Este documento discute os conceitos fundamentais da flexão simples em elementos de concreto armado como vigas. Ele explica os três estágios de deformação de uma viga sob carga, as hipóteses básicas do dimensionamento, o comportamento à flexão e como dimensionar seções retangulares. O documento fornece os fundamentos teóricos necessários para entender e projetar elementos estruturais submetidos à flexão simples.

1. CAPÍTULO 3: FLEXÃO SIMPLES
Ouro Preto, 2015/2
Universidade Federal de Ouro Preto - Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
CIV620-Construções de Concreto Armado
Curso: Arquitetura e Urbanismo
Rovadávia Aline Jesus Ribas

2. 1. Hipóteses básicas
2. Comportamento à flexão
3. Dimensionamento de seções retangulares e vigas de seção
retangular
4. Exercícios
Plano de aula

3.  Vigas
 Lajes maciças
 Pilares
 Fundações
Concreto armado: elementos estruturais básicos

4. Concreto armado: elementos estruturais básicos
Sequência de cálculo: lajes, vigas, pilares (superestrutura) e fundações (infra-
estrutura) – Sequência inversa da construção.
Uso de computadores e programas avançados de cálculo: estudo global da
estrutura.
Esquema estrutural
Discretização da estrutura
(Modelo estrutural)

5. Hipóteses básicas
Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantes que
produzem tensões normais (perpendiculares) nas seções transversais das
peças estruturais (momento fletor e força normal).
Tipos de solicitação:
Solicitações normais: momento fletor e força normal
Solicitações tangenciais: força cortante e momento torsor.
Tipos de flexão:
PURA: momento fletor. Caso particular de flexão, em que não há esforço
cortante atuante (V=0); nas regiões de vigas em que isso ocorre, o momento
fletor é constante.
SIMPLES: momento fletor + força cortante. Ocorre quando não há esforço
normal.
COMPOSTA: momento fletor + força normal. Ocorre em pilares.

6. Hipóteses básicas
Flexão pura na região central da viga simplesmente apoiada
Vigas: São elementos de barras (L > 3h), normalmente retas e horizontais, que
recebem cargas de lajes, outras vigas, paredes e pilares, dentre outros, e têm
como função vencer vãos e transmitir ações para seus apoios (pilares).

7. Hipóteses básicas
ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO
Experimentalmente, submetendo uma viga de concreto armado a um
carregamento crescente, é possível medir as deformações que
ocorrem em sua zona central, ao longo de sua altura.
A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular,
submetida a um momento fletor (M) crescente, passa por três níveis
de deformação, denominados ESTÁDIOS, os quais determinam o
comportamento da viga até sua ruína.
Distinguem-se basicamente três fases distintas: estádio I, estádio II-a
e estádio II-b.

8. Hipóteses básicas
Estádio I
Sob a ação de um momento fletor MI de pequena intensidade, a tensão de
tração no concreto (ct) não ultrapassa sua resistência à tração (fct):
- Diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear (Lei de Hooke)
- As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações
- Não há fissuras visíveis
Rcc = Resultante de compressão no concreto
Rct = Resultante de tração no concreto

9. Hipóteses básicas
Estádio II-a
Aumentando o valor do momento fletor para MII:
- O concreto não mais resiste à tração (considera-se que apenas o aço passa a
resistir aos esforços de tração) e a seção começa a fissurar na região de tração
- A contribuição do concreto tracionado é desprezada
- No estádio II-a, é considerado que a parte comprimida ainda mantém um
diagrama de tensões aproximadamente linear de tensões, permanecendo válida a
lei de Hooke
Rs = Resultante de tração na armadura

10. Hipóteses básicas
Estádio II-b
Aumentando o valor do momento fletor até um valor próximo da ruína, MIII:
- A zona comprimida plastifica-se e o concreto dessa região está na iminência da
ruptura
- Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma parabólico-retangular,
também conhecido como diagrama parábola-retângulo
- Nesse estádio, o dimensionamento é feito considerando-se o Estado Limite
Último (cálculo na ruptura), quando o principal objetivo é projetar estruturas que
resistam aos esforços de forma econômica, sem chegar ao colapso

11. Hipóteses básicas
Diagrama retangular equivalente do Estádio II-b
A NBR 6118 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama
retangular simplificado equivalente ao diagrama parábola-retângulo.
A resultante de compressão e o braço em relação à linha neutra devem ser
aproximadamente os mesmos para os dois diagramas.
Rst
Rcc

12. Hipóteses básicas
Distribuição de tensões de compressão segundo o diagrama
parábola-retângulo e retangular simplificado
O diagrama retangular simplificado conduz a equações mais simples e com
resultados muito próximos aos obtidos com o diagrama parábola-retângulo.

13. Hipóteses básicas
Para o cálculo, são feitas as considerações
a) que há uma perfeita aderência entre o aço e o concreto (solidariedade entre os
materiais)
b) que seções planas permanecem planas durante sua deformação
c) que a deformação limite (encurtamento máximo) permitida para o concreto seja
de 3,5‰ para seção parcialmente comprimida, e entre 3,5 ‰ a 2,0 ‰ para seção
totalmente comprimida, sendo o limite de 2,0 ‰ estabelecido para seções sob
compressão centrada
d) que a deformação limite (alongamento máximo) permitida para as armaduras
de aço sob tração seja de 10 ‰
e) que para a distribuição de tensão no concreto ao longo da altura da seção
transversal do elemento sejam considerados os estádios já definidos

14. Hipóteses básicas
Domínios de deformação na seção transversal
Os diferentes tipos de solicitação definem diferentes formas de ruína do elemento
de concreto que são verificadas pelas deformações limites.
Essas formas de ruínas podem ser verificadas quando a deformação na seção de
concreto intercepta um dos pontos A, B ou C dos domínios de deformação.
1% = 10‰.
0,2% = 2‰.
0,35% = 3,5‰.

15. Hipóteses básicas
Pontos A, B, C
Para a reta a e domínios 1 e 2: o diagrama gira em torno do ponto A
Para os domínios 3, 4 e 4a: o diagrama gira em torno do ponto B com cu = 0,35%
(3,5‰)
Para o domínio 5 e reta b: o diagrama gira em torno do ponto C, correspondente a
deformação de 0,2% (2‰) e distante 3/7h da borda mais comprimida

16. Hipóteses básicas
h: altura total da seção transversal de uma peça
d: altura útil ou distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal
tracionada até a fibra mais comprimida do concreto
d’: distância entre o centro de gravidade da armadura transversal comprimida e a
fibra mais comprimida do concreto
yd: deformação especifica correspondente ao inicio do escoamento do aço
Nomenclatura
e definições

17. Hipóteses básicas
Reta a
Reta a: linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1%.

18. Hipóteses básicas
Domínio 1
Início: na reta a, onde s = 1% e c = 1%
Término: s = 1% e c = 0
A seção resistente é composta por aço, não havendo participação do concreto, que
se encontra totalmente tracionado.

19. Hipóteses básicas
Domínio 2
Início: s = 1% e c = 0 Término: s = 1% e c = 0,35%
O estado limite último é caracterizado pela deformação s = 1% .
O concreto não alcança a ruptura: c < 0,35% .
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido.

20. Hipóteses básicas
Domínio 3
Início: s = 1% e c = 0,35%
Término: s = yd (deformação espec. de escoamento do aço) e c = 0,35%
A ruptura do concreto ocorre simultaneamente ao escoamento da armadura:
situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima .
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido

21. Hipóteses básicas
... Ainda no
Domínio 3
A ruína ocorre com aviso (RUPTURA DÚCTIL) e grandes deformações.
As peças que chegam ao estado-limite último no domínio 3 são denominadas
“SUBARMADAS” .
Na fronteira entre os domínios 3 e 4, as peças são denominadas NORMALMENTE
ARMADAS.

22. Hipóteses básicas
Domínio 4
Início: s = yd e c = 0,35% Término: s = 0 e c = 0,35%
O concreto encontra-se na ruptura, mas o aço tracionado não atinge o escoamento.
Portanto, ele é mal aproveitado. Neste caso, a seção é denominada
SUPERARMADA. A ruína ocorre sem aviso, pois os deslocamentos são pequenos
e há pouca fissuração. O dimensionamento deve ser evitado no domínio 4.
.
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido.

23. Hipóteses básicas
Domínio 4a
Início: s = 0 e c = 0,35% Término: s < 0 e c = 0,35%
A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com o encurtamento da
armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência).
A seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos.

24. Hipóteses básicas
Domínio 5
Início: s < 0 e c = 0,35% Término: s = 0,2% e c = 0,2%
Seção totalmente comprimida (x>h).
εc constante e igual a 0,2% na linha distante 3/7 h da borda mais comprimida.
O domínio 5 só é possível na compressão excêntrica.

25. Hipóteses básicas
Reta b
Na reta b tem-se deformação uniforme de compressão, com encurtamento igual a
0,2% (compressão simples).

26. Hipóteses básicas
Conclusão
Nos domínios 2, 3 e 4 correspondem a flexão simples ou compostas.
No início do domínio 2 tem-se c=0, e no final do domínio 4, s=0, que são as
piores situações que podem ocorrer (um dos dois materiais não contribui na
resistência). O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável;
e o domínio 4 deve ser evitado.

27. Comportamento à flexão
Equação de compatiblidade de deformações
d
d’’
LN
x
h
As
εcd
εsd
xdx
sdcd



d
x
x  
Md
 
cd
x
x
sd 


 


1

28. Comportamento à flexão
Domínio 2
%1sd %35,00  cd
%1



cd
cd
x
sdcd
cd
x






0 0
0,35% 0,259
xcd
 
cd
x
x
sd 


 


1

29. Comportamento à flexão
Domínio 3
ydsd  %1 %35,0cd
sd
x
sdcd
cd
x









%35,0
%35,0
1% 0,259
xsd
yd limx
aço
CA-25 1,035 0,772
CA-50 2,070 0,628
CA-60 2,484 0,585
limx 00
0
yd
s
yk
s
yd
yd
E
f
E
f 15,1/


30. Comportamento à flexão
Domínio 4
ydsd  0 %35,0cd
sd
x
sdcd
cd
x









%35,0
%35,0
0 1
xsd
yd limx

31. Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Para o dimensionamento
)(628,0 50-CAaço
Domínio 2
0
Domínio 3 Domínio 4
0,259 1
x
limx
=
Por meio de x = x/d, é possível saber em qual domínio a peça está
trabalhando.
O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável; e
o domínio 4 deve ser evitado. Para isso basta aumentar a altura útil da
viga ou utilizar uma armadura de compressão (viga com armadura
dupla).

32. Equações de equilíbrio
Rcc – Resultante de Compressão no Concreto
Rst – Resultante de tração nas armaduras
y – altura do diagrama retangular (y = 0,8x)
z – distância entre as resultantes Rcc e Rst
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rst
Rcc stcc RR 
zRzRM stccd 

33. d
x
x  xymas  8,0, dy x  8,0
ydz  5,0  ddz x  8,05,0
ddz x  4,0
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rst
Rcc

34. cccdcc
cc
cc
cd AR
A
R
  ybfR wcdcc  85,0
xymas  8,0 xbfR wcdcc  8,085,0
dxmas x   dbfR xwcdcc  68,0
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rst
Rcc

35. sdsxwcd Adbf  68,0
dbfRcomo xwcdcc  68,0stcc RR 
s
st
sd
A
R

Para o equilíbrio
à translação:
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rst
Rcc

36. Para o equilíbrio à rotação:
dbfRcomo xwcdcc  68,0
zRzRM stccd 
ddz x  4,0
 xxwcdd dbfM   4,0168,0 2
  cdxxd
w
fM
db



 4,0168,0
12
c
d
w
k
M
db
fazendo 
 2
,
  cdxx
c
f
k


 4,0168,0
1
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rst
Rcc

37. limlimlim ddccxx MMkkSe  
c
d
w
k
M
db
quetenho 
 2





)(4
32
lim
lim
duplaarmaduradomínioMM
oudomínioMM
Se
dd
dd
lim
2
min
lim
c
w
d
k
db
M


w
cd
b
kM
d lim2
min

 limmin c
w
d
k
b
M
d 
dmin = altura útil mínima para que a seção resista com armadura simples
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

38.   cdxx
c
f
k


 4,0168,0
1
Voltando à equação de kc :
Rearranjando:










cdc
x
fk
355,2
1125,1
 
c
ck
cdcdxc
f
fondeffk

  ,,
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

39. Rearranjando:
sdsxwcd Adbf  68,0
Definindo o coeficiente ks :
 xxwcdd dbfM   4,0168,0 2
 xsdsd dAM   4,01
 xsdd
s
M
dA
 


4,01
1
s
d
s
k
M
dA
fazendo 

 xsd
sk
 

4,01
1
  ydsdsdxs fquesetemedomíniosnosfk   ,43;,
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
ks é tabelado e:
d
M
kA d
ss 

40. Conclusões:
)50CA(628,0 aço
Domínio 2
0
Domínio 3 Domínio 4
0,259 1
x
limx
=Relembrando: É melhor que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é
aceitável; e o domínio 4 deve ser evitado. Para isso basta aumentar a altura útil da
viga ou utilizar uma armadura de compressão (viga com armadura dupla).
No domínio 4 pode-se obter o maior momento resistente para a seção da peça, no
entanto, o aço não vai trabalhar com toda a sua resistência, pois s< yd
acarretando consumo excessivo de aço e perigo de ruptura brusca.
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

41. Na flexão simples, o limite entre os domínios 3 e 4 (que corresponde a x =0,628,
para aço CA-50) conduz ao maior momento resistente para uma seção retangular,
com melhor aproveitamento dos materiais.
No cálculo, se a altura útil (d) for definida, verifica-se que:
• Se x < xlim (Md <Mdlim ), o cálculo incide nos domínios 2 ou 3.
• Se x > xlim (Md > Mdlim ), o cálculo incide no domínio 4: deve-se aumentar a altura
útil da viga ou adotar armadura dupla. Caso haja liberdade na escolha de d e
mantidos os demais valores fixos, adota-se o valor dmín, tal que o cálculo reincida
nos domínio 2, 3 ou limite dos domínios 3 e 4 e não seja necessário utilizar
armadura dupla.
limmin c
w
d
k
b
M
d 
Comportamento à flexão

42. Resumindo:
• Se d > dmin  x < xlim  s >yd  domínio 2 ou 3  seção
subarmada (altura maior da viga com área de aço menor)
• Se d<dmin  x>xlim  s <yd  domínio 4  seção superarmada
• Se d=dmin  x =xlim  s=yd  limite dos domínios 3 e 4  seção
normalmente armada (altura menor da viga com área de aço maior)
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

43. a) Armadura mínima de tração (As,min)
Valores limites para armaduras longitudinais de vigas
c
s
A
A min,
min 
cs AA  minmin, 
A armadura mínima deve ser colocada para evitar rupturas bruscas na seção.
Detalhamento: Arranjo das armaduras
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

44. b) Armadura máxima de tração e compressão
css AAA  %4'
Espaçamento entre as barras
O arranjo das armaduras deve propiciar que ela cumpra sua função estrutural
(aderência, manutenção da altura útil etc) e proporcionar condições adequadas de
execução, principalmente em relação ao lançamento e adensamento do concreto.
Os espaços entre as barras longitudinais devem ser projetados de modo a
possibilitar a introdução de vibradores, evitando que ocorram vazios e segregação
dos agregados.
A especificação de valores máximos decorre da necessidade de assegurar
condições de ductilidade e de respeitar o campo de validade dos ensaios que
deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

45. cnom
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, medido horizontalmente
(ah,mín) e verticalmente (av,mín) no plano da seção transversal, deve ser, em cada
direção, o maior dos três valores:







agregadomáx
nlmính
d
nfeixe
mm
a
,
,
2,1
)(,
20








agregadomáx
nlmínv
d
nfeixe
mm
a
,
,
5,0
)(,
20
 av
ah
CG
cnom = cobrimento nominal
No caso de barras de diâmetros diferentes vale o diâmetro da barra mais grossa.
d
d’’

h
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

46. Largura mínima (bw,min) hltnomw anncb  )1(22min, 
n = número de barras
Número de camadas





camadabb
camadademaisbb
se
ww
ww
1
1
min,
min,
cnom
av
ah
CG
d
d’’

h
Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados no centro de
gravidade correspondente, se a distância () desse centro ao ponto da seção de
armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a essa, for menor
que 10%h. Ou seja,   10%h.
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

47. EXERCÍCIO

48. Flexão simples na ruína para armadura dupla
Há situações em que, por imposições de projeto, arquitetônicas etc, é necessário
utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo momento
fletor atuante de cálculo Md. Nesse caso, a seção com essa altura menor só irá
resistir (trabalhando no domínio 3 ou no limite entre os domínios 3 e 4) a uma
parcela desse momento.
No domínio 4, é possível aplicar uma altura menor que a mínima (pois é onde se
consegue o maior momento resistente), mas esse domínio deve ser evitado.
Uma solução possível, sem utilizar o domínio 4, é complementar a peça com uma
armadura de compressão. Determina-se o momento em que a seção consegue
resistir com a sua altura real e a armadura apenas tracionada, trabalhando no
limite entre os domínios 3 e 4 (M1). A diferença entre o momento atuante Md e o
momento M1, chamada de M2, será resistida por uma armadura de compressão.
A viga terá uma armadura inferior tracionada e uma superior comprimida
(armadura dupla).
12 MMM d 
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

49. Tem-se então:
• M1: momento obtido impondo que a seção trabalha no limite entre os domínios 3
e 4, é resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura tracionada As1
• M2: momento resistido por uma armadura comprimida A’s e, para que haja
equilíbrio, por uma armadura tracionada As2.
T1
C’s
T2
C
M2M1Md
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rcc
Rst1
R’cs
Rst2

50. Dimensionamento de M1
lim,1 dMM 
  cdxx
c
f
ke


lim,lim,
lim,
4,0168,0
1
lim,
2
1
c
w
k
db
M


d
M
kA ss
1
lim,1 
Segue as mesmas premissas do dimensionamento para armadura simples:
 lim,
lim,
4,01
1
xyd
s
f
ke


Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

51. Dimensionamento de M2
)()( '''
22 ddRddRM csst 
sdsst
s
st
sd AR
A
R
mas   22
2
2
C’s
C
M2M1Md
'''
'
'
'
sdscs
s
cs
sd AR
A
R
e  
Equação de equilíbrio:
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular
Rcc
Rst1
R’cs
Rst2

52. )()( ''''
22 ddAddAM sdssds   ydsd fmas 
)( '
22 ddfAM yds  )( '''
2 ddAMe sds  
)( '
2
2
ddf
M
A
yd
s


)( ''
2'
dd
M
Ae
sd
s



12: MMMquesabemos d 
)( '
1
2
ddf
MM
A
yd
d
s



)( ''
1'
dd
MM
A
sd
d
s




21 sss AAA Armadura total de tração (As):
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

53. )( ''
1'
dd
MM
A
sd
d
s




Armadura de compressão, A’s: )(, ''
sdsd f  
Equação de compatibilidade
ε'sd
εsd
d
d’’
Xlim
d’
No limite entre os domínios 3 e 4: ydsd   %35,0cd
εcd
lim
'
lim
'
xdx
cdsd 


%35,0
lim
'
lim'



x
dx
sd
:dpordividindo %35,0
lim,
'
lim,'



x
x
sd
d
d



ydsdydydsd fSe  ''
%)207,0( 
Ou seja, a tensão na armadura comprimida é
igual a tensão de escoamento do aço. 2
'
ss AAAssim 
Dimensionamento de seções retangulares e
vigas com seção retangular

54. Área e massa linear de
fios e barras de aço
(NBR 7480:1996)

55. Tabela de kc e ks para
os aços CA-25, CA-50
e CA-60

56. Área de aço e largura
bw mínima

57. EXERCÍCIO