1) O documento apresenta um capítulo sobre introdução à probabilidade e inferência estatística, definindo probabilidades, modelos de probabilidade e a distribuição normal.
2) É introduzido o conceito de probabilidade como a razão entre o número de vezes que um evento ocorre e o número total de eventos observados.
3) Distribuições de probabilidade podem ser discretas ou contínuas, e exemplos como a binomial, Poisson e normal são apresentados.
Este documento descreve os conceitos básicos de inferência estatística, incluindo:
1) A relação entre populações e amostras e como amostras aleatórias são usadas para inferir propriedades da população;
2) Definições de estatísticas, estimativas, estimadores e propriedades desejáveis de estimadores como não tendenciosidade e eficiência;
3) Exemplos de estimadores comuns como a média e variância amostral.
O documento introduz conceitos básicos de inferência estatística, incluindo:
1) População, amostra, variável aleatória e planejamento amostral;
2) Estatísticas e estimadores como formas de resumir características de uma amostra;
3) A teoria da otimalidade, que define o estimador ótimo como aquele que é não viesado e de variância mínima.
Este documento apresenta conceitos introdutórios sobre probabilidade e inferência estatística. Ele define o que é um fenômeno aleatório e distribuição regular, e usa o lançamento de uma moeda como exemplo. Também define espaço amostral, eventos, probabilidade, e propriedades como eventos disjuntos e independentes.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de inferência estatística, incluindo: (1) estimação pontual e intervalar, (2) teste de hipóteses, (3) distribuição amostral da média para amostras retiradas de populações normais. Exemplos ilustram como esses métodos são usados para tomar decisões com base em dados amostrais.
Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar
As primeiras estatísticas foram realizadas por governantes antigos para registrar bens do Estado. A palavra estatística vem do latim "status" (Estado). Gottfried Achenwall cunhou o termo "estatística" no século 18.
Começando a construir um sentido de uso da estatística para a vida cotidiana. Experimentando dados em situações reais e aprendendo a utilizar ferramentas de relevância para análises simples porém fundamentais.
[1] O documento introduz conceitos básicos de inferência estatística, incluindo medidas de tendência central, medidas de variabilidade, distribuições de frequência e probabilidade. [2] É apresentado o software SPSS para aplicar esses conceitos em análises estatísticas de dados. [3] O documento fornece uma visão geral desses importantes conceitos estatísticos e como eles podem ser aplicados na prática usando softwares como o SPSS.
Este documento descreve os conceitos básicos de inferência estatística, incluindo:
1) A relação entre populações e amostras e como amostras aleatórias são usadas para inferir propriedades da população;
2) Definições de estatísticas, estimativas, estimadores e propriedades desejáveis de estimadores como não tendenciosidade e eficiência;
3) Exemplos de estimadores comuns como a média e variância amostral.
O documento introduz conceitos básicos de inferência estatística, incluindo:
1) População, amostra, variável aleatória e planejamento amostral;
2) Estatísticas e estimadores como formas de resumir características de uma amostra;
3) A teoria da otimalidade, que define o estimador ótimo como aquele que é não viesado e de variância mínima.
Este documento apresenta conceitos introdutórios sobre probabilidade e inferência estatística. Ele define o que é um fenômeno aleatório e distribuição regular, e usa o lançamento de uma moeda como exemplo. Também define espaço amostral, eventos, probabilidade, e propriedades como eventos disjuntos e independentes.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de inferência estatística, incluindo: (1) estimação pontual e intervalar, (2) teste de hipóteses, (3) distribuição amostral da média para amostras retiradas de populações normais. Exemplos ilustram como esses métodos são usados para tomar decisões com base em dados amostrais.
Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar
As primeiras estatísticas foram realizadas por governantes antigos para registrar bens do Estado. A palavra estatística vem do latim "status" (Estado). Gottfried Achenwall cunhou o termo "estatística" no século 18.
Começando a construir um sentido de uso da estatística para a vida cotidiana. Experimentando dados em situações reais e aprendendo a utilizar ferramentas de relevância para análises simples porém fundamentais.
[1] O documento introduz conceitos básicos de inferência estatística, incluindo medidas de tendência central, medidas de variabilidade, distribuições de frequência e probabilidade. [2] É apresentado o software SPSS para aplicar esses conceitos em análises estatísticas de dados. [3] O documento fornece uma visão geral desses importantes conceitos estatísticos e como eles podem ser aplicados na prática usando softwares como o SPSS.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo a origem da teoria das probabilidades, experimentos aleatórios versus determinísticos, espaço amostral e eventos.
2) É apresentada a definição formal de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis de um evento e o número total de resultados possíveis.
3) Regras de contagem como combinações e permutações são explicadas como fundamentais para calcular probabilidades de forma lógica.
Este documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística usados em hidrologia. Primeiro, introduz conceitos como variáveis aleatórias, probabilidade, espaço amostral e eventos. Em seguida, explica como esses conceitos são aplicados em hidrologia para caracterizar a variabilidade temporal de variáveis como vazão e níveis de cheia. Finalmente, discute estatísticas como média e desvio padrão que são usadas para analisar séries temporais hidrológicas.
Este documento fornece uma introdução aos conceitos básicos da inferência estatística, incluindo:
1) A diferença entre parâmetros e estatísticas, e como as estatísticas podem ser usadas para estimar parâmetros;
2) A importância de se usar amostras aleatórias para minimizar enviesamentos;
3) O conceito de distribuição de amostragem e como ela é usada para avaliar estimadores.
O documento discute a bioestatística, resumindo sua história desde os primeiros levantamentos estatísticos no Egito Antigo até sua expansão para áreas como saúde pública e ciências sociais. Também define bioestatística como a aplicação de métodos estatísticos para solucionar problemas biológicos e discute termos e conceitos importantes como população, amostra e parâmetros.
A estatística utiliza teorias probabilísticas para explicar a frequência de eventos e prever fenômenos futuros. Ela envolve planejamento, sumarização e interpretação de dados para produzir as melhores informações possíveis. A estatística tem aplicações em ciências naturais e sociais e na administração pública e privada.
O documento discute a epidemiologia e a bioestatística, definindo os termos e conceitos centrais dessas áreas, como população, amostra, parâmetro, dados quantitativos e qualitativos. Também aborda métodos de amostragem e ferramentas estatísticas descritivas como histogramas, tabelas e gráficos.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística aplicados à hidrologia, como distribuição de frequência, probabilidade condicional e tempo de retorno. Explica como medir a frequência de dados hidrológicos usando curvas de permanência e como estimar o tempo de retorno com base na probabilidade de excedência de eventos.
1) O documento apresenta uma introdução à estatística e interpretação de dados, discutindo porque usar estatística e a filosofia por trás dos testes estatísticos.
2) Explica os passos lógicos comuns a todos os testes estatísticos, como formular hipóteses, esperar resultados, e tomar decisões.
3) Discutem tipos de variáveis e como escolher testes estatísticos apropriados dependendo das variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre estatística. Aborda o panorama histórico da estatística, métodos, definições, ramos, coleta e apresentação de dados, amostras e tipos de amostragem. Discorre sobre estatística descritiva, probabilidade, inferência, variáveis, abusos e usos da estatística.
O documento apresenta uma introdução sobre estatística, abordando seu panorama histórico, métodos, definições, natureza, usos e abusos. Inclui tópicos como estatística descritiva e indutiva, coleta e apresentação de dados, além de exemplos sobre interpretação de estatísticas.
O documento apresenta um resumo sobre estatística. Aborda o panorama histórico da estatística, seus métodos, definições, ramos, tipos de variáveis, amostragem, estatística descritiva e inferencial. Destaca os usos e abusos da estatística, com exemplos de distorções de dados.
1) O documento discute técnicas de amostragem e tratamento de dados faltantes para realizar inferência estatística.
2) Aborda conceitos como população, amostra, estimativa pontual, intervalo de confiança e testes de hipóteses.
3) Fornece exemplos de como estimar parâmetros como média e proporção utilizando estatísticas amostrais.
O documento discute os desafios e limitações das estatísticas. Apresenta como as estatísticas podem ser influenciadas pelo ponto de vista de quem coleta e analisa os dados, e como pequenos erros nas amostragens podem levar a grandes distorções. Também destaca que as estatísticas representam médias e não refletem necessariamente situações individuais.
O documento apresenta o plano de curso para a disciplina de Métodos Quantitativos ministrada pelo Prof. Renato Vicente. O plano detalha os objetivos da disciplina, a abordagem dos tópicos de Estatística Descritiva, Inferência Estatística, Regressão, Análise de Variância e Amostragem ao longo do semestre. Além disso, fornece a bibliografia e o cronograma com as datas e os conteúdos a serem cobrados em cada aula.
2009 - Semana de estatística UFPR - A estatística e o mercado de açõesAlysson Ramos Artuso
O documento discute como a estatística pode ser aplicada ao mercado de ações, incluindo descrever os retornos de ações, medir o risco de carteiras de investimento, e testar a eficiência do mercado. Ele também fornece exemplos de como estratégias de investimento podem ser avaliadas estatisticamente.
Este documento apresenta uma introdução à estatística descritiva. Discute a natureza da estatística, seu método, definições básicas e fases do método estatístico, incluindo coleta de dados, apuração, apresentação e análise. Também aborda variáveis qualitativas e quantitativas, além de técnicas de amostragem como amostragem casual e proporcional estratificada.
Manual do Usuário - Mini System Philips FW339, FW316 e FW356Dharma Initiative
A pandemia de COVID-19 causou impactos negativos na economia global em 2020. Muitos países entraram em recessão devido às medidas de isolamento social necessárias para conter a propagação do vírus, com forte queda no PIB. Governos lançaram pacotes de estímulo sem precedentes para mitigar os efeitos da crise de saúde na atividade econômica e no emprego.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo a origem da teoria das probabilidades, experimentos aleatórios versus determinísticos, espaço amostral e eventos.
2) É apresentada a definição formal de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis de um evento e o número total de resultados possíveis.
3) Regras de contagem como combinações e permutações são explicadas como fundamentais para calcular probabilidades de forma lógica.
Este documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística usados em hidrologia. Primeiro, introduz conceitos como variáveis aleatórias, probabilidade, espaço amostral e eventos. Em seguida, explica como esses conceitos são aplicados em hidrologia para caracterizar a variabilidade temporal de variáveis como vazão e níveis de cheia. Finalmente, discute estatísticas como média e desvio padrão que são usadas para analisar séries temporais hidrológicas.
Este documento fornece uma introdução aos conceitos básicos da inferência estatística, incluindo:
1) A diferença entre parâmetros e estatísticas, e como as estatísticas podem ser usadas para estimar parâmetros;
2) A importância de se usar amostras aleatórias para minimizar enviesamentos;
3) O conceito de distribuição de amostragem e como ela é usada para avaliar estimadores.
O documento discute a bioestatística, resumindo sua história desde os primeiros levantamentos estatísticos no Egito Antigo até sua expansão para áreas como saúde pública e ciências sociais. Também define bioestatística como a aplicação de métodos estatísticos para solucionar problemas biológicos e discute termos e conceitos importantes como população, amostra e parâmetros.
A estatística utiliza teorias probabilísticas para explicar a frequência de eventos e prever fenômenos futuros. Ela envolve planejamento, sumarização e interpretação de dados para produzir as melhores informações possíveis. A estatística tem aplicações em ciências naturais e sociais e na administração pública e privada.
O documento discute a epidemiologia e a bioestatística, definindo os termos e conceitos centrais dessas áreas, como população, amostra, parâmetro, dados quantitativos e qualitativos. Também aborda métodos de amostragem e ferramentas estatísticas descritivas como histogramas, tabelas e gráficos.
O documento discute conceitos básicos de probabilidade e estatística aplicados à hidrologia, como distribuição de frequência, probabilidade condicional e tempo de retorno. Explica como medir a frequência de dados hidrológicos usando curvas de permanência e como estimar o tempo de retorno com base na probabilidade de excedência de eventos.
1) O documento apresenta uma introdução à estatística e interpretação de dados, discutindo porque usar estatística e a filosofia por trás dos testes estatísticos.
2) Explica os passos lógicos comuns a todos os testes estatísticos, como formular hipóteses, esperar resultados, e tomar decisões.
3) Discutem tipos de variáveis e como escolher testes estatísticos apropriados dependendo das variáveis.
O documento apresenta um resumo sobre estatística. Aborda o panorama histórico da estatística, métodos, definições, ramos, coleta e apresentação de dados, amostras e tipos de amostragem. Discorre sobre estatística descritiva, probabilidade, inferência, variáveis, abusos e usos da estatística.
O documento apresenta uma introdução sobre estatística, abordando seu panorama histórico, métodos, definições, natureza, usos e abusos. Inclui tópicos como estatística descritiva e indutiva, coleta e apresentação de dados, além de exemplos sobre interpretação de estatísticas.
O documento apresenta um resumo sobre estatística. Aborda o panorama histórico da estatística, seus métodos, definições, ramos, tipos de variáveis, amostragem, estatística descritiva e inferencial. Destaca os usos e abusos da estatística, com exemplos de distorções de dados.
1) O documento discute técnicas de amostragem e tratamento de dados faltantes para realizar inferência estatística.
2) Aborda conceitos como população, amostra, estimativa pontual, intervalo de confiança e testes de hipóteses.
3) Fornece exemplos de como estimar parâmetros como média e proporção utilizando estatísticas amostrais.
O documento discute os desafios e limitações das estatísticas. Apresenta como as estatísticas podem ser influenciadas pelo ponto de vista de quem coleta e analisa os dados, e como pequenos erros nas amostragens podem levar a grandes distorções. Também destaca que as estatísticas representam médias e não refletem necessariamente situações individuais.
O documento apresenta o plano de curso para a disciplina de Métodos Quantitativos ministrada pelo Prof. Renato Vicente. O plano detalha os objetivos da disciplina, a abordagem dos tópicos de Estatística Descritiva, Inferência Estatística, Regressão, Análise de Variância e Amostragem ao longo do semestre. Além disso, fornece a bibliografia e o cronograma com as datas e os conteúdos a serem cobrados em cada aula.
2009 - Semana de estatística UFPR - A estatística e o mercado de açõesAlysson Ramos Artuso
O documento discute como a estatística pode ser aplicada ao mercado de ações, incluindo descrever os retornos de ações, medir o risco de carteiras de investimento, e testar a eficiência do mercado. Ele também fornece exemplos de como estratégias de investimento podem ser avaliadas estatisticamente.
Este documento apresenta uma introdução à estatística descritiva. Discute a natureza da estatística, seu método, definições básicas e fases do método estatístico, incluindo coleta de dados, apuração, apresentação e análise. Também aborda variáveis qualitativas e quantitativas, além de técnicas de amostragem como amostragem casual e proporcional estratificada.
Manual do Usuário - Mini System Philips FW339, FW316 e FW356Dharma Initiative
A pandemia de COVID-19 causou impactos negativos na economia global em 2020. Muitos países entraram em recessão devido às medidas de isolamento social necessárias para conter a propagação do vírus, com forte queda no PIB. Governos lançaram pacotes de estímulo sem precedentes para mitigar os efeitos da crise de saúde na atividade econômica e no emprego.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive function. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
Teoria - Transferência de Calor - capítulos 1, 2 e 3Dharma Initiative
O documento discute os mecanismos de transferência de calor, incluindo condução, convecção e radiação. A condução ocorre através de um meio estacionário devido a diferenças de temperatura. A convecção envolve o transporte de calor por um fluido em movimento. A radiação transfere energia através de ondas eletromagnéticas entre superfícies a diferentes temperaturas sem um meio intermediário.
O documento lista as especificações de motores de vários modelos de veículos, incluindo marca, modelo, motor, RPM recomendada para gasolina e álcool. Fornece detalhes técnicos sobre o desempenho ótimo de diferentes motores quando abastecidos com gasolina ou álcool.
This document is a service manual for the Sony STR-K660P FM stereo FM-AM receiver. It provides specifications for the receiver including power output ratings for the front, center, surround, and subwoofer channels. It also lists tuning ranges for the FM and AM tuner sections. The document outlines safety checks that should be performed on the receiver before being released to a customer, and provides circuit board layout diagrams, schematic diagrams, parts lists, and other technical details for servicing the receiver.
Roteiro para utilização do software Origin - OriginLabDharma Initiative
1) O documento fornece instruções passo-a-passo para criar gráficos no Origin a partir de dados em tabelas, incluindo como adicionar títulos, legendas e ajustar retas de regressão linear.
2) Também explica como alterar os eixos para escalas semi-logarítmicas e log-logarítmicas.
3) Por fim, fornece instruções para ajustar funções definidas pelo usuário aos dados.
1. O documento discute conceitos fundamentais de eletroquímica, incluindo oxidação, redução e potencial de eletrodo.
2. É explicado que oxidação e redução ocorrem simultaneamente em reações redox e que o potencial de eletrodo depende das atividades dos íons presentes.
3. A equação de Nernst permite calcular a diferença de potencial entre eletrodos quando os constituintes da reação redox não estão em suas condições padrão.
This document provides character tables and other group theory information for various point groups. It includes:
1. Character tables for common point groups like Cn, Dn, Cnv up to n=8.
2. Tables on direct products of irreducible representations for selected point groups.
3. Information on descent in symmetry and subgroups.
4. General formulas, worked examples, and illustrations of point groups and molecules.
Tabela de Valores de Absorção no Espectro de Infravermelho para Compostos Org...Dharma Initiative
O documento fornece um resumo das principais absorções no espectro de infravermelho para compostos orgânicos, dividido em quatro seções cobrindo diferentes regiões de número de onda. A primeira seção descreve absorções entre 3.600-2.700 cm-1 associadas a vibrações O-H, N-H e C-H. A segunda seção cobre 2.300-1.900 cm-1 e descreve vibrações de triplas ligações e duplas acumuladas. A terceira seção abrange 1.900-1.500 cm-
Química dos Elementos de Transição Experimental - Experimento III - Tris(oxal...Dharma Initiative
Roteiro da terceira prática da disciplina Química dos Elementos de Transição Experimental - Tris(oxalato)ferrato(III) de potássio, traduzido por mim...
UFSCar - 2012
Material integrante do curso "Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos" - Prof. Pedro Ferreira Filho e Profa. Estela Maris P. Bereta - UFSCar
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Betel, Ordenança para buscar a paz e fazer o bem, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE
ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
CAPÍTULO # 3
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE E A
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
PROF. PEDRO FERREIRA FILHO
PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA
2º SEMESTRE DE 2010
2. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
3. INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE E A INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA:
3.1. PROBABILIDADES:
Sabemos que alguns fenômenos são previsíveis. Por exemplo, se jogarmos várias vezes uma
moeda de determinado lugar e medir a velocidade da queda, os resultados serão sempre iguais. O
fenômeno e previsível porque obedece a uma lei da física. Então, existe determinismo.
Outras vezes, o fenômeno e imprevisível, mas tem um padrão a longo prazo. Por exemplo,
você não sabe se a próxima criança que ira nascer na cidade será menino ou menina, mas sabe que
no decorrer deste ano nascerão meninos e meninas quase na mesma proporção.
Muitos dos fenômenos que observamos podem ser repetidos. As repetições são independentes
- no sentido que o resultado de uma não tem efeito sobre o resultado de outra - e tem um padrão
de comportamento previsível a longo prazo. E o que acontece, por exemplo, no jogo de dados, no
jogo de cartas, na roleta.
O estudo de probabilidades começou com os jogos de azar. As pessoas queriam entender a
"lei" que rege esses jogos para ganhar dinheiro nos cassinos. Os matemáticos acabaram
descobrindo que não e possível prever, por exemplo, se vai ocorrer a face 6 em determinado
lançamento de um dado. Podemos apenas descobrir, por observação, que a face 6 ocorre 1/6 das
vezes no decorrer de muitas jogadas.
Hoje a probabilidade é importante para outras coisas, além - é claro – dos jogos de azar. Muitos
fenômenos naturais e artificiais são probabilísticos, no sentido de que eles não são previsíveis a
priori, mas tem padrões de comportamento à longo prazo. É o caso dos estudos de genética,
baseados na observação de Mendel de que, dados os pais, as características da geração seguinte não
são determinísticas, mas tem padrões de comportamento que já estão sendo descobertos. A emissão
de partículas radioativas ocorre ao acaso ao longo do tempo, mas com um padrão que ajudou a
sugerir a causa da radioatividade.
A idéia de probabilidade é, pois, essencial em qualquer ramo de conhecimento. Mesmo no
futebol se concorda que jogar uma moeda para decidir quem começa o jogo evita o favoritismo. Pela
mesma razão, os estatísticos recomendam amostras aleatórias (todos os elementos da população
tem igual probabilidade de pertencer a amostra), uma versão sofisticada do jogo de moedas. O
favoritismo em escolher pessoas para uma amostra é tão indesejável como dar a bola para um dos
times começar o jogo.
É importante você notar que, nos dois casos, ocorreu a introdução deliberada do acaso na
escolha. Jogar uma moeda para decidir quem começa o jogo ou escolher uma amostra aleatória tem
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2
3. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
o mesmo sentido, isto é:
• o resultado não é previsível de antemão;
• existe um padrão de comportamento a longo prazo.
3.1. UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Antes de definir probabilidade, vamos entender que cada resultado possível de um fenômeno
aleatório é um evento. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, tem aspectos diferentes que os
distinguem entre si.
Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se nA
desses eventos tem a atributo A, então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.
Exemplo 1.
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um dado equilibrado?
Solução:
Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos mutuamente exclusivos e igualmente
prováveis; logo, a probabilidade de ocorrer 6 é 1/6.
A definição clássica de probabilidade não é valida logicamente porque é circular, isto é, ao exigir
que os n eventos possíveis sejam igualmente prováveis, estamos utilizando o conceito de
probabilidade que pretendemos definir.
Mas é importante entender que a definição clássica de probabilidade não faz sentido a menos
que possamos imaginar muitas repetições independentes do fenômeno. Quando dizemos que a
probabilidade de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um único lançamento de
uma única moeda, a medida de chance que teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa serie de
jogadas. Vem dai a próxima definição de probabilidade.
Definição 2: Freqüência relativa do evento A é a razão entre o número de vezes em que ocorreu A
(nA) e o número de eventos observados (n).
É importante você entender que, se em uma longa seqüência de repetições do fenômeno, nas
mesmas condições, a freqüência relativa de um evento se aproxima de um numero fixo, esse número
é uma estimativa da probabilidade de o evento ocorrer. Mas os matemáticos ainda exigem dois
axiomas:
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 3
4. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
• a probabilidade de um evento é um valor entre 0 e 1;
• se cada evento de um fenômeno aleatório pode ocorrer com determinada probabilidade, a
soma dessas probabilidades é igual a 1.
Exemplo 2.
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que não é equilibrado (os seis
eventos possíveis não são igualmente prováveis)?
Solução:
Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer face 6 devemos lançar o dado um
número suficientemente grande de vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de
lançamentos feitos.
Na prática, o conceito de probabilidade como limite de uma freqüência relativa é bastante útil.
Alis, as casas de jogos e as companhias de seguros dependem da estabilidade das freqüências
relativas.
O maior inconveniente da definição de freqüência relativa como estimativa de probabilidade é o
fato de ela se limitar aos casos em que o número de eventos observados pode crescer
indefinidamente. Então afirmativas como "a probabilidade de o Brasil ganhar a próxima Copa é 0,95"
não são validas? São desde que se entenda que a freqüência relativa não é a única estimativa
importante de probabilidade.
3.2. MODELOS DE PROBABILIDADE:
No capítulo definimos alguns procedimentos gráficos e numéricos para descrever o
comportamento de uma dada característica (variável) presente no nosso estudo. Sob ponto de vista
da probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido como a distribuição da
mesma. Na identificação da distribuição dos dados, considerando que na maioria dos casos nosso
interesse está concentrado no estudo de variáveis quantitativas, o histograma se constitui num
instrumento de grande importância na identificação de um modelo adequado aos dados.
Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter uma boa descrição geral
dos dados. A curva obtida é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição
idealizada, que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas ignora irregularidades
de menor importância, bem como a presença de valores atípicos.
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 4
5. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Figura 3.1. Histograma e uma curva da distribuição
A figura 3.1 apresenta o histograma do peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas
ao acaso em uma população. O peso apresenta uma distribuição muito regular. O histograma é
simétrico e decresce suavemente a partir de um pico central único na direção de ambas as caudas. A
i
curva suave traçada através do topo das barras do histograma é uma boa descrição do padrão geral
dos dados.
A análise do histograma indica que:
• a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;
• a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);
• existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).
Uma curva com uma forma apropriada é geralmente, uma descrição adequada do padrão
geral de uma distribuição. Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é descrito
exatamente por uma dessas curvas, mas sim se constitui em uma boa aproximação de fácil utilização
e com precisão suficiente para ser considerada na pratica.
Sabemos que características (variáveis) em estudo para determinados problemas apresentam
um mesmo padrão de comportamento. Portanto estas variáveis podem ser aproximadas por uma
mesma curva, exceto por seus valores de referência, como por exemplo, ponto central, dispersão...
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 5
6. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo padrão de comportamento seguem
um mesmo modelo (ou distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade pode então
ser definido como uma descrição matemática de um fenômeno aleatória (ou variável aleatória de
forma mais formal).
Os modelos ou distribuições de probabilidade são classificados em dois tipos: modelos
discretos ou modelos contínuos.
Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem assumir um número finito ou
enumerável de valores enquanto que os modelos contínuos estão relacionados às variáveis que
podem assumir infinitos valores.
Alguns modelos de probabilidade mais conhecidos são:
Tipo de Modelo Modelo Característica
Discretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois
possíveis valores em cada uma das n repetições
do experimento e a probabilidade de ocorrência
de cada um é constante.
Poisson A variável observada identifica o resultado de
uma contagem no experimento (número de
insetos em uma determinada área, por
exemplo).
Geométrico Número de experimentos necessários até a
ocorrência de um dado resultado de interesse.
Binomial Número de experimentos necessários até a
Negativa ocorrência de certo número de vezes do
resultado de interesse.
Hipergeométrico Variável em estudo somente pode assumir dois
possíveis valores em cada uma das n repetições
do experimento e a probabilidade de ocorrência
de cada um não é constante (usualmente
experimentos sem reposição).
Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igual
probabilidade, qualquer valor em um intervalo,
região,...
Exponencial A variável observa o tempo necessário até a
ocorrência de um determinado resultado de
interesse.
Normal Variáveis com distribuições simétricas em
relação a um ponto central.
Muitos outros modelos de probabilidade são conhecidos e adequados a determinados tipos
específicos de variáveis em função das características das mesmas. Essas distribuições podem ser
encontradas, por exemplo, em: Estatística Básica, Pedro Morettin e Wilton Bussab, Editora Saraiva.
Observações:
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 6
7. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
• Para determinadas situações, modelos discretos podem ser aproximados (representados) por
um modelo contínuo. Por exemplo, num caso binomial onde o número de repetições do
experimento é grande, pode-se analisar a variável em estudo pelo modelo normal.
• Os modelos aqui apresentados referem-se à distribuição de uma única variável. Podemos em
alguns casos ter interesse no comportamento conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses
casos temos os chamados modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão
objetos de estudo nesse curso.
3.3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL:
Uma classe importante de distribuição é aquela apresentada na figura 3.1. Nesse caso a curva
aproximada do histograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma forma de sino (simetria
2
1 x −µ
1 − , – ∞ < x < ∞.
f (x ) = e 2 σ
σ 2π
em torno do ponto de pico). As curvas que apresentam esta característica são chamadas de curvas
Normais e descrevem a distribuição Normal. As distribuições normais têm um importante papel na
estatística, mas são bastante peculiares e nem um pouco “normais”, no sentido de serem comuns ou
naturais. A distribuição normal é caracterizada por sua média µ e seu desvio padrão σ. A função
matemática que define a distribuição normal é dada por:
Temos então que se a variável em estudo, pode ser representada pela curva normal, então ela pode
assumir qualquer valor real, a sua média esta localizada no centro da curva e coincide com a
mediana e desvio padrão controla a dispersão ao redor do ponto central.
Notação : X ~ N(µ ; σ 2)
µ
Figura 3.2. Distribuição Normal
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 7
8. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
3.3.1. PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL:
X ~ N (µ ; σ 2)
• E(X) = (média ou valor esperado);
• Var(X) = σ2 (e, portanto, DP(X) = σ );•
• x = σ é ponto de máximo de f (x);
• • -σ e +σ são pontos de inflexão de f (x);
• A curva Normal é simétrica em torno da média .
• A distribuição Normal depende dos parâmetros e σ2
Figura 3.3. Distribuições normais com mesmo desvio padrão e diferentes médias
Figura 3.4. Distribuições normais com mesma média e diferentes desvios padrão.
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 8
9. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
• Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em comum. Em particular todas
as distribuições normais obedecem à seguinte regra:
Na distribuição normal com média e desvio padrão σ:
68% das observações estão no intervalo ( - σ; + σ),
95,4% das observações estão no intervalo ( σ
- 2σ ; σ
+ 2σ),
99,7% das observações estão no intervalo ( σ
- 3σ ; σ
+ 3σ),
3.3.2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES:
As distribuições de probabilidade aproximam os dados observados de uma dada característica
de interesse através de um modelo que nos permite, dentre outros aspectos, calcular probabilidade
de interesse a respeito da variável em estudo.
Por exemplo: Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol
encontrada na urina. A quantidade de fenol na urina de moradores de certa região segue,
aproximadamente, uma distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere a
seguinte definição em termos da variável quantidade de fenol na urina:
Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for superior a
9mg/l ou inferior a 3 mg/L.
Podemos então estar interessado na seguinte pergunta: Qual é a probabilidade de ser
encontrado um indivíduo “atípico”?
Definimos X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina. Então a pergunta de
interesse pode ser interpretada como a probabilidade de X < 3 mais probabilidade de X > 9. A
notação para este problema é dada por:
P{X<3}+P{X>9}
Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de interesse pode ser
representada pela distribuição normal?
O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela área sobre a curva normal
na região de interesse, isto é, área sob a curva de densidade fornece a proporção de observações
que estão numa região de valores de interesse.
Por exemplo, genericamente.
P(a < X < b)
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 9
10. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
é dada pela seguinte área sobre a curva.
Figura 3.5. Cálculo da P(a < X < b)
O cálculo da área sobre a curva é dada por:
−1 x − µ
2
P{a < X < b} = ∫ f (x )dx = ∫
b b 1 2 σ
e dx
a a
σ 2π
A solução do problema acima não é imediata. A solução da integral acima é usualmente dada
através de métodos numéricos. Portanto não conveniente utilizar esta forma de obtenção da
probabilidade desejada.
Questão: Como calcular a probabilidade deseja sem a necessidade de resolver a integral acima
apresentada?
Resultado:
Se X ~ N( ; σ 2), então
x-µ
Z= tem distribuição N(0 , 1)
σ
chamada distribuição normal padrão. Nesse caso temos que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1.
Observação:
Dada a v.a. Z ~ N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N( ; σ2) através da transformação inversa
X = µ + Z σ.
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 10
11. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Graficamente:
Figura 3.6. Transformação para normal padrão
Questão:
De que forma a transformação da variável X em Z, normal padrão facilita o cálculo
de probabilidades?
Considerando a transformação Z, podemos obter o cálculo de P(a < X < b) da seguinte
forma:
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 11
12. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
a − µ x − µ b − µ
P{a < X < b} = P < <
σ σ σ
a − µ b−µ
= P <Z <
σ σ
= {z1 < Z < z 2 }
−1
= ∫ f (x )dx = ∫
z2 z2 1 x2
e 2 dx
z1 z1
2π
A solução da integral é mais simples que no caso anterior, e é apresentada na forma de uma
tabela (Anexo 1).
Uso da tabela da Normal Padrão: Z ~ N(0,1)
O significado dos valores tabelados: Para um dado valor z qualquer;
Figura 3.7. Interpretação da tabela da normal padrão.
Portanto valor tabela z nos dá área sobre a curva até o ponto z, ou seja, a
P{ Z < z}
Se considerarmos que z=0.32, temos que P{ Z < 0.32 }= 0.6255, ou seja,
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 12
13. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
0.6255
Figura 3.8. P { Z < 0.32 }
Na tabela:
Considere agora:
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 13
14. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Figura 3.9. P{0 < Z < 1.71 }
Solução:
P(0 < Z ≤ 1,71) = P(Z ≤1,71) – P(Z ≤ 0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564.
Observação: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.
Outros Problemas: |
1) A resistência a compressão de amostras de cimento pode ser representada por um modelo
normal com média de 6000 kg por cm2 e um desvio padrão de 100 kg por cm2.
a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 kg/cm2?
b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kg/cm2?
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 14
15. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
2) O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas
de bebidas gasosas é distribuído segundo o modelo normal com uma média de 12.4 onças
fluidas e um desvio padrão de 0.1 de onça fluída.
a) Qual a probabilidade do volume de enchimento ser menor do que 12 onças fluídas?
b) Se todas as latas menores que 12.1 ou maiores que 12.6 onças são rejeitas, qual a
probabilidade de uma lata ser rejeitada?
3) A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um modelo normal com
média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?
b) Qual o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?
c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem independentemente, qual a
probabilidade de todos os três estarem ainda operando após 7000 horas?
4) Dois analistas observaram uma solução de soda de concentração conhecida (%) e obtiveram
os seguintes resultados:
Analista Determinações
João 10.2 9.9 10.1 10.4 10.2 10.4
Paulo 9.9 10.2 9.5 10.4 10.6 9.4
Considerando que a resposta observada pode ser representada pelo modelo normal e que a
concentração real da solução é 10.1%, responda:
a) Qual dos dois analistas tem maior probabilidade de encontrar valores acima de 10.5%?
b) Para cada analista, qual o valor da concentração determina que 15.5% das determinações
serão maiores?
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 15
16. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Anexo 1
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 16
17. Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística
Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 17