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UFPE
2008.2
Aula de apoio aos feras:
Sistemas de Numeração
pet computação
UFPE
Roteiro
• Visão geral de sistemas numéricos e aprender como
transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal,
e vice-versa.
•Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes
sistemas de numeração
•Transmitir uma noção da importância dos sistemas de
numeração binário e hexadecimal, principalmente, para a
computação
pet computação
UFPE
Sistemas Numéricos
• Principais sistemas numéricos:
• Decimal
• 0, 1, ..., 9
• Binário
• 0, 1
• Octal
• 0, 1, ..., 7
• Hexadecimal
• 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F
•É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras de
A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15,
respectivamente
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Conversão Base X – Base 10
• Processo: soma de multiplicações
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Exemplos, converter para a base 10:
• 10112
• 4A3B16
•72718
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Conversão Base X – Base 10
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Binário – Decimal: 10112
• 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
• 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110
• Octal– Decimal: 72718
• 7 * 83 + 2 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80
• 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 376910
• Hexadecimal – Decimal: 4A3B16
• 4 * 163 + A * 162 + 3 * 161 + B * 160
• 4 * 163 + 10 * 162 + 3 * 161 + 11 * 160
• 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 1900310
pet computação
UFPE
Conversão Base X – Base 10
• Exercícios, converter para a base 10:
• 11002
• 01112
• ABCD16
•A8B216
pet computação
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Respostas
•Respostas ao exercício anterior:
• 11002 = 12 10
• 01112 = 7 10
• ABCD16 = 43981 10
•A8B216 = 43186 10
pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
• num1d x
r1 num2d x
r2 num3d
numn-1d x
rn-1 rn
numix = rnx...r2xr1x
pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
Momento de
Parar: quando o
quociente é
menor do que o
valor da base
Neste caso, o
valor da base é
“2”
• Exemplo, converter 5310 para binário:
53 2
1 26 2
0 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
1101012
pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
• Exemplo, converter 101610 para hexadecimal:
1016 16
8 63 16
15 3
3F816
•Exemplo, converter 5310 para hexadecimal:
53 16
5 3
3516
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Conversão Base 10 – Base X
• Exercícios, converter da base 10:
• para binário, 25
• para hexadecimal, 156
• Respostas
• 25 10 = 11001 2
• 156 10 = 9C 16
pet computação
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Adição e subtração em
binário
• As operações aritméticas com números binários são
feitas de forma análoga aos decimais
• Para a subtração, em especial, é necessário lembrar
os “empréstimos” ensinados durante o primário
• É importante ter em mente que:
– 1 + 1 = 0 e “vai” 1
– 1 + 0 = 0 + 1 = 1
– 0 + 0 = 0
– 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1
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Exemplos
Ex1: 1 1 1 - vai 1
1 0 1 1 – 1a. parcela
+ 1 1 1 1 - 2a. parcela
1 1 0 1 0 – resultado
0 1
Ex2: 1 0 10 1
- 0 1 1 0
0 0 1 1
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Complemento a 2
• Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de
complemento a 2 para se trabalhar com números binários no
computador
• Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5
seria 7 + (-5)
• Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o
computador
• Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos. Os que
tiverem 0 neste bit, serão positivos
• Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade
de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o
processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit
mais à esquerda é desprezado
• Deve-se proceder da seguinte maneira:
– Os números negativos devem ter seus bits invertidos
– Soma-se 1 ao valor obtido
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Exemplo
• Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu
processador trabalhe com números de 5 bits
• Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5)
• 10, em binário é: 01010
• 5 em binário é: 00101
• Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:
– 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010
– Fazendo 11010 + 1, temos 11011
• Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101.
Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais
será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado
foi 00101. De fato, o resultado é 5.
pet computação
UFPE
Representação no computador
• O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em
geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje existem
computadores manipulando 64bits.
• Em geral, ele usa uma palavra para representar os
números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado
para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).
pet computação
UFPE
• No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números
específicos:
– - e , para os infinitos.
– NaN (not-a-number), para representar resultados de operações
como 0/0,  - , 0x,
– -0, definido com o inverso de -.
Números especiais
pet computação
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• O computador representa os números de uma forma finita e
aproximativa:
– Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o
infinitamente grande,
– Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação.
Erros de aproximação
pet computação
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• Os números manipulados
– grande demais para ser representados provocam um overflow.
– pequeno demais para ser representados provocam um
underflow.
• Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou
underflow. Certos param a execução, certos dão uma mensagem e
outros representam o número de uma forma especifica.
Overflow e underflow
pet computação
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• A representação dos números depende do suporte material para
representar e calcular (binário com o computador).
• O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita
dependendo da base:
10
1
3
em base 10 ou base 12, 10
0,1 em base 10 ou base 2
O computador usa representação finita, ele não pode representar de
forma exata os números reais.
Conclusão
pet computação
UFPE Obrigado!!!
Creative Commons
Este material foi elaborado pelo PET Informática da UFPE, estando
sob a licença Creative Commons. É permitido que outras pessoas
usem e alterem a presente obra, desde que os créditos sejam
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  • 1. pet computação UFPE 2008.2 Aula de apoio aos feras: Sistemas de Numeração
  • 2. pet computação UFPE Roteiro • Visão geral de sistemas numéricos e aprender como transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal, e vice-versa. •Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes sistemas de numeração •Transmitir uma noção da importância dos sistemas de numeração binário e hexadecimal, principalmente, para a computação
  • 3. pet computação UFPE Sistemas Numéricos • Principais sistemas numéricos: • Decimal • 0, 1, ..., 9 • Binário • 0, 1 • Octal • 0, 1, ..., 7 • Hexadecimal • 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F •É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras de A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente
  • 4. pet computação UFPE Conversão Base X – Base 10 • Processo: soma de multiplicações • numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0 • Exemplos, converter para a base 10: • 10112 • 4A3B16 •72718
  • 5. pet computação UFPE Conversão Base X – Base 10 • numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0 • Binário – Decimal: 10112 • 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 • 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110 • Octal– Decimal: 72718 • 7 * 83 + 2 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80 • 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 376910 • Hexadecimal – Decimal: 4A3B16 • 4 * 163 + A * 162 + 3 * 161 + B * 160 • 4 * 163 + 10 * 162 + 3 * 161 + 11 * 160 • 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 1900310
  • 6. pet computação UFPE Conversão Base X – Base 10 • Exercícios, converter para a base 10: • 11002 • 01112 • ABCD16 •A8B216
  • 7. pet computação UFPE Respostas •Respostas ao exercício anterior: • 11002 = 12 10 • 01112 = 7 10 • ABCD16 = 43981 10 •A8B216 = 43186 10
  • 8. pet computação UFPE Conversão Base 10 – Base X • num1d x r1 num2d x r2 num3d numn-1d x rn-1 rn numix = rnx...r2xr1x
  • 9. pet computação UFPE Conversão Base 10 – Base X Momento de Parar: quando o quociente é menor do que o valor da base Neste caso, o valor da base é “2” • Exemplo, converter 5310 para binário: 53 2 1 26 2 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 1101012
  • 10. pet computação UFPE Conversão Base 10 – Base X • Exemplo, converter 101610 para hexadecimal: 1016 16 8 63 16 15 3 3F816 •Exemplo, converter 5310 para hexadecimal: 53 16 5 3 3516
  • 11. pet computação UFPE Conversão Base 10 – Base X • Exercícios, converter da base 10: • para binário, 25 • para hexadecimal, 156 • Respostas • 25 10 = 11001 2 • 156 10 = 9C 16
  • 12. pet computação UFPE Adição e subtração em binário • As operações aritméticas com números binários são feitas de forma análoga aos decimais • Para a subtração, em especial, é necessário lembrar os “empréstimos” ensinados durante o primário • É importante ter em mente que: – 1 + 1 = 0 e “vai” 1 – 1 + 0 = 0 + 1 = 1 – 0 + 0 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1
  • 13. pet computação UFPE Exemplos Ex1: 1 1 1 - vai 1 1 0 1 1 – 1a. parcela + 1 1 1 1 - 2a. parcela 1 1 0 1 0 – resultado 0 1 Ex2: 1 0 10 1 - 0 1 1 0 0 0 1 1
  • 14. pet computação UFPE Complemento a 2 • Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de complemento a 2 para se trabalhar com números binários no computador • Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5 seria 7 + (-5) • Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o computador • Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos. Os que tiverem 0 neste bit, serão positivos • Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit mais à esquerda é desprezado • Deve-se proceder da seguinte maneira: – Os números negativos devem ter seus bits invertidos – Soma-se 1 ao valor obtido
  • 15. pet computação UFPE Exemplo • Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu processador trabalhe com números de 5 bits • Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5) • 10, em binário é: 01010 • 5 em binário é: 00101 • Aplicando o complemento a 2, obteremos -5: – 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010 – Fazendo 11010 + 1, temos 11011 • Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101. Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado foi 00101. De fato, o resultado é 5.
  • 16. pet computação UFPE Representação no computador • O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje existem computadores manipulando 64bits. • Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).
  • 17. pet computação UFPE • No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos: – - e , para os infinitos. – NaN (not-a-number), para representar resultados de operações como 0/0,  - , 0x, – -0, definido com o inverso de -. Números especiais
  • 18. pet computação UFPE • O computador representa os números de uma forma finita e aproximativa: – Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, – Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação. Erros de aproximação
  • 19. pet computação UFPE • Os números manipulados – grande demais para ser representados provocam um overflow. – pequeno demais para ser representados provocam um underflow. • Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou underflow. Certos param a execução, certos dão uma mensagem e outros representam o número de uma forma especifica. Overflow e underflow
  • 20. pet computação UFPE • A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador). • O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base: 10 1 3 em base 10 ou base 12, 10 0,1 em base 10 ou base 2 O computador usa representação finita, ele não pode representar de forma exata os números reais. Conclusão
  • 21. pet computação UFPE Obrigado!!! Creative Commons Este material foi elaborado pelo PET Informática da UFPE, estando sob a licença Creative Commons. É permitido que outras pessoas usem e alterem a presente obra, desde que os créditos sejam dados ao PET Informática. Não é permitido o uso comercial do material. Maiores informações: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.5/br/