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Reações de apoio

1) Cálculos estáticos de vigas sob ação de cargas distribuídas e concentradas para determinar forças internas. 2) Transformação de cargas distribuídas em cargas concentradas para simplificar os cálculos. 3) Uso de equações de equilíbrio para calcular forças desconhecidas como reações, esforços axiais e momentos fletores.

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HB ∑ Hi = 0 -> HB = 0 ∑ Vi = 0 -> VA+VB = 8t+4t -> VA+VB=12t 7t + VB = 12t -> VB = 12t - 7t -> VB = 5t Exercício - 1 2t/m A B D C 4t 2m 4m 2m VB VA 2m 2t/m x 4m = 8t ∑ MB = 0 -> 8VA - ( 8t x 6m ) – ( 4t x 2m ) = 0 -> 8VA = 48t + 8t -> VA = 56t / 8 -> VA = 7t
Transformar carga distribuída em carga concentrada,atuando no centro da viga 0,3t/m x 2,5m = 0,75t achar a força horizontal e vertical, através da força resultante 3,2t Horizontal = 3,2t x cos 60° = 1,6t Vertical = 3,2t x sen 60° = 2,77t Forças atuando na viga engastada = VA , VB e MR ∑ Hi = 0 -> HA – 1,6t = 0 -> HA = 1,6t ∑ Vi = 0 -> VA = 2,77t + 0,7t + 0,75t + 0,5t -> VA = 4,72t Exercício - 2 0,75t 1,6t 2,77t HA MR VA 0,5t A C B D 60° 3,2t 0,7t 1m 2,5m 2,5m 0,3t/m ∑ MA = 0 -> - MR + ( 2,77t x 1m) + ( 0,7t x 3,5m) + ( 0,75t x 4,75m) + ( 0,5t x 6m) = 0 - MR = - 11,78t (-1) -> MR = 11,78t
Transformar as cargas distribuídas em cargas concentradas, trecho a trecho ∑ Hi = 0 -> HA = 0 ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 1t + 9t + 9t + 5t + 8t + 2t -> VA + VB = 34t 24,43t – VB = 34t -> VB = 34t – 24,43t -> VB = 9,57t Forças em atuação = HA , VA e VB Exercício - 3 3m 1m 4m 3m A C E B D 3t/m 2t/m 1t 5t VA VB HA 3t/m x 3m = 9t 3t/m x 3m = 9t 2t/m x 4m = 8t 2t/m x 1m = 2t ∑ MB = 0 -> 7VA – ( 1t x10m) – ( 9t x 8,5m) – ( 9t x 5,5m) – ( 5t x 4m ) – ( 8t x 2m) + ( 2t x 0,5m) = 0 7VA = 171t -> VA = 171t / 7m -> VA = 24,43t
Transformar carga distribuída em carga concentrada, atuando no centro da viga Achar a força horizontal e a força vertical através da força resultante 4kn Forças em atuação = HA , VA e VB ∑ Hi = 0 -> - HA + 3,76kn = 0 -> - HA = - 3,76kn (-1) -> HA = 3,76kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 1,37kn + 12kn -> VA + VB = 13,37kn 2,80kn + VB = 13,37kn -> VB = 13,37kn – 2,80kn -> VB = 10,57kn Exercício - 4 3,76 kn 1,37 kn 5m 4kn 4m 3m B A 3kn/m D C 20° 3kn/m x 4m = 12 kn VA VB HA Horizontal = 4kn x cos 20° = 3,76 kn Vertical = 4kn x sen 20° = 1,37 kn ∑ MB = 0 -> 12VA – ( 1,37kn x 7m ) – ( 12kn x 2m) = 0 12VA = 33,59kn -> VA = 33,59kn/12 -> VA = 2,80kn
Transformar carga distribuída em carga concentrada, atuando no centro a viga Forças atuando na viga engastada = HC , VC e MR ∑ Hi = 0 -> HC = 0 ∑ Vi = 0 -> VC = 0,5kn + 1,5kn + 12,5kn -> VC = 14,5kn Exercício - 5 MR HC VC C 5m 1,5kn 2m 2,5kn/m 0,5kn B A 2,5kn/m x 5m = 12,5kn ∑ MC = 0 -> MR – ( 0,5kn x 7m) – ( 1,5kn x 5m) – ( 12,5kn x 2,5m) = 0 MR = 42,25kn
Transformar carga distribuída em carga concentrada, atuando no centro da viga Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 10kn 3,8kn – VB = 10kn -> VB = 10kn – 3,8kn -> VB = 6,2kn Exercício - 6 5m 1kn/m 2kn/m B A 2m 2m 1kn VB VA HB 2kn x 5m = 10kn 1kn x 4m = 4kn ∑ Hi = 0 -> - HB – 1kn + 4kn = 0 - HB = - 3kn (-1) HB = 3kn ∑ MB = 0 -> 5VA + ( 4kn x 2m) – ( 10kn x 2,5m) – ( 1kn x 2m) = 0 5VA = 19kn -> VA = 19kn/ 5 -> VA = 3,8kn
Forças em atuação = VA , HA e VB ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 6t ∑ MB = 0 -> 4VA – ( 3t x 4m) + ( 1t x 4m) + ( 1t x 3m) +( 1t x 2m) + ( 1t x 1m) = 0 4VA = 2t -> VA = 2t / 4 -> VA = 0,5t 0,5t – VB = 6t -> VB = 6t – 0,5t VB = 5,5t Exercício - 7 1m 4m 1t 1t 1t 1t A B 3t 3t 1m 1m 1m VB VA HA ∑ Hi = 0 -> - HA + 4t = 0 -> -HA = - 4t (-1) HA = 4t
∑ Hi = 0 -> - HA + 3t = 0 -> - HA = - 3t (-1) -> HA = 3t ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 14t 5,38t – VB = 14t -> VB = 14t – 5,38t -> VB = 8,62t Forças em atuação = VA , HA e VB Exercício - 8 3m 4t 2t 2t 2m A B 6t 3t 2m 2m 2m HA VA VB ∑ MB = 0 -> 8VA + ( 3t x 3m) – ( 2t x 8m) – ( 2t x 6m) – ( 6t x 4m) = 0 8VA = 43t -> VA = 43t / 8 -> VA = 5,38t
Transformar carga distribuída em carga concentrada, atuando no centro da viga Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Hi = 0 -> -HB + 12kn = 0 -> - HB = - 12kn (-1) HB = 12kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 3kn - 7,33 kn + VB = 3kn -> VB = 3kn + 7,33kn VB = 10,33kn Exercício - 9 6m 4m 6m 3m A B 2kn/m 3kn D C 2kn/m x 6m = 12kn VA HB VB Sentido real de VA ∑ MB = 0 -> 9VA + (12kn x 7m) – ( 3kn x 6m ) = 0 9VA = 66kn -> VA = - 7,33 kn ( sentido real de VA ) =
Transformar carga distribuída em carga concentrada, trecho a trecho Achar a força horizontal e a força vertical através da força resultante 5kn Horizontal = 5kn x cos 30° = 4,33kn Vertical = 5kn x sen 30° = 2,5kn Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Hi = 0 -> - HB + 4,33kn = 0 -> - HB = - 4,33kn (-1) HB = 4,33kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 2,5kn + 2kn + 1kn + 3kn + 3kn VA + VB = 11,5kn - 0,7kn + VB = 11,5kn -> VB = 11,5kn + 0,7kn VB = 12,2kn Exercício - 10 2m 30° 1kn/m 5kn 3kn 2kn 1m 3m 2m E D C B A 1kn/m x 1m = 1kn 1kn/m x 3m = 3kn VB VA HB 4,33kn 2,5kn ∑ MB = 0 -> 5VA – ( 2,5kn x 3m) – ( 2kn x 1m) – ( 1kn x 0,5m) + ( 3kn x 1,5m) + ( 3kn x3m) = 0 5VA = - 3,5kn -> VA = - 3,5 kn/ 5 -> VA = - 0,7kn ( sentido real de VA) Sentido real de VA

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Reações de apoio

  • 1.
    HB ∑ Hi = 0 -> HB = 0 ∑ Vi = 0 -> VA+VB = 8t+4t -> VA+VB=12t 7t + VB = 12t -> VB = 12t - 7t -> VB = 5t Exercício - 1 2t/m A B D C 4t 2m 4m 2m VB VA 2m 2t/m x 4m = 8t ∑ MB = 0 -> 8VA - ( 8t x 6m ) – ( 4t x 2m ) = 0 -> 8VA = 48t + 8t -> VA = 56t / 8 -> VA = 7t
  • 2.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada,atuando no centro da viga 0,3t/m x 2,5m = 0,75t achar a força horizontal e vertical, através da força resultante 3,2t Horizontal = 3,2t x cos 60° = 1,6t Vertical = 3,2t x sen 60° = 2,77t Forças atuando na viga engastada = VA , VB e MR ∑ Hi = 0 -> HA – 1,6t = 0 -> HA = 1,6t ∑ Vi = 0 -> VA = 2,77t + 0,7t + 0,75t + 0,5t -> VA = 4,72t Exercício - 2 0,75t 1,6t 2,77t HA MR VA 0,5t A C B D 60° 3,2t 0,7t 1m 2,5m 2,5m 0,3t/m ∑ MA = 0 -> - MR + ( 2,77t x 1m) + ( 0,7t x 3,5m) + ( 0,75t x 4,75m) + ( 0,5t x 6m) = 0 - MR = - 11,78t (-1) -> MR = 11,78t
  • 3.
    Transformar as cargasdistribuídas em cargas concentradas, trecho a trecho ∑ Hi = 0 -> HA = 0 ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 1t + 9t + 9t + 5t + 8t + 2t -> VA + VB = 34t 24,43t – VB = 34t -> VB = 34t – 24,43t -> VB = 9,57t Forças em atuação = HA , VA e VB Exercício - 3 3m 1m 4m 3m A C E B D 3t/m 2t/m 1t 5t VA VB HA 3t/m x 3m = 9t 3t/m x 3m = 9t 2t/m x 4m = 8t 2t/m x 1m = 2t ∑ MB = 0 -> 7VA – ( 1t x10m) – ( 9t x 8,5m) – ( 9t x 5,5m) – ( 5t x 4m ) – ( 8t x 2m) + ( 2t x 0,5m) = 0 7VA = 171t -> VA = 171t / 7m -> VA = 24,43t
  • 4.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada, atuando no centro da viga Achar a força horizontal e a força vertical através da força resultante 4kn Forças em atuação = HA , VA e VB ∑ Hi = 0 -> - HA + 3,76kn = 0 -> - HA = - 3,76kn (-1) -> HA = 3,76kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 1,37kn + 12kn -> VA + VB = 13,37kn 2,80kn + VB = 13,37kn -> VB = 13,37kn – 2,80kn -> VB = 10,57kn Exercício - 4 3,76 kn 1,37 kn 5m 4kn 4m 3m B A 3kn/m D C 20° 3kn/m x 4m = 12 kn VA VB HA Horizontal = 4kn x cos 20° = 3,76 kn Vertical = 4kn x sen 20° = 1,37 kn ∑ MB = 0 -> 12VA – ( 1,37kn x 7m ) – ( 12kn x 2m) = 0 12VA = 33,59kn -> VA = 33,59kn/12 -> VA = 2,80kn
  • 5.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada, atuando no centro a viga Forças atuando na viga engastada = HC , VC e MR ∑ Hi = 0 -> HC = 0 ∑ Vi = 0 -> VC = 0,5kn + 1,5kn + 12,5kn -> VC = 14,5kn Exercício - 5 MR HC VC C 5m 1,5kn 2m 2,5kn/m 0,5kn B A 2,5kn/m x 5m = 12,5kn ∑ MC = 0 -> MR – ( 0,5kn x 7m) – ( 1,5kn x 5m) – ( 12,5kn x 2,5m) = 0 MR = 42,25kn
  • 6.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada, atuando no centro da viga Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 10kn 3,8kn – VB = 10kn -> VB = 10kn – 3,8kn -> VB = 6,2kn Exercício - 6 5m 1kn/m 2kn/m B A 2m 2m 1kn VB VA HB 2kn x 5m = 10kn 1kn x 4m = 4kn ∑ Hi = 0 -> - HB – 1kn + 4kn = 0 - HB = - 3kn (-1) HB = 3kn ∑ MB = 0 -> 5VA + ( 4kn x 2m) – ( 10kn x 2,5m) – ( 1kn x 2m) = 0 5VA = 19kn -> VA = 19kn/ 5 -> VA = 3,8kn
  • 7.
    Forças em atuação= VA , HA e VB ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 6t ∑ MB = 0 -> 4VA – ( 3t x 4m) + ( 1t x 4m) + ( 1t x 3m) +( 1t x 2m) + ( 1t x 1m) = 0 4VA = 2t -> VA = 2t / 4 -> VA = 0,5t 0,5t – VB = 6t -> VB = 6t – 0,5t VB = 5,5t Exercício - 7 1m 4m 1t 1t 1t 1t A B 3t 3t 1m 1m 1m VB VA HA ∑ Hi = 0 -> - HA + 4t = 0 -> -HA = - 4t (-1) HA = 4t
  • 8.
    ∑ Hi= 0 -> - HA + 3t = 0 -> - HA = - 3t (-1) -> HA = 3t ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 14t 5,38t – VB = 14t -> VB = 14t – 5,38t -> VB = 8,62t Forças em atuação = VA , HA e VB Exercício - 8 3m 4t 2t 2t 2m A B 6t 3t 2m 2m 2m HA VA VB ∑ MB = 0 -> 8VA + ( 3t x 3m) – ( 2t x 8m) – ( 2t x 6m) – ( 6t x 4m) = 0 8VA = 43t -> VA = 43t / 8 -> VA = 5,38t
  • 9.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada, atuando no centro da viga Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Hi = 0 -> -HB + 12kn = 0 -> - HB = - 12kn (-1) HB = 12kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 3kn - 7,33 kn + VB = 3kn -> VB = 3kn + 7,33kn VB = 10,33kn Exercício - 9 6m 4m 6m 3m A B 2kn/m 3kn D C 2kn/m x 6m = 12kn VA HB VB Sentido real de VA ∑ MB = 0 -> 9VA + (12kn x 7m) – ( 3kn x 6m ) = 0 9VA = 66kn -> VA = - 7,33 kn ( sentido real de VA ) =
  • 10.
    Transformar carga distribuídaem carga concentrada, trecho a trecho Achar a força horizontal e a força vertical através da força resultante 5kn Horizontal = 5kn x cos 30° = 4,33kn Vertical = 5kn x sen 30° = 2,5kn Forças em atuação = VA , VB e HB ∑ Hi = 0 -> - HB + 4,33kn = 0 -> - HB = - 4,33kn (-1) HB = 4,33kn ∑ Vi = 0 -> VA + VB = 2,5kn + 2kn + 1kn + 3kn + 3kn VA + VB = 11,5kn - 0,7kn + VB = 11,5kn -> VB = 11,5kn + 0,7kn VB = 12,2kn Exercício - 10 2m 30° 1kn/m 5kn 3kn 2kn 1m 3m 2m E D C B A 1kn/m x 1m = 1kn 1kn/m x 3m = 3kn VB VA HB 4,33kn 2,5kn ∑ MB = 0 -> 5VA – ( 2,5kn x 3m) – ( 2kn x 1m) – ( 1kn x 0,5m) + ( 3kn x 1,5m) + ( 3kn x3m) = 0 5VA = - 3,5kn -> VA = - 3,5 kn/ 5 -> VA = - 0,7kn ( sentido real de VA) Sentido real de VA