Este documento discute medidas de posição como média, mediana e moda. A média é o valor médio de um conjunto de dados, calculado adicionando todos os valores e dividindo pela quantidade total de valores. A mediana divide os dados em duas metades iguais. A moda é o valor que mais se repete nos dados. Essas medidas de posição fornecem informações sobre onde o centro ou ponto de equilíbrio de um conjunto de dados está localizado.

1. Profa. Rossana Fraga Benites
Medidas de Posição

2. É um valor calculado para um grupo de dados,
usado para descrevê-los. É o ponto de equilíbrio
dos dados.
MEDIDAS DE POSIÇÃO EM UM
CONJUNTOS DE DADOS

3. A MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
NÃO-AGRUPADOS
Quando os dados NÃO estão agrupados
em uma distribuição de frequências, tem-
se o valor individual da variável.

4. MÉDIA Populacional
µ =
∑ X
N
N é o número total
de observações

5. MÉDIA Amostral
x
X
n
=
∑
n é o número total
de observações

6. Exercício 1:
Considerando este mês
como uma população,
calcule o número médio
de unidades vendidas.
No verão, 8 vendedores
venderam os seguintes
números de unidades de
ar-condicionado central:
8,11,5,14,8,11,16,11.

7. Mediana
A Mediana divide um
grupo ordenado de
valores em 2 partes
iguais (50% acima e
50% abaixo da
Mediana).
Se o número de itens
for ímpar, a Mediana
será o valor do meio.
Se o número de itens é
par, a Mediana será a
média dos 2 valores do
meio.

8. Exemplo: Determine a Mediana.
1
5
8
9
10

9. Exemplo: Determine a Mediana.
1
5
8
9
10
Posição da Mediana:
( n+1)/2
(5+1)/2= 3 lugar
Mediana= 8

10. EXERCÍCIO 3:
Determine a Mediana, para o
exercício anterior.
8
11
5
14
8
11
16
11

11. EXERCÍCIO 3:
Determine a Mediana, para o
exercício anterior.
8
11
5
14
8
11
16
11
Ordenar
5 11
8 14
8 16
11
11

12. EXERCÍCIO 3: Determine a
Mediana, para o exercício 1
anterior.
Ordenar
5 11
8 14
8 16
11
11
Posição: (n+1)/2
(8+1)/2
4,5
Med=11

13. Moda
A Moda é o valor que
mais se repete em um
conjunto de dados.
Pode-se ter:
uma moda:unimodal
duas modas: bimodal
+ duas: multimodal

14. Moda
Exemplo: Determine a moda para os aparelhos
de ar-condicionado.
Moda =11

17. A MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS
Quando os dados estão agrupados em uma
distribuição de frequência, o ponto médio é o
valor representativo da classe.
Usando X - ponto médio da classe
f - frequência da classe

18. MÉDIA Populacional
µ =
∑ ∑( . ) .f x
N
f x
N
=
N é o número total
de observações

19. MÉDIA Amostral
x
f x
n
f x
n
=
∑ ∑( . ) .
=
n é o número total
de observações

20. Exercício 2:
Salário f
$140 - 160 7
160 - 180 20
180 - 200 33
200 - 220 25
220 - 240 11
240 - 260 4
Total
Determine a média
amostral.

21. Mediana - dados agrupados
Como encontrar a classe mediana:
calcula-se a F;
dividir n/2;
a F que se igualar ou exceder n/2, será a classe
mediana.

22. Mediana - Fórmula
Med l
N
F
f
hi
c
= +
−










−
2
1
.

23. Mediana - Fórmula
li - limite inferior da classe mediana;
N - número de observações;
F-1 - freq. acum. anterior á classe mediana;
fc - freq abs. Simples da classe mediana;
h - amplitude de classe.

24. Moda - dados agrupados
Quando as classes têm amplitudes
iguais, a classe modal é a que tem a
maior freq. absoluta simples.

25. Moda - dados agrupados
Quando as classes têm amplitudes
iguais, a classe modal é a que tem a
maior freq. absoluta simples.

26. Moda - Fórmula
Moda l
d
d d
hi= +
+





1
1 2
.

27. Moda - Fórmula
li - limite inferior da classe modal;
d1 - diferença entre a freqüência simples da
classe modal e a anterior;
d2 - diferença entre a freqüência simples da
classe modal e a posterior;
h - amplitude de classe.

28. Exercício 2:
Salário f
$140 - 160 7
160 - 180 20
180 - 200 33
200 - 220 25
220 - 240 11
240 - 260 4
Total
Determine a mediana e
a moda.

29. Relação entre média, mediana e
moda
Quando: curva simétrica ->
média=mediana=moda
assimétrica positiva ->
média>mediana>moda
assimétrica negativa ->
média<mediana<moda