O documento apresenta as definições e propriedades básicas de derivadas, incluindo a definição formal de derivada como um limite, notações comuns e derivadas de funções como potências, inversas e produtos de constantes por funções. Demonstra também regras para derivar funções compostas e funções implícitas.

1. Derivadas: algumas demonstração básicas
João Filipe Rodrigues
3 de agosto de 2022

2. 1 seção 1
2 seção 2
3 seção 3
4 seção 4
5 seção 5
João Filipe Rodrigues Derivadas: algumas demonstração básicas 3 de agosto de 2022 1 / 12

3. seção 5
Definição de derivadas
A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu
valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por
f’(x)= lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
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4. seção 5
Notações de derivadas
i) Notação de Laglance
a derivada de f é representada por f’(pronuncia-se "f linha")
ii) Notação de Leibniz
d
dx
f (x)
iii) Notação de Newton
Na notação de Newton, a derivada de f é representada por
.
f onde a
derivada de y= f(x) é
.
y representada por
.
y
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5. seção 5
Propriedades
Derivada de uma constante : f(x)= c implica f’(x)= 0
De fato, Aplicando a definição temos que, f’(x)= lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
,
sabe-se que x+h=c e f(x)=c, assim Aplicando a definição temos que,
f’(x)= lim
h→0
c−c
h
= 0
h
= lim
h→0
0 = 0
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6. seção 5
Derivada de uma função identidade: f(x)=x → f’(x)=1
f’(x)= lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h
= lim
h→0
x+h−x
h
= h
h
= 1
Derivada de um produto de uma constante por uma função
g(x)= K.f(x) → g’(x) K.f’(x)
Demonstração: g’(x)= lim
∆x→0
g(x+∆x)−g(x)
∆x
= lim
∆x→0
K.f (x+∆x)−K.f (x)
∆x
=
K lim
∆x→0
f (x+∆x)−f (x)
∆x
→ K.f’(x)
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7. seção 5
Teorema: seja n̸=0 em natural. São validas as
seguintes formulas de derivação.
a)f (x) = xn
→ f’(x)= n.xn−1
demonstração: f ′
(x) = lim
h→0
f (x+h)n
−f (x)n
h
= (x+h)n
−(x)n
h
,
fazendo x+h=m , h=m-x, m→ x, lim
m→x
mn−xn
m−x
Percebe-se que mn − xn e a diferença entre a n-ésima potência , uma
propriedade de Produto Notáveis.
mn
− xn
= (m − x) (mn+1
+ mn−2
x + ... + mxn−2
+ xn−1
) logo,
f’(x)= lim
m→x
(m−x).(mn+1+mn−2x+...+mxn−2+xn−1
)
(m−x)
= lim
m→x
(mn+1
+ mn−2
x + ... + mxn−2
+ xn−1
)
logo, f’(x)= n.xn−1
obs(n= números de parcelas)
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8. seção 5
Continuação
b) f(x)= x−n
f’(x)= −nx−n−1
c) f(x)= x
1
n
→ f’(x)= 1
n
.x
1
n
−1
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9. seção 5
Figura:
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10. seção 5
Regras de Derivação
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11. seção 5
Figura:
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12. seção 5
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13. seção 5
João Filipe Rodrigues Derivadas: algumas demonstração básicas 3 de agosto de 2022 12 / 12