O documento descreve a Trombeta de Gabriel, uma figura geométrica com área de superfície infinita mas volume finito. Explica como calcular o volume e área desta figura usando integral imprópria e derivada, respectivamente. Finalmente, afirma que é impossível uma figura com volume infinito mas área finita.

1. 06/06/2016 Caderno de Cálculo: A Trombeta de Gabriel
http://cadernodecalculo.blogspot.com.br/2013/06/a­trombeta­de­gabriel.html 1/3
Um blog destinado ao compartilhamento de conceitos, dicas e curiosidades da disciplina Cálculo.
Início Pré­cálculo Limite Derivada Integral Provas Resolvidas Temas interessantes
domingo, 2 de junho de 2013
A Trombeta de Gabriel
Você já imaginou algo com uma área de superfície infinita envolvendo um volume finito?
Pois é, a figura acima é chamada de Trombeta de Gabriel, ou Trombeta de Torricelli, e
possui essa característica. Ela é a superfície de revolução da função , em
torno do eixo x com . A explicação para esse aparente paradoxo vem do
cálculo de área e volume de superfícies de revolução.
Calculando o Volume
Você deve saber que o volume de um cilindro é dado pela fórmula
,
onde representa a área da sessão transversal e l, o seu comprimento. Observe
que para um "cilindro" cujo raio seja uma função de x, o volume de uma sessão
transversal de comprimento infinitesimal pode ser escrita como
.
Assim, se quisermos obter o volume desta superfície num intervalo , basta
aplicarmos a integral definida
;
logo
.
Como nesse caso , teremos então, no intervalo definido, o volume da
Trombeta dado pela integral imprópria:
Ocorreu um erro neste gadget
▼ 2013 (12)
► Agosto (1)
► Julho (3)
▼ Junho (1)
A Trombeta de Gabriel
► Maio (6)
► Abril (1)
Arquivo do blog
Prova Resolvida de Cálculo 1 ­
Derivada
Prova sobre Derivadas. Prova:
https://docs.google.com/file/d/0Bw
EGyaIgdIm3emxLdExoSlRsQVU/
edit?usp=sharing Resolução:
https://docs.googl...
Uma dica para
resolver limites
com incógnitas no
expoente
Limites parecidos
com esse acima
são comuns e geralmente
produzem dúvidas nos alunos.
Nesse post, mostrarei uma forma
alternativa de re...
Prova Resolvida de Cálculo 1 ­
Integral
Prova sobre Integrais com
resolução. Por favor, se encontrar
qualquer erro ou tiver dúvidas,
envie seus comentários. Prova:
https://d...
Postagens populares
Jonathas Groetares
Visualizar meu perfil completo
Quem sou eu
mais Próximo blog» Criar um blog Login

2. 06/06/2016 Caderno de Cálculo: A Trombeta de Gabriel
http://cadernodecalculo.blogspot.com.br/2013/06/a­trombeta­de­gabriel.html 2/3
Postagem mais recente Postagem mais antigaPágina inicial
Postado por Jonathas Groetares às 19:24
Marcadores: Derivada, Integral, Limite, Temas interessantes
Calculando a Área
Pode ser mostrado que a área de uma superfície de revolução é dada pela fórmula
.
Aplicando a função de interesse temos:
.
Resolvendo a integral teremos:
Sendo assim, se considerarmos que o volume seja dado em litros, vemos que a
Trombeta de Gabriel poderia comportar pouco mais de 3 litros de tinta. No entanto, se
alguém quisesse pintá­la, nem toda tinta do Universo seria suficiente.
O oposto é impossível
Pode ser provado que é impossível existir uma superfície de área finita e volume infinito.
Sair
Notifique­me
Digite seu comentário...
Comentar como: Unknown (Google)
Publicar
Visualizar
Nenhum comentário:
Postar um comentário

3. 06/06/2016 Caderno de Cálculo: A Trombeta de Gabriel
http://cadernodecalculo.blogspot.com.br/2013/06/a­trombeta­de­gabriel.html 3/3
Assinar: Postar comentários (Atom)
Modelo Simple. Imagens de modelo por Maliketh. Tecnologia do Blogger.