educação

1. PROPORCIONALIDADE
6ª série
Mafalda/ Quino,1992

2. Repare no último quadrinho.Você seria capaz de
representar o pensamento da Mafalda em linguagem
matemática?
Mafalda/ Quino,1992

3.  Mafalda está comparando a quantidade de
nomes Silva que consta na lista telefônica com o
total de nomes da lista.
 E está comparando o número de chineses com
o total da população mundial.
lista
da
nomes
de
total
n
Silva
nomes
de
n
º
º
mundial
população
da
total
n
chineses
de
n
º
º

4.  E finalmente ela compara estas duas razões
entre si, concluindo que as duas razões são
equivalentes. É isto que entendemos quando
dizemos que estão na mesma proporção.
 =
lista
da
nomes
de
total
n
Silva
nomes
de
n
º
º
mundial
população
da
total
n
chineses
de
n
º
º

5.  A população da China é de 1,307 bilhões
de pessoas e a população mundial de 6,6
bilhões de pessoas.
5
1
10
2
2
,
0
6
,
6
307
,
1 


bilhões
bilhões
O que você pode dizer da população da
China em relação à população mundial?

6. Razão e proporção
Para entender as proporções, começaremos com
razões.
Uma razão é uma divisão de duas grandezas, que
nos mostra quantas vezes uma é maior ou menor
que a outra. São intimamente ligadas aos
números Racionais, do conjunto

7. São exemplos de razão:

8. Proporção
Uma proporção é uma igualdade que
compara razões.
Ela significa que as quantidades descritas
podem não ser iguais, mas estão
igualmente divididas.

9. Como se tivéssemos um jarra com 2 litros
(2000ml) de água com 20 gramas de açúcar.
Clip-art

10. Ao retirarmos um copo, teremos 250ml de
água e 2,5 gramas de açúcar.
A quantidade é diferente, mas a proporção
se mantém, equacionamos:

11. Estas razões indicam que sempre há 100
vezes mais água que açúcar em razão do
volume por massa (ml/g).
A proporção da mistura é de 100 mililitros
de água por grama de açúcar.
Clip-art

12. Proporcionalidade Inversa
Como o nome indica, é a proporcionalidade entre
um número e o inverso de outro.
A principal propriedade deste tipo de proporção é
que se mantida, ao contrário do que acontece no
exemplo anterior, de quanto mais água mais
açúcar, quanto MAIS de um elemento da
proporção MENOS de outro.

13. Vejamos um exemplo:
 Um motorista
profissional que viajava
constantemente de BH
para Uberlândia, fez a
seguinte tabela,após
calcular a velocidade
média.
(V=Distância/tempo)
 Obs: distância aproximada
Distância
percorrida
Velocidade
média
Tempo
gasto
560 Km 60 Km/h 9h20min
560 Km 70 Km/h 8h
560 Km 80 Km/h 7h
560 Km 120 Km/h 4h40min
560 Km 140 Km/h 4h

14. Observe a tabela.
 Quando a velocidade aumenta, o que
acontece com tempo gasto na viagem?
 Quando a velocidade dobra o que
acontece com o tempo gasto na viagem?

15. Compondo Proporções
Trabalhamos com proporções fixas, que
simplesmente ditavam que uma fração
deveria permanecer constante. Mas o que
acontece se uma grandeza é proporcional a
várias grandezas ao mesmo tempo?

16. Podemos trabalhar cada proporcionalidade
individualmente, mas há um método para resolvê-
las com uma única equação.
Começaremos com o clássico problema:
Sr. José precisava consertar
uma cerca quebrada
em sua fazenda.
Pesquisa google(23/06/2008)
501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com

17. Como a boiada voltaria das pastagens novas em
uma semana, precisava decidir quantos
trabalhadores contratar para terminar a cerca a
tempo.
Na construção original da cerca, ele empregou 24
homens que ergueram os 100 metros de cerca
em duas semanas.
Sabendo que o buraco se extende por apenas
25 metros, quantos homens serão
nescessários?

18.  O número de homens é inversamente
proporcional ao tempo
 O tamanho da cerca é diretamente proporcional
ao tempo
 O tamanho da cerca é diretamente proporcional
ao número de homens
 Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:
Homens Tempo Tamanho
24 2 semanas 100m
X 1 semana 25m

19. Cada uma das proporções diz algo a
respeito do valor total:
O que acontece com a quantidade de
homens depende das razões de tempo e
tamanho, que deverão multiplicar o número
final de homens de acordo com o tipo de
proporcionalidade.

20. Acontece então que o número final de
homens deve dobrar, pois o de tempo
diminuiu a metade. Deve também diminuir
4 vezes pois o mesmo aconteceu com o
tamanho.

21. Regra de Três
A regra de três é simplesmente um método
para resolver as proporções sem precisar de
armá-las.
A regra de três ganha seu nome do seu uso,
pois é usada para determinar um quarto valor de
um proporção quando são conhecidos três deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a
fácil visualização do problema.

22. Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel
de1Km de extensão.
Como o túnel em questão é estreito, somente um
máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na
escavação ao mesmo tempo.
Pesquisa google;julho 2008

23.  Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel
resolveu dividi-los em 2 grupos de 15
trabalhadores, cada grupo escavando de um lado
da montanha a fim de aumentar produtividade.
 Originalmente, a escavação gastaria 3 meses.
Em quanto tempo terminará a escavação com o
novo arranjo?

24. Primeiro colocamos o problema em uma
tabela:
Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma
unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das
grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por
que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são
diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos,
são inversamente proporcionais.

25. No caso de proporção inversa, multiplicamos
os valores da tabela em linha reta e igualando,
obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma
de produto, previamente mostrada.

26. O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores
terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada
grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo
de tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
Observamos que a relação obtida é uma forma da
proporção:

27. Regra de Três composta
Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3
meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30
trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo.
No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos
trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são
necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a
distância diminua.

28. Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos
um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as
mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.
Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem
diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se
cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição
invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses

29. QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992