SD Aula 12-09-18

SISTEMAS DIGITAIS
Aula 6: 12/09/2018
Simplificação de Circuitos
Prof.ª M.ª Eng.ª Elaine Cecília Gatto
1

Simplificação de Circuitos
• Diminuição dos blocos lógicos
• Álgebra de Boole
• Mapas de Karnaugh

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Matemática dos sistemas digitais
• Análise e síntese de circuitos
• Álgebra Booleana:
• Expressa e analisa operação de
circuitos lógicos

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Variável:
• Símbolo usado para representar uma
grandeza lógica
• Admite apenas 2 valores: 0 ou 1
• Complemento:
• Inverso de uma variável
• Barra em cima da variável

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Adição booleana:
• Equivalente à
Operação OR
• S = A + B
• 0 + 1 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 1
• Exemplos:
• A + B
• A + B
• A + B + C
• A + B + C + D

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Um termo SOMA será igual a 1 quando
UMA ou MAIS das literais no termo for 1
• Um termo SOMA será igual a 0 somente
se CADA UMA das literais for 0

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Multiplicação
Booleana
• Equivalente à
operação AND
• S = A  B
• 0  0 = 0
• 0  1 = 0
• 1  0 = 0
• 1  1 = 1
• Exemplos:
• A  B
• A  B
• A  B  C
• A  B  C  D

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Um termo PRODUTO será igual a 1
apenas se CADA UMA das literais no
termo for 1
• Um termo PRODUTO será igual a 0
quando uma ou mais literais for 0

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Lei Enunciado Representação
Comutativa
da Adição
A ordem das variáveis na qual a
função OR é aplicada não faz
diferença
A + B = B + A
Comutativa
da
Multiplicação
A ordem das variáveis na qual a
operação AND é aplicada não
faz diferença
A  B = B  A

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Associativa
da Adição
Quando uma operação OR é
aplicada em mais de duas
variáveis, o resultado é o
mesmo, independentemente da
forma de agrupar as variáveis
A + (B + C) =
(A + B ) + C
Associativa
da
Multiplicação
Quando uma operação AND é
aplicada em mais de duas
variáveis, o resultado é o
mesmo, independentemente da
forma de agrupar as variáveis
A  (B  C) =
(A  B)  C

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Distributiva Uma operação AND entre uma
única variável com o resultado
de uma operação OR aplicada a
duas ou mais variáveis é
equivalente a uma operação OR
entre os resultados das
operações AND entre uma única
variável e cada uma das duas
ou mais variáveis
A  (B + C) =
A  B + A  C

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Axiomas
• Proposições que não tem demonstração
1. Fechamento
• Dado o conjunto de valores binários C =
{0,1}
• As operações OR e AND resultam em
valores que também são binários
A, B ∈ C ֜ ቊ
𝐴 + 𝐵∈ C
𝐴  𝐵∈ C

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
2. Identidade
• Dado o conjunto de valores binários C =
{0,1}
• Elementos neutros são introduzidos nas
operações OR e AND
A ∈ C ֜ ቊ
𝐴 + 0 = 𝐴
𝐴  1 = 𝐴

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Teoremas:
• São afirmações que necessitam de
uma prova
1. Indepotência:
ቊ
𝐴 + 𝐴 = 𝐴
𝐴 𝐴 = 𝑎

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
2. Aniquilação:
3. Dupla Negação
4. DeMorgan
ቊ
𝐴 + 1 = 1
𝐴  0 = 0
𝐴 = 𝐴
ቊ
𝐴 + 𝐵 = 𝐴  𝐵
𝐴  𝐵 = 𝐴 + 𝐵

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
RESUMO
1 A + 0 = A 7 A  A = A
2 A + 1 = A 8 A  A = 0
3 A  0 = 0 9 A = A
4 A  1 = A 10 A + A  B = A
5 A + A = A 11 A + A  B = A + B
6 A + A = 1 12 (A + B )  ( A + C ) = A + B  C

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Exemplo 1:
A + A  B = A
A  ( 1 + B )  lei distributiva
A  1  regra 2
A  regra 4

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Exemplo 1:
Tabela Verdade Correspondente
A B A * B A + A * B
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 1:
• Circuito Correspondente

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Exemplo 2:
A + A  B = A + B
A + ( A  B )  aplicando distributiva
(A + A )  (A + B)  regra 6
1  (A + B)  multiplicando por 1
A + B

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 2:
• Tabela verdade correspondente
• Circuito Correspondente

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 3:
(A + B )  ( A + C ) = A + B  C
• Simplificação
• Tabela verdade correspondente
• Circuito correspondente

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 4:
• A  A = A
• Se A = 0 então substitua este valor na
variável A: 0  0 = 0
• Portanto, A  A = A

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 5:
• A  A = 0
variável A
• 0  0 = 0  1 = 0
variável A
• 1  1 = 1  0 = 0
• Portanto, A  A = 0

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 6:
• A  0 = 0
• Portanto, A  0 = 0

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 7:
• A  1 = A
• Portanto, A  1= 1

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 8:
• A + 0 = A
variável A: 0 + 1 = 1
• Portanto, A + 0 = A

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 9:
• A + 1 = 1
• Portanto, A + 1 = 1

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 10:
• A + A = A
• Portanto, A + A = A

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 11:
• A + A = 1
variável A: 0 + 0 = 0 + 1 = 1
variável A: 1 + 1 = 1 + 0 = 1
• Portanto, A + A = 1

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 12:
• A + A = 1
variável A: 0 + 0 = 0 + 1 = 1
variável A: 1 + 1 = 1 + 0 = 1
• Portanto, A + A = 1

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplos 13:
• X + Y = Y + X (comutativo)
• X * Y = Y * X (comutativo)
• X + ( Y + Z ) = (X + Y ) + Z = X + Y + Z
(associativo)
• X * ( Y + Z ) = Z * Y + X * Z (associativo)
• ( W + X ) ( Y + Z ) = W*Y + X*Y + W*Z + X*Z
(distributivo)
• X + X * Y = X
• X + X * Y = X + Y
• X + X * Y = X + Y

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Teoremas de DeMorgan
1. O complemento de um PRODUTO de
variáveis é igual à SOMA dos
complementos das variáveis
A  B = A + B

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Teoremas de DeMorgan
2. O complemento de uma SOMA de
variáveis é igual aor PRODUTO do
complemento das variáveis
A + B = A  B

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Complemento entre as portas lógicas:
circuitos

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Complemento entre as portas lógicas

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Teoremas de DeMorgan podem ser
aplicados a mais de duas variáveis
• Exemplo:
• Pode ser na verdade:

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Que resulta em:

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 14:
A * B * C + A * B * C =
B * ( A * C + A * C )
• Exemplo 15:
A * B * C + A * B * D =
A * B * ( C + D )

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 16: A * B * D + A * B * D
Y = A * B * ( D + D )
Y = A * B * 1
Y = A * B

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 17: Z = ( A + B ) * ( A + B)
Z = A * A + A * B + B * A + B * B[expandindo a expressão]
Z = 0 + A * B + B * A + B [aplicando teoremas]
Z = A * B + A * B + B [colocando B em evidência]
Z = B * ( A + A + 1) [aplicando teoremas]
Z = B

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 18:
X = ACD + ABCD [colocar CD em evidência]
X = CD(A + AB)
X = CD(A + B) [substituir A + AB por A + B]
X = ACD + BCD

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 19:
Z = ( A + C ) * ( B + D ) [aplicando teoremas]
Z = ( A + C ) + ( B + D ) [aplicando teoremas]
Z = ( A * C ) + B * D [aplicando teoremas]
Z = AC + BD

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Exemplo 20:
Z = A + B * D
Z = A * ( B * C )
Z = A * ( B + C )
Z = A * (B + C )
• Exemplo 21:
W = ( A + BC ) * ( D + EF )
W = ( A + BC ) + ( D + EF )
W = ( A * BC ) + ( D * EF )
W = [A * (B + C)] + [D * (E + F)]
W = A B + A C + D E + D F

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Projeto ALARME para carros
• Situação:
• Inicialmente, o projeto previa cinco sensores
distribuídos pelo carro (entre portas, janelas e
capôs) e a entrada que habilita o alarme
(botão de liga e desliga). O primeiro circuito
lógico projetado por vocês consistia em uma
porta OR de cinco entradas e uma porta AND
de duas entradas. O problema é que no
estoque de peças só restaram CIs do tipo
SN74HC00

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• O circuito que projetaram previamente
é composto de portas AND e OR e,
para implementar esse circuito vocês
só contam com o CI SN74HC00.
• Trata-se de um encapsulamento com
quatro portas lógicas NAND de duas
portas

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• O seu problema consiste em transformar
o projeto inicial num equivalente usando
apenas portas NAND. Da Figura 2.1
temos que:

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
• Projeto ALARME para carros: após a
transformação

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
1. Na álgebra booleana, um termo produto é o
produto de literais. Em circuitos lógicos, um termo
produto é produzido por uma operação AND sem
o envolvimento de operações OR. Determine os
valores de A, B, C e D que tornam o termo produto
ABCD igual a 1:
a) 1001
b) 0110
c) 1111
d) 0000
e) 1010

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
IMPORTANTE:
SE UMA EXPRESSÃO TIVER OPERAÇÃO AND E
OR, A OPERAÇÃO AND É REALIZADA PRIMEIRO!

Leis e Teormas da
Álgebra de Boole
Exercícios

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