1) A Geometria Projetiva estuda as relações entre objetos reais e suas imagens projetadas, considerando que duas retas sempre se interceptam. 2) Diferentemente da Geometria Euclidiana, na Projetiva duas retas distintas sempre se interceptam. 3) A Geometria Projetiva surgiu no Renascimento italiano para melhor representar a perspectiva nas artes visuais e foi formalizada matematicamente séculos depois.

1. O QUE É A GEOMETRIA PROJETIVA
A Geometria Projetiva é o campo da matemática que estuda as
relações que se estabelecem entre o objeto real e sua imagem
projetada, sendo assim, podemos dizer que é a geometria do
que vemos e, como tal, compartilha o caráter não-euclidiano
das geometrias que se propõem a descrever o mundo físico.

2. EUCLIDIANA X PROJETIVA
“Enquanto na Geometria Euclidiana pode haver retas que
não se interceptam, na Geometria Projetiva isto nunca
ocorre. Imagine uma estrada de ferro retilínea, os trilhos
nunca se cruzam. Na prática, os trilhos de trem são retas
paralelas, mas retas que se encontram no horizonte, no
infinito. “Essa é uma das características marcantes da
geometria projetiva, duas retas quaisquer sempre se
interceptam” (AUFFINGER;VALENTIM, 2003)

3. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
A história da geometria projetiva começa na
Itália do século XV, junto com o
Renascimento.
As pinturas eram, na sua maioria, planas e
chapadas, sem conexão com o mundo real.
Os temas tratados eram religiosos e
simbólicos.
Os artistas passaram a necessitar de técnicas
e conceitos novos para que a sua obra se
tornasse uma boa representação da
realidade, logo, introduziram os conceitos de
ponto de fuga e perspectividade.
Curved Throne

4. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
A Geometria Euclidiana com suas noções de semelhança e de
equivalência de figuras mediante as congruências, não era capaz de
atender ás novas necessidades.
Foi então surgindo, de modo intuitivo, a noção de Perspectiva nos
trabalhos dos pintores.
Duccio di Buoninsegna (1255-1319) e Giotto di Bondone (1267-
1337), dois pintores em cujas pinturas já começavam a aparecer a
relação dos objetos pintados com o tridimensional, desenvolveram
uma teoria intuitiva da perspectiva que influenciou outros pintores.

5. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
Duccio,The Annunciation
Giotto, L’ultima cena

6. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
Duccio,The Annunciation
Giotto, L’ultima cena

7. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
Em 1435 apareceu o primeiro texto sobre perspectiva, De Pictura,
escrito por Leon Battista Alberti(1404-1472).
Seu trabalho foi aprimorado e estendido pelo pintor e matemático
Piero della Francesca (1418 - 1492 ), autor de De prospectiva
pingendi.
No auge da Renascença, Leonardo da Vinci (1452-1519) e Albrecht
Durer (1471-1528) escreveram tratados sobre perspectiva em que
apresentavam a Teoria Matemática da Perspectiva e colocavam a sua
importância para a pintura.

8. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA
Demorou cerca de dois séculos para que essas ideias pudessem ser
formuladas matematicamente.
Foi apenas em 1639, século XVII, com o célebre e pioneiro trabalho
sobre a teoria geométrica das cônicas, o Broullion Projet, que Girard
Desargues (1591-1661) formalizou esses conceitos.
É importante também salientar que, durante este período, o astrônomo
Johann Kepler fez várias contribuições à Geometria Projetiva, sendo
atribuído a ele a invenção do Ponto Ideal.
No século XVIII, Gaspard Monge, motivado por aplicações à
engenharia, escreveu um texto de introdução à Perspectiva e à
Geometria Projetiva.

9. GEOMETRIA PROJETIVA E A
ATUALIDADE
A relevância da geometria projetiva para obter as representações realistas
planas de objetos tridimensionais está atualmente fazendo o estudo da
geometria projetiva um pré-requisito para o estudo da computação gráfica. O
valor desse pré-requisito está se aprimorando, uma vez que a computação
gráfica usa a representação analítica de pontos e retas por coordenadas
homogêneas e a representação de transformações de matrizes desenvolvidas
na geometria projetiva.

10. GIRARD DESARGUES
• Desargues era Matemático, engenheiro militar
e arquiteto francês de Lyon, considerado um da
fundadores de moderna geometria com sua
conceituação de Geometria Projetiva.
• Participou do círculo dos mais importantes
matemáticos de sua era, como Marin
Mersenne (1588-1648), Rene Descartes
(1597-1650), Étienne Pascal (1588-1651) o
filho e seu discípulo Blaise Pascal (1623-
1662), Abraham Bosse (1602-1676) entre
outros.
• Sua principal obra foi Brouillon projet d'une atteinteaux événements des
rencontres dún cone avec un plan (1639).

11. PLANO PROJETIVO REAL
Seja dado um centro de projeção O. Do ponto de vista projetivo, são
equivalentes todos os pontos, distintos de 0, que estão sobre um
mesmo raio passante por 0.
Isto estabelece uma partição do espaço tridimensional real, menos o
ponto 0, em classes de equivalência. O Plano Projetivo Real é
o conjunto destas classes.

12. PLANO PROJETIVO REAL
O plano projetivo real pode ser imaginado como sendo o plano
Euclideano acrescido de uma reta e um ponto. O ponto é
considerado ponto no infinito da reta e a reta, como reta no
infinito do plano.

13. PLANO PROJETIVO REAL
Cada reta passante por 0 e paralela a π , exceto uma, tem um
representante na reta H . Portanto, o plano projetivo real pode ser
imaginado como sendo o plano Euclideano acrescido de uma reta e
um ponto. O ponto é considerado ponto no infinito da reta e a reta,
como reta no infinito do plano.
É fácil ver que, no plano projetivo, duas retas distintas se intersectam
sempre num ponto. Com isto, as relapoes de incidencia entre retas e
pontos na Geometria Projetiva tornam-se mais simetricas do que na
Geometria Euclidiana.

14. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA
GEOMETRIA EUCLIDIANA
• Dois pontos distintos
determinam uma reta com a
qual são incidentes.
• Duas retas distintas tem no
máximo um ponto com o qual
são incidentes.
GEOMETRIA PROJETIVA
• Dois pontos distintos
determinam uma e somente
uma reta com a qual são
incidentes.
• Duas retas distintas
determinam um e somente
um ponto com o qual são
incidentes.

15. TEOREMAS
• DOIS TRIÂNGULOS E UMA PERSPECTIVA
Teorema (Desargues). Dois triângulos ABC e A'B'C1 estăo em
perspectiva central se, e somente se, os prolongamentos de AB e A’B' ,
BC e B'C’, AC e A'C, determinam três pontos colineares.

16. TEOREMAS
Teorema (Pascal). Se os seis vértices de um hexágono estão sobre
uma cônica, então os três pontos de intersecção dos pares de lados
opostos são colineares.

17. Jean Victor Poncelet (1788-1867)
• No final do século 18, início do século 19, floresceu na Ecole
Polytechnique de Paris, uma escola de geometria cujo inventor era Gaspard
Monge e a qual pertenceram entre outros, Poncelet, Carnot e Brianchon.
• Poncelet enquanto prisioneiro na Rússia em 1813-14 após a dramática
retirada Napoleônica, na tentativa de reconstituir o que havia aprendido de
geometria com Monge, redescobriu a Geometria Projetiva.
• Poncelet foi o primeiro a reconhecer a Geometria Projetiva como um novo
ramo da matematica e se propôs a achar todas as propriedades geometricas
das figuras que são invariantes por projeções e seções.
• O trabalho de Poncelet baseia-se sobre três idéias básicas.

18. FIGURAS HOMOLÓGAS
Poncelet define duas figuras como sendo homólogas, quando uma pode ser
obtida da outra, mediante uma sequência de projeções e seções.
A idéia, uma redescoberta do método de Desargues e Pascal, consiste em
encontrar uma figura mais simples do que a original e homóloga a ela,
estudar as suas propriedades que são invariantes por projeções e seções e
assim obter propriedades da figura mais complexa. Um exemplo disto, e a
redução que Pascal fez de um teorema sobre cônicas a um teorema sobre o
círculo.

19. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE
"Se uma figura e obtida de uma outra por mudanga continua, e a
ultima e tão geral quanto a primeira, entâo qualquer propriedade
da primeira pode ser enunciada imediatamente para a segunda
figura".
Obs.: As objeções ao princípio são a de que o conceito de generalidade de
figuras é vago e de que não é fornecida nenhuma demonstração deste
princípio.

20. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE
Uma possível aplicação do princípio é a "obtenção" do teorema de Pappus a
partir do Teorema de Pascal;
Para que o princípio funcione em várias situações, Poncelet teve que
introduzir, além dos pontos no infinito do espaço projetivo, a noção de pontos
imaginários. Do ponto de vista geométrico, estes pontos estão envolvidos por
uma auréola de mistério.

21. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE
Por exemplo:
Dadas duas cônicas no plano real que se intersetam em 4 pontos
distintos. Dois círculos distintos tem no máximo dois pontos em comum.
Como os círculos podem ser obtidos por deformações contínuas das
cônicas, dois pontos de intersecção das cônicas simplesmente
desapareceriam nas figuras transformadas. Estes dois pontos na
geometria de Poncelet são considerados imaginários e chamados de
Pontos Circulares no Infinito.

22. RECIPROCAÇÃO POLAR
Havia sido notado que vários teoremas de geometria continuavam válidos
quando se intercambiavam retas e pontos nos enunciados. Isto é a base do
Princípio de Dualidade, um dos objetivos de Poncelet ao estudar a
reciprocação polar, foi o de tentar dar uma prova do princípio de dualidade.
O caso mais simples de reciprocação polar, é o de reciprocação em relação a
um círculo.
A reciprocação polar respeita as relações de incidência.

23. BIBLIOGRAFIA
• http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GerardDs.html - História de Girard
Desargues;
• Boyer, Carl B. História da Matemática. Editora Edgard Blucher Ltda, 1991.
• ANTÔNIO CARLOS AUFFINGER E FÁBIO JÚLIO DA SILVA:
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PROJETIVA PELO DMAT NA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO (2003).
• Boyer, Carl B.História da Matemática. Editor Edgard Blucher Ltda, 1991.
• A TEORIA DA PERSPECTIVA FUNDAMENTADA PELA GEOMETRIA
PROJETIVA-MARIA MADALENA SANTOS E NADJA LISBOA.