10/05/2021
Introdução
 As equações para calcular as tensões principais e a
tensão máxima de cisalhamento em um ponto de um
corpo tensionado foram desenvolvidas na aula anterior.
 Aqui será desenvolvido um procedimento gráfico para as
transformações de tensão plana e espacial.
• Mais fácil de lembrar e fornece uma representação funcional das
relações entre os componentes de tensão atuando em diferentes planos
em um ponto.
Introdução
 O engenheiro civil alemão Otto Christian Mohr (1835-
1918) desenvolveu uma interpretação gráfica útil da
equação de transformação de tensão.
• Este método é conhecido como o círculo de Mohr.
Figura 1: Christian Otto Mohr (1835-1918)
Fonte: Wikipedia (2021)

10/05/2021
Introdução
 Embora seja utilizado aqui para transformação de
tensões, o círculo de Mohr também é válido para outras
transformações que são matematicamente semelhantes.
• Tais como momentos de inércia de área e massa, transformações de
deformação.
 O nome mais adequado seria “circunferência de Mohr”,
mas por motivos históricos, a palavra círculo será
mantida.
Equações do Círculo de Mohr
para o Estado Plano de Tensões

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Equações do “Círculo” – Estado Plano
 O círculo de Mohr para tensão plana é construído com a
tensão normal plotado ao longo do eixo horizontal e a
tensão de cisalhamento , do eixo vertical.
 O círculo é construído de forma que cada ponto
representa uma combinação de e que atua em um
plano específico através de um ponto em um corpo
tensionado.
 Considere as equações de transformação de tensão:
𝜎 −
( )
=
( )
cos 2𝜃 + 𝜏 sen 2𝜃
𝜏 = −
𝜎 −𝜎
2
sen 2𝜃 + 𝜏 cos 2𝜃
 Ambas as equações podem ser elevadas ao quadrado,
depois somadas e simplificadas para dar:
𝜎 −
𝜎 +𝜎
2
+ 𝜏 =
𝜎 −𝜎
2
+ 𝜏

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𝜎 −
( )
=
( )
𝜏 = −
𝜎 −𝜎
2
𝜎 −
𝜎 +𝜎
2
+ 𝜏 − 0 =
𝜎 −𝜎
2
+ 𝜏
𝑅 =
𝜎 −𝜎
2
+ 𝜏
𝜎 −
( )
=
( )
𝜏 = −
𝜎 −𝜎
2
𝜎 −
𝜎 +𝜎
2
+ 𝜏 − 0 =
𝜎 −𝜎
2
+ 𝜏
𝜎 − 𝑐̅ + 𝜏 = 𝑅

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 Esta é a equação de uma circunferência em termos das
variáveis e .
 O centro do círculo está localizado no eixo (i.e., ),
em .
 E o raio .
Utilidade do Círculo de Mohr
 O círculo de Mohr pode ser usado para determinar as
tensões que atuam em qualquer plano que passa por
um ponto.
 É bastante conveniente para determinar as tensões
principais e as tensões de cisalhamento máximas (tanto
no plano como em tensões máximas absolutas de
cisalhamento).

10/05/2021
Utilidade do Círculo de Mohr
 Se o círculo de Mohr for traçado em escala, medidas
tiradas diretamente do desenho podem ser usadas para
obter valores de tensão.
 No entanto, ele é provavelmente mais útil como uma
ajuda pictórica para o engenheiro que está realizando a
análise de tensões/direções em um determinado ponto.
Convenções de Sinais
 Eixo horizontal: Tensões normais;
• Tração: positiva, à direita do eixo vertical.
• Compressão: negativa, à esquerda do eixo vertical.
 Eixo vertical: Tensões de Cisalhamento.
• Considere o par (𝜎 , 𝜏 ). Se, na face onde o 𝜎 é normal, a tensão de
cisalhamento 𝜏 tender a girar o estado plano no sentido anti-horário,
então ela será positiva (abaixo do eixo horizontal 𝜎);
• Caso contrário (girar no sentido horário), 𝜏 será negativa (acima do
eixo horizontal 𝜎).

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Construção do Círculo de Mohr
(CM)
Construção do Círculo de Mohr (CM)
 Admita que o estado plano é
conhecido totalmente, ou seja,
se conhece e .
1) Caso o estado plano com sua orientação
não seja dado, esboce-o com um desenho
para facilitar a construção do CM.
2) Desenhe um par de eixos coordenados de
maneira que 𝜎 seja o das abscissas e 𝜏 o
das ordenadas. Figura 1: Philpot (2013)

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se conhece e .
se conhece e .
𝜏

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3) Marque o par (𝜎, 𝜏) que age na face em
que o eixo 𝑥 é normal.
- Lembre-se da convenção de sinais!
Figura 2: Philpot (2013)
𝝉

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𝑥
𝜏 𝑥?
𝑥
𝑦
- Tenha em mente que as coordenadas do CM
nada tem a ver com coordenadas espaciais. São 𝜎, 𝜏 .
que o eixo 𝑦 é normal.
- Note que sempre em uma face 𝑥 a tensão 𝜏
“gira” em um sentido contrário à da face 𝑦. Por quê?

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- Tenha em mente que as coordenadas do CM
nada tem a ver com coordenadas espaciais. São 𝜎, 𝜏 .
que o eixo 𝑦 é normal.
- Note que sempre em uma face 𝑥 a tensão 𝜏
“gira” em um sentido contrário à da face 𝑦. Por quê?
- 𝜏 tem mesmo valor absoluto nas duas faces.
- “chegam” ou “saem” do mesmo vértice do estado plano.
5) Desenhe uma linha ligando os pontos 𝑥 e
𝑦 da Fig. 4.
- O local onde esta linha cruza o eixo 𝜎 marca o
centro do CM.
- Logo, a distância de C para 𝑥 ou 𝑦 é igual ao
raio 𝑅 do CM.

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𝑦 da Fig. 4.
centro do CM.
raio 𝑅 do CM.
𝜎
𝑦 da Fig. 4.
centro do CM.
raio 𝑅 do CM.
6) Desenhe o CM com centro em 𝐶 e raio 𝑅.
- Todo ponto da circunferência representa uma
combinação de 𝜎 e 𝜏 que existe em alguma orientação.
- Qualquer par de pontos do CM que esteja em
um diâmetro representam as tensões em planos
ortogonais no plano 𝑥𝑦.

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𝑦 da Fig. 4.
centro do CM.
raio 𝑅 do CM.
𝑦 da Fig. 4.
centro do CM.
raio 𝑅 do CM.
°
°

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7) Marque os pontos no CM correspondentes
às tensões principais.
- Qual a localização deles?

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𝜏
𝜎
(𝜎 , 0)
(𝜎 , 0)
𝜎
𝜎
𝜎
(𝜎 , 0)
(𝜎 , 0)

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8) A geometria do CM pode ser usada para
determinar a orientação dos planos
principais.
- O ângulo entre o ponto 𝑥 do CM e o da tensão
principal 𝜎 , 0 é 2𝜃 (marcado na fig. ao lado).
- Não só o módulo deste ângulo, mas o sentido
de rotação dele também pode ser determinado, por
inspeção no CM. Será o mesmo sentido do CM!
(𝜎 , 0)
(𝜎 , 0)
9) Dois outros pontos interessantes no CM
são os valores extremos da tensão de
cisalhamento.
- Seus valores absolutos ocorrerão em um
diâmetro perpendicular ao eixo 𝜎.
- A 1ª coordenada 𝜎 do centro 𝐶 dará o valor de
𝜎 que é a tensão normal no plano de incidência da
tensão de cisalhamento máxima (no plano, 𝜏 , ).
- O valor de 𝜏 , será numericamente igual ao
valor do raio 𝑅 do CM. Figura 7: Philpot (2013)
(𝜎 , 𝜏 , )
(𝜎 , 𝜏 , )

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10) Como citado, observe que o ângulo entre
os pontos de tensão principal e os de
tensão de cisalhamento máxima no plano
é 90°.
- Como os ângulos retirados do CM são sempre
o dobro da orientação real do estado plano, logo, o
ângulo real entre os planos principais e os das tensões
de cisalhamento máximas (no plano) é sempre de 45°.
(𝜎 , 𝜏 , )
(𝜎 , 𝜏 , )
10) Observe que o ângulo entre os pontos de
tensão principal e os de tensão de
cisalhamento máxima no plano é 90°.
- Como os ângulos retirados do CM são sempre
o dobro da orientação real do estado plano, logo, o
ângulo real entre os planos principais e os das tensões
de cisalhamento máximas (no plano) é sempre de 45°.
(𝜎 , 𝜏 , )
(𝜎 , 𝜏 , )
(𝜎 , 0)
(𝜎 , 0)

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Comentários sobre o CM
 Quais as vantagens do Círculo de Mohr?
• Ele é um resumo visual conciso de todas as combinações possíveis em
qualquer ponto de um elemento submetido a tensões.
• Fornece uma ferramenta fácil de lembrar para a análise de tensões.
◦ Devido à relação existente entre a geometria da circunferência e as funções
trigonométricas envolvidas nas equações de transformação de tensões.
• Ajudará na aplicação dos critérios de falha a serem estudados
futuramente.
Exemplo 1 – MecMovies M12.10
 Prática de Círculo de Mohr para as
tensões (Coach Mohr’s Circle of
Stress).
• Aprenda a construir e a usar o CM para
determinar as tensões principais, incluindo a
orientação adequada dos planos destas
tensões.

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Referências
 PHILPOT, T. Mecânica dos materiais - Um Sistema Integrado de
Ensino. 2ª ed. São Paulo: LTC, 2013.
 WIKIPEDIA. Christian Otto Mohr (Figura). Disponível em:
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Christian_Otto_Mohr#/media/Fi
cheiro:Christian_Otto_Mohr.jpg >. Acesso em 02/05/2021.

Aula 10 - Site - Mec sol Círculo de Mohr.pdf

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