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- 1. • APRESENTAÇÃO • Desdeos primórdios da história a experiência matemática do homem se confunde com a necessidade de resolver problemas. Neste contexto surgiu a criação do jornal LPM que é uma produção bimestral do grupo loucos por matemática que tem como objetivo acompanhar os alunos olímpicos e das escolas militares e ajudá – los com os nossos artigos e problema para iniciantes e avançados. Aproveitamos a oportunidade para convidar todos os loucos por matemática para enviar as soluções dos problemas e também quem quiser colocar artigos, qualquer outra forma de ajuda será muito bem vinda. Tenham certeza que estaremos aguardando ansiosos por seus e-mails. Esperamos que vocês gostem do nosso primeiro número e que aprendam bastante com os artigos e se divirtam tentando despertar nos estudantes desta bela ciência o prazer da descoberta e entendimento, através da resolução de problemas propostos e da análise com as situações mais engenhosas. Os editores, Fortaleza 2010 • Fatorações de polinômios • Judson Santos / Luciano Santos Fatorar é transformar uma soma ou diferença de duas ou mais parcelas num produto de dois ou mais fatores. Há vários processos para a decomposição de um polinômio em um produto de dois ou mais fatores. Os principais processos de fatoração são: "fator comum","fator agrupamento", "diferença de quadrados", "soma de dois cubos", "diferença de dois cubos", e "trinômio quadrado perfeito”. Porém, vamos mostrar um processo de fatoração de polinômios com multivariáveis que não é muito comum nos livros de matemática do ensino fundamental e médio. Sabemos também que o processo de fatoração é um conteúdo de grande importância na matemática que vem sendo cobrado na maioria das provas de concurso de Escolas Militares e Olimpíadas.
- 2. Agora, vamos mostrarvários problemas resolvidos de fatoração de polinômios com multivariaveis e também colocaremos uma lista de exercícios para os leitores enviarem as soluções para os e-mais : judsonsantos7@gmail.com.br e prof.luciano1977@gmail.com . Fatorações de polinômios Para fatorar - mos funções polinomiais inicialmente temos que encontrar os zeros ou raiz do polinômios. Vejamos alguns exemplos: 652)() +−= xxxfa Observe que: Como 2=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )2−x Como 3=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )3−x Portanto, a forma fatorada será: ( )( )32.)( −−= xxkxf Porém, substituindo um valor para 3,2 ≠≠ xx , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( )( ) 1 2.2 3121.)1( 2)1(61.521)1(1 = = −−= =→+−=→= k k kf Mas ffxpara Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada: ( )( )32)( −−= xxxf 1322)() +−= xxxfb Observe que: Como 1=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )1−x Como 2 1 =x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por − 2 1 x Portanto, a forma fatorada será: ( ) −−= 2 1 1.)( xxkxf Porém, substituindo um valor para 2 1 ,1 ≠≠ xx , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( ) 2 2 3 .3 2 1 212.)2( 3)2(12.322.2)2(2 = = −−= =→+−=→= k k kf Mas ffxpara Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada:
- 3. ( ) −−= 2 1 1.2)(xxxf 611263)() −+−= xxxxfc Observe que: Como 1=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )1−x Como 2=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )2−x Como 3=x é o zero ou raiz , então o polinômio ( )xf é divisível por ( )3−x Portanto, a forma fatorada será: ( )( )( )321.)( −−−= xxxkxf Porém, substituindo um valor para 3,2,1 ≠≠≠ xxx , encontraremos o valor de k. Com isso, temos: ( )( )( ) ( ) 1 6.6 302010.)0( 6)0(0 = −=− −−−= −=→= k k kf Mas fxpara Portanto, obtemos a seguinte forma fatorada: ( )( )( )321.1)( −−−= xxxxf Observação: O polinômio 611263)( −+−= xxxxf tem a soma dos coeficientes igual a zero. Portanto, 1 é uma raiz do polinômio. Com isso, o polinômio é divisível por ( )1−x Então: Obtemos, a forma fatorada do polinômio ( ) +−−= 6521)( xxxxf Mas, sabemos que: ( )( )32652 −−=+− xxxx Concluimo que a forma fatorada do polinômio vale: ( )( )( )321)( −−−= xxxxf 611263 −+− xxx ( )1−x 652 +− xx23 xx +− 61125 −+− xx xx 525 − 66 −x 66 +− x zero
- 4. Fatorações de polinômioscom multivariaveis Portanto, agora vamos fazer algumas fatorações utilizando estes artifícios matemáticos transformando expressões em polinômios e depois encontraremos os zeros ou raiz. Vejamos alguns casos: ( ) ( ) ( )bacacbcbaFatorea −+−+− 222) Caro leitor, seja a função polinomial ( ) ( ) ( ) ( )bacacbcbacbaf −+−+−= 222,, . Observamos por inspeção que: ba = é raiz do polinômio ca = é raiz do polinômio cb = é raiz do polinômio Com isso: ( )ba − é divisível de ( )cbaf ,, ( )ca − é divisível de ( )cbaf ,, ( )cb − é divisível de ( )cbaf ,, Portanto, o polinômio é da forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )cbcabakbacacbcbacbaf −−−=−+−+−= 222,, Substituindo qualquer valor para cba ≠≠ temos: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 1 .22 : 32312121913432132,1 = −=− −−−=−+−+−→=== k k Temos kceba Então, concluímos que a forma fatorada da expressão vale: ( ) ( ) ( ) ( )( )( )cbcababacacbcba −−−=−+−+− .1222 ( ) 3333) cbacbaFatoreb −−−++ Caro leitor, seja a função polinomial ( ) ( ) 3333,, cbacbacbaf −−−++= . Observamos por inspeção que: ba −= é raiz do polinômio temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,3333,, =−→−−−−++−=− cbbfcbbcbbcbbf Portanto, ( )ba + é divisível por ( )cbaf ,, ca −= é raiz do polinômio temos ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,3333,, =−→−−−−++−=− cbcfcbccbccbcf Portanto, ( )ca + é divisível por ( )cbaf ,, De modo análogo, temos que ( )cb + também é divisível por ( )cbaf ,, Portanto, o polinômio é da forma: ( ) ( ) ( )( )( )cbcabakcbacbacbaf +++=−−−++= 3333,, Substituindo qualquer valor para 1=== cba temos:
- 5. ( ) ()( )( ) 3 .8327 : 111111313131311111,1 = =− +++=−−−++→=== k k Temos kceba Então, concluímos que a forma fatorada da expressão vale: ( ) ( )( )( )cbcabacbacba +++=−−−++ 33333 CRITÉRIOS DE FATORAÇÕES DE POLINÔMIOS COM MULTIVARIAVEIS Vejamos alguns critérios de fatorações dos polinômios utilizando as seguintes formas. C1. ( ) ( ) CBxAxxPouCyyBxAxyxP nnmmnn ++=++= 222 , Para fatorar ( ) mmnn CyyBxAxyxP 22 , ++= Seguiremos os seguintes procedimentos: I. Decompomos os termos extremos da seguinte forma ( )+ → → ++ mnmn mnmn mmnn yxacycxa yxacycxa CyyBxAx 1222 2111 22 II. Se o termo central é igual a soma dos produtos das parcelas acima 21 21 1221 ccC aaA acacB = = += III. Logo, ( ) ( )( )mnmnmmnn ycxaycxaCyyBxAxyxP 2211 22 , ++=++= Por exemplo: a) Fatorar ( ) 8103 2 ++= xxxP Solução: Decompondo os extremos, temos: ( ) xxx xx xx xx 1064 62 443 8103 2 =+ + → → ++ Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada é dada por: ( ) ( )( )2438103 2 ++=++= xxxxxP b) Fatorar ( ) 224 21115, yyxxyxP +−= Solução: Decompondo os extremos, temos:
- 6. ( ) yxyxyx yxyx yxyx yyxx 222 22 22 224 1156 513 625 21115 −=−− + −→− −→− +− Obtemos otermo central. Portanto, a forma fatorada é dada por: ( ) ( )( )yxyxyyxxyxP −−=+−= 22224 32521115, c) Fatorar ( ) 1052 235 −+−= xxxxM Solução 1: Utilizando a técnica de agrupamento, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )52 252 32 223 +−= −+−= xxxM xxxxM Solução 2: ( )+ −→− →+ −+− 32 23 235 22 55 1052 xx xx xxx Obtemos o termo central. Portanto, a forma fatorada é dada por: ( ) ( )( )251052 23235 −+=−+−= xxxxxxM C2. FORMA GERAL ( ) FEyDxCyyBxAxyxP mnmmnn +++++= 22 , Seguiremos os seguintes procedimentos: I. Devemos ordenar o polinômio de acordo com a forma geral II. Se falta algum termo preencher com zero III. Aplicaremos a seguinte idéia ( ) 222 111 22 , fycxa fycxa FEyDxCyyBxAxyxP mn mn mnmmnn +++++= Façamos em casos separados: 1221 1221 1221 fafaD fcfcE cacaB += += += Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )222111 22 , fycxafycxaFEyDxCyyBxAxyxP mnmnmnmmnn ++++=+++++= Por exemplo: a) Fatorar ( ) 2876136, 22 +++++= yxyxyxyxP Solução: Aplicando o teorema estudado acima temos:
- 7. 132 223 2876136 22 yx yx yxyxyx +++++ Observamosque: yyy xxx xyxyxy 862 743 1349 =+ =+ =+ Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )1322232876136, 22 ++++=+++++= yxyxyxyxyxyxP b) Fatorar ( ) 31161110, 22 −−−−+= yxyxyxyxP Solução: Aplicando o teorema estudado acima temos: 132 325 31161110 22 yx yx yxyxyx −− −−−−+ Observamos que: yyy xxx xyxyxy 1192 65 11415 −=−− −=− =− Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )13232531161110, 22 ++−−=−−−−+= yxyxyxyxyxyxP c)Fatorar ( ) yzxzxyzyxzyxM 523520256,, 222 −−−+−= Solução: Inicialmente vamos ordenar o nosso polinômio de acordo com forma geral ( ) 222 205232556,, zyzxzyxyxzyxM +−−−−= Aplicando o teorema estudado temos: zyx zyx zyzxzyxyx 552 453 205232556 222 −− − +−−−− Observamos que: yzyzyz xzxzxz xyxyxy 52025 23815 51015 −=+− −=−− −=−− Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )zyxzyxzyzxzyxyxzyxM 552453205232556,, 222 −−−+=+−−−−= C3. FORMA GERAL ( ) EDxCxBxAxxP nnnn ++++= 234
- 8. Procedimento para fatoraro polinômio: P1. Ordenar o polinômio da forma geral e colocar zero nos termos que estão faltando P2. Aplicaremos a seguinte idéia 22 2 2 11 2 1 234 exkxa exkxa EDxCxBxAx nn nn nnnn ++++ Façamos em casos separados: 1221 1221 ekekD kakaB += += Porém, para obter-mos o termo n Cx2 vamos proceder da seguinte forma: 211221 kkeaeaC ++= Isto é, o produto de 21kk é o coeficiente que falta para 1221 eaea + para obter-mos o coeficiente C. Com isso, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )22 2 211 2 1 234 exkxaexkxaEDxCxBxAxxP nnnnnnnn ++++=++++= Por exemplo: a)Fatorar ( ) 17147 234 ++++= xxxxxP Solução: Aplicando o teorema estudado temos: 1 1 17147 2 2 234 x x xxxx ++++ Temos: 222 2xxx =+ Observamos que: 222 12214 xxx =− Então, o polinômio ( ) 17147 234 ++++= xxxxxP pode ser escrito da seguinte forma: 13 14 17147 2 2 234 xx xx xxxx ++++ Com isso, verificamos que: xxx xxx 734 743 333 =+ =+ Portanto, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )131417147 22234 ++++=++++= xxxxxxxxxP b)Fatorar ( ) 1552 234 −+++= xxxxxP Solução: Aplicando o teorema estudado temos:
- 9. 3 5 1552 2 2 234 − −+++ x x xxxx Temos: 222 235 xxx =− Então,o polinômio ( ) 1552 234 −+++= xxxxxP pode ser escrito da seguinte forma: 3 50 1552 2 2 234 − −+++ xx xx xxxx Com isso, verificamos que: xxx xxx 505 0 333 =+ =+ Portanto, a forma fatorada do polinômio é dada por: ( ) ( )( )351552 22234 −++=−+++= xxxxxxxxP Seção nó cego. Nesta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade. Problema 1. (ITA – 2003) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a: A) 6 B) 2 5 C) 22 D) 3 E) 3 10 Resp.: B Problema 2. (PERU)Fatorar ( ) accbbaabbccacbaM 333333 ,, −−−++= Resp.: ( ) ( )( )( )( )cbaaccbbacbaM ++−−−=,,
- 10. Problema 3. (IME –2005)Determine o valor das raízes comuns das equações 05232441201818112 234234 =−−+−=++−− xxxxexxxx Resp.: 31± Problema 4. (PERU)Fatorar ( ) ( ) ( ) ( )323232 ,, yxzxzyzyxzyxA −+−+−= Resp.: ( ) ( )( )( )( )xzyzxyxzzyyxzyxA ++−−−=,, Problema 5. (OMRJ)Determine todas as raízes reais de 01251252 23456 =+−−+−− xxxxxx Problema 6. (E.N – 2006) Um tanque de combustível tema forma de um cilindro circular reto e sua altura mede 3 metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4 = 0. A área lateral do tanque em m2 , mede: a) 6π b) 12π c) 18π d) 36π e) 48π Resp.: B Problema 7. (PERU)Fatorar e indicar o fator primo cúbico de ( ) 122 245 +−+−= xxxxxP 1) 1) 1) 1) 1) 23 3 23 23 3 +− +− −++ ++ ++ xxe xxd xxxc xxb xxa Resp.: D Problema 8. (E. N – 86)O valor da soma das raízes comuns às equações x4 – 7x3 + 16x2 – 15x + 3 = 0 e x4 – 3x3 – x2 – 7x + 2 = 0 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resp.: E Problema 9. a)(OMRUSSIA)Fatore x3 + y3 + z3 – 3xyz b) Usando a fatoração obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das médias aritmética e geométrica. Se a, b, c ∈ R+ então 3 3 a b c abc + + ≤ e a igualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c. Problema 10. Fatore (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3 )
- 11. Problema 11. Verifique que: (x+ y + z)3 – (y + z –x)3 – (x + z – y)3 – (x + y – z)3 = 24xyz. Problema 12. (Croácia-2001) Se 0=++ zyx , simplifique ( )444 777 zyxxyz zyx ++ ++ Sugestão : calcule ( )4 yx + e ( )6 yx + Problema 13. (Grécia-2001) Fatore a expressão (i) 222222444 222 xzzyyxzyxA −−−++= e mostre que a equação A = 2000 não possui solução no conjunto dos números inteiros. Problema 14. Se x + y + z = 0, prove que ++ ++ = ++ 235 222333555 zyxzyxzyx Problema 15. (HONG KONG – 1997)Se a, b e c são as raízes da equação x3 – 2x2 – 3x – 4 = 0. O valor da expressão ac ac cb cb ba ba − − + − − + − − 555555 é igual a: a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184 Resp.: D Problema 16. (BULGARIA)Se 321 ,, xxx são as raízes da equação 032 23 =−+− xxx , então 321 32 321 31 321 21 222 xxx xx xxx xx xxx xx ++ + + ++ + + ++ + é igual a : adoerserpodenãoedciba mindet)2)1)1)0) − Resp.: C Problema 17. (BULGARIA)Os comprimentos das alturas do ABC∆ são soluções da equação cúbica 023 =+++ mxkxx l . Então o raio do círculo inscrito no ABC∆ é igual a: l ll m e k m d m c k b m k a −−− )))))
- 12. Problema 18. (BULGARIA)Seja p(x)um polinômio de grau 2 tal que 0)2(10.10cos)1(,10cos)0( 23 === pesenpp . Então o valor de )3(.32 p é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resp.: C Problema 19. (IME – 2002) Resolva a equação xx =−− 55 , sabendo-se que 0>x . Resp.: 2 211+− =x Problema 20. (IME – 2002) a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio P(x) de quarto grau para que P(x) = P(1 – x). b) Considere o polinômio P(x) = 16x4 – 32x3 – 56x2 + 72x + 77. Determine todas as suas raízes sabendo- se que o mesmo satisfaz à condição do item acima. Resp.: a) ( ) ( ) 0,2 234 ≠+−++−= aexcacxaxaxxP b) Logo as raízes de P(x) são: 2 2 1 ± , 3 2 1 ± Problema 21. (IME – 2006)Considere o polinômio ( ) 30442733 2345 +−+−−= xxxxxxP . Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a i−3 e que as partes reais e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não – nulas, calcule todas as raízes do polinômio. Problema 22. (IME – 1986) a) Mostre que se ( ) 4 0 3 0 2 000 xaxaxaxaaxP ++++= , então existe um polinômio ( )xg do segundo grau, tal que ( ) ( )1− += xxgxP b) Determine todas as raízes de ( ) 432 4541 xxxxxP ++++= Problema 23. (IME)Determine todas as raízes da equação 04432 234 =++−− xxxx Resp.: 21 e−
- 13. Problema 24. (ITA –2006)Sobre o polinômio ( ) 2345 235 −−+−= xxxxxP podemos afirmar que a) 2=x não é raízes de P b) P só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais c) P admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira d) P só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras e) P admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. RESP.: E Problema 25. (ITA - 1997) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 - 4x5 + 4x - 2 = 0. Sobre os elementos de S podemos afirmar que: (A)Todos são números reais. (B) 4 são números reais positivos. (C) 4 são números reais. (D)3 são números reais positivos e 2 não são reais. (E) 3 são números reais negativos. Resp.: D Problema 26. (ITA - 1991) Considere as afirmações: I- A equação 3x4 -10x3 + 10x - 3 = 0 só admite raízes reais. II- Toda equação recíproca admite um número par de raízes. III- As raízes da equação x3 + 4x2 - 4x - 16 = 0. São exatamente o dobro das raízes de x3 + 2x2 - x - 2 = 0 . Então: (A)Apenas I é verdadeira. (B) Apenas II é falsa. (C) Apenas III é verdadeira. (D)Todas são verdadeiras. (E) n.d.a. RESP.: B Problema 27. (EUA) Determinar todos os valores reais que satisfazem a equação: 2 453 132 x xx ++ =+− −= += 21 32 :.Re x x sp Problema 28. (INDIA – 96)Define – se uma seqüência na , 2.22,1 1221 +−=== ++ nnn aaaeaapor para 1≥n . Prove que para todo 1., +mamam também é um termo na seqüência.