O documento discute conceitos fundamentais de funções do segundo grau, incluindo equações, gráficos e determinação de raízes. Há exemplos resolvidos de problemas envolvendo funções quadráticas, com cálculo de máximos, mínimos e instante em que a bola ou avião atingem determinadas alturas.

1. MATEMÁTICA NA VEIA
FUNÇÃO
POLINOMIAL
DO SEGUNDO
GRAU

2. ELIENAY HEMERSON
Professor graduado em matemática pela
UEMG. Há 15 anos lecionando na rede
estadual, particular e cursos preparatórios.
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3. ONDE?

4. FAROL

5. FAROL

7. FUNÇÃO QUADRÁTICA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
ax² c
bx

8. PARÁBOLA?
Vamos fazer um
esboço do gráfico
da função:
X² - 2x + 9 = 0

9. DETERMINE OS
COEFICIENTES E
AS RAÍZES
(ZEROS)

10. FUNÇÃO QUADRÁTICA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
ax² c
bx
CONCAVIDADE TANGÊNCIA A Y ENCONTRO A Y

11. QUESTÃO
O gráfico a seguir pertence a uma função f(x) do segundo grau,
com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. A
respeito dessas funções, assinale a alternativa correta:
a) Toda função do segundo grau pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0.
b) O coeficiente “a” dessa função é positivo.
c) O valor do coeficiente “c”, nessa função, é igual a 9.
d) Não é possível determinar as raízes dessa função unicamente a partir de
seu gráfico. Para isso, a lei de formação sempre será necessária.
e) f(2) = 0 e f(-2) = 0

12. VALOR DO
DELTA E
NÚMERO DE
RAÍZES
Duas raízes reais
e distintas.
Duas raízes reais
e IGUAIS.
Não existem
raízes reais.

13. QUESTÃO
Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não
tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em
comum com o eixo x.

14. VOCÊ ATENDE AOS
REQUISITOS?

15. QUESTÃO
Determine os valores de m, para que a função
f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

16. RELAÇÃO ENTRE
DELTA E O
COEFICIENTE A.

17. QUESTÃO
Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro,
numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela
equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em
segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t.
Determine, apos o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.
MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA

18. MÁXIMO E
MÍNIMO

19. QUESTÃO
Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato
descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a
seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima
atingida pelo avião.

20. QUESTÃO
Uma empresa produz um determinado produto com o custo
definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000.
Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades
produzidas, determine a quantidade de unidades para que o
custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.

21. AGORA O FILHO CHORA E
A MÃE NÃO VÊ...

22. A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de
uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra
a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano
cartesiano da figura, é dada pela lei
onde C é a medida da altura do líquido contido na
taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na
figura, representa o vértice da parábola, localizado
sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido
contido na taça, em centímetros, é
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.
ENEM

23. Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo
construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos,
com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura
máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória
parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O
gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas
simulações realizadas.
ENEM
Com base nessas simulações,
observou-se que a trajetória do projétil
B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado. Para alcançar
o objetivo, o coeficiente angular da
reta que representa a trajetória de B
deverá
A) diminuir em 2 unidades.
B) diminuir em 4 unidades.
C) aumentar em 2 unidades.
D) aumentar em 4 unidades.
E) aumentar em 8 unidades.

24. Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com
essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de
pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido,
de acordo com a equação: q = 400 − 100p, na qual q representa a
quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em
reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu
fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de
modo que quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível,
sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O
preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no
intervalo:
a) R$ 0,50≤p<R$ 1,50
b) R$ 1,50≤p<R$ 2,50
c) R$ 2,50≤p<R$ 3,50
d) R$ 3,50≤p<R$ 4,50
e) R$ 4,50≤p<R$ 5,50
ENEM

25. Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de
pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e
com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão
marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza
integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas
laterais.
ENEM
Quais devem ser os valores de X e de Y, em
metro, para que a área da base do viveiro
seja máxima?
(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e 50

26. ESTUDO DO SINAL DE UMA
FUNÇÃO QUADRÁTICA

27. A quantidade de raízes
é parte fundamental
deste estudo.
Observe que a posição
do gráfico também é
essencial para
resolução correta.
∆ < 0
∆ = 0
∆ > 0

28. y = 2x − 6
A função é positiva em x ∈ R | x > 3
Isto significa que qualquer valor de x maior que 3 resulta em uma imagem
positiva.
A função é negativa em x ∈ R | x < 3
Isto significa que qualquer valor de x menor que 3 resulta em uma imagem
negativa.
2x = 6
X = 3

29. y = x² − 3x − 4
A função é positiva em {x ∈ R | x < −1 ou x > 4}
A função é negativa em {x ∈ R | − 1 < x < 4}
X’ = -1
X’’ = 4

30. Forma FATORADA
y = x² − 3x − 4
A função é positiva em {x ∈ R | x < −1 ou x > 4}
A função é negativa em {x ∈ R | − 1 < x < 4}
(x + 1) . (x - 4)

31. y =
x − 3
x² − 3x − 4