Logica

GOVERNO DO DISTRITO FEDERAL
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO
SUBEP - DEMTEC - GEP
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL DE CEILÂNDIA

Esta apostila contém todo o assunto de Lógica
Matemática do TeSI (Técnico em Sistemas de Informações).
É permitida a reprodução do presente material desde que
tenha fins educacionais ou pesquisa, devendo, no entanto,
ser mencionado os direitos autorais. É vedada a reprodução
para outros fins.
Prof. João Paulo Pimentel

PROFESSOR

JOÃO PAULO PIMENTEL

Professor João Paulo Pimentel - CEP Ceilândia - 2004 2

ÍNDICE

1. Lógica Formal e Argumentação ........................................... 3
1.1. Lógica Formal................................................................................................... 3
1.2. Argumentação................................................................................................... 3
1.2.1. Argumentação dedutiva ............................................................................ 4
1.2.2. Argumentação indutiva............................................................................. 4
1.3. Elementos da Lógica Formal (Estruturas Lógicas)........................................... 4
1.3.1. Conceitos básicos...................................................................................... 5
1.3.2. Representação ........................................................................................... 7
1.3.3. Operações Lógicas sobre Proposições...................................................... 7
1.3.4. Construção da tabela-verdade de uma proposição composta ................. 10
1.3.5. Diagrama Sagital..................................................................................... 10
1.4. Tautologia, Contradição e Contingência ........................................................ 11
1.4.1. Tautologia ............................................................................................... 11
1.4.2. Contradição............................................................................................. 11
1.4.3. Contingência ........................................................................................... 12
1.5. Exercícios........................................................................................................ 12
2. Teoria dos Conjuntos .......................................................13
2.1. Definições e Operações .................................................................................. 13
2.2. Relações de Pertinência e Inclusão................................................................. 13
2.3. Outras formas de notação de conjuntos .......................................................... 14
2.4. Operações com conjuntos ............................................................................... 14
2.5. Propriedades das operações ............................................................................ 15
2.6. Outras propriedades ........................................................................................ 15
2.7. Produto Cartesiano.......................................................................................... 16
2.8. Numeral de um conjunto................................................................................. 16
2.9. Exercícios........................................................................................................ 16
3. Álgebra das Proposições ...................................................18
3.1. Propriedades da Conjunção ( Λ ).................................................................... 18
3.2. Propriedades da Disjunção ( V ) ..................................................................... 19
3.3. Propriedades da Conjunção ( Λ ) e da Disjunção ( V )................................... 20
3.4. Negação da Condicional ( → ) ....................................................................... 22
3.5. Negação da Bicondicional ( ↔ )..................................................................... 22
3.6. Exercícios........................................................................................................ 23
4. Álgebra de Boole .............................................................24
4.1. A Lógica Binária ou Álgebra Booleana.......................................................... 24
4.2. Propriedades básicas da Álgebra Booleana .................................................... 25
4.3. Tabelas operacionais....................................................................................... 25
4.4. Simplificação de expressões booleanas .......................................................... 26
4.5. Exercícios........................................................................................................ 26
5. Sistemas de Numeração ...................................................27
5.1. Operações Aritméticas no Sistema Binário .................................................... 27
5.2. Exercícios........................................................................................................ 29
6. Funções e Portas Lógicas ..................................................30
6.1. Tabela das Portas Lógicas e Símbolos Gráficos............................................. 30
6.2. Tabelas das Operações Lógicas ...................................................................... 31
6.3. Exercícios........................................................................................................ 32
7. Bibliografia .....................................................................34


1. Lógica Formal e Argumentação

1.1. Lógica Formal

É a parte da lógica que estabelece a forma correta das operações
intelectuais, ou melhor, que assegura o acordo do pensamento consigo mesmo, de
tal maneira que os princípios que descobre e as regras que formula se aplicam a
todos os objetos do pensamento, quaisquer que sejam. A lógica formal compreende
normalmente três partes que tratam da apreensão e da idéia; do juízo e da
proposição; do raciocínio e da argumentação.

1.2. Argumentação

O argumento é a construção intelectual, que segue uma ordem própria,
servindo-se de materiais conceituais dados pelas diversas experiências humanas.
Argumentar é estruturar estes materiais. O argumento significa uma justificativa
para uma conclusão, havendo ou não franca discordância entre as partes. Os
argumentos são feitos para convencer. Sendo através dela que o locutor defende
seu ponto de vista.
Diz-se, por vezes, que a lógica é o estudo dos argumentos válidos; é uma
tentativa sistemática para distinguir os argumentos válidos dos inválidos. Neste
momento, tal caracterização tem o defeito de explicar o obscuro em termos do
igualmente obscuro. Vamos direto ao assunto, o que um argumento tem? Podemos
dizer que um argumento tem uma ou mais premissas e uma conclusão. Ao avançar
um argumento, damos a entender que a premissa é habitualmente assinalada pelo
uso de expressões como <<logo>>, <<assim>>, <<conseqüentemente>>,
<<portanto>>. Considere esse exemplo de um argumento:

”Sócrates é um homem. Todos os homens são mortais. Logo, Sócrates é
mortal”

As premissas são <<Sócrates é um homem>> e <Todos os homens são
mortais>>. <<Logo>> é o sinal de um argumento e a conclusão é <<Sócrates é
mortal>>.
Muitas vezes avançamos argumentos sem apresentar todas as nossas
premissas, como no exemplo:

“João teve negativa. Logo, não pode passar de ano.”

Neste argumento está implícita aquilo a que chamamos uma premissa
suprimida; nomeadamente, a de que nenhum estudante que tenha nota negativa
passa de ano. Pode ser tão óbvio, pelo contexto, qual a premissa que está a ser
pressuposta, que seja pura e simplesmente exagerado formulá-la explicitamente.
Formular explicitamente premissas que fazem parte do pano de fundo de premissas
partilhadas é uma forma de pedantismo. Contudo, temos de ter em mente que
qualquer argumento efetivamente usado pode ter uma premissa suprimida que
tenha de se explicitar para que possa ser rigorosamente analisado.


1.2.1. Argumentação dedutiva

É a operação própria da inteligência que consiste em inferir uma
conseqüência a partir de ponderações anteriores, que se chamam antecedentes.

Vamos a um exemplo da Lógica Dedutiva de Aristóteles:”Todo planeta é
quadrado. A Terra é um planeta. Logo, a Terra é quadrada.”

Por que “Dedutiva”? Simples: porque, a começar de algumas informações,
pode-se chegar a uma conclusão (deduzir!). Esta investigação é chamada de
Silogismo. Esta Lógica não se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada, mesmo
que a gente saiba que ela é redonda. Pouco importa. Ela aceita a informação que
lhe foi dada. Mas exige que o raciocínio esteja correto! Por isso esta lógica é formal
(de forma) e dedutiva (de dedução).

1.2.2. Argumentação indutiva

Trabalha com as deduções que são prováveis, embora no campo do
conhecimento a indução, seja necessária e responsável pelo desenvolvimento da
ciência.

Aristóteles também elaborou a argumentação indutiva. Vamos a um
exemplo: “A baleia, o homem e o cão são mamíferos. A baleia, o homem e o cão
mamam. Logo, os mamíferos mamam”. Ou seja, de enunciados singulares
chegamos a um universal.

1.3. Elementos da Lógica Formal (Estruturas
Lógicas)

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do
raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se
no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole, matemático inglês
(1815-1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações
algébricas para representar proposições e suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação
estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.


1.3.1. Conceitos básicos

Linguagem corrente é a verbalização de um pensamento. Em lógica
matemática a linguagem corrente tem sintaxe própria distinguindo-se da língua
portuguesa. Por exemplo:
a) Maria é bonita;
b) No sertão chove pouco;
c) Barrichelo não é um bom corredor;

Linguagem simbólica é a representação do pensamento por símbolos da
matemática. Por exemplo:
a) x > 0 V x < 0;
b) x = 1 : x > 0;
c) y = -3 Λ x = 0 : y = x2 + 2x - 3

Proposição é todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo, que pode ser classificada como verdadeira ou
falsa.

Considere os seguintes exemplos:

- <<Dez é menor do que sete.>> É uma proposição porque é falsa.

- <<Como vai você?>> É uma pergunta, não pode ser verdade ou falsa.

- <<Ela é bonita!>> Ela não é especificada, portanto não dá para classificar
como verdadeiro ou falso, além de ser uma afirmação subjetiva.

- <<Existe vida em outros planetas.>> É uma proposição, pois pode ser
considerada como verdadeira ou falsa, independente de não sabermos a resposta
correta.


A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os
dois seguintes princípios (ou axiomas):

(I) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(II) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

Toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um
destes casos e nunca um terceiro.

As proposições podem ser classificadas em SIMPLES e COMPOSTAS:

Proposição Simples: aquela que não contém nenhuma outra proposição
como parte integrante de si mesma. São geralmente designadas pelas letras
minúsculas (p, q, r, s,...), chamadas letras proposicionais.

Exemplos: p : Carlos é careca. / q : Pedro é estudante.

Proposição Composta: aquela formada pela combinação de duas ou mais
proposições. São habitualmente designadas pelas letras maiúsculas (P, Q, R, S, ...),
também chamadas letras proposicionais.

Exemplo: P : Carlos é careca e Pedro é estudante.

Conectivos são palavras que se usam para formar novas proposições a partir
de outras. Por exemplo, nas seguintes proposições compostas:

P : O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito;

Q : O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles;

R : Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática;

S : O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo;

São conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão em
negrito, isto é: “e”, “ou”, “se... então...”, “...se e somente se...” e dentre outros.

Tabela Verdade é uma disposição gráfica completa de uma sentença,
composta ou não, bem como de todas as suas possíveis alternativas de solução. O
número de linhas de uma tabela verdade é determinada pelo número de sentenças
envolvidas. Toma-se então este número e calcula-se uma potência de base 2 com o
mesmo. O resultado será o número de linhas necessária na tabela para expressar
todas as possíveis alternativas. Por exemplo, em uma sentença composta, com três
proposições o número de linhas necessárias na tabela será de 23 = 8 linhas.


Exemplo de uma tabela-verdade composta de três proposições simples:

p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

1.3.2. Representação

É a atribuição de um símbolo para representar o resultado de uma
proposição. Normalmente é utilizado o símbolo V ou o valor binário 1 (um) para
representar um resultado do tipo verdade e um símbolo F ou o valor binário 0
(zero) para representar um resultado falso.

1.3.3. Operações Lógicas sobre Proposições

a) Negação ( ~ ): Seja “p” uma proposição, “não p” é negação a “p” cujo
valor lógico é V se “p” é F e vice-versa. Representação: ( ~ ) significa (não).

Exemplo: p: O sol é uma estrela. ~p: O sol não é uma estrela.

Tabela Verdade ( ~ ):

p ~p

V F
F V

b) Conjunção ( Λ ): Sejam “p” e “q” duas proposições, “p e q” é a
conjunção de “p” com “q” cujo valor lógico é V se ambas são V e F nos demais
casos. Representação: ( Λ ) significa: (e).

Exemplo: p Λ q : A neve é branca e 2 < 5.

Tabela Verdade (Λ ):

p q p Λq
V V V
V F F
F V F
F F F


c) Disjunção ( V ): Sejam “p” e “q” duas proposições, “p ou q” é a
disjunção de “p” com “q” cujo valor lógico é F se ambas são F e V nos demais
casos. Representação: ( V ) significa: (ou).

Exemplo: p V q: Brasília é a capital do Brasil ou 9 – 5 = 4.

Tabela Verdade ( V ):

p q pVq

V V V
V F V
F V V
F F F

d) Disjunção Exclusiva ( V ): Sejam “p” e “q” duas proposições, “ou p ou
q” é a disjunção exclusiva de “p” com “q” cujo valor lógico é V quando apenas uma
das proposições é V e F nos demais casos. Representação: ( V ) significa ( ou,
ou).

Exemplo: p V q: Ou Mário é alagoano ou Mário é gaúcho.

Tabela Verdade ( V ):

p q pVq

V V F
V F V
F V V
F F F

e) Negação conjunta de duas proposições ( ↓ ): Sejam “p” e “q” duas
proposições, “não p e não q” é a negação conjunta de “p” e “q” cujo valor lógico é V
se ambas são F e F nos demais casos. Representação: ( ↓ ) significa (não e
não).

Exemplo: p ↓ q: Mário não é alagoano e Mário não é gaúcho.

Tabela Verdade (↓ ):

p q p↓q

V V F
V F F
F V F
F F V


f) Negação disjunta de duas proposições ( ↑ ): Sejam “p” e “q” duas
proposições, “não p ou não q” é a negação disjunta de “p” e “q” cujo valor lógico é
F se ambas são V e V nos demais casos. Representação: ( ↑ ) significa (não ou
não).

Exemplo: p ↑ q: Mário não é alagoano ou Mário não é gaúcho.

Tabela Verdade ( ↑ ):

p q p↑q

V V F
V F V
F V V
F F V

g) Condicional ( → ): Sejam “p” e “q” duas proposições, “se p então q” é a
condicional de “p” com “q” cujo valor lógico é F se “p” é V e “q” é F e V nos demais
casos. Representação: ( → ) significa (se então).

Exemplo: p → q: Se Santos Dumont nasceu no Ceará, então o ano tem 9
meses.

Tabela Verdade ( → ):

p q p→q

V V V
V F F
F V V
F F V

h) Bicondicional ( ↔ ): Sejam “p” e “q” duas proposições, “p se e somente
se q” é a bicondicional de “p” com “q” cujo valor lógico é V se “p” tem o mesmo
valor lógico de “q” e F nos demais casos. Representação: ( ↔ ) significa (se e
somente se).
Exemplo: p ↔ q: Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca.
Tabela Verdade ( ↔ ):

p q p↔q

V V V
V F F
F V F
F F V


1.3.4. Construção da tabela-verdade de uma
proposição composta

I – Ordem de Precedência:

1° ~
2° V, Λ obs: Conectivos iguais, se efetua o cálculo da esquerda
3° → para direita.
4° ↔

Ex1: P: ~ p → q (Primeiro efetua a negação depois a condicional)

p q ~p p→q

V V F V
V F F V
F V V V
F F V F
II – Utilização de Parênteses:
Modifica a ordem de precedência.
P: ~ p → q ≠ Q: ~ (p → q)

Ex2: Q: ~ (p → q) (Primeiro efetua a condicional depois a negação)

p q p→q ~(p → q)

V V V F
V F F V
F V V F
F F V F

1.3.5. Diagrama Sagital

É a representação gráfica do resultado de uma proposição composta, ou
seja, o conjunto solução da proposição.

Exemplo: Construa a Tabela-Verdade e o Diagrama Sagital da seguinte
proposição P(p,q) = ~ (p Λ ~ q)

Tabela-Verdade Diagrama Sagital

p q ~q (p Λ ~ q) P V V•
V F• •V
V V F F V F V• •F
V F V V F F F•
F V F F V
F F V F V


1.4. Tautologia, Contradição e Contingência

1.4.1. Tautologia
Toda proposição composta cuja última coluna da sua T.V. encerra somente a
letra V (Verdade).
Exemplo 1: ~ (p Λ ~ p) é uma tautologia, pois:

p ~p (p Λ ~ p) ~ (p Λ ~ p)
V F F V
F V F V

Exemplo 2: p V ~ (p Λ q) é uma tautologia, pois:

p q (p Λ q) ~ (p Λ q) p V ~ (p Λ q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V

1.4.2. Contradição
Toda proposição composta cuja última coluna da sua T.V. encerra somente a
letra F (Falsidade).
Exemplo 1: p Λ ~ p é uma contradição, pois:

p ~p pΛ~p
V F F
F V F

Exemplo 2: (p Λ q) Λ ~ (p V q) é uma contradição, pois:

p q (p Λ q) (p V q) ~ (p V q) (p Λ q) Λ ~ (p V q)
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V F


1.4.3. Contingência
Toda proposição composta cuja última coluna da sua T.V. figuram as letras V
e F. Cada uma pelo menos uma vez.
Exemplo 1: p → ~ p é uma contingência, pois:

p ~p p→~p
V F F
F V V

Exemplo 2: p V q → p é uma contingência, pois:

p q (p V q) pVq→p
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V

1.5. Exercícios

1. Crie um argumento válido com duas premissas.
2. Crie um argumento válido com uma premissa.
3. O que é proposição? Dê um exemplo.
4. Quais são os princípios fundamentais da Lógica Matemática?
5. Determine quais sentenças são proposições (SIM / NÃO):
a) Não é um bom corredor. ( )
b) No sertão chove pouco. ( )
c) x > 0. ( )
d) x = 1 : x > 0. ( )
e) y= -3 Λ x = 0 : y = x2 + 2x – 3 ( )
f) y = x2 + 2x – 3 ( )
6. Determine o valor lógico das expressões:
a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10. ( )
b) 1 > 0 Λ 2 + 2 = 4. ( )
c) 3 ≠ 3 ou 5 ≠ 5. ( )
d) 7 é primo V 4 é primo. ( )
e) Se 3 + 2 = 6 então 4 + 4 = 9. ( )
f) Se raiz quadrada de 3 é igual a 1 então -1 < -2. ( )
g) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125. ( )
h) Não é verdade que 12 é impar. ( )
i) Não é verdade que Belém é capital do Pará. ( )
7. Construa a Tabela Verdade e o Diagrama Sagital das seguintes proposições:
a) P: p Λ (q → ~ p)
b) Q: p Λ (q V r)
c) R: p ↓ (~ p ↔ q)
d) S: p ↑ (q → r)


2. Teoria dos Conjuntos

2.1. Definições e Operações

A noção de conjunto é intuitiva. Esta noção está associada a uma coleção de
elementos, que, em geral, apresentam uma propriedade comum.
Exemplos: conjuntos das vogais, conjunto dos números reais, conjunto dos
números inteiros maiores que 5 e menores que 9.
Um conjunto é indicado, em geral, por uma letra maiúscula e seus
elementos relacionados entre duas chaves. Assim, se A é o conjunto das vogais
indica-se: A = {a, e, i, o, u}.
A idéia de conjunto pode ser estendida para:
(i) Conjunto unitário:
Conjunto das consoantes contidas na palavra areia: {r}.
(ii) Conjunto vazio:
Conjunto dos números inteiros compreendidos entre 7 e 8.
Como não existe nenhum inteiro compreendido entre 7 e 8, indicamos { } ou .
Obs. { } é um conjunto unitário cujo elemento é .
(iii) Conjunto infinito:
O conjunto infinito tem, como o próprio número indica, infinitos elementos.
Um exemplo bem simples de conjunto infinito é o conjunto dos números naturais N
= {0, 1, 2, 3, ...}.
(iv) Conjuntos discretos e densos:
Usados principalmente para conjuntos numéricos.
Um conjunto é dito discreto quando, estabelecida a ordem de seus
elementos, entre dois elementos sucessivos não existe outro elemento.
O conjunto dos números naturais é um conjunto discreto, pois, por exemplo,
entre o 4 e o 5 não existe nenhum outro número natural.
Os conjuntos dos números racionais e dos números reais são densos. Pois,
quaisquer que sejam dois elementos escolhidos sempre existem infinitos números
entre eles.
Veja, por exemplo: escolhidos os racionais 1/3 e 1/2 podemos escrevê-los
nas formas 10/30 e 15/30. Entre eles temos 11/30, 12/30, ..., 14/30. Se escolhido
um denominador maior, maior quantidade de racionais teremos entre 1/3 e 1/2.

2.2. Relações de Pertinência e Inclusão

Seja A um conjunto.
Se x é um elemento do conjunto A, indicamos x ∈ A, que se lê: o elemento x
pertence ao conjunto A. Caso contrário, se y não é elemento do conjunto A, indica-
se y ∉ A.
É importante notar que os símbolos ∈ e ∉ somente podem ser usados
quando se relacionam elemento e conjunto.
Consideremos então os conjuntos A = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, d} e C =
{c, e, f}.Como pode ser notado todo elemento de B pertence ao conjunto A. O
mesmo não acontece com os conjuntos C e A. No caso dos conjuntos A e B, indica-
se A ⊃ B ou B ⊂ A, que se lê, respectivamente A contém B e B está contido em A.
Nestas condições, o conjunto B é um subconjunto de A. Para os conjuntos A e C,
escreve C ⊄ A que se lê, C não está contido em A. Quando se relaciona um
conjunto com ele mesmo usa A ⊆ A ou A ⊇ A. A é um subconjunto próprio de A.


Convém notar que o conjunto vazio está contido em todo conjunto. Isto é
⊂ A. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

2.3. Outras formas de notação de conjuntos

Já foi visto anteriormente que um conjunto pode ser indicado escrevendo
seus elementos entre duas chaves. Esta forma de notação é denominada
LISTAGEM. Pode-se também representar um conjunto indicando a propriedade
comum a seus elementos. Nesta forma de notação indicamos A = {x | P(x)}, que
se lê “A é conjunto dos elementos “x” tais que P é a propriedade comum”.
Temos, por exemplo: A = {x | x é vogal}, que se lê A é o conjunto dos
elementos x tais que x é vogal.
“x” é uma variável que pode assumir diversos valores.
Assim, se x = a, e, i, o, u, x ∈ A e se x = b, x ∉ A.

Uma terceira forma, chamada “diagrama de Venn”, consiste em circundar os
elementos por linhas.

A
No diagrama, os elementos “a”, “e”, “i”,
a e b “o” e “u” pertencem ao conjunto A. O
i elemento b não pertence ao conjunto A.
u
o

2.4. Operações com conjuntos

Uma operação é um processo escolhido a partir do qual, dados dois
elementos quaisquer se pode obter um terceiro elemento de mesma natureza.
Já são do domínio público operações como adição e multiplicação de
números inteiros, que são representadas pelos sinais + e X (ou .) respectivamente.
Assim, ao indicarmos 3 + 4, significa que escolhemos um processo que irá resultar
no inteiro 7 e se indicarmos 3 . 4, o processo escolhido permite obter o resultado
12.
Para conjuntos são definidas as operações:

(i) UNIÃO
Indicada pelo símbolo ∪, e definida por A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
Como foi visto no estudo das sentenças, o conectivo “ou”, simbolizado por ∨,
é usado para indicar que um elemento pertence a A ∪ B quando pertencer
somente ao conjunto A, somente ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.
Temos por exemplo: A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6} A ∪ B = {1, 2, 3,
4, 5, 6}.

(ii) INTERSEÇÃO
Indicada por ∩, esta operação é definida por A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.
O conectivo e, indicado por ∧, é usado para indicar que x ∈ (A ∩ B) se, e
somente se, x pertencer aos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Exemplos:
(1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} A ∩ B = {3, 4}
(2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8} A∩B=


(iii) DIFERENÇA
Indicada pelo sinal -, denota-se a diferença entre o conjunto A e o conjunto
B por A – B.
Esta operação é definida por A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.
Se B é um subconjunto de A, pode-se escrever A – B = CB,A que se lê
complementar de B em relação a A.
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} A - B = {1, 2} e B – A = {5, 6}.

Usando diagramas podemos indicar

A B

A∩B B-A A∪B
A-B

2.5. Propriedades das operações

Com relação às operações com conjuntos temos:
(i) x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ ou x ∈ B) ⇔ (x ∈ B ou x ∈ A) ⇔ x ∈ (B ∪ A) ⇔ A ∪ B = B ∪
A.
x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ e x ∈ B) ⇔ (x ∈ B e x ∈ A) ⇔ x ∈ (B ∩ A) ⇔ A ∩ B = B ∩ A.
Portanto, as operações união e interseção são comutativas.
Deixamos como exercício a demonstração dos itens a seguir.
(ii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. Associatividade.
(iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Distributividade.
(iv) O conjunto vazio é o elemento neutro da operação união.
Se A, B, C são subconjuntos de um conjunto U, então U é o elemento neutro da
operação interseção. O conjunto U é chamado conjunto universo.

2.6. Outras propriedades

Sejam U = conjunto universo, = conjunto vazio, A = complementar de A
em relação ao conjunto universo.
Além das propriedades acima, tem-se:
(v) A ∪ A = A e A ∩ A = A. Idempotente.
(vi) A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A. Absorção.
(vii) (A ∪ B) = A ∩ B e (A ∩ B) = A ∪ B. Regras de De Morgan.

(xiii) A = A.
(ix) A ∪ A = U e A ∩ A =
(x) A ∪ U = U e A ∩ =


2.7. Produto Cartesiano

Sejam A e B dois conjuntos. Define-se o produto A X B como sendo o
conjunto dos pares da forma (x, y) tais que x ∈ A e y ∈ B.

Isto é A X B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}.

Se A = B, então A X B = B X A. O mesmo não acontece quando A for
diferente de B. Isto é, o produto cartesiano não é comutativo.

Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} dois conjuntos.
Pela definição temos: A X B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} e
B X A = {(3, 1), (3, 2), (3,3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
Como pode ser observado pelo exemplo acima A X B ≠ B X A.

2.8. Numeral de um conjunto

Simbolizado por n(A) o numeral do conjunto A, n(A) é igual ao número de
elementos desse conjunto A.
Exemplo: se A = {a, b, c, d, e} então n(A) = 5, pois A o conjunto A têm cinco
elementos.
Para a união de conjuntos temos:
(1) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), pois em n(A) e n(B) os elementos comuns
(pertencentes à interseção) estão computados duas vezes; e
(2) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B
∩ C).

2.9. Exercícios

1. Use o símbolo adequado a cada uma das seguintes sentenças abaixo, sendo
definidos os conjuntos: A = {a, e, i, o , u}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {e, u} e D = {x |
1 < x < 7}.
(a) B______D (b) D_____A (c) ______ C (d) e ____ C (e) x ____ A
(f) D____B

2. Represente o conjunto B usando a propriedade comum a seus elementos.

3. Escreva, sob forma de listagem, o conjunto D.

4. É falso ou verdadeiro que:
(a) ∈ { , p, q}? ( )
(b) 4 ∉ {x | x ∈ N e 4 < x < 8} ( )
(c) 3 ∈ {1, 2, 3}? ( )
(d) ⊂ {a,b,c} ( )

5. Sendo o conjunto A={ x | x ∈ N e 1 < x < 9}, represente em diagrama de venn:


6. Sejam A = {x|x ∈ N e 3 < x < 10}, B = {y|y ∈ N e 4 < y < 12} e C = {z|z ∈ N
e 10 < z < 15} três conjuntos. Considere ainda os conjuntos: vazio = e universo
U = {w | w ∈ N e 0 < w < 20}
Determine em propriedade comum e listagem:

(a) A

(b) (A ∪ B) ∩ C

(c) (A ∩ B) ∩ C

(d) A – B

(e) B - A

(f) (A ∩ B) ∩ C

(g) (A – B) X (B – A)

7. Determine o numeral do conjunto (A U B) do exercício anterior:


3. Álgebra das Proposições

3.1. Propriedades da Conjunção ( Λ )

Sejam p, q, r proposições simples quaisquer e sejam t (tautologia) e c
(contradição) proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V
(Verdade) e F (Falsidade).

(a) Idempotente: p Λ p = p
Demonstração: Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das
proposições p Λ p e p, ou seja, a bicondicional p Λ p ↔ p é tautológica:

p pΛp pΛp↔p
V V V
F F V

(b) Comutativa: p Λ q = q Λ p
proposições p Λ q e q Λ p, ou seja, a bicondicional p Λ q ↔ q Λ p é tautológica:

p q pΛq qΛp pΛq↔qΛp
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V

(c) Associativa: (p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r)
proposições (p Λ q) Λ r e p Λ (q Λ r), ou seja, a bicondicional (p Λ q) Λ r ↔ p Λ (q
Λ r) é tautológica:

p q r (p Λ q) (p Λ q) Λ r (q Λ r) p Λ (q Λ r) (p Λ q) Λ r ↔ p Λ (q Λ r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F F F F V
V F F F F F F V
F V V F F V F V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V

(d) Identidade: p Λ t = p e pΛc=c
proposições p Λ t e p, p Λ c e c, ou seja, as bicondicionais p Λ t ↔ p e
p Λ c ↔ c são tautológicas:

p t c pΛt pΛc pΛt↔p pΛc↔c
V V F V F V V
F V F F F V V


3.2. Propriedades da Disjunção ( V )

Sejam p, q, r proposições simples quaisquer e sejam t (tautologia) e c
(contradição) proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V
(Verdade) e F (Falsidade).

(a) Idempotente: p V p = p
proposições p V p e p, ou seja, a bicondicional p V p ↔ p é tautológica:

p pVp pVp↔p
V V V
F F V

(b) Comutativa: p V q = q V p
proposições p V q e q V p, ou seja, a bicondicional p V q ↔ q V p é tautológica:

p q pVq qVp pVq↔qVp
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V

(c) Associativa: (p V q) V r = p V (q V r)
proposições (p V q) V r e p V (q V r), ou seja, a bicondicional (p V q) V r ↔ p V (q
V r) é tautológica:

p q r (p V q) (p V q) V r (q V r) p V (q V r) (p V q) V r ↔ p V (q V r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F V V F V V
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F F F F F V

(d) Identidade: p V t = t e pVc=p
proposições p V t e t, p V c e p, ou seja, as bicondicionais p V t ↔ t e
p V c ↔ p são tautológicas:

p t c pVt pVc pVt↔t pVc↔p
V V F V V V V
F V F V F V V


3.3. Propriedades da Conjunção ( Λ ) e da
Disjunção ( V )

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.

(a) Distributivas:
(i) p Λ (q V r) = (p Λ q) V (p Λ r)
(ii) p V (q Λ r) = (p V q) Λ (p V r)

Demonstração: (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das
proposições p Λ (q V r) e (p Λ q) V (p Λ r), ou seja, a bicondicional p Λ (q V r) ↔ (p
Λ q) V (p Λ r) é tautológica.

p q r (q V r) p Λ (q V r) (p Λ q) (p Λ r) (p Λ q) V (p Λ r) p Λ (q V r) ↔ (p Λ q) V (p Λ r)
V V V V V V V V V
V V F V V V F V V
V F V V V F V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V

Demonstração: (ii) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das
proposições p V (q Λ r) e (p V q) Λ (p V r), ou seja, a bicondicional p V (q Λ r) ↔ (p
V q) Λ (p V r) é tautológica.

p q r (q Λ r) p V (q Λ r) (p V q) (p V r) (p V q) Λ (p V r) p V (q Λ r) ↔ (p V q) Λ (p V r)
V V V V V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F V V V V V
V F F F V V V V V
F V V V V V V V V
F V F F F V F F V
F F V F F F V F V
F F F F F F F F V

A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à
disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação à
conjunção.

(b) Absorção:
(i) p Λ (p V q) = p
(ii) p V (p Λ q) = p

proposições p Λ (p V q) e p, ou seja, a bicondicional p Λ (p V q) ↔ p é tautológica.


p q pVq P Λ (p V q) p Λ (p V q) ↔ p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V

proposições p V (p Λ q) e p, ou seja, a bicondicional p V (p Λ q) ↔ p é tautológica.

p q pΛq P V (p Λ q) p V (p Λ q) ↔ p
V V V V V
V F F V V
F V F F V
F F F F V

(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871)

(i) ~(p Λ q) = ~p V ~q
(ii) ~(p V q) = ~p Λ ~q

proposições ~(p Λ q) e ~p V ~q, ou seja, a bicondicional ~(p Λ q) ↔ ~p V ~q é
tautológica.

p q pΛq ~(p Λ q) ~p ~q ~p V ~q ~(p Λ q) ↔ ~p V ~q
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V

proposições ~(p V q) e ~p Λ ~q, ou seja, a bicondicional ~(p V q) ↔ ~p Λ ~q é
tautológica.

p q pVq ~(p V q) ~p ~q ~p Λ ~q ~(p V q) ↔ ~p Λ ~q
V V V F F F F V
V F V F F V F V
F V V F V F F V
F F F V V V V V


3.4. Negação da Condicional ( → )

(i) ~(p → q) = p Λ ~q

proposições ~(p → q) e p Λ ~q, ou seja, a bicondicional ~(p → q) ↔ p Λ ~q é
tautológica.

p q p→q ~(p → q) ~q p Λ ~q ~(p → q) ↔ p Λ ~q
V V V F F F V
V F F V V V V
F V V F F F V
F F V F V F V

NOTA: A condicional p → q não goza das propriedades idempotente, comutativa
e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p → p e p, p → q e q → p,
(p → q) → r e p → (q → r) não são idênticas.

3.5. Negação da Bicondicional ( ↔ )

(i) ~(p ↔ q) = (p Λ ~q) V (~p Λ q)

proposições ~(p ↔ q) e (p Λ ~q) V (~p Λ q), ou seja, a bicondicional ~(p ↔ q) ↔
(p Λ ~q) V (~p Λ q) é tautológica.

p q p↔ ~(p ↔ ~q pΛ ~p ~p Λ (p Λ ~q) V ~(p ↔ q) ↔ (p Λ
q q) ~q q (~p Λ q) ~q) V (~p Λ q)
V V V F F F F F F V
V F F V V V F F V V
F V F V F F V V V V
F F V F V F V F F V

As tabelas-verdade das proposições ~(p ↔ q), p ↔ ~q e ~p ↔ q são
idênticas:

p q p↔q ~(p ↔ q) ~q p ↔ ~q ~p ~p ↔ q
V V V F F F F F
V F F V V V F V
F V F V F V V V
F F V F V F V F

NOTA: A bicondicional p ↔ q não goza da propriedade idempotente, pois, é
imediato que não são idênticas as tabelas-verdade das proposições p ↔ p e p,
mas goza das propriedades comutativa e associativa.


3.6. Exercícios

1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto é:

a) p ↔ q = q ↔ p

b) (p ↔ q) ↔ r = p ↔ (q ↔ r)

2. Demonstrar por T.V as igualdades:

a) p → q Λ r = (p → q) Λ (p → r)

b) p → q V r = (p → q) V (p → r)

3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: “Rosas são vermelhas e
violetas são azuis”.

4. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes:

a) ~(p Λ q Λ r) = ~p V ~q V ~r

b) ~(p V q V r) = ~p Λ ~q Λ ~r

5. Construa a T.V. e o D.S. das seguintes proposições:

a) P: p → (q ↔ r Λ p)

b) Q: p Λ q V (q ↓ q) ↔ r

c) R: p V q Λ p ↑ (p → p)

d) S: ~(p V q) → (p Λ r V q)


4. Álgebra de Boole

4.1. A Lógica Binária ou Álgebra Booleana

Se considerarmos um circuito elétrico com uma fonte, chaves liga-desliga e
lâmpadas, são possíveis diversas combinações entre estes elementos e assim
efetuarmos operações binárias. Isto é operações onde a lâmpada será acesa ou
não.

Vejamos alguns exemplos:
(1) O circuito permite dois resultados:
fonte ≈ (i) chave aberta lâmpada apagada e
(ii) chave fechada lâmpada acesa

Operações possíveis:
A B A e B abertas lâmpada apagada
(2) fonte A aberta e B fechada lâmpada apagada
≈
A fechada e B aberta lâmpada apagada
A e B fechadas lâmpada acesa

A Operações possíveis:
B A e B abertas lâmpada apagada
(3) fonte
≈ A aberta e B fechada lâmpada acesa
A fechada e B aberta lâmpada acesa
A e B fechadas lâmpada acesa

Como será visto posteriormente, os circuitos acima apresentam
propriedades e operações semelhantes às propriedades da teoria dos conjuntos e à
lógica das proposições. Podemos então definir: “lógica binária ou álgebra booleana
é um sistema que opera com dois valores tendo como resultado um destes
valores”. Na álgebra booleana como na álgebra comum trabalhamos com variáveis
e operações. Na álgebra comum o número de variáveis é infinito e as operações
são as já conhecidas: adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e
potenciação. Na álgebra booleana usam-se apenas duas variáveis que podem ser
ABERTO e FECHADO ou VERDADEIRO e FALSO.
Em geral, atribuem-se os dígitos “1” a VERDADEIRO e “0” a FALSO.
As operações fundamentais usadas na álgebra booleana são denominadas:
(1) NOT – não – que para a variável A, se indica A ou A’.
Esta operação equivale ao complementar do conjunto A na teoria dos
conjuntos e à ~p na álgebra das proposições.
(2) AND – e – que, para as variáveis A e B, se indica A AND B ou A.B.
Esta operação equivale à interseção de conjuntos na teoria dos conjuntos e
à p ∧ q na álgebra das proposições.
(3) OR – ou - que, para as variáveis A e B, se indica A OR B ou A + B.
Esta operação equivale à união de conjuntos na teoria dos conjuntos e à p ∨
q na álgebra das proposições.


4.2. Propriedades básicas da Álgebra
Booleana

Considerando que as variáveis A, B e C podem assumir um dos valores 0 ou
1, a Álgebra Booleana tem por base as seguintes propriedades:

P1 A+B=B+A A.B = B.A Comutatividade
P2 A + (B + C) = (A + B) + C A.(B.C) = (A.B).C Associatividade
P3 A+0=A A.1 = A Elemento Neutro
P4 A+A=A A.A = A Idempotência
P5 A+1=1 A.0 = 0 Elemento Absorvente
P6 A + (B.C) = (A + B).(A + C) A.(B + C) = (A.B + A.C) Distributividade
P7 Se A = 0 então A’ = 1 Se A = 1 então A’ = 0 Operação NOT
P8 (A’)’ = A Involução
P9 A + A’ = 1 A.A’ = 0 Simétrico
P10 (A + B)’ = A’.B’ (A.B)’ = A’+B’ De Morgan
P11 A + (A.B) = A A.(A + B) = A Absorção

4.3. Tabelas operacionais

Semelhante às tabelas verdade da Lógica das Proposições, podemos
construir as tabelas operacionais para a álgebra booleana. Os valores lógicos são os
dígitos 0 e 1.

TABELA NOT (‘) TABELAS OR (+) e AND (.)

A A’ A B A+B A.B
1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0

TABELA A.(C’ + B + D’)

A B C D C’ D’ C’ + B C’+B+D’ A.(C’+B+D’)
1 1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0


4.4. Simplificação de expressões booleanas

Certas expressões, se usadas para construção de circuitos lógicos, podem
ser exigir circuitos bastante complexos. Usando as propriedades descritas na tabela
do item 4.2, muitas vezes as expressões podem ser simplificadas e em
conseqüência resultar em circuitos mais simples.
Por exemplo: a expressão X = [(A’ + B).B’]’ pode ser transformada em X = A + B.
Temos: [(A’ + B).B’]’ = [A’.B’ + B.B’]’ (P6)
[A’.B’ + B.B’]’ = [A’.B’ + 0]’ (P9)
[A’.B’ + 0]’ = [A’.B’]’ P(3)
[A’.B’]’ = (A’)’ + (B’)’ P(10)
(A’)’ + (B’)’ = A + B (P8).

Pela transitividade da equivalência (igualdade), conclui-se que [(A’ + B).B]’ ⇔ A
+ B.

4.5. Exercícios

1. Construa as tabelas das seguintes expressões booleanas:
a) A + A’ b) A.A’ c) (A + B)’ d) (A.B)’ e) A’.B’ f) A’ + B’
g) (A.B.C) + (A.B’.C’) + (A’.B’.C’) h) (A + B).(A + C)’

2. Simplifique cada uma das expressões abaixo, colocando ao lado suas respectivas
propriedades:
a) X = A.B.C + A.C’ + A.B’
b) X = A’.B + A.B’ + A.B
c) X = A’.B’ + A’.B + A.B’
d) X = A’.B’.C + B.C + A.C
e) X = A.B + B.A
f) X = (A + B’).(A + B’).(A’ + B’).0

3. Simplifique a seguinte expressão: S = X’.(X + Y) + Z’ + Z.Y


5. Sistemas de Numeração

5.1. Operações Aritméticas no Sistema
Binário

I) Conversão de BASE 10 (Decimal) para a BASE 2 (Binária):

31710 2
1 158 2
0 79 2
1 39 2
1 19 2
1 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 = 1001111012

Então 31710 = 1001111012

Sentido do número binário

II) Conversão de BASE 2 (Binária) para a BASE 10 (Decimal):

1 0 0 1 1 1 1 0 12
1 x 20 = 1
0 x 21 = 0
1 x 22 = 4
1 x 23 = 8
1 x 24 = 16 Somar
1 x 25 = 32
0 x 26 = 0
0 x 27 = 0
1 x 28 = 256
31710

III) Operações Básicas:

a) Adição binária:

Ex1: Ex2:
11 11
3510 1000112 5210 1101002
2210 + 101102 9810 + 11000102
5710 1110012 15010 100101102


b) Subtração binária:

Ex1: Ex2:
02 0112 0112
1710 100012 13610 100010002
910 – 10012 1710 – 100012
810 10002 11910 11101112

c) Multiplicação binária:

Ex1: Ex2:

1510 11112 3410 1000102
310 x 112 210 x 102
4510 11112 6810 0000002
+ 11112 1000102
1011012 10001002

d) Divisão binária:

Ex1:
7210 810 10010002 10002
010 910 1000 10012
0001000
MOD DIV 1000
02
72 DIV 8 = 9
72 MOD 8 = 0

Ex2:
7410 810 10010102 10002
210 910 1000 10012
0001010
MOD DIV 1000
00102
74 DIV 8 = 9
74 MOD 8 = 2


5.2. Exercícios

1. Converter da base decimal para a base binária:

a) 20010 =
b) 32310 =
c) 51210 =
d) 102610 =
e) 2910 =

2. Converter da base binária para a base decimal:

a) 111112 =
b) 101012 =
c) 10001010112 =
d) 1010102 =
e) 111001110102 =
f) 1111001112 =
g) 101011111102 =
h) 11000011102 =

3. Efetue as operações básicas abaixo:

a) 1010012 b) 1110102 c) 1111112
+ 1011102 + 1100002 + 111112

d) 11100012 e) 1000112 f) 11001112
- 1011102 - 111112 - 110102

g) 10112 h) 1110012 i) 10011002
x 1102 x 11112 x 10002

j) 101101002 | 112 k) 111010012 | 1002

l) 233 DIV 4 = m) 180 MOD 3 = n) 233 MOD 4 =
o) 180 DIV 3 = p) 175 DIV 7 = q) 175 MOD 8 =


6. Funções e Portas Lógicas
Os hardwares de um computador são conjuntos de circuitos eletrônicos
simples combinados. Circuitos estes destinados a receber um sinal de entrada (0 ou
1) ou combinação desses sinais, com os quais são realizadas operações ou funções
lógicas e, a partir dessa entrada produzir um sinal de saída.
Os circuitos simples são denominados portas lógicas. Esquematizando
temos:

E1 1
E2 S +
entradas . 0 1
.. porta lógica
En saída

6.1. Tabela das Portas Lógicas e Símbolos
Gráficos

A tabela a seguir mostra as portas lógicas, o simbolismo matemático e a
representação gráfica das mesmas.

Porta Lógica Símbolo Matemático Símbolo Gráfico Lógica das proposições
A X
AND (e) X = A.B p∧q
B
A X
OR (ou) X=A+B p∨q
B

NOT (não) X = A’ ou A A X ~p

A X
NAND (não e) X = (A.B)’ ~(p ∧ q)
B
A X
NOR (não ou) X = (A + B)’ ~(p ∨ q)
B
A X
XOR (ou X = (A + B) (p ∨ q)
exclusivo) B


Podemos associar diversas portas lógicas para que, dada uma entrada a
mesma combine com um conjunto registrador de origem e assim obter um
registrador de origem. Veja o exemplo abaixo.

A X 1
1
B

A X 1
1
B
Origem Destino
A X
0 0
B

O registrador de origem
A X
1
fornece um determinado 1
sinal que combinado com
B
o sinal da entrada
resultará no sinal 1
registrado no destino.
Sinal entrada

6.2. Tabelas das Operações Lógicas

A lógica das proposições utiliza os valores lógicos VERDADEIRO (V) e FALSO
(F). Nas portas lógicas estes valores são equivalentes a 1 e 0, respectivamente.
Assim, as tabelas das operações com as proposições e as tabelas operacionais com
as portas lógicas se correspondem.
Temos então:

PORTA NOT
A A’
1 0
0 1

PORTAS AND, NAND, OR, NOR, XOR

AND NAND OR NOR XOR
A B X = A.B X = (A.B)’ X = A + B X = (A + B)’ X = A + B
1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 0 1 0


Exemplo:

Sejam calcular a saída X da operação X = A + (B.C)’ para A = 01101, B =
10011 e C = 11000.
1º passo: B.C = (1,0,0,1,1).(1,1,0,0,0) = (1,0,0,0,0)
2º passo: (B.C)’ = (0,1,1,1,1)
3º passo A + (B.C)’ = (0,1,1,0,1) + (0,1,1,1,1) = (0,1,1,1,1)
Como pode ser observado A + (B.C)’ equivale à (B.C)’ para os valores dados.
A A + (B.C)’

A representação gráfica da operação acima é:
B
(B.C)’
C
6.3. Exercícios

1. Considere os valores A = 1110001, B = 0011100, C = 1010101 e D = 0101011
Calcule o valor de X, se
a) X = (A + B).(C + D) b) X = (A.B) + (C.D) c) X = (A.B’) + (C’.D)
d) X = (A’ + B).(C’ + D’)’ e) X = A.B.C.D f) X = (A.B)’ + (C’D)
g) X = (A’ + B)’ h) X = A’ + (B.C)’ i) X = (A + B)’ . (C + D’)

2. Faça a representação gráfica das operações do exercício anterior.

3. Considere a seguinte representação gráfica
1
X

0

1
0
Qual será o valor da saída X? 1

1
4. Considere a seguinte representação gráfica
1
0
1
1
X
0
Qual é o valor da saída X?
1
1
0


5. Determine o valor lógico das funções abaixo, e construa as suas respectivas
tabelas:

a) f1 (X,Y,Z)
(X’.Y) + (X → Z)
X=Z=0 ; Y=1

b) f2 (X,Y,Z)
(X ↔ Y) → Z
X=0 ; Y=Z=1

c) f3 (X,Z,W)
X.(Z ↔ W)
X=W=0 ; Z=1

d) f4 (X,Y)
X.(Y + X)
X=1 ; Y=0


7. Bibliografia

[CLAYTON, 2003] Silva, Clayton Jones Alves da, “Notas de aula de
fundamentos de eletrônica digital”, Prof. Clayton, 2003.

[EDGARD, 1999] Filho, Edgard de Alencar, “Iniciação à Lógica Matemática”,
Nobel, 1999.

[MONTEIRO, 1996] Monteiro, M. A., “Introdução à organização de
computadores”, 3 ed., LTC, 1996.

[SOUSA, 2004] Sousa, José Augusto Moura, “Raciocínio Lógico-Quantitativo”,
OIKOS, 2004.

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