O documento discute os conceitos fundamentais da lógica de primeira ordem, incluindo sua linguagem, termos, fórmulas, variáveis, estruturas e semântica. É definido que uma linguagem de primeira ordem consiste em símbolos lógicos, variáveis, símbolos de igualdade, quantificadores, símbolos predicativos e de funções/constantes. Fórmulas são construídas a partir de termos usando quantificadores e conectivos lógicos. Estruturas fornecem interpretações dos quantificadores e símbolos na lingu

1. Lógica de Primeira Ordem
Alexandre Rademaker
September 28, 2010
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 1 / 12

2. Linguagem
Símbolos lógicos:
“(”, “)”, →, ¬, ∧, ∨.
Variáveis
Símbolo de igualdade
Parâmetros:
Símbolos quantificadores: ∀ e ∃
Símbolos predicativos de aridade n. Exemplo: pai2.
Símbolos de constantes (aridade zero). Exemplo: z0
Símbolos de funções de aridade n. Exemplo: +2.
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3. Exemplos
Linguagem dos conjutos:
L = ∈2
, =2
, ∅
Linguagem da teoria elementar dos números:
L = 00
, <2
, S1
, +2
, ×2
, E2
Pura predicativa:
L = An
1, Am
2 , . . . , a1, a2, . . .
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4. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
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5. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

6. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

7. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
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8. Formulas
Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.
Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas
(wff).
Termos são entendidos como os nomes e pronomes da
linguagem, dão nomes à objetos.
Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.
Fórmulas são afirmações sobre objetos.
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 4 / 12

9. Termos
Podem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob os
quais são aplicados um ou mais símbolos funcionais.
+(v1, S(0))
S(S(S(0)))
+(E(v1, S(S(0))), E(v2, S(S(0))))
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10. Fórmulas
Fórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais na
Lógica Proposicional. Tem a forma:
P(t1, . . . , tn)
onde P é um símbolo predicativo de aridade n e t1, . . . , tn são termos.
Por exemplo, v1 = v2 (ou = (v1, v2)) são fórmulas. Ou ainda, ∈ (v5, v3)
na linguagem dos conjuntos.
Se α e β são fórmulas atômicas, então são WFF: α ∧ β, α ∨ β, ¬α,
α → β, ∀viα e ∃viα.
Não é WFF: ¬v3 ou v1 → v2
É WFF: ∀v1((¬∀v3(¬(v3 ∈ v1))) → (v1 ∈ v4))
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11. Variáveis
∀v2(v2 ∈ v1) ∃v1∀v2v2 ∈ v1
A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto é
membro dele”. A primeira, “todo conjunto é membro de . . .”.
Seja x uma variável, dizemos que x é livre em α se:
Se α é atômica, x é livre em α se x é um símbolo em α.
x é livre em ¬α se é livre em α.
x é livre em α → β se é livre em α e livre em β.
x é livre em ∀viα se é livre em α e x = vi.
Sentenças? Fórmulas sem variáveis livres!
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12. Estruturas
Nos dizem:
A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se.
O que os símbolos de predicados e funções denotam.
Formalmente, uma estrutura A para uma linguagem FOL associa:
Ao quantificador ∀ um conjunto não vazio |A| denominado
universo ou domínio.
A cada símbolo predicativo P de aridade n, uma relação de
aridade n, PA ⊆ |A|n.
A cada símbolo funcional f de aridade n, uma função
fA : |A|n → |A|.
A cada símbolo constante c, um membro cA ∈ |A|.
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13. Estruturas
Seja a linguagem dos conjuntos L = ∈ . Podemos considerar a estru-
tura A que:
|A| = o conjunto dos números naturais.
∈A= o conjunto dos pares (m, n) tal que m < n.
Como a estrutura A nos permite interpretar (ler) a sentença:
∃x∀y¬(y ∈ x)
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12

14. Estruturas
Seja a linguagem L = E2 e o parâmetro ∀. Considere a estrutura
finita B com universo |B| = {a, b, c, d}. Suponha a relação binária
EB
= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, c)}
que pode ser desejada como um grafo
a b c d
A sentença ∃x∀y¬yEx na estrutura B pode ser interpretada como? É
verdadeira?
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 9 / 12

15. Semântica
Se σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem a
necessidade de traduzir σ para português?
|=A σ
Para uma WFF qualquer, precisamos de:
s : V → |A|
Para então, informalmente definir “A satisfaz σ com s” representado
por:
|=A σ[s]
se e somente se da tradução de σ determinada por A, onde a variável
x é traduzida por s(x) se x é livre, é verdade.
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16. Semântica
Formalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulas
por uma estrutura...
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17. Interpretação de termos
Definimos a função:
s : T → |A|
que mapea termos para elementos do universo de A. Como:
1 Para cada variável x, s(x) = s(x).
2 Para cada constante c, s(c) = cA.
3 Se t1, . . . , tn são termos e f é uma fução, então
s(f(t1, . . . , tn)) = fA
(s(t1), . . . , s(tn))
s depende de A e s. Notação alternativa para s(t) poderia ser tA[s].
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18. Interpretação de fórmulas
Fórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos:
1 Igualdade onde = significa =, não é um parâmetro aberto à
interpretações.
|=A t1 = t2 [s] sse s(t1) = s(t2)
2 Para um predicado n-ário P:
|=A P(t1, . . . , tn) [s] sse s(t1), . . . , s(tn) ∈ PA
Alexandre Rademaker () Lógica de Primeira Ordem September 28, 2010 12 / 12

19. Interpretação de fórmulas
Outras WFF. Definimos recursivamente:
1 |=A ¬φ [s] sse |=A φ [s]
2 |=A φ → ψ [s] sse ou |=A φ [s] ou |=A ψ [s] ou ambos.
3 |=A φ ∧ ψ [s] sse |=A φ [s] e |=A ψ [s].
4 |=A φ ∨ ψ [s] sse |=A φ [s] ou |=A ψ [s].
5 |=A ∀xψ [s] sse para todo d ∈ |A|, temos |=A ψ [s(x|d)].
Onde s(x|d) é a função s com uma diferença, para a variável x, ela
retorna d.
s(x|d)(y) =
s(y) se y = x
d se y = x
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