apostila-flexc3a3o-em-vigas (1).pdf

Mecânica dos Sólidos II
Prof. Willyan Machado Giufrida
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Introdução:
As vigas certamente podem ser consideradas entre os mais importantes de todos os elementos
estruturais. Citamos como exemplo elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma
de uma ponte ou a asa de um avião. Além disso, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até
mesmo muitos dos ossos do corpo humano agem como vigas. As cargas que atuam numa viga a fazem
fletir (ou curvar), e assim deformar o seu eixo em uma curva. Vigas e eixos são importantes elementos
estruturais e mecânicos usados em projetas de engenharia.
Nesta seção, determinaremos a tensão provocada nesses elementos por conta da flexão.
Começaremos com uma discussão sobre como construir os diagramas de força cortante e momento fletor
para uma viga ou eixo. Assim como os diagramas de força normal e de torque, os diagramas de força
cortante e momento fletor proporcionam um meio útil para determinar a maior força de cisalhamento e o
maior momento em um elemento e especificam onde esses máximos ocorrem. Uma vez determinado o
momento interno em uma seção, a tensão de flexão pode ser calculada. Em primeiro lugar,
consideraremos elementos retos, com seção transversal simétrica e feita de materiais homogêneos
lineares elásticos. Em seguida, discutiremos casos especiais que envolvem flexão assimétrica e elementos
feitos de materiais compósitos. Também consideraremos elementos curvos, concentrações de tensão,
flexão inelástica e tensões residuais.
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Por conta dos carregamentos aplicados, as
vigas desenvolvem uma força de cisalhamento
interna (força cortante) e momento fletor que,
em geral, variam de ponto para ponto ao longo
do eixo da viga. Para projetar uma viga
corretamente, em primeiro lugar, é necessário
determinar a força de cisalhamento e o momento
máximos que agem na viga. Um modo de fazer
isso é expressar V e M em função de uma
posição arbitrária x ao longo do eixo da viga.
Então, essas funções de cisalhamento e momento
podem ser representadas em gráficos
denominados diagramas de força cortante e
momento fletor.
Os valores máximos tanto de V quanto de
M podem ser obtidos desses gráficos. Além
disso, uma vez que fornecem informações
detalhadas sobre a variação do cisalhamento e do
momento ao longo do eixo da viga, os diagramas
de força cortante e momento fletor são
frequentemente usados pelos engenheiros para
decidir onde colocar materiais de reforço no
interior da viga ou como calcular as dimensões
da viga em vários pontos ao longo de seu
comprimento.
O esforço cortante e o momento fletor em um
determinado ponto de uma viga é encontrado,
passando-se uma seção através do ponto
desejado e aplicando-se as equações de
equilíbrio da estática para o trecho cortado.

Figura 1.1 – esforço cortante e o momento fletor
em um determinado ponto de uma viga.
Convenção de sinal para vigas.
Antes de apresentar um método para
determinar o cisalhamento e o momento em
função de x e, então, construir um gráfico dessas
funções (diagramas de força cortante e momento
fletor), é necessário estabelecer uma convenção
de sinal de modo a definir força cortante interna
e momento fletor como "positivos" e
"negativos". Embora a escolha de uma
convenção de sinal seja arbitrária, aqui
adotaremos a convenção frequentemente
utilizada na prática da engenharia e mostrada na
Figura 1.2. As direções positivas são as
seguintes: a carga distribuída age para baixo na
viga; a força cortante interna provoca uma
rotação em sentido horário no segmento da viga
sobre o qual age; e o momento interno causa
compressão nas fibras superiores do segmento.
Figura 1.2
Esforços Internos
As resultantes FR e MR0 reduzidas ao C.G. da
seção direita deve ter o mesmo módulo e
sentidos opostos das resultantes reduzidas ao
C.G. da seção esquerda.
Decompondo os vetores FR e M0 nas direções
normal e paralela à seção, obtém:

Componentes de FR:
N→
= Esforço Normal;
V→
= Esforça Cortante.
Componentes de MR0:
M→
= Momento Fletor;
T→
= Momento Torçor.
Sinais:
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Os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga podem ser construídos por meio dos
procedimentos descritos a seguir.

Reações nos apoios
• Determine todas as forças de reação e momentos conjugados que agem na viga e decomponha
todas as forças em componentes que agem perpendicular e paralelamente ao eixo da viga.
Diagramas de força cortante e momento fletor
• Construa o diagrama de força cortante (V versus x) e o diagrama de momento fletor (M versus x).
Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, serão marcados acima
do eixo x, ao passo que valores negativos serão marcados abaixo do eixo.
• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força cortante e momento fletor diretamente
abaixo do diagrama de corpo livre da viga.
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Para a viga e o carregamento mostrado na figura, construa o diagrama de esforço cortante e de
momento fletor.
Solução:
• Aplique as equações de equilíbrio da estática e determine as reações de apoio para a viga:

• Seccione a viga e aplique as condições de
equilíbrio para cada parte:
• Construa o diagrama de esforço cortante
e de momento fletor, identificando os
valores máximos (em módulo).

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A teoria de tensões de flexão nas vigas se aplica para vigas admitidas com suficiente estabilidade
lateral em virtude de suas proporções ou suficientemente reforçadas na direção transversal.
2.1. Deformação por flexão de um elemento reto
Nesta seção, discutiremos as deformações
que ocorrem quando uma viga prismática reta,
feita de um material homogêneo, é submetida à
flexão. A discussão ficará limitada a vigas com
área de seção transversal simétrica em relação a
um eixo e a um momento fletor aplicado em
torno de uma linha central perpendicular a esse
eixo de simetria, como mostrado na Figura 2.1.
O comportamento de elementos com seções
transversais assimétricas ou feitos de vários
materiais diferentes é baseado em observações
semelhantes e será discutido separadamente em
seções posteriores deste capítulo. Se usarmos um
material de alta capacidade de deformação, como
a borracha, poderemos ilustrar fisicamente o que
acontece quando um elemento prismático reto é
submetido a um momento fietor. Considere, por
exemplo, a barra reta (não deformada) na Figura
2.2a, que tem seção transversal quadrada e
marcada por uma grade de linhas longitudinais e
transversais. Quando um momento fietor é
aplicado, as linhas da grade tendem a se distorcer
segundo o padrão mostrado na Figura 2.2b.
Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se
tornam curvas e as linhas transversais verticais
continuam retas, porém sofrem rotação. O
comportamento de qualquer barra deformável
sujeita a um momento fietor provoca o
alongamento do material na parte inferior da
barra e a compressão do material na porção
superior da barra. Por consequência, entre essas
duas regiões devem existir uma superfície,
denominada supe1jície neutra, na qual não
ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras
longitudinais do material (Figura 2.1).
Figura 2.1

Figura 2.2
Figura 2.3
Com base nessas observações, adotaremos as
três premissas seguintes em relação ao modo
como a tensão deforma o material. A primeira é
que o eixo longitudinal x, que se encontra no
interior da superfície neutra (Figura 2.3a), não
sofre qualquer mudança no comprimento. Mais
exatamente, o momento tenderá a deformar a
viga de modo que essa linha toma-se uma curva
localizada no plano de simetria x-y (Figura 2.3b).
A segunda é que todas as seções transversais da
viga permanecem planas e perpendiculares ao
eixo longitudinal durante a deformação. A
terceira é que qualquer deformação da seção
transversal dentro de seu próprio plano, como
observamos na Figura 2.2b, será desprezada. Em
particular, o eixo z, que se encontra no plano da
seção transversal e em torno do qual a seção
transversal gira, é denominado eixo neutro
(Figura 2.3b ). Sua localização será determinada
na próxima seção.
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Hipótese fundamental da teoria da flexão: As seções planas de uma viga, tomadas
normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão.
Essa conclusão é válida para vigas de qualquer material, seja ele elástico ou inelástico,
linear ou não-linear. As propriedades dos materiais, assim como as dimensões, devem ser
simétricas em relação ao plano de flexão.
As linhas longitudinais na parte inferior da viga são alongadas (tracionadas), enquanto
aquelas na parte superior são diminuídas (comprimidas).

Superfície Neutra ss: é uma superfície em algum lugar entre o topo e a base da viga em
que as linhas longitudinais não mudam de comprimento.
Linha neutra: é a interseção da superfície neutra com qualquer plano de seção transversal.
O eixo z é a linha neutra da seção transversal ilustrada na Figura 2.11b.
Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao
seu eixo, produzindo uma flexão na barra, ou seja, uma curvatura na peça. O esforço
solicitante responsável por este comportamento é chamado de momento fletor, podendo ou
não ser acompanhado de esforço cortante e força normal.
Figura 2.4 - Representação de uma viga biapoiada submetida á flexão. A ação da carga
externa (a) sobre a viga produz o momento fletor (b) curvatura observada em (c). As fibras
superiores tendem a se aproximar (compressão) e as fibras inferiores tendem a se afastar
(tração).
A flexão é provavelmente o tipo mais comum de solicitação produzida em
componentes de máquinas, os quais atuam como vigas quando, em funcionamento,
transmitem ou recebem esforços.
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Flexão Pura - Referente à flexão na viga submetida a um momento fletor constante.
Ocorre nas regiões onde a força de cisalhamento é zero, pois V=dM/dx

Figura 2.5 - Viga simples em flexão pura (M=M1)
Figura 2.6 - Viga engastada em flexão Pura (M=-M2)
Considere a viga AB mostrada na figura abaixo, cujo trecho CD encontra-se sobre
Flexão pura.
Figura 2.7
Flexão Não-Uniforme – Flexão na presença de forças de cisalhamento, o que
significa que o momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga. Veja a
Figura 2.8

Figura 2.8 - Viga com região central em flexão pura e extremidades em flexão não uniforme.
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Uma viga engastada numa extremidade, com uma carga concentrada P, aplicada na
extremidade livre, está submetida à flexão simples ou flexão simples plana, quando a carga
aplicada atua perpendicularmente ao eixo da viga.
Figura 2.9
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Quando o carregamento atua num plano não perpendicular ao eixo da viga. Neste caso
a carga poderá ser decomposta em duas componentes, como apresentado na figura abaixo:

Figura 2.10
No dimensionamento de peças
submetidas à flexão, admitem-se
somente deformações elásticas. A
tensão de trabalho é fixada pelo fator
de segurança, através da tensão
admissível.
A fórmula da flexão é aplicada
nas secções críticas, ou seja, nas
secções onde o momento fletor é
máximo Mmáx. O momento fletor
máximo de uma viga pode ser
determinado através dos diagramas
obtidos pelo método das secções, ou através de tabelas que apresentam expressões para estas
grandezas.
Nos anexos desta apostila estão algumas tabelas que permitem determinar o momento
fletor máximo e outras grandezas relativas ao estudo de vigas.
Hipóteses
Os modelos de flexão utilizados em nosso estudo de resistência dos materiais baseiam-
se nas seguintes hipóteses:
Sobre o Corpo Sólido
I - O material é considerado homogêneo e isotrópico;
II - A viga admite um plano de simetria;
III - O corpo é formado por um conjunto de fibras unidas entre si e paralelas ao plano
longitudinal.
Sobre as forças
IV - As forças atuam no plano de simetria;
V - As forças atuantes são perpendiculares ao eixo, portanto trata-se de um problema
de flexão simples:

Figura 2.11
Sobre Deformações
VI. Hipótese de Bernoulli: Os sólidos sob flexão são elásticos longitudinalmente e
rígidos transversalmente.
Figura 2.12
VII. Hipótese de Navier:
Sob ação de cargas de flexão, algumas fibras longitudinais que compõem o corpo
sólido são submetidas à tração e outras “a compressão, existindo uma Superfície intermediária
onde a deformação (εx) e a tensão (σx) para as fibras nela cintidas tornam-se nulas, isto é, não
se encurtam e nem se alongam. Esta superfície é chamada de superfície neutra. A superfície
neutra intercepta uma dada secção transversal da barra segundo uma reta chamada linha
neutra.

Figura 2.13
- Os esforços de
tração e compressão
aumentam à medida que
se afastam da superfície
neutra, atingindo sua
intensidade máxima nas
fibras mais distantes a ela.
- O material
obedece a Lei de Hooke,
ou seja, as tensões e
deformações produzidas
no sólido estão abaixo do
limite de proporcionalidade do material (regime elástico).
Conclusões:
1. Supondo uma viga submetida a esforços de flexão, constituída por uma série de
fibras planas longitudinais, as fibras próximas à superfície convexa estão sob tração e portanto
sofrem um aumento em seu comprimento. Da mesma forma, as fibras próximas à superfície
côncava estão sob compressão e sofrem uma diminuição no seu comprimento. Como na
superfície neutra o esforço é nulo, a deformação resultante também será nula, sendo assim um
plano de transição entre as deformações de tração e compressão.
2. De acordo com a Lei de Hooke, a tensão varia linearmente com a deformação.
Desta forma temos que a tensão de flexão varia linearmente numa dada seção transversal de
uma viga, passando por zero (tensão nula) na linha neutra.
Figura 2.14
3. Em uma viga com seção
transversal constante, a linha neutra
(interseção entre a superfície neutra e
a seção transversal) passa pelo centro
de gravidade desta seção.

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Analisando o trecho CD da viga mostrada:
As linhas mn e pq giram e permanecem particulares as fibras longitudinais (hipótese de
Bernoulli-Navier).
Sob a ação do momento M, as
fibras da parte superior da viga estão
sob compressão (diminuem de
comprimento) e as fibras da parte
inferior estão sob tração (aumentando
de comprimento). Em algum ponto
entre as partes superiores e inferiores da
viga, as fibras longitudinais estão sob
tensão nula, não sofrendo variação de
comprimento.
Essa superfície é denominada
superfície neutra e a interseção com o
plano da seção transversal forma a LINHA
NEUTRA da seção.
σ = 0 e ε = 0.
Analisando as deformações entre as duas seções
distintas dx:
ρ: raio do arco cd na linha LN;
L: comprimento do arco cd da barra
onde L = ρ.dƟ.
O comprimento do arco ef
distante “y” acima da LN pode ser
dado por: L’ = (ρ-y).dƟ.

O comprimento original do arco ef era igual ao do arco cd, antes da deformação.
Logo:
δ = L’ – L;
δ = (ρ – y).dƟ – ρ.dƟ
δ =-y.dƟ.
A deformação específica εx na fibra ef é dada por:
A deformação específica εx varia linearmente com a distância “y” da LN.
A deformação específica máxima (εxmáx) ocorre para o maior valor de “y”.
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Quando cargas são aplicadas a uma viga, seu eixo longitudinal é deformado em uma
curva, como ilustrado anteriormente. As tensões e deformações resultantes estão diretamente
relacionadas à curvatura da curva de deflexão. Ilustração do conceito de curvatura. Veja
Figura 2.9.
Figura 2.15 - Curvatura da viga fletida: (a) Viga com carregamento e (b) Curva de
deflexão.

O’- Centro de curvatura interseção das normais às tangentes às curvas de deflexão (normal à
própria curva).
m1O’ – Raio de curvatura ( ρ )
κ - Curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura. Assim,
(1)
É uma medida de quão intensamente a viga é flexionada.
Carga pequena na viga → Viga praticamente reta → Raio de curvatura grande → Curvatura
pequena e vice-versa.
A partir da geometria do triângulo O’m1m2 obtemos:
(2)
onde dθ é o ângulo infinitesimal entre as normais medido em radianos e ds é a distância
infinitesimal ao longo da curva m1 e m2, Combinando a eq.(2) com (1) tem-se
(3)
Sob as condições especiais de pequenas deflexões tem-se que:
(4)
Convenção de sinais para a curvatura – Apresenta-se na Figura 2.10

Figura 2.16 - Convenção de sinal para a curvatura.
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Ocorre quando uma barra é submetida a uma força F, atuando perpendicularmente ao seu
eixo, produzindo uma flexão na barra. O momento resultante na seção transversal é igual ao
momento produzido pela distribuição linear da
tensão normal em torno do eixo neutro.
Flexão pura – desprezam-se as forças
cortantes.
σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
Essa equação é chamada de fórmula e flexão. Tensões calculadas a partir da fórmula de
flexão são chamadas de tensões fletoras ou tensões de flexão.
Esta equação representa a distribuição linear de tensões apresentadas na figura
abaixo._A tensão de flexão assume seu valor máximo na superfície mais
distante_da_linha_neutra,_ou_seja,_no maior valor de y, onde y simboliza a distância a partir

da L.N., podendo chegar até a superfície da peça. Em vigas com seção simétrica (em realção a
linha neutra), as tensões de tração e compressão produzidas durante a flexão terão o mesmo
valor. Na s vigas com seções assimétricas, a tensão máxima ocorrerá na superfície mais
distante da linha neutra.
A expressão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos
fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores
positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e
causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar este
resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais invertidos
como mostra a Figura 2.17.

Figura 2.17 – Relações entre os sinais dos momentos fletores e as direções das
tensões normais: (a) momento fletor positivo e (b) momento fletor negativo.
Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da
seção tra sversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também
que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. Agora veremos como
fica a fórmulada flexão para uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer
direção.
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As tensões máximas de flexão ocorrem nos pontos mais distantes da seção (LN). Denota-se c1
e c2 a distância da linha neutra para os elementos extremos como mostra a Figura 10.
σ1 = maior tensão de tração;
σ2 = maior tensão de compressão;
C1 = distancia da fibra tracionada mais afastada da L.N.
C2 = distancia da fibra comprimida mais afastada da L.N.
Tensões Máximas:
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Característica Geométrica – Módulo de Resistência
,
Para seções de diferentes formas geométricas:

Vantagens:
As vantagens de se expressar as tensões máximas em termos de módulo de seção vêm do
fato de que cada módulo de seção combina as propriedades relevantes da seção
transversal da viga em um valor singular. Esse valor pode ser listado em tabelas e
manuais como uma propriedade da viga, o que é mais conveniente para projetistas.

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Uma estrutura sofrendo flexão se deformará e nas suas seções transversais e em cada
ponto das seções sofrerá:
• Tensões (pressões) normais de compressão;
• Tensões (pressões) normais de tração;
• Tensões (pressões) tangenciais de cisalhamento (deslizamento);
• E se for o caso, tensões de tração.
O conceito corrente de tensão – força dividida por área – refere-se, na linguagem
comum, à situações de compressão. Vamos aqui ampliá-lo também para situações de tração e
cisalhamento.
Vejamos a viga.
As tensões de tração, de compressão e cisalhamento variam de seção para seção e, em
uma seção, de ponto a ponto.
Para facilitar o entendimento, o estudo Serpa dividido em tensões normais (tração e
compressão) e tangenciais.
Tensões normais de compressão e tração
Partindo de um caso simples de uma viga de seção retangular, vamos generalizar para
outras seções:

Exercício 1:
Seja uma prancha de aço de seção transversal medindo 10 x 30 cm apoiada sobre duas
colunas e sujeita a uma carga concentrada de 9,2 tf situada no meio do vão. Por ser pequeno,
o peso próprio da viga será desprezado.
Como sempre, onde o diagrama de forças cortantes passe por zero (ponto C) o
diagrama de momentos fletores alcança um máximo ou mínimo.

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Vigas com eixos de simetria
Seja a força F que está aplicada no ponto Z da peça horizontal engastada numa parede.
A força F causará uma flexão em um plano que não contém um dos eixos de simetria da viga.
Esse tipo de flexão é chamado de flexão oblíqua.
Pelo princípio da superposição, a flexão oblíqua pode se decompor em duas flexões normais
mais uma carga centrada. Veja:

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Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da
seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também
que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. É isso o que ocorre nas
seções em T ou em U, mostradas na Figura 5.1. Porém, essas condições são desnecessárias, e,
nesta seção, mostraremos que a fórmula da flexão também pode ser aplicada tanto a uma viga
com área de seção transversal de qualquer formato, como a uma viga com momento interno
resultante que aja em qualquer direção.
Figura 5.1
5.1. Momento aplicado ao longo do eixo principal.
Considere que a seção transversal da viga tem a forma assimétrica mostrada na Figura 5.2a. O
sistema de coordenadas x, y, z orientado para a direita é definido de modo tal que a origem
esteja localizada no centroide C da seção transversal e o momento interno resultante M aja ao
longo do eixo +z. A distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal deve
ter força resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo y nulo e momento
interno resultante em torno do eixo z igual a M. Estas três condições podem ser expressas
matematicamente considerando-se a força que age sobre o elemento diferencial dA localizado
em (O, y, z) (Figura 5.2a).
Figura 5.2.

Essa força é dF = udA e, portanto, temos:
5.2. Momento aplicado arbitrariamente.
Às vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento interno
resultante não aja em torno de um dos eixos principais da seção transversal. Quando isso
ocorre, em primeiro lugar, o momento deve ser decomposto em componentes dirigidas ao
longo dos eixos principais.
Figura 5.3
Então, a fórmula da flexão pode ser usada para determinar a tensão normal provocada
por cada componente do momento. Por fim, usando o princípio da superposição, a tensão
normal resultante no ponto pode ser determinada. Para tal, considere que a viga tenha seção
transversal retangular e está sujeita ao momento M (Figura 5.3a). Aqui, M forma um ângulo θ
com o eixo principal z. Consideraremos que θ é positivo quando estiver direcionado do eixo +
z para o eixo + y, como mostra a figura. Decompondo M em componentes ao longo dos eixos
z e y, temos Mz = Mcosθ e My = Msenθ, respectivamente. Cada uma dessas componentes é

mostrada separadamente na seção transversal nas figuras 5.3b e 5.3c. As distribuições de
tensão normal que produzem M e suas componentes Mz e My são mostradas nas figuras 5.3d,
5.3e e 5.3f, respectivamente. Aqui, consideramos que (σx)máx > (σx ')máx. Por inspeção, as
tensões de tração e compressão máximas [(σx)máx + (σx')máx) ocorrem em dois cantos
opostos da seção transversal (Figura 5.3d). Aplicando a fórmula da flexão a cada componente
do momento nas figuras 5.3b e 5.3c, podemos expressar a tensão normal resultante em
qualquer ponto na seção transversal (Figura 5.3d), em termos gerais, como
Onde:
σ = tensão normal no ponto;
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação aos eixos x, y, z com
origem no centróide da área da seção transversal e formando um
sistema de coordenadas orientado para a direita. O eixo x é direcionado
para fora da seção transversal, e os eixos y e z representam,
respectivamente, os eixos principais dos momentos de inércia mínimo e
máximo para a área.
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionadas ao
longo dos eixos principais y e z. São positivos se direcionados ao longo
dos eixos +y e +z; caso contrário, são negativos. Ou, em outras
palavras, My = Msenθ e Mz = Mcosθ e, onde e é positivo se medido do
eixo +z na direção do eixo +y.
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos y
e z, respectivamente.
Como observamos antes, é muito importante que os eixos x, y, z formem um sistema
orientado para a direita e que sejam designados os sinais algébricos adequados às
componentes do momento e às coordenadas quando aplicamos essa equação. A tensão
resultante será de tração se ela for positiva e de compressão se ela for negativa.
5.3. Orientação do eixo neutro
O ângulo α do eixo neutro na Figura 5.3d pode ser determinado pela abaixo com α =
0, visto que, por definição, nenhuma tensão normal age no eixo neutro.

IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado pela regra da mão direita.
Ângulo ࢲ – sentido do +z para +y até encontrar o M.
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN.
ou seja horário positivo, anti-horário negativo.
Exemplo 1
A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento
fletor M = 12 kN.m. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.

Solução:

Exemplo 2
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kN.m. Determine a tensão
normal máxima na viga.

6
6.
. V
Vi
ig
ga
as
s c
co
om
mp
po
os
st
ta
as
s
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas
compostas. A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.
Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único
material e utilizar a fórmula.
Método da seção transformada
Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo,
a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por conseqüência, as
deformações normais variarão linearmente de zero no eixo neutro a máxima no material mais
afastado desse eixo.

• A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de
deformações.
1 + rígido; 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que
compõem a viga.
“Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo
fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira”
Exemplo 1

Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua
parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida
a um momento fletor M = 2 kN.m, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere
Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.

7
7.
. V
Vi
ig
ga
as
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on
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Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão.
Porém, o concreto é muito suscetível a fratura quando está sob tração, portanto, por si só, não
seria adequado para resistir a um momento fletor. A inspeção de seu diagrama tensão-
deformação particular revela que o concreto pode ser 12,5 vezes mais resistente sob
compressão do que sob tração. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes
de reforço de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração
(Figura 7.1a).
Figura 7.1
Para maior efetividade, essas hastes são localizadas o mais longe possível do eixo
neutro da viga, de modo que o momento criado pelas forças desenvolvidas nas hastes sej a
maior em torno do eixo neutro. Por outro lado, também é necessário cobrir as hastes com
concreto para protegê-las da corrosão ou da perda de resistência se ocorrer um incêndio. Em
situações reais de projeto com concreto armado, a capacidade do concreto de suportar

qualquer carga de tração é desprezada, visto que a possível fratura do concreto é imprevisível.
O resultado é que se considera que a distribuição da tensão normal que age na área da seção
transversal de uma viga de concreto armado é semelhante à mostrada na Figura 7.1b. A
análise da tensão requer localizar o eixo neutro e determinar a tensão máxima no aço e no
concreto. Para tal em primeiro lugar, a área de aço Aaço é transformada, aço em uma área
equivalente de concreto usando o fator de transformação n = Eaço /Econc. Essa razão, que dá n
> 1, de concreto para substituir o aço. A área transformada é nAaço, e a seção transformada é
semelhante à mostrada na Figura 7.1c. Aqui, d representa a distância entre a parte superior da
viga até o aço (transformado), b é a largura da viga e h' é a distância ainda desconhecida entre
a parte superior da viga e o eixo neutro. Podemos obter h' usando o fato de que o centroide C
da área da seção transversal da seção transformada se encontra no eixo neutro (7.1c).
Portanto, com referência ao eixo neutro, o momento das duas áreas, ƩyA, deve ser
nulo, visto que y = ƩyA/ƩA = O. Assim,
Uma vez obtida h' por essa equação quadrática, a solução prossegue da maneira usual
para obter a tensão na viga.
Exemplo 1
A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo.
Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN·m, determine a tensão normal em cada
uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço =
200 GPa e Econc = 25 Gpa.

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ca
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s:
:
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books,
1995.
2. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e
Científicos, 2000.
3. BOTELHO, M.H.C. Resistência dos Materiais: Para entender e gostar. 2º Ed. Blucher,
2013.

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