e θ − B k
a= A2 B 216 A2 π 2
Para t → ∞ a = − 4 Aπ 2er .
a= 16 A2 π 4 =4Aπ 2 b
Respostas: r =r 0 e
8. Um elétron sobre a ação de um campo r =r 0 b e b=r 0 bωe b
˙ ˙
magnético espacialmente não uniforme o r =r 0 b e b=r 0 b2 2 eb
¨ ˙
movimento em um espiral hiperbólico
r =b , mostrado na figura abaixo. = r 0 b2 2 e b−r 0 2 e b e r 2r 0 b 2 e b e
a
Determine o modulo da velocidade em
˙
termos de b , e = [
=r 0 2 e b b2 −1 e r 2b e
a ]
a= 2 r b −1 4b = r b −2b 14b
2 2 2 2 4 2 2
a= r b 2b 1= r b 1
2 4 2 2 2 2
a= r b 1
2 2
9. Uma partícula realiza um movimento
obedecendo a equação
b t =a t −t ' cos t a t −t ' sen t −b t −t '
r i j j
Respostas: r = onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce
θ
b ˙ b um gráfico tridimensional xyz a trajetória da
r =−
˙ 2
=− 2 , partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule
˙ o módulo de sua aceleração.
(a) = r e r r e
v ˙
b 10. Uma partícula realiza um movimento
= 2 e r r e
v
obedecendo a equação
b2 t =at cos t i
r
at sen t jbt k , onde e
v = 4 2 r 2 2= 2 b 2r 2 4 a ,b e são constantes. (a) Esboce um gráfico
tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b)
e calcule o módulo de sua aceleração.
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