O documento descreve o processo de ensaio Proctor Normal para determinar a curva de compactação de um solo. O ensaio é realizado variando a umidade do solo e medindo a massa específica aparente seca resultante para cada teor de umidade. A curva de compactação é traçada manualmente a partir dos pontos obtidos. O documento propõe o uso da regressão não linear para ajustar automaticamente a curva a esses pontos, fornecendo resultados mais precisos de forma mais rápida.

1. Algorítimo para Representação dos
resultados do Ensaio Proctor Normal
Autor: Romildo Aparecido Soares Junior
Prof.Dr. : Persio Leister de Almeida Barros

2. Compactação dos Solos
• Compactação → procedimentos visando aumentar a compacidade de um solo pela redução de
vazios através esforços externos gerados por meios mecânicos.
• Objetivo → melhoria e estabilidade de propriedades mecânicas dos solos:
• – redução da compressibilidade;
• – aumento de resistência;
• – redução da variação volumétrica por umedecimento e secagem;
• – redução na permeabilidade
• Emprego
• – construção de aterros;
• – construção de camadas constitutivas de pavimentos;
• – construção de barragens de terra;
• – preenchimento com solo entre maciço e estruturas de arrimo;
• – preenchimentos de cavas de fundações e de tubulações enterradas.
• Técnica básica
• – lançamento de material de empréstimo (oriundo de jazida) ou do próprio local (reenchimentos);
• – passagem de equipamentos que transmitam ao solo a energia de compactação carga móvel⇒
(amassamento, impacto ou vibração) ou estática.

3. Eficiência na Compactação
• A densidade com que um solo é compactado, sob uma determinada
energia de compactação, depende da umidade do solo no momento
da compactação. Proctor verificou que na mistura de solo com
maiores quantidades de água, quando compactada, o peso
específico aparente da mistura aumentava, porque a água de certa
forma, funcionava como lubrificante, aproximando as partículas,
permitindo melhor entrosamento e, por fim, ocasionando a redução
do volume de vazios. Num determinado ponto, atingia-se um peso
específico máximo, a partir do qual, ainda que se adicionasse mais
água, o volume de vazios passava a aumentar. A explicação desse
fato reside em que quantidades adicionais de água, após o ponto
citado, ao invés de facilitarem a aproximação dos grãos, fazem com
estes se afastem, aumentando novamente o volume de vazios e
causando o decréscimo do pesos específicos correspondentes.
• Para determinar estes valores para maior eficiência na
compactação, foi criado o ensaio Proctor Normal.

4. Ensaio de Compactação Proctor Normal
• O ensaio de Proctor é normalizado pelo método de ensaio NBR 7182, sendo que as energias
especificadas na norma são: normal, intermediária e modificada, variando-se com esta
finalidade, as dimensões do molde e do soquete, número de camadas e golpes, conforme pode
ser observado na tabela.
• Características inerentes a cada energia (compilado da NBR 7182).

5. Ensaio de Compactação Proctor Normal
• O ensaio pode ser realizado de cinco maneiras: com ou sem reuso de material, sobre amostras
preparadas com secagem prévia até a umidade higroscópica ou sobre amostras preparadas a 5
% abaixo da umidade ótima presumível ou sem reuso de material, sobre amostras preparadas a
3 % acima da umidade ótima presumível. Na figura está apresentado a preparação da amostra
desde a secagem ao ar livre, destorroamento até a umidificação para obtenção de diferentes
pontos (5 teores de umidade).
• Amostra deformada secando ao ar livre (a); seca (umidade higroscópica) (b); colocação em
caixas (c); preparação da amostra com diferentes teores de umidade (5 teores) e (d)
homogeneização (e). Após a amostra ter sido homogeneizada, é realizada a compactação,
utilizando-se o molde pequeno ou o grande.

6. Ensaio de Compactação Proctor Normal
• Compactação Proctor (a) cilindro pequeno e soquete pequeno (b) cilindro grande e soquete grande. É
colocado o papel filtro ((a)) e lançada a quantidade de solo em camadas (vide esquema da figura (b),
conforme energia especificada (energia, normal intermediária ou modificada), tomando-se o cuidado de
escarificar a face superior da camada compactada, antes de lançar a próxima, para promover a
aderência entre ambas. Na (c) está apresentada a compactação utilizando-se o cilindro grande. Após a
compactação, o cilindro com o solo é pesado ( (d)) e finalmente o corpo de prova é extraído do molde
((e) e (f)).
(a) Colocação de papel filtro no molde; (b) esquema de compactação (soquete leve e soquete pesado); (c) compactação
cilindro grande; (d) pesagem do corpo de prova após a compactação; (e) e (f) extração do corpo de prova.

7. Ensaio de Compactação Proctor Normal
• Compactado o corpo de prova, determina-se:
• Com os 5 ou 6 pares de valores γd e w obtidos constrói-se por ajuste manual aos
pontos a curva de compactação e desta estima-se os valores de γdmáx e wót.

8. Ensaio de Compactação Proctor Normal
• No ponto de inflexão da curva
determinamos o teor de umidade
ótimo (hot) que representa que se um
solo for compactado com a energia do
ensaio, nesse teor de umidade ele
apresentará a massa específica
aparente seca máxima. O ramo
ascendente da curva de compactação
é denominado ramo seco e o ramo
descendente, de ramo úmido. No
ramo ascendente, a água lubrifica as
partículas e facilita o arranjo destas,
ocorrendo por essa razão, o
acréscimo da massa específica
aparente seca. Já no ramo
descendente, a água amortiza a
compactação e começa a ter mais
água do que sólidos, sendo por essa
razão que a massa específica
aparente seca decresce.

9. Algorítimo para Ajuste da Curva
• Um algorítimo para ajuste da curva de
compactação proporcionaria resultados
mais precisos e aceleraria o ensaio, pois
somente seria necessário inserir os
pontos em um software e este traçaria a
curva do solo, e mostraria os seus valores
ótimos mais rapidamente.

10. Métodos para ajuste de curva
• Curvas de Bézier : são as curvas mais fundamentais, usadas geralmente em computação gráfica​​
e processamento de imagens. Essas curvas são utilizados principalmente na interpolação,
aproximação, ajuste de curva, e representação do objeto. Elas foram nomeadas por Pierre Bézier,
um matemático francês e engenheiro que desenvolveu este método de desenho de computador no
final dos anos 1960, enquanto trabalhava para a fabricante de automóveis Renault.

11. Métodos para ajuste de curva
• A spline é uma ferramenta de curva muito importante quando queremos criar geometrias de
superfícies, ele possibilita grandes variações e muita liberdade para desenharmos uma geometria.
A spline passa diretamente pelos pontos de controle.

12. Métodos para ajuste de curva
• A Regressão Não Linear é utilizada quando conhece-se uma tabela de pontos (xi; yi), onde cada
yi é obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f(x)
que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos.

13. Seleção do Método de Ajuste
• A curva de Bézier passa muito longe dos pontos de
controle intermediários, podendo gerar desvios no
resultado final.
• A Spline poderia ser uma boa escolha se todos os
ensaios oferecessem resultados com baixa oscilação,
pois ela passa diretamente pelos pontos, por causa
disso, ela poderia causar desvios.
• A Regressão Não-Linear parece ser a melhor escolha
pois utilizando o método dos mínimos quadrados, apartir
da derivada primeira, pode-se chegar a uma curva
média que passa próxima aos pontos de controle. Este
será o método apresentado a seguir.

14. Regressão Não-Linear
• Estamos interessados em minimizar a distância de cada ponto (xi; yi) da tabela à
cada ponto (xi; a0 + a1xi + a2xi2) da curva

15. Regressão Não-Linear
• A distância entre esses pontos é e a soma dos
quadrados dessas distâncias é:
• Os candidatos a ponto de mínimo da função q são aqueles para os quais
são nulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus
parâmetros, isto é: (m é o grau da equação p(x) )

16. Regressão Não-Linear
• Derivando então, a função q em relação a cada termo temos :
• Estas são chamadas de equações normais. ( Todos os somatórios vão de I
= 1 até n, n = número de pontos )

17. Regressão Não-Linear
• Com as equações normais, monta-se um sistema linear :
• Resolvendo este sistema, encontramos as incógnitas a0, a1 e a2, que são
os coeficientes da equação de segundo grau que melhor se ajusta ao
conjunto de pontos (xi, yi)

18. Regressão Não-Linear - Exemplo
• Foram obtidos os seguintes dados apartir do ensaio de
compactação Proctor Normal, traçar a curva de compactação :
( Fonte : Exemplo 5.1 do livro Fundamentos de Engenharia
Geotécnica, Braja M. Das )

19. Regressão Não-Linear - Exemplo
• Substituindo estes valores no sistema
linear de equações normais :
Obtendo o seguinte sistema :

20. Regressão Não-Linear - Exemplo
• Resolvendo para a0, a1, a2 o sistema :

21. Regressão Não-Linear - Exemplo
• Estes coeficientes formam a equação que
melhor se ajusta aos pontos :
• Derivando e igualando a 0 temos o valor da
umidade ótima :

22. Regressão Não-Linear - Exemplo

23. Comparação de resultados
• Gráfico manual do exemplo :
• Houve um desvio de 0.325 lb/ft^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.394 % para a Umidade Ótima.

24. Comparação de resultados 2
• Pontos obtidos por ensaio Proctor Normal :
• Peso Específico Seco Máximo foi de 2.020 g/cm^3 e 8.9 % para a Umidade Ótima.

25. Comparação de resultados 2
• Curva obtida pela regressão não linear : Peso Específico Seco Máximo foi de 2.011 g/cm^3 e
9.467 % para a Umidade Ótima.
• Houve um desvio de 0.009 g/cm^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.567 % para a Umidade Ótima.

26. Comparação de resultados 3
• Pontos obtidos por ensaio Proctor Normal :
• Peso Específico Seco Máximo foi de 1.975 g/cm^3 e 9 % para a Umidade Ótima.

27. Comparação de resultados 3
• Curva obtida pela regressão não linear : Peso Específico Seco Máximo foi de 1.975 g/cm^3 e
8.34 % para a Umidade Ótima.
• Houve um desvio de 0.000 g/cm^3 para o Peso Específico Seco Máximo e 0.64 % para a Umidade Ótima.

28. Algorítimo
• O código apresentado está em javascript, uma linguagem derivada do java, mas
voltado para aplicações de internet.

29. Algorítimo
• Primeiro, colhemos as variáveis dos respectivos formulários. Depois calculamos cada somatório devido a
Regressão Não-Linear. Quando o usuário pressiona o botão “Minimos Quadrados” os somatórios são
então repassados para o sistema linear.

30. Algorítimo
• Depois, o usuário clica no botão solve, para obter os coeficientes da curva e também os valores da
umidade ótima e do peso específico seco máximo. Eles são calculados apartir da derivada da equação
de segundo grau. A Equação é então enviada para o input de função.

31. Conclusões
• Considerando os valores feitos manualmente
temos uma diferença de resultados da ordem de
2% com a curva ajustada. Verificando o erro
aproximado dos testes rápidos para umidade do
solo, vemos que seu erro também é por volta de
2%, que é o caso do teste Speedy. Assim
sendo, vemos que a diferença de resultados
não é muito grande, portanto a Regressão Não-
Linear é um método que pode ser utilizado na
prática, afim de aumentar a produtividade em
grandes laboratórios de análise de solos.

32. Referências :
• JEAN GALLIER : CURVES AND SURFACES IN GEOMETRIC MODELING: THEORY AND
ALGORITHMS, DEPARTMENT OF COMPUTER AND INFORMATION SCIENCE UNIVERSITY
OF PENNSYLVANIA
• GUEDES S. B. : ESTUDO DA VIABILIDADE TÉCNICA DO CONE DE PENETRAÇÃO
DINÂMICA (CPD), DO CONE DE PENETRAÇÃO ESTÁTICA (CPE) E DO PENETRÔMETRO
PANDA NO DIMENSIONAMENTO DE PAVIMENTOS URBANOS, CAMPINA GRANDE –
PARAÍBA, MAIO DE 2008
• ADRIAN COLOMITCH : INTRODUCTION TO CUBIC AND QUADRATIC BEZIER CURVES,
SEP. 2004
• JOSEPH P. PREVITE : 3 X 3 EQUATION SOLVER, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, PENN
STATE ERIE, THE BEHREND COLLEGE
• MARCONE JAMILSON FREITAS SOUZA : AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS
QUADRADOS MÍNIMOS
• CEZAR BASTOS : MECÂNICA DOS SOLOS - COMPACTAÇÃO DOS SOLOS, DMC/FURG
• RITA MOURA FORTES : COMPACTAÇÃO DOS SOLOS