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• Correção dos Exercícios
• Permutações com Repetição
• Combinações com Repetição
• Permutações com Objetos Idênticos
• Distribuição de Objetos em Caixas
Exercício 5
• Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar
como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos
modos posso escolher os transportes se não desejo usar
na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
• Três meios de transporte
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores
?
?
?
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores
2 cores
2 cores
2 cores
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Possibilidades para pintar
3 cores
2 cores
2 cores
2 cores
Total = 24 cores
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
________ _________ __________
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____ ____?_____ ____?______
Não pode ser o 0
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____ ____9_____ ____?______
Deve ser distinto
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____ ____9_____ ____8______
Deve ser distinto
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____ ____9_____ ____8______
= 648
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______ ______ _______ ____?____
quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______ ______ _______ ____1____
tem que ser o 5
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__?____ ______ _______ ____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ______ _______ ____1____
Não pode ser o 5
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ___?___ ___?____ ____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___ ___4___ ___4____ ____1____
Total de 48 modos!!!
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____?_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____ _____?______ _____5_____
Depende!!!!
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____9_____ _____?______ _____0_____
O zero foi usado no ultimo!!!!
_____8_____ _____?______ __2,4,6,8___
Não pode ser 0 nem o ultimo usado
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0
_____9_____ _____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0
_____8_____ _____8______ _____4_____
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0 = 72 números
_____9_____ _____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0 = 256 números
_____8_____ _____8______ _____4_____
Total = 72 + 256 = 328
Permutação e Combinação
• Permutação
• Combinação
• A ordem dos
elementos é
importante
• A ordem dos
elementos não
importa
?
Permutação e Combinação
• Permutação
• Combinação
• A ordem dos
elementos é
importante
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importa
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:
____?____ ____?____ ____?____
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:
____26____ ____26____ ____26____
263
Permutações com Repetição
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)!
• Repetidas:
• O número de r-permutações de um conjunto com n
objetos, com repetição, é nr
Pergunta?
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Pergunta?
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
• O que é n?
• O que é r?
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
• n são as possíveis escolhas (2 cores)
• r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
COMBINAÇÃO
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(?,?)
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) =
= C(6,4) = 6x5 / 2 = 15
Pergunta
Exercício 10
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
Exercício 10
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
Pergunta
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
Pergunta
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s
2 C ´s
1 U e 1 E
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)
2 C ´s
1 U e 1 E
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
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• Quantos são os anagramas de PRATICO?
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• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
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= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
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= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
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Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
O número de permutações diferentes de n objetos, em que
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tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é
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  • 2. Aula de hoje • Correção dos Exercícios • Permutações com Repetição • Combinações com Repetição • Permutações com Objetos Idênticos • Distribuição de Objetos em Caixas
  • 3. Exercício 5 • Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? • Três meios de transporte
  • 4. Exercício 5 • Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes
  • 5. Exercício 5 • Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes • Volta (São Paulo - Rio) Posso voltar somente de 2 formas diferentes
  • 6. Exercício 5 • Ida (Rio – São Paulo) Posso ir de 3 formas diferentes • Volta (São Paulo - Rio) Posso voltar somente de 2 formas diferentes Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.
  • 7. Exercício 6 • Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 3 cores
  • 8. Exercício 6 • Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 3 cores Possibilidades para pintar 3 cores ? ? ?
  • 9. Exercício 6 • Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 3 cores Possibilidades para pintar 3 cores 2 cores 2 cores 2 cores
  • 10. Exercício 6 • Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 3 cores Possibilidades para pintar 3 cores 2 cores 2 cores 2 cores Total = 24 cores
  • 11. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10
  • 12. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10 ________ _________ __________
  • 13. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10 ____9____ ____?_____ ____?______ Não pode ser o 0
  • 14. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10 ____9____ ____9_____ ____?______ Deve ser distinto
  • 15. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10 ____9____ ____9_____ ____8______ Deve ser distinto
  • 16. Exercício 7 • Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existe? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 base 10 ____9____ ____9_____ ____8______ = 648
  • 17. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? ______ ______ _______ ____?____ quantos são possíveis aqui?
  • 18. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? ______ ______ _______ ____1____ tem que ser o 5
  • 19. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __?____ ______ _______ ____1____ Quantos são possíveis aqui?
  • 20. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ______ _______ ____1____ Não pode ser o 5
  • 21. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ___?___ ___?____ ____1____ Quantos são possíveis aqui?
  • 22. Exercício 8 • Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5? __3___ ___4___ ___4____ ____1____ Total de 48 modos!!!
  • 23. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____?_____ De quantos modos podemos escolher?
  • 24. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8
  • 25. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ De quantos modos podemos escolher?
  • 26. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____?_____ _____?______ _____5_____ Depende!!!!
  • 27. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? _____9_____ _____?______ _____0_____ O zero foi usado no ultimo!!!! _____8_____ _____?______ __2,4,6,8___ Não pode ser 0 nem o ultimo usado
  • 28. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? • Caso 1) Termina com 0 _____9_____ _____8______ _____1_____ • Caso 2) Não termina com 0 _____8_____ _____8______ _____4_____
  • 29. Exercício 8 • Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos? • Caso 1) Termina com 0 = 72 números _____9_____ _____8______ _____1_____ • Caso 2) Não termina com 0 = 256 números _____8_____ _____8______ _____4_____ Total = 72 + 256 = 328
  • 30. Permutação e Combinação • Permutação • Combinação • A ordem dos elementos é importante • A ordem dos elementos não importa ?
  • 31. Permutação e Combinação • Permutação • Combinação • A ordem dos elementos é importante • A ordem dos elementos não importa
  • 32. Pergunta? • Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? • Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)!
  • 33. Pergunta? • Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? • Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)! • Repetidas: ____?____ ____?____ ____?____
  • 34. Pergunta? • Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? • Distintas: ____26____ ____25____ ____24____ P(26,3) = 26! / (26-3)! • Repetidas: ____26____ ____26____ ____26____ 263
  • 35. Permutações com Repetição • Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas com 26 letras? • Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)! • Repetidas: • O número de r-permutações de um conjunto com n objetos, com repetição, é nr
  • 36. Pergunta? • De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
  • 37. Pergunta? • De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
  • 38. Combinações com Repetição • Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida.
  • 39. Combinações com Repetição • Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. • De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante? • O que é n? • O que é r?
  • 40. Combinações com Repetição • Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. • De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante? • n são as possíveis escolhas (2 cores) • r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)
  • 41. Combinações com Repetição • Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um conjunto com n elementos, quando a repetição dos elementos é permitida. • C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4
  • 42. Pergunta • Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela?
  • 43. Pergunta • Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? COMBINAÇÃO
  • 44. Pergunta • Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(?,?)
  • 45. Pergunta • Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)
  • 46. Pergunta • Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da fruta, e o pedaço individual não é relevante também, sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de fruta na tigela? C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) = = C(6,4) = 6x5 / 2 = 15
  • 48. Exercício 10 • Quantos são os anagramas de PRATICO?
  • 49. Exercício 10 • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7!
  • 50. Pergunta • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! • Quantos são os anagramas de SUCCESS?
  • 51. Pergunta • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! • Quantos são os anagramas de SUCCESS? • Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s 2 C ´s 1 U e 1 E
  • 52. Permutações com objetos idênticos • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! • Quantos são os anagramas de SUCCESS? • Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s 1 U e 1 E
  • 53. Permutações com objetos idênticos • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! • Quantos são os anagramas de SUCCESS? • Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1)
  • 54. Permutações com objetos idênticos • Quantos são os anagramas de PRATICO? P(7,7) = 7! • Quantos são os anagramas de SUCCESS? • Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será considerado o número de permutações de 7 letras. 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1) = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
  • 55. Permutações com objetos idênticos • Quantos são os anagramas de SUCCESS? 3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3) 2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2) 1 U C(2,1) 1 E C(1,1) = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420 = 7! / 3! x 2! x 1! x 1! Teorema?!!
  • 56. Permutações com objetos idênticos • Quantos são os anagramas de SUCCESS? = C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420 = 7! / 3! x 2! x 1! x 1! O número de permutações diferentes de n objetos, em que há n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos idênticos do tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é n! n1! n2! ... nk!