Este documento apresenta os principais conceitos da Transformada de Laplace aplicada à análise de circuitos elétricos, incluindo: (1) a definição da Transformada de Laplace bilateral e unilateral; (2) como a Transformada de Laplace transforma equações integro-diferenciais em equações algébricas; (3) as propriedades da Transformada de Laplace, como multiplicação por constantes e deslocamentos no tempo e frequência.

1. Análise de Circuitos Elétricos III
Prof. Danilo Melges
(danilomelges@cpdee.ufmg.br)
Depto. de Engenharia Elétrica
Universidade Federal de Minas Gerais

2. Introdução à Transformada de
Laplace

3. A Transformada de Laplace (TL)
• TL: técnica para análise de circuitos de parâmetros
concentrados
• Facilita a análise de circuitos com elevado número
de nós e/ou de malhas

4. A Transformada de Laplace em
Circuitos Elétricos
• Determinar a resposta transitória de circuitos;
• Encontrar a função de transferência: descrição da resposta em
regime permanente;
• Relacionar os comportamentos de um circuito nos domínios do
tempo e da freqüência;
• Transformar um conjunto de equações integro-diferenciais
(tempo) em equações algébricas (freqüência).

5. = ℒ
A Transformada de Laplace Bilateral
Representação alternativa:
A Transformada de Laplace Bilateral da função f(t) é dada por:
Ou seja, a TL é uma função da variável s.
Domínio do tempo
Domínio da
freqüência
Transf. Laplace
ℒ = −
∞
−∞

6. A Transformada de Laplace Unilateral (TLU)
• A TLU envolve uma integral imprópria
• Condição de existência da TL: a integral tem de convergir
• Funções sem TL: tt, exp(t2)
A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por:
= ℒ = −
∞
0

7. • A TLU “ignora” informações para t<0
• O que ocorre antes de t=0 é “traduzido” nas condições iniciais.
A Transformada de Laplace Unilateral da função f(t) é dada por:
A Transformada de Laplace Unilateral (TLU)
= ℒ = −
∞
0

8. • Se houver uma descontinuidade na origem?
• limite inferior 0+: exclui a descontinuidade
• limite inferior 0-: inclui a descontinuidade
= ℒ = −
∞
0
A Transformada de Laplace Unilateral (TLU)

9. A função degrau
• Descontinuidade na origem (t=0)=> e.g.: chaveamento
• Se K=1: função degrau unitário

10. A função degrau
• Assume-se transição linear de 0- para 0+.

11. A função degrau deslocada
• Degrau ocorrendo em t=a (a>0):

12. A função degrau
• Função igual a K para t<a (a>0):

13. Outras funções

14. = 2 − − 1 +
−2 + 4 − 1 − − 3 +
2 − 8 − 3 − − 4
Outras funções
• Pode-se formar outras funções
a partir da função degrau:

15. = 2 − − 1 +
−2 + 4 − 1 − − 3 +
2 − 8 − 3 − − 4
Outras funções
• Pode-se formar outras funções
a partir da função degrau:

16. = 2 − − 1 +
−2 + 4 − 1 − − 3 +
2 − 8 − 3 − − 4
Outras funções
• Pode-se formar outras funções
a partir da função degrau:

17. A função impulso (ou Delta de Dirac)
• A função impulso permite definir a derivada em uma
descontinuidade permite definir a TL dessa derivada.
Quando há descontinuidade finita em f(t), a
derivada não é definida no ponto de
descontinuidade.

18. “Características” da função impulso
• Possui amplitude infinita e duração zero
• Não existe na natureza
• Modelo matemático se aproxima de alguns casos
práticos
e.g.: operações de chaveamento e excitação com
fontes impulsivas

19. Derivada de uma função em uma descontinuidade
• Assume-se variação
linear na descontinuidade:
derivada=1/2 ϵ
• Quando ϵ→0, ocorre
descontinuidade abrupta
em t=0.
• Quando ϵ→0, f’(t) →∞
• A área sob a curva Af
permanece constante
(igual a 1, neste caso)

20. A função impulso
• Quando ϵ→0, f’(t)
aproxima-se de um
impulso unitário, δ(t)
f’(0) → δ(t), quando ϵ→0
• Quando Af≠1, a função impulso é denotada por Kδ(t),
onde K é a área ou intensidade da função impulso.

21. A função impulso
• Pode ser obtida a partir de uma função de parâmetro ε
que apresenta as seguintes características, quando ε→0:
• a amplitude tende a infinito;
• a duração tende para zero;
• a área sob a função permanece constante.
• Há muitas funções que apresentam esta característica.

22. ∞
−∞
=
A função impulso: definição
• A função impulso é matematicamente definida por:
• Impulso que ocorre em t=a é denotado por K δ(t-a)
= 0, ≠ 0

23. − = 0, ≠
− = 1, =
Propriedade de amostragem do impulso
Decorre de:

24. A Transformada de Laplace da impulso
• Esta propriedade nos permite determinar a TL do impulso:
• Propriedade de amostragem do Impulso:

25. Derivada do impulso
• A função f(t) gera um
impulso quando ϵ→0:
• Derivada da função
geradora do impulso
(doublet):
δ’(t), quando ϵ→0

26. TL da derivada do impulso
• Calculando a TL de f’(t):
Aplicando L’Hôpital

27. TL da derivada n-ésima do impulso
• Pode ser obtida de forma semelhante ao
procedimento realizado para a primeira derivada:

28. Relação entre degrau e impulso unitário
• A função impulso pode ser considerada a derivada
da função degrau:
Aproxima-se de uma
função degrau unitário
quando ϵ→0
Aproxima-se de uma
função impulso unitário
quando ϵ→0

29. Transformadas Funcionais

30. Transformada de Laplace do
Degrau unitário

31. Transformada de Laplace do
Degrau unitário

32. Transformada de Laplace da função
exponencial decrescente
= ℒ = −
∞
0

33. Transformada de Laplace da função
exponencial decrescente
= ℒ = −
∞
0

34. Transformada de Laplace do seno
ℒ = −
∞
0−

35. Transformada de Laplace do seno
ℒ = −
∞
0−
=
− −
2
! −
∞
0−
=
− −
− − +
2
∞
0−
=
1
2
"
1
−
−
1
+
#
= 2 + 2

36. Tabela de Transformadas

37. Propriedades da Transformada
de Laplace
(“Transformadas Operacionais”)

38. Multiplicação por uma constante
Se
= ℒ = −
∞
0

39. Adição (subtração) no domínio do tempo
Se
= ℒ = −
∞
0

40. Diferenciação
• Diferenciar no tempo corresponde a multiplicar F(s)
por s e subtrair o valor inicial:
Ou seja, a diferenciação no tempo reduz-se a uma
subtração na freqüência.

41. Diferenciação
• Demonstração:
• Integrando por partes: u=e-st e dv=df(t)
• Assumindo que a Transformada existe, então: e-stf(t)=0
para t=∞:
− 0−
+ −
∞
0−
= − 0−

42. Transformada da Derivada de
segunda ordem
• A Transformada de Laplace de g(t) é dada por:
• Vamos tomar a 1ª derivada de f(t):
2
2
• Desejamos calcular:

43. $
=
2
2
Transformada da Derivada de
segunda ordem
• Mas desejamos:
Transf. Laplace

44. Transformada de Laplace da
Derivada de ordem n
• TL da Derivada de ordem n:
• TL da Derivada de ordem 2:

45. Integração
• Integrando por partes:
• TL da Integral:
u dv
v
du

46. • Integrando por partes: 0
• Logo:
Integração

47. Deslocamento no tempo
• Como u(t-a)=0 para t<a:
= ℒ = −
∞
0

48. Deslocamento no tempo
• Mudando a variável de integração: x=t-a (t=x+a)
ℒ − − = % − %+
∞
0
% = −
% − %
∞
0
%
• Logo:
ℒ − − = −

49. Deslocamento na freqüência
Demonstrar...
• O deslocamento na freqüência corresponde a uma
multiplicação por uma exponencial no tempo:

50. Mudança de escala
Demonstrar...

51. ℒ &' = 2 + 2
Usando as propriedades da TL
• Sabendo que
• E, dada a propriedade do deslocamento na freqüência:
• Temos:
ℒ −
&' =
+
+ 2 + 2

52. Propriedades da TL

53. Aplicação da TL à análise de
circuitos
• Descrevemos o circuito por meio de uma equação
integro-diferencial em v(t) (equação nodal):
Não há
energia inicial
armazenada
no circuito

54. Aplicação da TL à análise de
circuitos
Abertura da chave=degrau de corrente

55. Aplicação da TL à análise de
circuitos
• Transformar a equação para o domínio da freqüência:
equação algébrica em s

56. Aplicação da TL à análise de
circuitos
• Transformar a equação para o domínio da freqüência:
equação algébrica em s

57. Aplicação da TL à análise de circuitos
• Resolvemos a eq. Algébrica (vc(0-)=0):
Não há
energia inicial
armazenada
no circuito
0

58. Aplicação da TL à análise de circuitos
• Calcular a Transformada Inversa de Laplace para
obter v(t) a partir de V(s):
• Verificamos a validade da expressão no domínio do
tempo.