Aula de mecânica dos sólidos sobre a teoria das falhas dos materiais.

1. 13/06/2021
Mecânica dos Sólidos II
AULA 12 – INTRODUÇÃO ÀS TEORIAS DE FALHAS (MATERIAIS DÚCTEIS)
UNIVERSIDADEFEDERAL DOAMAZONAS
FACULDADEDE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTODE ENGENHARIAMECÂNICA
Prof. Dr. Gustavo Neto
http://home.ufam.edu.br/gustavoneto
gustavoneto@ufam.edu.br
Manaus – AM / 2021
2/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Sumário
 Introdução
 Critério de Tresca (Tensão de cisalhamento máxima)
 Critério de Von Mises (Energia de distorção máxima)
 Exemplo

2. 13/06/2021
3/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
4/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 No projeto estrutural, é de suma importância ter ciência
do limite superior para o estado de tensão que define a
falha do material.
Figura 1: Da esquerda para a direita: Henri Tresca (1814–1885), Richard Von Mises (1883-1953), William Rankine (1820-1872),
Charles de Coulomb (1736-1806) e Christian Otto Mohr (1835-1918).
Fonte: Wikipedia (2021)

3. 13/06/2021
5/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
6/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝜎 𝜎
𝑷 𝑷

4. 13/06/2021
7/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝜎 𝜎
𝑷 𝑷
8/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝜎 < 𝜎 𝜎
𝜎 𝜎
𝑷 𝑷

5. 13/06/2021
9/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝜎 < 𝜎 𝜎
𝜎 𝜎
𝑷 𝑷
10/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝜏
𝜎
𝑷
𝜎

6. 13/06/2021
11/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Materiais dúcteis: − Tensão de cisalhamento máxima (Tresca)
− Energia de distorção máxima (Von Mises)
• Falha especificada pelo início do escoamento.
 Materiais frágeis: − Tensão normal máxima (Coulomb/Rankine)
− Critério de Falha de Mohr
• Falha especificada pela ruptura do material.
𝑷
12/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Estas teorias também são usadas para determinar as
tensões admissíveis informadas em muitos manuais e
códigos de projeto.

7. 13/06/2021
13/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Estas teorias também são usadas para determinar as
tensões admissíveis informadas em muitos manuais e
códigos de projeto.
14/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Estas teorias também são usadas para determinar as
tensões admissíveis informadas em muitos manuais e
códigos de projeto.

8. 13/06/2021
15/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Estas teorias também são usadas para determinar as
tensões admissíveis informadas em muitos manuais e
códigos de projeto.
 Para a aplicação de uma teoria de falha, é necessário
calcular as componentes da tensão normal e de
cisalhamento em pontos do elemento estrutural onde
elas são maiores.
16/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Para esse cálculo, pode-se usar os fundamentos da
Mecânica dos Sólidos ou utilizar fatores de concentração
de tensão onde aplicável.
• ou, em situações complexas, determinar as tensões máximas pela teoria
da elasticidade ou por uma técnica experimental adequada.

9. 13/06/2021
17/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Para esse cálculo, pode-se usar os fundamentos da
Mecânica dos Sólidos ou utilizar fatores de concentração
de tensão onde aplicável.
• ou, em situações complexas, determinar as tensões máximas pela teoria
da elasticidade ou por uma técnica experimental adequada.
18/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Introdução
 Para esse cálculo, pode-se usar os fundamentos da
Mecânica dos Sólidos ou utilizar fatores de concentração
de tensão onde aplicável.
• ou, em situações complexas, determinar as tensões máximas pela teoria
da elasticidade ou por uma técnica experimental adequada.

10. 13/06/2021
19/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Materiais dúcteis
20/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

11. 13/06/2021
21/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
22/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

12. 13/06/2021
23/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
24/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

13. 13/06/2021
25/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
26/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

14. 13/06/2021
27/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
28/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

15. 13/06/2021
29/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
30/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

16. 13/06/2021
31/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
32/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

17. 13/06/2021
33/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Critério de Escoamento de Tresca:
Qualquer componente estrutural estará seguro desde que 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑏𝑠
neste componente permaneça menor que o valor
correspondente da tensão de cisalhamento em um ensaio de
tração com corpo de prova do mesmo material, quando este
começar a escoar.
𝜎 𝜎
𝑷′ 𝑷
34/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻

18. 13/06/2021
35/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
36/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻

19. 13/06/2021
37/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
38/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻

20. 13/06/2021
39/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
40/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻

21. 13/06/2021
41/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜏 = 𝜎 /2
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
42/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
𝜏 < 𝜎 /2

22. 13/06/2021
43/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
𝜎
44/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
𝜎

23. 13/06/2021
45/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
46/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
𝜎
𝜎
𝑻′
𝑻
𝜎 → 𝜎

24. 13/06/2021
47/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Estado plano de tensões
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2
48/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Estado plano de tensões
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2
𝜎 , 𝜎

25. 13/06/2021
49/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎
50/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎

26. 13/06/2021
51/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎
52/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎

27. 13/06/2021
53/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2
𝜎 𝜎 .
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎
54/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎

28. 13/06/2021
55/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎
56/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Resumindo: 𝜏 = (𝜎 − 𝜎 )/2,
Ensaio de Tração (estado plano)
- Tensão principal nula na direção do eixo 𝑧;
Se as outras duas tensões principais tem o mesmo sinal:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = max 𝜎 , 𝜎 = 𝜎 < 𝜎 ;
Se as outras duas tensões principais tem sinais distintos:
- Tensão de escoamento 2𝜏 = 𝜎 − 𝜎 < 𝜎 .
𝜏 < 𝜎 /2 𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
−𝜎
−𝜎

29. 13/06/2021
57/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima
Critério de Escoamento de Tresca:
Qualquer componente estrutural estará seguro desde que 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑏𝑠
neste componente permaneça menor que o valor
correspondente da tensão de cisalhamento em um ensaio de
tração com corpo de prova do mesmo material, quando este
começar a escoar.
𝜎 𝜎
𝑷′ 𝑷
58/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Tensão de Cisalhamento Máxima

30. 13/06/2021
59/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
60/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima

31. 13/06/2021
61/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
62/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima

32. 13/06/2021
63/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
64/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝑢

33. 13/06/2021
65/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
66/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
Energia de deformação por unidade de volume
𝑢 =
1
2𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 2𝜈 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎
𝐸- módulo de elasticidade
𝜈 – coeficiente de Poisson
𝜎 - tensões principais

34. 13/06/2021
67/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
Energia de deformação por unidade de volume
𝑢 =
1
2𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 2𝜈 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎 + 𝜎 𝜎
𝐸- módulo de elasticidade
𝜈 – coeficiente de Poisson
𝜎 - tensões principais
68/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎
𝜎
𝜎
=
Tensão Total

35. 13/06/2021
69/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3
𝜎
=
Tensão Total Tensão Hidrostática
70/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
= +
Tensão Total Tensão Hidrostática Tensão distorcional

36. 13/06/2021
71/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
= +
Tensão Total Tensão Hidrostática Tensão distorcional
72/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
𝜎 − 𝜎
= +
Tensão Total Tensão Hidrostática Tensão distorcional

37. 13/06/2021
73/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
“ um componente estrutural está seguro desde que o valor máximo da energia de
distorção por unidade de volume naquele material permaneça menor que a
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar escoamento
em um corpo de prova do mesmo material, em um ensaio de tração.”
74/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
“ um componente estrutural está seguro desde que o valor máximo da energia de
distorção por unidade de volume naquele material permaneça menor que a
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar escoamento
em um corpo de prova do mesmo material, em um ensaio de tração.”

38. 13/06/2021
75/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
“ um componente estrutural está seguro desde que o valor máximo da energia de
distorção por unidade de volume naquele material permaneça menor que a
energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar escoamento
em um corpo de prova do mesmo material, em um ensaio de tração.”
76/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝑢
𝑢 𝜎

39. 13/06/2021
77/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 −𝜎 𝜎 − 𝜎
78/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎 = 𝜎 𝜎 = 𝜎 = 0
𝑢 =
1 + 𝜈
6𝐸
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎
𝑢 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎

40. 13/06/2021
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Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝑢 = 𝑢
𝑢 =
1 + 𝜈
6𝐸
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 𝑢 =
1 + 𝜈
3𝐸
𝜎
Escoamento:
𝑢 = 𝑢
𝜎 =
1
2
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 ⁄
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Critério da Energia de Distorção Máxima

41. 13/06/2021
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐼 , 𝐼 𝐼
𝝈 =
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎
𝐼 =
𝜎 𝜏
𝜏 𝜎 +
𝜎 𝜏
𝜏 𝜎 +
𝜎 𝜏
𝜏 𝜎
𝐼 = 𝜎 + 𝜎 + 𝜎 = 𝑡𝑟(𝝈)
𝐼 =
𝜎 𝜏 𝜏
𝜏 𝜎 𝜏
𝜏 𝜏 𝜎
= 𝑑𝑒𝑡(𝝈)
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝝈 = 𝝈𝒉𝒊𝒅𝒓𝒐 + 𝝈𝒅𝒆𝒗
𝜎 0 0
0 𝜎 0
0 0 𝜎
=
𝜎̅ 0 0
0 𝜎̅ 0
0 0 𝜎̅
+
𝜎̅ − 𝜎̅ 0 0
0 𝜎̅ − 𝜎̅ 0
0 0 𝜎̅ − 𝜎̅
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3

42. 13/06/2021
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝝈𝒅𝒆𝒗 =
𝜎̅ − 𝜎̅ 0 0
0 𝜎̅ − 𝜎̅ 0
0 0 𝜎̅ − 𝜎̅
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3
Equação Característica: (𝜎′) − 𝐽 𝜎 − 𝐽 𝜎 − 𝐽 = 0
𝐽 = 0;
𝐽 = 3𝜎 − 𝐼 = 𝐼 − I
𝐽 = det(𝝈 )
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 ′
𝝈𝒅𝒆𝒗 =
𝜎̅ − 𝜎̅ 0 0
0 𝜎̅ − 𝜎̅ 0
0 0 𝜎̅ − 𝜎̅
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3
Equação Característica: (𝜎′) − 𝐽 𝜎 − 𝐽 𝜎 − 𝐽 = 0
𝐽 = 0;
𝐽 = 3𝜎 − 𝐼 = 𝐼 − I
𝐽 = det(𝝈 )

43. 13/06/2021
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽
𝝈𝒅𝒆𝒗 =
𝜎̅ − 𝜎̅ 0 0
0 𝜎̅ − 𝜎̅ 0
0 0 𝜎̅ − 𝜎̅
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3
Equação Característica: (𝜎′) − 𝐽 𝜎 − 𝐽 𝜎 − 𝐽 = 0
𝐽 = 0;
𝐽 = 3𝜎 − 𝐼 = 𝐼 − I
𝐽 = det(𝝈 )
𝐼 , 𝐼 e 𝐼 são os invariantes de
𝝈 =
𝜎 0 0
0 𝜎 0
0 0 𝜎
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝜎 =
𝜎 + 𝜎 + 𝜎
3
𝐽 = 3𝜎 − 𝐼 = 𝐼 − 𝐼 ou
𝐽 = −
𝜎 − 𝜎 0
0 𝜎 − 𝜎
+
𝜎 − 𝜎 0
0 𝜎 − 𝜎
+
𝜎 − 𝜎 0
0 𝜎 − 𝜎
𝐽 =
1
6
[ 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 ]

44. 13/06/2021
87/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽
𝑘
𝐽 =
1
6
[ 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 ]
88/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 𝑘
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 = 𝑘

45. 13/06/2021
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Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝑘
𝜎 = 𝜎 𝜎 = 𝜎 = 0
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 = 𝑘
𝐽 =
1
6
𝜎 − 0 + 0 − 0 + 0 − 𝜎 = 𝑘
𝜎
3
= 𝑘 ⇒ 𝑘 =
𝜎
3
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 =
𝜎
3
𝜎 = 𝜎 =
1
2
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 (Tensões Principais)
𝜎

46. 13/06/2021
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 =
𝜎
3
𝜎 =
1
2
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 6 𝜏 + 𝜏 + 𝜏
/
𝜎 = 𝜎 =
1
2
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 (Tensões Principais)
(Estado Geral)
𝐽
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Critério da Energia de Distorção Máxima
2𝑘.

47. 13/06/2021
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Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 0 + 0 − 𝜎 =
𝜎
3
𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 = 𝜎
𝜎 = 0
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Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 0 + 0 − 𝜎 =
𝜎
3
𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 = 𝜎

48. 13/06/2021
95/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
Aula 12 – Introdução às Teorias de Falhas (Dúctil)
Critério da Energia de Distorção Máxima
𝐽 =
1
6
𝜎 − 𝜎 + 𝜎 − 0 + 0 − 𝜎 =
𝜎
3
𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 = 𝜎
96/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
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Critério da Energia de Distorção Máxima

49. 13/06/2021
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Exemplo (Beer 5ª Ed. – Problema Resolvido 7.4)
 O estado plano de tensão mostrado na figura
ocorre em um ponto crítico de um
componente de máquina feito de aço.
 Após vários ensaios de tração, concluiu-se
que a tensão de escoamento em tração é
𝜎 = 250 MPa para o tipo de aço utilizado.
 Determine o coeficiente de segurança em
relação ao escoamento usando
a) o critério de Tresca e
b) o critério de Von Mises.
Figura: Beer (2011)
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Exemplo (Beer 5ª Ed. – Problema Resolvido 7.4)

50. 13/06/2021
99/100 Prof. Dr. Gustavo Neto
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Exemplo (Beer 5ª Ed. – Problema Resolvido 7.4)
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Referências
 BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; DeWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica
dos Materiais. São Paulo: McGraw-Hill, 2011.
 FUNG, Yuan-cheng. A first course in continuum mechanics. Englewood
Cliffs, 1977.
 HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7a ed. São Paulo: Pearson
Education, 2010.
 WIKIPEDIA. Critério de Falha de Von Mises (Figura). Disponível
em:https://pt.wikipedia.org/wiki/Crit%C3%A9rio_de_falha_de_von_Mises#/media/
Ficheiro:Yield_surfaces.svg . Acesso em 17/05/2021.