Grafos notas de aula

1. 1/71
Teoria dos Grafos
Grafos Eulerianos
Prof. Tiago Eugenio de Melo
tmelo@uea.edu.br
www.tiagodemelo.info

2. 2/71
Observações
●
As definições e teorias apresentadas aqui foram
baseadas no livro Fundamentos da Teoria dos
Grafos para Computação (LTC, 2018).
●
A numeração das definições e teoremas seguem
as mesmas referências adotadas no livro para
facilitar a localização.

3. 3/71
GRAFOS EULERIANOS

4. 4/71
Remember

5. 5/71
Remember
●
Um passeio em um grafo G = (V,E) é uma
sequência alternada de vértices e arestas que
começa e termina com vértices.

6. 6/71
Remember
●
Um passeio em um grafo G = (V,E) é uma
sequência alternada de vértices e arestas que
começa e termina com vértices.
●
Um caminho é um passeio onde todos os
vértices são distintos.

7. 7/71
Remember
●
Um passeio em um grafo G = (V,E) é uma sequência
alternada de vértices e arestas que começa e termina
com vértices.
●
Um caminho é um passeio onde todos os vértices
são distintos.
●
Uma trilha (trail) ou trajeto em um grafo é um passeio
em que todas as suas arestas são distintas.

8. 8/71
Introdução

9. 9/71
Introdução
●
Definição 8.1

10. 10/71
Introdução
●
Definição 8.1
– Uma trilha em um grafo G é chamada de trilha de
Euler se ela incluir todas as arestas de G.

11. 11/71
Introdução
●
Definição 8.1
– Uma trilha em um grafo G é chamada de trilha de
Euler se ela incluir todas as arestas de G.
– Exemplo:

12. 12/71
Introdução
●
Definição 8.1
– Uma trilha em um grafo G é chamada de trilha de
Euler se ela incluir todas as arestas de G.
– Exemplo:

13. 13/71
Introdução

14. 14/71
Introdução
●
G2 tem uma trilha de Euler?

15. 15/71
Introdução
●
G2 tem uma trilha de Euler?

16. 16/71
Introdução

17. 17/71
Introdução
●
Definição 8.2

18. 18/71
Introdução
●
Definição 8.2
– Um tour em G é um passeio fechado em G que
inclui toda a aresta de G pelo menos uma vez.

19. 19/71
Introdução
●
Definição 8.2
– Um tour em G é um passeio fechado em G que
inclui toda a aresta de G pelo menos uma vez.
●
Exemplo:

20. 20/71
Introdução
●
Definição 8.2
– Um tour em G é um passeio fechado em G que
inclui toda a aresta de G pelo menos uma vez.
●
Exemplo:
– v1v2v3v4v5v6v7v8v7v6v5v4v3v2v1

21. 21/71
Introdução
●
Definição 8.2
– Um tour em G é um passeio fechado em G que
inclui toda a aresta de G pelo menos uma vez.
●
Exemplo:
– v1v2v3v4v5v6v7v8v7v6v5v4v3v2v1

22. 22/71
Introdução

23. 23/71
Introdução
●
Definição 8.3

24. 24/71
Introdução
●
Definição 8.3
– Um tour de Euler em G é um tour que inclui cada
aresta de G exatamente uma vez.

25. 25/71
Introdução
●
Definição 8.3
– Um tour de Euler em G é um tour que inclui cada
aresta de G exatamente uma vez.
– Assim, um tour de Euler é uma trilha de Euler
fechada.

26. 26/71
Introdução

27. 27/71
Introdução
●
Definição 8.4

28. 28/71
Introdução
●
Definição 8.4
– Um grafo G é chamado de grafo de Euler se tem
um tour de Euler.

29. 29/71
Introdução

30. 30/71
Introdução
●
Exemplos:

31. 31/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G1 não é um grafo de Euler, entretanto,
tem uma trilha de Euler.

32. 32/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G1 não é um grafo de Euler, entretanto,
tem uma trilha de Euler.

33. 33/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G1 não é um grafo de Euler, entretanto, tem uma
trilha de Euler.
– Trilha de Euler: e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10

34. 34/71
Introdução

35. 35/71
Introdução
●
Exemplos:

36. 36/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G2 é um grafo de Euler.

37. 37/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G2 é um grafo de Euler.

38. 38/71
Introdução
●
Exemplos:
– O grafo G2 é um grafo de Euler.

39. 39/71
GRAFO DE EULER

40. 40/71
Grafo de Euler
●
O suíço Leonhard Euler (1707-1783) foi a
primeira pessoa a resolver um problema
conhecido como “As pontes de Königsberg”.

41. 41/71
Grafo de Euler
●
O problema consiste em determinar se uma
pessoa pode, a partir de determinado ponto,
atravessar cada uma das sete pontes
exatamente uma vez e voltar ao ponto de onde
partiu.

42. 42/71
Grafo de Euler
●
O problema consiste em determinar se uma
pessoa pode, a partir de determinado ponto,
atravessar cada uma das sete pontes
exatamente uma vez e voltar ao ponto de onde
partiu.

43. 43/71
Grafo de Euler
●
Euler abstraiu o problema como o grafo abaixo:

44. 44/71
Grafo de Euler
●
Euler abstraiu o problema como o grafo abaixo:

45. 45/71
Grafo de Euler
●
É possível percorrer o diagrama abaixo a partir
de qualquer dos pontos A, B, C ou D, usando
todos os arcos apenas uma vez e voltar ao
ponto de início?

46. 46/71
Grafo de Euler
●
É possível percorrer o diagrama abaixo a partir
de qualquer dos pontos A, B, C ou D, usando
todos os arcos apenas uma vez e voltar ao
ponto de início?

47. 47/71
Grafo de Euler

48. 48/71
Grafo de Euler
●
Percorrer as sete pontes passando por elas
apenas uma vez caracterizaria uma trilha de
Euler.

49. 49/71
Grafo de Euler
●
Percorrer as sete pontes passando por elas
apenas uma vez caracterizaria uma trilha de
Euler.
●
Percorrer as sete pontes apenas uma vez
voltando ao ponto de partida caracterizaria um
tour de Euler.

50. 50/71
Grafo de Euler
●
Percorrer as sete pontes passando por elas apenas
uma vez caracterizaria uma trilha de Euler.
●
Percorrer as sete pontes apenas uma vez voltando
ao ponto de partida caracterizaria um tour de Euler.
●
Euler mostrou que a resposta ao problema é “não”,
mostrando que o grafo não tem (o que foi mais tarde
definido como) uma trilha de Euler.

51. 51/71
Problema do Carteiro Chinês

52. 52/71
Introdução

53. 53/71
Introdução
●
Pense nos serviços como coleta de lixo ou
correios.

54. 54/71
Introdução
●
Pense nos serviços como coleta de lixo ou
correios.
●
Os cruzamentos das ruas são vértices do grafo
e as arestas são as ruas.

55. 55/71
Introdução
●
Pense nos serviços como coleta de lixo ou
correios.
●
Os cruzamentos das ruas são vértices do grafo e
as arestas são as ruas.
●
Cada rua tem um custo de percurso associado
que representa a distância, tempo ou outro fator.

56. 56/71
Introdução
●
Pense nos serviços como coleta de lixo ou correios.
●
Os cruzamentos das ruas são vértices do grafo e as
arestas são as ruas.
●
Cada rua tem um custo de percurso associado que
representa a distância, tempo ou outro fator.
●
É necessário percorrer todas as rua se retornar ao
ponto inicial com custo mínimo.

57. 57/71
Aplicações

58. 58/71
Aplicações
●
Coleta de lixo.

59. 59/71
Aplicações
●
Coleta de lixo.
●
Vendas em domicílio.

60. 60/71
Aplicações
●
Coleta de lixo.
●
Vendas em domicílio.
●
Entrega do correio.

61. 61/71
Aplicações
●
Coleta de lixo.
●
Vendas em domicílio.
●
Entrega do correio.
●
Recenseamento.

62. 62/71
Aplicações
●
Coleta de lixo.
●
Vendas em domicílio.
●
Entrega do correio.
●
Recenseamento.
●
...

63. 63/71
Problema do Caixeiro Viajante

64. 64/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Histórico

65. 65/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Histórico
– A literatura relata um grande número de problemas
de otimização combinatória associados aos
percursos desenvolvidos sobre as arestas de um
grafoG.

66. 66/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Histórico
– A literatura relata um grande número de problemas de
otimização combinatória associados aos percursos
desenvolvidos sobre as arestas de um grafoG.
– O Problema do Carteiro Chinês foi relatado
inicialmente por Kwan Mei-Ko em 1962, na revista
Chinese Mathematics.

67. 67/71
Problema do Caixeiro Viajante

68. 68/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Definição

69. 69/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Definição
– O Problema do Carteiro Chinês – PCC, consiste
em determinar um passeio fechado de custo
mínimo que passe por cada aresta de um grafo G
conectado pelo menos uma vez.

70. 70/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
O problema do carteiro chinês consiste em
determinar como, partindo de determinado
ponto e retornando a ele, percorrer todas as
ruas de uma rota para entrega de cartas
andando o mínimo possível.

71. 71/71
Problema do Caixeiro Viajante
●
Para modelar a situação, pode-se construir um
grafo G no qual cada aresta representa uma
rua na rota do carteiro, cada vértice representa
um cruzamento entre ruas, e o peso associado
a cada aresta representa o comprimento da rua
entre os cruzamentos (ou o tempo gasto para
percorrê-la).