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2.    ax ′ = a                                                             a dx = ax + C, C 𝜖 ℝ                  ′        ...
Esse método de integração é chamado de Método de Substituição ou Mudança de variável. O métodoexige a identificação de uma...
Exemplo 5Encontre a área A(x) entre o Gráfico de f(x) = -x+2, o intervalo [0,2] e o eixo x.      2                        ...
No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:                  Interpretar situações que envolvem o emprego do con...
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A reunião dos eventos A e B implica em um evento certo, cuja probabilidade é igual a 1 (100%).P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(...
Da teoria dos conjuntos, temos que n(AUB) =n(A) + n(B) – n(A∩B).Vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de...
6. Eventos mutuamente exclusivosDe uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira ao acaso uma bolinha. Qual aprobab...
7.Probabilidade condicionalQual é a probabilidade de se obter um rei ao retirar uma carta de um baralho comum com 52cartas...
Dizemos que A e B são eventos dependentes, pois a ocorrência de um depende da préviaocorrência do outro.                  ...
7.2.Eventos independentesUma moeda honesta é lançada duas vezes, qual a probabilidade de se obter cara nos doislançamentos...
Exercício resolvidoR.3.Uma família planejou ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que a família tenha pelo menosdois men...
No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:     Reconhecer um número complexo e identificar fatos que promoveram...
𝑥 ′ = −1 +   −1                                           𝑥′′ = −1 −    −1O próximo passo é verificar se 𝑥′ = −1 +   −1 é ...
A cada número complexo z corresponde um único ponto P de abscissas Re(z) e de ordenada Im(z) doplano. O eixo das abscissas...
4. Forma trigonométrica de um número complexoA distância entre a origem 0 e o um ponto P é chamado de módulo de um número ...
Exemplo 5.Considerando o número complexo do exemplo 4, calcular 𝑧 4 .Solução: primeiro escrevendo o número z = -2 + 2i na ...
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Matemática v

  1. 1. Ao terminar o estudo deste texto o aluno deverá ser capaz de: 1. Aplicar a taxa de variação como um meio para encontrar o valor da velocidade e da aceleração de um corpo; 2. Usar as técnicas de derivação e a tabela de derivadas; 3. Utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada de funções compostas.A derivada1. IntroduçãoNesse texto estudaremos ‗A Deirvada‘.O objetivo deste estudo é entender sua origem, seuconceito e sua aplicação nas diversas áreas de conhecimento. Para começar precisamosentender a relação existente entre taxa de variação e derivada.O estudo do movimento de uma partícula feito pelos físicos é uma oportunidade paraobservarmos a relação citada à cima. Por esse motivo, vamos iniciar nosso estudo por estaárea de conhecimento, mais precisamente pela cinemática. Trabalhar com situações problemaserá a estratégia usada para conceituar movimento, velocidade, aceleração , taxa de variaçãoe derivada.O que é taxa de variação? Onde se utiliza este conceito?Qual é a relação existente entre velocidade, aceleração e taxa de variação?Porque ao se falar de derivada se fala de taxa de variação?Estas serão as balizas do texto abaixo.2. Velocidade, Aceleração e Taxa de Variação.Vamos supor que um automóvel se desloca em uma rodovia. Ele partiu às 6 horas da manhãdo km 35 e que tenha chegado a seu destino, km 275, às 10 horas do mesmo dia. ‘ O intervalo de tempo ( ∆𝑡) é obtido pela diferença entre o instanteconsiderado (t1) e o instante inicial (t0). O intervalo de tempo é representado ∆t: lê − se delta tpor: ∆t = t1 – t0.Considerando que o automóvel saiu as 6 horas da manhã echegou as 10, temos: ∆𝑡 = 4.O deslocamento (∆𝑠) é adiferença entre duas posições ocupadas pelo mesmo móvel durante ointervalo de tempo que vai do instante t 0ao instante t + ∆ t = t1. Odeslocamento é representado assim. Em física, a letra delta∆s = s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡 maiúscula ∆ significaDesse modo o deslocamento pode ser entendido como a variação da 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚çã𝐨posição de um móvel. Analisando os dados acima concluímos que avariação de espaço do automóvel foi de 240 km.
  2. 2. A relação entre o deslocamento de um corpo e o tempo gasto na realização do movimento échamada velocidade. A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: VelocidadeMédia e Velocidade Instantânea. Vejamos cada uma.A velocidade média (Vm) é a razão entre o deslocamento de um móvel e o intervalo de tempoque ele leva para realizar esse deslocamento. A velocidade é representada por: ∆s s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡Vm = = . ∆t ∆tQual é a velocidade média do automóvel?Vm = 60 km/h. O conceito de taxa de variaçãoVamos entender esse resultado. Com base nas grandezas média é importante no estudo dedeslocamento (240 km) eo intervalo de tempo (4h), uma função, pois exprime acalculamos a taxa de variação média da velocidade ou a ‗rapidez com que uma funçãovelocidade média de 60 km/h. Isso quer dizer que, se o cresce num dado intervalo.automóvel conseguisse manter uma velocidade constantepercorreria em 1hora 60 km..Exemplo 1: suponha que o movimento de um objeto seja dado pela função s= f t = 2t2 – 1,sendo s em metros e t em segundos. Calcule a velocidade média entre t = 2 e t + ∆t = 5.Resolução s(5) – s(2) (2(5)2 – 1) – (2 (2)2 – 1) 42vm = = = = 14 m/s 5−2 5 −2 3Quando o velocímetrode um automóvel aponta para o número 60, quem está no automóvelentende que, naquele instante, o carro está se movimentando a velocidade de 60 km/h. Apósalgum tempo, o velocímetro indica 100, significa que, nesse instante, a velocidade é de 100km/h.No percurso de um móvel, a velocidade pode mudar a cada instante. A velocidade médiaestará sempre entre a maior e a menor velocidade instantânea do percurso.A velocidademarcada em cada instante no velocímetro do automóvel é chamada de velocidadeinstantânea.Imagine que o velocímetro de um carro de corrida tivesse registrado os seguintes valores develocidade instantânea a cada segundo:Tabela 2 Tempo (s) Velocidade (m/s) 0 0 1 7 2 14 3 21 4 28 5 35A tabela mostra que a velocidade do carro não se mantém constante durante o períodoconsiderado; ela aumenta a cada segundo. Esse aumento de velocidade é uniforme, uma vezque é de 7 metros a cada segundo. Quando a velocidade de um móvel varia, aumentando ou
  3. 3. diminuindo, considera-se que o móvel passou por aceleração. Pode-se descrever a aceleraçãoassim: ∆v v −v 0A t = =t ∆t 1 −t 0Em que:  a é a aceleração,  t1 é o tempo final,  t 0 é o tempo inicial,  v1 é a velocidade no tempo t1,  v0 é a velocidade no tempo t0,  ∆v é variação da velocidade,  ∆t é a variação do tempo.Utilizando a fórmula de aceleração, podemos obter o valor da aceleração média em cadaintervalo de tempo. Assim:Tabela 3 t0 t1 ∆t = t1 - t0 v0 v1 ∆v = v1 - v0 ∆v/∆t 0 1 1 0 7 7 7 1 2 1 7 14 7 7 2 3 1 14 21 7 7 2 5 3 14 35 21 7 0 5 5 0 35 35 7Se dividirmos a variação de velocidade (∆v) pelo intervalo de tempo, obtemos o valor daaceleração (a), a = 7 m/s. Durante 5 segundos após a largada a aceleração permanececonstante, são7m/s.3. Taxa de variação e derivadaUma partícula move-se em obediência a função horária s = t 2,válida no SI.Vamos determinarsua velocidade instantânea no intervalo 2 ≤ t ≤ 3, mantendo t1fixo e t + ∆t cada vez menor.Tabela 4 t1 t2 ∆t ∆s ∆s/∆t 2 3 1 3 5 2 2,5 0,5 2,25 4,5 2 2,1 0,1 0,41 4,1 2 2,01 0,01 0,0401 4,01 2 2,001 0,001 0,004001 4,001
  4. 4. Analisando a tabela acima se percebe que quando os valores de t2se aproximam de t1,ouseja ,quando ∆t tende a zero (∆t→0) a taxa de variação∆s/∆t tende a 4 m/s, como indicam oscálculos feitos.A velocidade escalar instantânea V, em certo instante t, é o limite para o qual tende a taxa devariação ∆ s/ ∆ t, calculado entre t e t + ∆ t, quando t + ∆ ttende a t, ou seja, quando∆𝑡 tende 0 ∆t → 0 . ∆s s 𝑡 + ∆𝑡 – s 𝑡v = lim∆t→0 = lim∆t→ 0 ∆t ∆t ∆sA este limite lim∆t→0 ∆t , que é o limite de uma taxa de variação quando ∆t→0, chamamos dederivada da função espaçoem relação ao tempo,indicada por v(t), quando este limite existe eé finito, isto é, resulta um número real.De maneira análoga a velocidade escalar instantânea, concluiremos que:A aceleração escalar instantânea a, em certo instante t, é o limite para o qual tende a taxa devariação ∆s/∆t, calculado entre t e t + ∆t, quando t + ∆t tende a t, ou seja, quando ∆t→0. Então: ∆v v t + ∆t − v ta t = lim∆t→0 = lim ∆t ∆t→0 ∆tExemplo 3 A função horária do espaço para o movimento de um ponto material é: s = 2t 2 – 1(SI).Determine:a) a função horária da velocidade escala instantânea;b) a velocidade escalar no instante 2 s.Resolução:a) Em um instante genérico t, temos s = 2t 2 – 1Em um instante t2 ( maior que t1), temos s‘ = 2(t + ∆t)2 – 1A velocidade escalar instantânea entre t e t + ∆t é: ∆s 2(t+ ∆t)2 – 1 – ( 2 t 2 – 1) 2t 2 + 4t.∆t+ ∆t 2 − 1 − 2t²+1 4t.∆t +(∆t)²vm =lim∆t → 0 ∆t = lim = lim = lim = ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t 4t + ∆tlim = lim 4t +∆t∆t → 0 ∆t ∆t → 0Aplicando o limite:vm = 4t + 0Obtemos a velocidade escalar v em um instante t qualquer: vm‘ = 4tObserve que ao aplicar o limite surgiu/ derivou uma nova função. O termo ―derivada ― é usadoporque a função vm‘ deriva, tem sua origem, da função vm por meio de um limite.b) Fazendo t = 2 s na expressão vm‘ = 4t, temos:vm‘ = 4( 2 ) ⟹v = 8 m/sA velocidade no instante t = 2 é de 8 m/s.
  5. 5. 4. A Derivada de uma função num pontoA derivada de uma função f x no ponto x1, indicada por f‘ x1 , ( lê-se f linha de x, no ponto x1),é definida pelo limite f ( x 1 + ∆x) –f ( x 1 )f′(x1 ) = lim∆x→o , quando este limite existe. ∆x Também podemos escrever f ( x 2 ) –f ( x 1 )f′(x1 ) = limx 2 − x 1 . x2 − x1O termo ―derivada ― é usado porque a função f‘ deriva da função f por meio de um limite.4. 1.Função DerivadaSeja f x uma função derivável em todo x de um intervalo ]a,b[. A função que associaa todo x o número f‘ x recebe o nome de função derivada de f x no ]a,b[ e será indicada por 𝑑𝑦 𝑑fuma das notações: f‘ x , 𝑑𝑥 , 𝑑x ou y‘.Podemos obter a função derivada da seguinte forma: ∆y f ( x + ∆x) –f ( x )y‘ = f‘ x = lim∆x→ 0 ∆x = lim∆x→ 0 ∆xObter a derivada de uma função através da definição é muitas vezes um processo complexo,por isso vamos estudar algumas regras de derivação. Se quiser saber mais sobre derivadaspode consultar os livros citados na bibliografia.4.2.Regras de DerivaçãoPara que não precisemos calcular derivadas pela definição, vamos resumir em uma tabela asderivadas de algumas funçõesque nos ajudarão no processo de derivação.4.2.1. Tabela de derivadas FUNÇÃO DERIVADA 1) y = k( k 𝜖 ℝ) y‘ = 0 2) y = ax + b a, b ϵ ℝ y‘ = a 3) y = xn n ϵ ℝ y‘ = nxn - 1 4) y = kg x k ϵ ℚ y‘ = kg‘ x 5) y =ex y‘ = 𝑒 x 6) y = ax a 𝜖 ℝ∗ a ≠ 1 +, y‘ = a 𝑥 . ln a 1 7) y =ln x x ϵ ℝ, x > 0 y‘ = x 1 8) y = log a x x, a ϵ ℝ, x > 0, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 y‘ = x.ln a 9) y = sen x x ϵ ℝ y‘ = cos x 10) y = cos x y‘ = - sem x 11) y = tg x x ≠ π + kπ, k ϵ ℤ y‘ = sec2 x 2 12) y = cotg x x ≠ kπ, k ϵ ℤ y‘ = - cossec2 x
  6. 6. π y‘ = sec x.tg x 13) y = sec x x ≠ + kπ, k ϵ ℤ 2 π y‘ = - cossec x . cotg x 14) y = cossec x x ≠ + kπ, k ϵ ℤ 2 1 15) y = arcsen x x < 1 y‘ = 1 − x2 1 16) y = arccos x x < 1 y‘ = - 1 − x2 1 17) y = arctg x x ϵ ℝ y‘ = 1 + x 24.2.2.Regras de derivação 1) y = u ± v y‘ = u‘ ±v‘ SOMA 2) y = uv y‘ = u‘v + uv‘ PRODUTO u u′v – uv′ 3) y = v y‘ = QUOCIENTE v2 4) y = g u , onde u = f x y‘ = g‘ u . u‘ COMPOSTA4.2.3. Demonstração de algumas regras de derivação1) Derivada da função constanteSe y = k, então y‘ = 0, onde k é constante real.Exemplos:a) y = 5 ⟹ y‘ = 0b) y = 7 ⟹y‘ = 02) Derivada da soma das funções:Se y = u + v, então y‘ = u‘ + v‘.Exemplos: 1a) y = x4 + 3x3 + ln x - cos x + 5 ⟹y‘ = 4x3 + 9x2 + x + sen x 1 1 1 1 −1 −2 1 −1 1 1 1 1 1 x3 − 1 = 2 x 2 + 3 x 3 = 2 3b)y = x + x = x 2 + x 3 ⟹y‘ = 2 x 2 + + 3 3 x 3 x23) Derivada do produto de funções:Se y = u . v, então y‘= u‘v + uv‘.Exemplos:a) y = x x 3 + xTemos: 1u = x ⟹ u‘ = 2 x 3v = x + x ⟹ v‘ = 3x2 + 1Logo: 1y‘ = 2 x 3 + x + x 3x 2 + 1 x x 3 + x + 2x 3x 2 + 1y‘ = 2 x x 3 + x + 6x 3 + 2xy‘ = 2 x
  7. 7. 7x 3 + 3xy‘ = 2 x4) Derivada do quociente de funções u u′v – uv′Se y = v , então y‘ = . v2Exemplos: 4xa) y = x − 1Temos:u = 4x ⟹ u‘ = 4v = x – 1 ⟹ v‘ = 1Logo: 4 x − 1 – 4x 1y‘ = x−1 2 4x −4 – 4xy‘ = x−1 2 4y‘ = x−1 25) Derivada da função composta ( Regra da Cadeia)Se y = g u e u = f x , então y‘ = g‘ u . u‘.Exemplo:a) y = x 2 + 7x + 3 7Temos:u = x2 + 7x + 3 ⟹ u‘ = 2x + 7g u = u7⇒g‘ u = 7 u6Logo:y‘ = 7 u6 . 2x + 7y‘ = 7 x 2 + 7x + 3 6 . 2x + 7 BibliografiaAnton, Howard.Cálculo. 8ª ed.- Porto Alegre: Bookman, 2007.Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. -3ª ed .-São Paulo: Harbra.1994.Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo : FTD, 2005.Batschelet, Edward. Introdução à matemática para biocientistas.-São Paulo: Ed. Da Unirsidadede São Paulo,1978.Ávila, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática: tópicos para licenciatura e leiturageral.-2. Ed.—São Paulo: Blucher, 2010Silva, Sebastião Medeiros. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciênciascontábeis. -2,Ed. –Sã0 Paulo : Atlas, 1985.
  8. 8. Ao terminar o estudo deste texto o aluno deverá ser capaz de: 4. Identificar a integral como operação inversa da derivada; 5. compostas. INTEGRAIS 1. Antiderivada Dada uma função g(x), se existir uma função f(x) cuja derivada f’(x) = g(x), dizemos que f(x) é antiderivada de g(x). Exemplo 1. x5 5x 4 A função f(x) = é a antiderivada de g(x) = x 4 , pois f’(x) = = x 4 = g(x). 5 5 A derivada de uma função constante é zero, por isso funções que têm como única diferença uma constante possuem derivadas iguais. Exemplo 2. Observe a derivada das funções abaixo: a) f(x) = x 4 + 2 ⟹ f’(x) = 4x3 b) f(x) = x4 ⟹ f’(x) = 4x3 c) f(x) = x4 – 1 ⟹ f’(x) = 4x3 Ao derivar as funções do exemplo 2 obtemos sempre a mesma resposta, f’(x) = 4x3. As funções f(x) são chamadas funções primitivas e a diferença entre elas é uma constante, neste caso 0, 2 e -, cuja derivada é zero. Como consequência a antiderivada de g(x) = 4x3 é a função f(x) = x4 + C, onde C é uma constante real, pois ao procurar a função primitiva é impossível determinar com exatidão a constante. A função f(x) + C é chamada de antiderivada, função primitiva ou integral indefinida de g(x) = f’(x) e é indicada por: g x dx = f(x) + C ( lê- se: a integral de g(x) em relação a x é igual a f(x) mais uma constante.) Na expressão integral indefinida o termo indefinida se refere ao fato do resultado da antiderivação ser uma função “genérica”. O sinal ʃ é denominado sinal de integração, a função f(x) é denominada integrando e a constante C é denominada constante de integração. Exemplo 3. 1 a) dx = ln x + C x b) sen x dx = cos x + C Se f x + C ′ = f’(x) e f ′ (x) dx = f(x) + C, então a derivada e a integral indefinida são operações inversas. Definição: Uma função f(x) é chamada primitiva da função g(x) em um intervalo I, se para todo x 𝜖 I, temos f’(x) = g(x). 2. Integrais Imediatas As integrais que provêm diretamente das fórmulas de derivação são chamadas de integrais imediatas. Fórmula de Derivada Fórmula de Integração Equivalente1. x ′ = 1 1 dx = dx = x + C, C 𝜖 ℝ
  9. 9. 2. ax ′ = a a dx = ax + C, C 𝜖 ℝ ′ xn + 1 xn + 13. = x 𝑛 , n ≠ -1 x n dx = + C, C 𝜖 ℝ n +1 n +1 ′ 1 14. ln x =x dx = ln x + C, C 𝜖 ℝ x ax ′ ax5. =a𝑥 ax dx = ln a + C, C 𝜖 ℝ ln a x ′6. e =e𝑥 e 𝑥 = e 𝑥 + C, C 𝜖 ℝ7. sen x ′ = cos x cos x dx = sen x + C, C 𝜖 ℝ8. cos x ′ = - sen x sen x dx = - cos x + C, C 𝜖 ℝ9. tg x ′ = sec2 x sec 2 x dx = tg x + C, C 𝜖 ℝ ′10. cotg x = - cossec2 x cossec 2 x dx = - cotg x + C, C 𝜖 ℝ11. sec x ′ = sec x . tg x sec x . tg x dx = sec x + C, C 𝜖 ℝ12. cossec x ′ = - cossec x . cotg x cossec x . cotg x dx = - cossec x + C, C 𝜖 ℝ 1 113. arcotg x ′ = 1+ x 2 = arcotg x + C, C 𝜖 ℝ 1+ x 2 1 114. arcsen x ′ = dx = arcosen x + C, C 𝜖 ℝ 1− x 2 1− x 2 1 115. arccos x ′ = - − = arcos x + C, 1− x 2 1− x 2 2.1.Propriedades das Integrais Imediatas 1. f x ± g(x) dx = f x dx ± g(x) dx A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais. 2. kf(x) dx = k f(x) dx A constante multiplicativa pode ser retirada do integrando. Demonstração das propriedades 1 e 2 x3 2 x2 x3 a) x 2 – 2x + ex dx = x 2 dx – 2x dx + ex dx = – + ex + C = − x2 + ex + C 3 2 3 1 1 1 4x 3 1 b) 4x 2 − sen x dx = 4x 2 dx - sen x dx = 4 x 2 dx - 2 sen x dx = + 2 cos x + C 2 2 3 2.2. Integração por substituição Observe a integral indefinida: x 2 − 1 . 2x dx Note que nesta função 2x é a derivada de x2 -1, assim, pode-se escrever: u = x2 – 1 ⟹ du = 2x dx e 1 2 x 2 − 1 . 2x dx = u du = u2 du = 3 . x2 − 1 3 +C
  10. 10. Esse método de integração é chamado de Método de Substituição ou Mudança de variável. O métodoexige a identificação de uma função u = f(x) e a derivada du = f’(x) dx. Então: g f x . f ′ x dx = g(u) du = h(u) + C,admitindo que se conheça g(u) du.3. Integral DefinidaDefinição: Dada uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a,b]. A integral definida de f(x),de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: ba f(x) dx,onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração e g(x) é o integrando.O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Comisso podemos calcular facilmente o valor da integral definida.Teorema. Se f é contínua sobre [a,b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então ba f(x) dx = F(b) – F(a)Exemplo 4Calcular: 1 2 x3 13 03 1a) 0 x dx = │1 = 0 - =3 3 3 0Propriedades da integral definida a a1) a f x dx = 0, pois a f x dx = F(x)│a = F(a) – F(a) = 0. a b a a2) a f x dx = - b f x dx, pois b f x dx = F(a) – F(b). b b3) a kf x dx = k a f x dx, como nas integrais indefinidas. b c b4) a f x dx = a f x dx + c f x dx, a ≤ x ≤ b.4.O problema da ÁreaDesde os tempos mais antigos os matemáticos procuraram determinar a área de uma figura plana. A áreaé a medida que indica o tamanho da região encerrada pela figura. Deduziram fórmulas para o cálculo daárea de polígonos como os quadrados, retângulos, triângulos e trapézios, mas encontraram dificuldadepara o cálculo da área de regiões com contornos curvilíneos.4.1.Cálculo de ÁreasNewton e Gollfried Leibniz descobriram uma relação fundamental entre áreas e derivadas, na segundametade do século XVII. Eles mostraram que se f é uma função contínua não-negativa no intervalo [a,b] ase A(x) denota a área sob o gráfico de f acima do intervalo [a,b], entãoA’(x) = f(x) .A fórmula A’(x) = f(x) relaciona a função área A com a função f que delimita a região. O cálculo da áreada região será feito por integração. Assim, bA = a f(x) dx = F(b) – F(a)Se o cursista quiser saber um pouco mais sobre o assunto pode consultar as obras relacionadas nabibliografia.
  11. 11. Exemplo 5Encontre a área A(x) entre o Gráfico de f(x) = -x+2, o intervalo [0,2] e o eixo x. 2 x2 22 02A= 0 x − 2 dx = − + 2x│2 = - 0 + 2.2 - − + 2.0 = -2 + 4 = 2 u.a. 2 2 2Exemplo 6Encontre a área A(x) entre a os gráficos y = x² e y = 2 – x.Neste caso ao escrever a integral coloque a função que está por cima menos a que está em baixo. Olhe no eixo x o intervalo de integração, ou seja, onde começa e onde termina a área. 1 A= −2 2 − x − x² dx = x2 x32x │1 2 - − │1 2 - − │1 = −2 2 3 1 7 536+ + = u.a. 2 3 6 BibliografiaAnton, Howard.Cálculo. 8ª ed.- Porto Alegre: Bookman, 2007.Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1. -3ª ed .-São Paulo: Harbra.1994.Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo : FTD, 2005.Batschelet, Edward. Introdução à matemática para biocientistas.-São Paulo: Ed. Da Unirsidadede São Paulo,1978.Ávila, Geraldo Severo de Souza. Várias faces da matemática: tópicos para licenciatura e leiturageral.-2. Ed.—São Paulo: Blucher, 2010Silva, Sebastião Medeiros. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciênciascontábeis. -2,Ed. –Sã0 Paulo : Atlas, 1985.Cunha, Félix da. Matemática aplicada. – São Paulo: Atlas, 1990.Flemming, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração /Diva . – 5ª ed.- SãoPaulo: Markon, 1992.
  12. 12. No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:  Interpretar situações que envolvem o emprego do conceito de probabilidade para resolvê-las.  Calcular a probabilidade de ocorrer um evento em um espaço amostral.INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE1.IntroduçãoQuando um dado é lançado, não é possível afirmar qual será o número escrito na facesuperior. Esse fato é chamado de experimento aleatório, (ou casual), pois mesmo que sejarepetido muitas vezes e em condições semelhantes o resultado será sempre imprevisível.Em nosso cotidiano nos deparamos com diversas situações em que o resultado não pode serprevisto com certeza. O lançamento de uma moeda e observar a face voltada para cima, osorteio do concurso da mega-sena, a retirada de uma carta de um baralho comum e observar oseu naipe, retirar uma bola de uma urna contendo 5 bolas brancas e 4 vermelhas e observarsua cor são experimentos cujo resultado e imprevisível. As chances de ocorrer um determinadoresultado em um experimento dessa natureza e o objeto de estudo da teoria dasprobabilidades. A probabilidade é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisamodelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.2.Conceito de probabilidade Considere o jogo de um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6 e leitura daface voltada para cima. Este é um experimento casual. No conjunto {1,2,3,4,5,6} estão relacionados todos osresultados possíveis. O conjunto de todos os resultados possíveis formam o espaço amostral,representado pela letra S, S={1,2,3,4,5,6}, são seis os elementos desse espaço amostral, ouseja, o número de resultados possíveis é 6, n(S)=6.Vamos supor que após ser lançado a face do dado voltada para cima seja 5, este número e umsubconjunto do espaço amostral S, é uma parte dos possíveis resultados, é um evento. Evento
  13. 13. é qualquer subconjunto do espaço amostral S. O conjunto S={1,2,3,4,5,6} é chamado deevento certo, pois sempre ocorre. O conjunto vazio é também um evento de S, é chamado deevento impossível, pois nunca ocorre, n(Ø)=O.Na experiência de lançar o dado e obter como resposta um número ímpar temos o subconjuntoI={1,3,5}⊂ S, n(I)=3 representa o número de resultados favoráveis a probabilidade de ocorrerum número ímpar durante o lançamento de um dado de seis faces. Temos então trêsresultados favoráveis de seis resultados possíveis. nº de resultados favor áveisProbabilidade de ocorrer nº ímpar = nº de resultados poss íveisSimbolicamente, n(I) 3 1P(I) = n(S) = 6 = 2 = 0,5 = 50%A probabilidade que ocorra o evento número ímpar (P(I)), do espaço amostral S é a razão entreo número de casos favoráveis, n(I)=3, e o número de casos possíveis n(S)=6.Definição:A probabilidade de ocorrer o evento E, representado por P(E), de um espaçoamostral S, com S ≠ ∅, é o quociente entre o número de elementos do evento E e do espaçoamostral S. n(E) P(E) = n(S)Exercícios resolvidosR1.Ao retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Qual é a probabilidade de se obteruma carta de espada?Soluçãoa) O espaço amostral é o conjunto S formado por todas as cartas do baralho eN(S)=52b) O evento ―carta de espada‖ e o conjunto E formado pelas cartas: az de espada, dois deespada, três de espada, ..., valete de espada, dama de espada e rei de espada.c) O número de elementos dos eventos ―carta de espada‖ é n(E)=13d) A probabilidade do evento ―carta de espada‖ é 25% pois,
  14. 14. n(𝐸) 13 1P(E) = = 52 = 4 = 0,25 = 25% n(S)R2.Numa urna, há nove bolas, duas azuis, quatro brancas e três pretas. Qual é a probabilidadede ela ser azul?Soluçãoa) O espaço amostral é o conjunto S formada por todas as bolas e n(S)=9b) O evento ―bola azul‖ é o conjunto A formado pelas bolas azuisc) O número de elementos do evento ―bola azul‖ é n(A)=2d) A probabilidade do evento ―bola azul‖ é 22,2%, pois 𝑛 (A) 2P(A) = = 9 = 0,222 = 22,2% 𝑛 (𝑆)3.Consequências da definiçãoSeja E um evento e S o espaço amostral finito, não vazio, deum experimento aleatório, tem: 0 n (E) n(S)0 ≤ n(E) ≤ n(S) ⟹ n(S) ≤ ≤ n(S) ⟹ 0≤ P(E) ≤ 1 n(S)Se E é um evento impossível, então: P(E)=O.Se E é um evento certo, então: P(E) = 1.4. Eventos complementaresEm uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira – se ao acaso uma bolinha. Nessasituação, sabe-se que o espaço amostral S desse experimento tem n(S) = 18. Considere oevento A: ‗ a bola sorteada é ´mpar‘, com n(A) = 9, e o evento B: ‗ a bola sorteada é par‘, comn(B) = 9. A probabilidade dos eventos A e B é dada por: n(A) 9P(A) = = 18 = 0,5 = 50% n(S) n(B) 9P(B) = = 18 = 0,5 = 50% n(S)
  15. 15. A reunião dos eventos A e B implica em um evento certo, cuja probabilidade é igual a 1 (100%).P(A) + P(B) = 1P(B) = 1 – P(A)Dizemos que o evento B é complementar do evento A, B = Ā, quando B ∩ A = ∅ e a soma desuas probabilidades é igual a 1.5.União de eventosDe uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira – se ao acaso uma bolinha. Qual é aprobabilidade de essa bolinha ter um numero divisível por 2 ou por 3?Nesse experimento o conjunto {1,2,3,...18} é o espaço amostral, S = {1,2,3,... 18} é o numerode elementos de S é 18, n(S) = 18. O grupo {2,4,6,8,10,12,14,16,18} formam o conjunto dosnúmeros divisíveis por 2. Esse grupo faz parte de S e constitui o evento A, A ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}, e n(A) = 9. O conjunto B e formado pelos números divisíveis por 3, B= {3,6,9,12,15,18}, que também faz parte de S, e n(B) = 9. A retirada de elementos do conjuntoA ou do conjunto B significa retirar elementos do mesmo espaço amostral, há a união dessesacontecimentos, representada por AUB( Le – se A união com B). Observe que os números6,12,e 18 são componentes simultâneos de A e B, portanto, formam o evento A ∩ B (Le – se Ainterseção com B) e o seu numero de elementos é 3, n(A∩B) = 3. É possível representar emum diagrama de Venn a situação descrita anteriormente
  16. 16. Da teoria dos conjuntos, temos que n(AUB) =n(A) + n(B) – n(A∩B).Vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade de AUB,P(AUB). n(AUB) n(A) n(B) n(A ∩ B). = + − n(S) n(S) n(S) n(S)P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)Então: n(A) 9P(A) = n(S) = 18 n(B) 5P(B) = = n(S) 18 n(A∩B). 3P(A∩B) = = 18 n(S)Logo:P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 9 5 3P(AUB) = 18 + 18 -18 11P(AUB) = = 0,61 = 61% 18A probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou por 3 é de 61%.
  17. 17. 6. Eventos mutuamente exclusivosDe uma urna com 18 bolinhas numeradas de 1 a 18, retira ao acaso uma bolinha. Qual aprobabilidade do número ser 2 ou 5?Nessa situação, temos:a)O espaço amostral S = {1,2,3,...,18} e o numero de elementos do espaço amostral é n(S) =18b) O evento ―numero 2‖ é o conjunto A = {2} e n(A) = 1c) O evento ―numero 5‖ é o conjunto B = {5} e n(B) = 1d) Esquematicamente, temose) Os eventos A e B não possuem elementos em comum, por isso são chamados de eventosmutuamente exclusivos, pois A∩B = Ø e n(A∩B) = Of) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, entãoP(AUB) = P(A) + P(B) 1 1P(AUB) = 18 + 18 2P(DUC) = 18 = 0,11 = 11%A probabilidade de o número ser o 2 ou 5 é de 11%
  18. 18. 7.Probabilidade condicionalQual é a probabilidade de se obter um rei ao retirar uma carta de um baralho comum com 52cartas, sabendo-se que a carta é de espada?As 52 cartas compõem o espaça amostral S e n(S) = 52. Nessa situação sabe-se que a cartaretirada é de espada, são 13 as cartas de naipe espada num baralho comum. O evento B (carta de espada ) tem n(B) = 13. O conjunto {rei de espada, rei de ouro, rei de paus, e rei decopas} forma o evento A ( ocorrer um rei ) e seu número de elementos é 4, n(A)=4. A carta ‗reide espada‘ é comum aos eventos A e B, é a interseção destes conjuntos (A∩B) e n(A∩B)= 1.Vamos denominar de A/B A ocorrência do evento A, dado que o evento B já tenha ocorrido.Temos, n(A∩B)n(A/B) = n(B)Dividindo os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade de A/B, P(A/B). n(A∩B)n(A/B) n(S) = n(B) n(S) n(S) P(A∩B)P(A/B) = P(B)Na situação acima, P(A/B) é a probabilidade de se obter um rei dado que ocorreu a ‗carta deespada‘. Então, 1 P(A∩B) 52 1P(A/B) = = 13 = 13 =0,076 = 7,6% P(B) 52Portanto, a probabilidade de obter um rei sabendo que a carta retirada é de espada é deaproximadamente 7,6%.
  19. 19. Dizemos que A e B são eventos dependentes, pois a ocorrência de um depende da préviaocorrência do outro. P(A∩B) P(A/B) = , com P(B)> 0 P(B) ou P(A∩B) = P(B) P(A/B)7.1.Interseção de dois eventosNuma urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, umaapós a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de obter um número par e um múltiplo de 5?O espaço amostral desse experimento é o conjunto S = { 1, 2, 3,...,20}.O evento A é formado pelos números pares, A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,20} e n(A) = 10. 4O evento B é formado pelos números múltiplos de 5, B ={ 5, 10, 15, 20}, n(B) = 4 e P(B) = 20 .Como não houve devolução das bolinhas na urna a retirada da primeira bolinha influencia naretirada da segunda. Na segunda retirada haverá somente 19 bolinhas na urna. 10 10A probabilidade de ocorrer um número par tendo ocorrido um múltiplo de 5 é de , P(A/B) = 19 . 19O evento um número par e um múltiplo de 5 é o conjunto A∩B = { 10, 20}, n(A∩B) = 2.Então,P(A∩B) = P(A/B) P(B) 10 4 10P(A∩B) = 19 . 20 = 95 = 0,1 = 10%
  20. 20. 7.2.Eventos independentesUma moeda honesta é lançada duas vezes, qual a probabilidade de se obter cara nos doislançamentos?Representando cara por ‗c‘ e coroa por ‗k‘, temos o espaço amostral S={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)} en(S) = 4.O evento A (sair cara no primeiro lançamento) é constituído por {(c,c),(c,k)} e n(A) = 2, logo: n(A) 2 1P(A) = n(S) 4 = 2. n(B)O evento B ( sair cara no segundo lançamento ) é B = ={(c,c),(k,c)} e n(B) = 2, logo: P(B) = n(S) 2 1= = . 4 2Os eventos A e B ocorrem simultaneamente no mesmo espaço amostral S e pode serrepresentado por A∩B = { (c,c) }, onde n(A∩B) = 1.A ocorrência do evento A não interfere na ocorrência do evento B. Por isso, dizemos que essessão eventos independentes.Se, P(A∩B) = P(B) P(A/B) (I)A ocorrência do evento A não interfere na ocorrência do evento B, por isso,P(A/B) = P(A) (II)Substituindo (II) em (I), obtemos:P(A∩B) = P(B) P(A) (III)Portanto, 1 1 1P(A∩B) = P(B) P(A) = 2 .2 = 4 = 25%
  21. 21. Exercício resolvidoR.3.Uma família planejou ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que a família tenha pelo menosdois meninos e pelo menos um de cada sexo?Soluçãom:masculino; f: feminino.S = { mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff} e n(S) = 8Evento A: pelo menos dois meninos. 4 1A = { mmf, mfm, fmm, mmm} , n(A) = 4 e P(A) = 8 = 2.Evento B: pelo menos um de cada sexo. 6 3B = { mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm }, n(B) = 6 e P(B) = 8 = 4.O evento A∩B: pelo menos dois meninos e pelo menos um de cada sexo.A∩B = { mmf, mfm, fmm }, n(A∩B) = 3.O fato de ocorrer o evento A não interfere na ocorrência do evento B. Portanto, 1 3 3P(A∩B) = P(A) P(B) = 2 . 4 = 8 = 0,37 ≅ 37%
  22. 22. No final deste capítulo o aluno deverá ser capaz de:  Reconhecer um número complexo e identificar fatos que promoveram a formalização do número e do conjunto.  Realizar as principais operações com números complexos.NÚMEROS COMPLEXOS1.Números ComplexosPara o estudo dos números complexos vamos considerar algumas situações que esclarecem anecessidade deste novo número e formalizam o conjunto complexo ( ℂ ). Vamos começar pelo estudoda equação do 2º grau sua resolução é estudada no 9º ano do ensino fundamental. Nessa fase já seestudou o conjunto dos números reais (ℝ).2. Equação do 2º grauConsideremos a resolução de uma equação do 2º grau x2 + 2x +2=0.Sendo uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0, será resolvida pela fórmula −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝑥= . 2𝑎Analisando o valor do discriminante ∆ = b2 - 4ac, temos três resultados possíveis:  b2 - 4ac > 0, um número positivo e a equação tem duas raízes reais e diferentes.  b2 - 4ac = 0, zero e a equação tem duas raízes iguais reais.  b2 - 4ac < 0, um número negativo, neste caso, a equação não tem raízes reais.Ao resolvermos a equação x2 + 2x + 2 = 0, obtemos: −2± −4∆=-4 e 𝑥 = , 2o número - 4 nos leva a conclusão que está equação não possui raízes reais. Essa conclusão, no entanto,vai além de um ponto final e nos permite um primeiro questionamento: - Essa equação possui pelo menos uma raiz?Por definição a raiz de uma equação é um número que quando colocado no lugar da variável faz comque o resultado de suas operações seja igual a zero.Vejamos uma solução.O número -4 é um número inteiro e pode ser escrito como multiplicação entre dois números inteiros,observe: -4 = (4)(-1) e voltando a −4, escreveremos −4 = 4 (−1) = 4 −1 = 2 −1. Empregandoo resultado encontrado na equação anterior, −2 ± 2 −1 𝑥= 2𝑎então,
  23. 23. 𝑥 ′ = −1 + −1 𝑥′′ = −1 − −1O próximo passo é verificar se 𝑥′ = −1 + −1 é raiz de x2 + 2x + 2 =0. Assim,X2 + 2x + 2 =0(-1 + −1)2 + 2( -1 + −1) + 2 = 0+1 - −1 - −1 -2 + 2 −1 + 2 = 00=0Desse modo, verificamos que x’ é uma raiz da equação segundo a definição, porém essa raiz não é umnúmero real, pois a raiz de um número negativo não está definido em ℝ.Voltando a verificação, observe que tratamos −1 como número, ou seja, utilizamos todas aspropriedades dos números reais para operar com a raiz de um número negativo. −1. −1 = −1 (−1) = (−1)2 = -1,-2 −1 + 2 −1 =0,(-1).( −1) = - −1,- −1 - −1 = -2 −1; valemos-nos das leis formais que regem os números reais para operar com osímbolo −1. Diante desta possibilidade vamos buscar na história os recursos necessários paraformalizar a existência do número −1.3. O número complexo ou número imaginárioDurante o século XV a interpretação de raiz quadrada de um número negativo era um grande obstáculopara os matemáticos da época. Raffaele Bombeli em seu tratado Tratado de Álgebra, publicado emBolongna ( 1572), foi um dos primeiros que expôs uma teoria sobra as raízes quadradas de númerosnegativos. Para Bombeli elas representavam um novo ente algébrico.Utilizando de o procedimento de substituição, conseguiremos provar que −1 é um número.Comecemos com −1 = i e i2 = -1. A resposta da equação será x’ = -1 + i e x’’ = -1 – i, dois números deforma geral a + bi, onde a e b são números reais, de agora em diante será chamado de númerocomplexo e representado pela letra z, z = a + bi.Vamos aqui fazer uma reflexão. Por que o número a + bi é chamado complexo?Se consultarmos um dicionário o termo complexo é definido como algo composto por partes,constituído por muitos elementos.O número complexo z = a + bi é formado por três elementos: a é chamado de parte real, b de parteimaginário e i é unidade imaginária,a ele está associado o par ordenado ( a,b ). O par ordenado podeser representado em um plano chamado plano complexo ou plano de Argand-gauss.Os números reais são considerados números complexos, pois se b = 0 teremos z = a, que chamado departe real de um número complexo.
  24. 24. A cada número complexo z corresponde um único ponto P de abscissas Re(z) e de ordenada Im(z) doplano. O eixo das abscissas é chamado eixo real, e o das ordenadas de eixo imaginário. O ponto P quecorresponde a um número complexo z é chamado de imagem ou afixo de z. Entre os números complexos não é possível estabelecer uma ordem de maior ou menor valor comoacontece no conjunto dos números reais, só é possível indicar se são iguais ou diferentes.Um número complexo z = a + bi é denominado: imaginário puro quando a = 0, exemplo z = 0 + 4i e realquando b = 0, exemplo z = 3 + 0i.Dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di serão considerados iguais, se e somente se, suas partesreais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Então, z1 = z2 ⟺ a = c e b = d.A adição entre z1 e z2 é a soma do número complexo ( a + c ) + ( b + d ) i e na multiplicação entre z1 e z2 oproduto ( ac – bd ) + ( ad + bd ) i.Exemplo 1.a) ( 3 + 4i ) + ( 1 – 2i ) = 4 + 2ib) ( 3 + 4i ) – ( 1 – 2i ) = 2 + 6ic) ( 3 + 4i )( 1 – 2i ) = 11 + 10iO complexo conjugado é definido por 𝑧 = a – bi e na representação geométrica ele aparece comosimétrico a z em relação ao eixo real. O conjugado possui 3 propriedades:I) O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados.II) O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados.III) O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.Considerando-se os complexos z1= a + bi e z2= c + di, para dividir números complexos, multiplicamosdividendo e divisor pelo conjugado do divisor, o que transforma o divisor em um número real.Exemplo 2.3 + 4i 3 + 4i 1 + 2i 3 + 6i + 4i − 16 − 13 + 10i −13 = . 1 + 2i = = = + 2i1 – 2i 1 – 2i 1 +4 5 5As potências de i se repetem depois de i4. Observe: i0 = 1, por definição i1 = i, por definição i2 = -1 i3 = i2 . i =( -1 ) . i = - i i4 = i2 . i2 = ( -1 ) ( -1 ) = 1 i5 = i4 . i = 1 . i = i i6 = i4 . i2 = 1 . –1 = - 1 i7 = i4 . i3 = 1 . – i = - i i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1A potência de i n, sendo n elemento do conjunto dos números inteiros , é obtido dividindo oexpoente n por 4 e considerando o resto da divisão como o novo expoente de i.Exemplo 3.Calcular i38.Solução: Efetuando a divisão de 38 por 4 teremos resto 2. Então, i 38 = i2 = -1.
  25. 25. 4. Forma trigonométrica de um número complexoA distância entre a origem 0 e o um ponto P é chamado de módulo de um número complexo,simbolizado por 𝑧 ou 𝜌, onde 𝑧 = 𝜌= 𝑎2 + 𝑏2 .Entre o semi-eixo real positivo e o vetor OP, girando no sentindo anti-horário, a partir dessesemi-eixo, forma um ângulo não nulo e de medida 𝜃 ( 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋). Esse ângulo é chamadode argumento de um número complexo, indicado pro arg(z). b aO argumento do número complexo é determinado através das relações: sen𝜃 = ρ e cos 𝜃 = ρ .Das relações anteriores derivam as relações: a = 𝜌 sen 𝜃 e b = 𝜌 cos 𝜃, e, portanto, podemosescrever,Z = a + biz = 𝜌 cos 𝜃 + 𝑖 𝜌 sen 𝜃z = 𝜌 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + i 𝑠𝑒𝑛 𝜃 )que é denominada forma trigonométrica ou forma polar do número complexo z.Não se define argumento para z =0 e a condição 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 garante que cada complexo zcorresponda um único argumento 𝜃 . As medidas 𝜌 e 𝜃 são chamadas de coordenadaspolares do número complexoExemplo 4.Obtemos a forma trigonométrica de do número complexo z = - 2 + 2i, fazendo:𝜌= 𝑎2 + 𝑏2𝜌= (2)2 + (2)2𝜌= 8𝜌=2 2 𝑏 2 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 = = = 𝜌 2 2 2 3π 𝜃 = 135° ou 𝜃 = 𝑎 −2 − 2 4𝑐𝑜𝑠 𝜃 = = = 𝜌 2 2 2 3π 3πForma trigonométrica: z: 2 2 − 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 4 4Para elevar um número complexo z, não nulo, ao expoente natural n (n ≥ 2), escreve-se onúmero na forma trigonométrica, com o módulo 𝜌 elevado ao expoente n e o argumento 𝜃multiplicado pelo expoente n, ou seja:𝑧 𝑛 = 𝜌 𝑛 . [cos (n.𝜃) + i . sem (n.𝜃)]A igualdade acima foi demonstrada pelo matemático francês Abrahan De Moivre ( 1667- 1754)e é conhecida como a Primeira Fórmula de Moivre.
  26. 26. Exemplo 5.Considerando o número complexo do exemplo 4, calcular 𝑧 4 .Solução: primeiro escrevendo o número z = -2 + 2i na forma trigonométrica, temos, z: 2 2 3π 3π − 𝑐𝑜𝑠 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 . 4 4 3π 3πEntão, 𝑧 4 : (2 2 )4 − 𝑐𝑜𝑠 4 . + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 4 . 4 4𝑧 4 : 64 − 𝑐𝑜𝑠 3𝜋 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 3𝜋 , 3𝜋 equivale a uma volta e meia, ou seja, os valores do seno e docosseno de 3𝜋 é igual ao de 𝜋. Logo,𝑧 4 : 64 – (−1) + 𝑖 0𝑧 4 : 64BibliografiaDante, Luiz Roberto. Matemática. - 1ª ed.- São Paulo: Ática, 2005.Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula.-2. Ed. renov. –São Paulo: FTD, 2005.Paiva, Manoel. Matemática. - 1. Ed.- São Paulo: Moderna, 2009.Ávila, Geraldo Severo de Souza. Variáveis complexas e aplicações. -3. ed.- Rio de Janeiro:LTC, 2000.

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